第 4卷第 2期
200]年 4月
管 理 科 学 学 报
10URNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA
Vol_4 No．2
A0r．．2001
ARCH模型的诊断分析。
柯 珂 ，张世 英
(天津大学管理学院，天津 300072)
摘要：探讨 了ARCH模 型的诊断分析和变结构建模 问题．所提 出的分整增广 GARCH—M 模型
包括了几乎所有现有的ARCH模型，基于分整增广GARCH—M模型克服了ARCH模型在模
型设定检验，长记忆检验和参数估计等方面的障碍．利用分段建模方法来检测模型结构变化点
和分段变化模型的选择．最后，以上海证券综合事业股票指数为数据，验证 了诊断分析方法的
有效性．
关键词 ：ARCH模型；诊断分析 ；变结构建模
中围分类号：F224．0 文献标识码 ：A 文章编号 ：1007—9807(2001)02—0012-07
0 引 言
在分析和预测时．参数向量在所有拟台样本
期和预测期是否结构相同是一个非常重要的前
提．在我国，由于经济处于不断调整和转轨之中，
经济规律不断变化，不同时期采用同一模型似乎
是难以令人信服的．近年来，非线性模型变结构问
题已经引起人们注意，人们提出了一些诊断变结
构点的检验方法 “]．
文1-6]提出的ARCH模型及由此衍生出来的
ARCH模型族是重要的度量金融波动性的模型，
它随经济波动呈现其模型结构的变化．然而就目
前国内外文献而言，未见有对 ARCH模型进行变
结构研究的报道．本文对 ARCH模型的诊断与变
结构分析问题作一探讨．
1 诊断问题与判断准则
1．1 异常点的种类
所谓异常点是指严重偏离既定模型的数据
点．按文FT]的说法，异常点根据其性质和产生的
机理，可以分成两大类：加性异常点(additive out一
① 收稿 日期 2000—05—17}修订 日期 ：2000一O9—11．
基金项日：教育部博士点专项科研基金资助项目(2000005000)
作者简介 ：柯 珂 (1974一)，女，硬士．
1~rs)和革新异常点(innovation outliers)．
(1)加性异常点 AO(additive out~er)
这是一种孤立的异常点，往往是由某一时刻
的观察或记录误差所造成的，它们的出现并不波
及邻近的观测值．就时闻序列而言，此类异常点是
非本质的，因为它们不涉及到时间序列内在的相
关结构．
(2)革新异常点 IO(innovation outliers)
这是一种成片出现的异常点 ．在某段时间内
一 个异常点通过随机序列的相关结构，波及到与
它邻近的一批数据点(通常是它的后继临近点)，
从而使这些临近点表现出一定的异常．与 AO相
比，此类异常点是更为内在或本质的一类异常点，
它产生的机理也更为复杂．
一 般而言，AO对时间序列滞后相关系数的
影响是使其偏向于零{而 10对滞后相关系数的影
响是使其偏向于 l ]．由此可见，不同类型的异常
点可能对估计量产生不同的影响，因此区别异常
点的类型很重要，而且由于个别异常点的存在可
能对模型分析的结果产生举足轻重的作用，因此
在时间序列分析中，探察异常点并区别其类型是
非常有意义的工作．
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第 2期 柯 珂等：ARCH模型的诊断分布 13
1．2 影响点的概念
与异常点含义接近的还有强影响点．顾名思
义，强影响点是那些对模型的建模、应用和预测有
重要影响的数据点．显然强影响点与我们所研究
的变结构点含义很接近．
虽然数据集中所有点都对模型的建立有影
响，但各个数据点对统计推断的影响大小是不相
等的．一般而言，在分析影响大小时，有几个基本
问题要考虑．
(1)“影响的指向”，即分析对哪一个统计量的
影响．如是对模型参数估计值的影响，还是对拟合
优度统计量的影响等，分析的目标不同，所考虑的
影响也必然有所不同；
(2)“度量影响的尺度”，为了定量地刻 影响
的大小 ，迄今已提出多种尺度．如 ，基于残差的尺
度、基于拟合的尺度、基于影响函数的尺度、基于
置信域的尺度、基于似然函数的尺度等．在每一种
类型中都可能有不同的统计量．
1．3 变结构点
变结构点是一类特殊的强影响点．一般而言，
