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高考难点突破课一 导数的综合问题
第二课时 利用导数研究函数的零点问题
内容
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核心突破
题型剖析
分层训练
巩固提升
HEXINTUPOTIXINGPOUXI
核心突破 题型剖析1
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题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
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(2)证明：f(x)只有一个零点.
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利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法
(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、
变化趋势等.
(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置.
(3)数形结合法分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展
现.
感悟提升
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结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知
因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
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题型二 根据零点个数确定参数范围
(1)当a＝2时， 求f(x)的单调区间；
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解 函数φ(x)＝f(x)－1有且仅有两个零点，
(2)若函数φ(x)＝f(x)－1有且仅有两个零点，求a的取值范围.
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所以a＞1且a≠e，
故a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞).
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在解决已知函数y＝f(x)有几个零点求f(x)中参数t的取值范围问题时，经常从
f(x)中分离出参数t＝g(x)，然后用求导的方法判断g(x)的单调性，再根据题意
求出参数t的值或取值范围.解题时要充分利用导数工具和数形结合思想.
感悟提升
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(1)讨论函数f(x)的单调性；
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题型三 可化为函数零点的个数问题
解 设公切线与函数f(x)＝ln x的图象切于点A(x1，ln x1)(0<x1≤1)，
例3 已知函数f(x)＝ln x(0<x≤1)与函数g(x)＝x2＋a的图象有两条公切线，求实数
a的取值范围.
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解决曲线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题的关键是转化
为对应函数的零点个数问题，利用数形结合思想，通过研究函数的零点个数解
决相关问题.
感悟提升
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隐零点问题微点突破
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情
形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：
先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函
数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可
设出其零点是x0.因为x0不(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0
叫做隐零点；若x0容，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此
解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
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(1)求f(x)的单调区间；
例1 设函数f(x)＝ex－ax－2.
解 f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.
当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a，
令f′(x)>0，得x>ln a，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
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(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.
又因为h(1)<0，h(2)>0，
所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点).
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又h(α)＝eα－α－2＝0，
所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，
则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，
所以k的最大值为2.
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(1)求a，b的值；
例2 已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.
解 因为f′(x)＝xex－a，
由f′(0)＝－1得a＝1，
又f(0)＝－1，
所以切线方程为y－(－1)＝－1(x－0)，
即x＋y＋1＝0，所以b＝1.
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FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升2
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(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；
1.已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2.
解 当a＝0时，f(x)＝ex－ex，
则f′(x)＝ex－e，f′(1)＝0，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝0，无极大值.
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解 由题意得f′(x)＝ex－2ax＋a－e，
设g(x)＝ex－2ax＋a－e，则g′(x)＝ex－2a.
若a＝0，则f(x)的最大值f(1)＝0，
故由(1)得f(x)在区间(0，1)内没有零点.
若a<0，则g′(x)＝ex－2a>0，
故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增.
又g(0)＝1＋a－e<0，g(1)＝－a>0，
所以存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0.
(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.
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故当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(x0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
因为f(0)＝1，f(1)＝0，
所以当a<0时，f(x)在区间(0，1)内存在零点.
若a>0，由(1)得当x∈(0，1)时，ex>ex.
则f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2>ex＋(a－e)x－ax2＝a(x－x2)>0，
此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点.
综上，实数a的取值范围为(－∞，0).
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(1)求函数f(x)的单调区间；
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(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
则f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2).
令f′(x)>0，解得x<0或x>ln 2；
令f′(x)<0，解得0<x<ln 2，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，
ln 2).
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本课结束