变结构点是指这样的一类点：它们对模型的结构
有如此重大的影响，在该点之前与该点之后模型
的结构有显著区别．这里模型的结构不仅包括模
型的函数形式，还包括模型中各参数．模型结构的
变化可能是模型形式的根本改变，以ARCH模型
族为例，可能是由 LGARCH变成 EGARCH模
型f可能是模型参数的显著改变；还可能是变量的
增减等．
变结构点与强影响点的区别在于：如果没有
强影响点，模型的结构可能会因此发生重大变化，
但对强影响点的前后序列建立的模型可能不会有
显著区别．
强影响点和异常点之间有联系也有区别．强
影响点可能是异常点，也可能是正常点；反之，异
常点中的革新异常点可能也是强影响点，也可能
不是，而加性异常点则肯定不是强影响点．以线性
回归直线Y一4 +b为例，在图1中，A为强影响
点，但它与回归直线比较接近，因此不是异常点；
而B点既为强影响点同时又是异常点，如果没有
B点，回归直线将向z轴显著偏穆，说明B是强影
响点，但同时B点离回归直线较远，因此是异常
点；而 c点是异常点，但不是强影响点，因为即使
没有 C点，回归直线也不会有大的变化
围 1 异常点与强影响点示毫田
1．4 判断准则
给定口维空间册，数据集D中的点≈( 一1，2，
⋯
，Ⅳ，其中Ⅳ是数据集的容量)，由q维向量{
置 ”， )定 义．不失一般 性，将 ( ，⋯，
岛一。)设为自变量坐标 z ， 为因变量坐标．基于
数据集 D的拟合函数设为 F，而拟合值为 F(·)，
P(≈)表示数据集 D 中距 最近的点的空间距
离④， 为给定置信水平下该距离的临界值 ， 是
给定置信水平下拟合函数值的临界范围，则有以
下两条结论：
i．当 IP(≈)I>仉且 I墨 一F(蜀)I≥ 时，
葺是强影响点，同时又是异常点；
当 Ip(z )I≤ 且 I墨 一F( )I≥ 时，
是异常点但不是强影响点．
换 种说法，≈是异 常点，当且仅当 I 一
F(≈)J≥ 时；若同时又有 IP(≈)J≥ ，则 是
强影响点．
从定义出发，这个判断准则的含义很清楚．首
先考虑到异常点的定义，若点 z．i的拟合函数值
F(葺)远离拟合曲线，则这一点是异常点，如图 1
中的点 B和 c；若 ≈是一个异常点同时又远离数
据集D，模型建立时会因考虑到为把这一点包容
进去而做一些改变．这样，这一点将因其特殊性而
对建模产生较大的作用．因此成为强影响点，如图
1中的点 B，既是异常点又是强影响点．
当然象 A点(记做 )这样远离数据集的点
既可能是强影响点，也可能不是．但却是一个值得
怀疑的点，因为理论上说，远离数据集，建立在数
据集D上的模型就会设法把该点包括进来，但如
① 这 个 距 商 有 不 同 的计 算 方{击．如 Cook距 商[} 、
Welsch—Ktth距离 ”、Welsch距离[ 和修正的 Cook距离 __
等，可根据具体问置的需要加以确定．
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14 管 理 科 学 学 报 2O01年 4月
果该点恰在基于数据集D一{z lJ∈D，J≠m)的
拟合曲线附近，则不构成强影响点．此外隐藏在数
据集 D中的强影响点虽然因其 隐蔽性不好研究 ，
但却值得人们更多的关注．因为远离数据集的点
固然很可能是强影响点，但可能纯粹是一个加性
异常点，是引起模型不优的原因，因而正是应剔除
的点．
2 基于分整增广 GARCH—M 模型
的诊断分析
分整增广 GARCH—M 模型是一个很复杂的
非线性模型，它的定义如下：
= ( l， )+ (1)
其中
( 卜 ， )一 。十五一1[ +
exp(一 ／ )]一 3 (2)
一 (3)
lF ～ N(O，1) (4)
这里
c
0
㈣ l
exp( 1)+ =
其中
一 (6)
取
一 +∑ 以一．十
∑[ cij cI +
《 max(0，c el-i) ] 一，+
∑[ ，(I 一cI；8)+
《 f(max(O，f—日一 )； )] (7)
，( id)= ( 一 1)／ z≥ O (8)
其中 表示到￡一 1期的信息集， 表示滞后算
子， 是 的均值， 为一阶自相关系数， 体现
ARCH—M 的特点@．则称{丑)过程为分整增广
GARCH—M 模型．
该模型包容了几乎所有的ARCH模型，而且
能够很方便地确定其具体的模型形式，这使得用
分段建模方法以探察变结构点成为可能．
2．1 ARCH模型变结构问题描述
考虑如下时间序列的非线性变结构模型，变
结构点设为 一1个，该时间序列的方差为 ARCH
类模型．
一 ( l， )+ g( ，01) t一 1，⋯ ，
r一 ( 卜】， )+ g( 2，02) t— l+ 1，⋯ ， 2
(9)
,7C = ( 卜】， )+ g( ， ) ￡= 啦一1+ 1，⋯ ，
其中,7C 是时间序列第￡期观测值， (·，·)的意义
与式(2)相同，g(·，·)是式(5)定义的 的函数，
“一1，⋯， )是式(5)中 的未知参数向量； ，
nz，⋯m 是变化样本时间点，是未知量．
主要的任务就是对上述有 ARCH特性的时
间序列的非线性变结构模型式(9)，根据给定样本
检测并估计出未知变结构点 ( —l，⋯， 一1)．
ARCH模型族是如此庞大，每个模型的结构
都比较复杂，基于线性回归模型的诊断分析方法
对 ARCH模型进行诊断分析处理将失效，而基于
非线性模型提出的方法固然可以对应地应用于
ARCH模型，尤其是 LARCH、LGARCH等较简
单的ARCH模型上 ，但 ARCH模型族中还有一
些很复杂的模 型，像 EGARCH、GJR—GARCH、
TGARCH等难以找到对应的时间序列模型；再
者，应用已有的非线性变结构分析方法是在模型
形式已知且正确设定的前提下，换言之，若用这些
方法，仍需要对每个被怀疑的变结构点的前后数
据段、或对删除异常点或强影响点前后的模型，分
别建模以判断被怀疑点的性质，这是一个如此庞
大的工作量，因为 ARCH模型族有多达 32种长、
短记忆的模型 当然在分整增广 GARcH—M模型
基础上，应用文献上已有的非线性变结构建模和
分析方法，进行变结构模型分析是一个容易想到
的可行的解决问题的办法，但考虑到可能的计算
量，而且分整增广 GARCH—M 模型的估计统计量
和分布都不易获得 ，所以我们考虑用一种近似的
方法来探测异常点、强影响点和变结构点．这就是
分段建模韵方法．
① 分整增广 GARCH—M 模型是本文作者提出的 类新 的
ARCH模型族．包窖了几乎所有常用的ARCH模型，还提出
了20多种新的模型 将在《系统工程学报 近期发表．
② 即当 不为军 ，模型是 ARCH M娄 模 型，当 为军时 ，模型
是 ARCH类模型
@ 由于 LARCH就是 辞 的 目酚 自回归模 型，而 LGARCH 是
的 ARMA(max(P．目)· )模型·所 以船应用于 AR和 ARMA
模型的建模方法理论上都能用于 LARCH和 LGARCH模
型．
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第 2期 柯 珂等；ARCH模型的诊断分布 15
2．2 分段建模的思想
为了研究数据集D与模型符台的情况，一个
很重要的方法就是逐个考虑各数据点的作用．具
体来说，就是逐个考虑每个数据点对于建模、模型
分析和预测的影响．传统的探察异常点的模型有
两种：第一，数据删除模型，即删除某个数据点如
第 i个，研究这个点删除前后对于模型确立以及
检验统计量是否有举足轻重的影响；第二，均值漂
移模型，即在第 i个数据点上增加一个扰动，这相
当于因变量的均值有所漂移，研究这个扰动对于
估计量及其它统计量是否有显著影响．文[9]证明
这两种模型实际上是等价的．
实际上，在诊断分析中，除了希望找到异常点
外 ，更希望获取进一步的信息．比如，这个异常点
的性质；该点是加性异常点还是革新异常点；是否
是强影响点，更甚或是变结构点．所以借鉴数据删
除的诊断思想，我们提出用分段建模方法来探察
异常点．是因为一方面，可以找到异常点，并识别
出该点是不是强影响点或变结构点；另一方面，分
整增广 GARCH—M 模型概括了几乎所有现有的
ARcH模型．从而使分段建模方法，成为很 自然
的选择．
2、3 分段建模的程序
根据异常点的定义．首先寻找各点中偏离模
型输出最大的数据点(即满足Iflax fY 一-f的数
据点)，以该点为基点，前后数据段分别建模，考察
各分段模型之间以及各 自与基于数据集 D的模
型的差异是否显著、
不失一般性，设最偏离基于数据集 D的拟台
模型的数据点为第 m个点，该数据点前后的数据
集分别为D 一f≈fl一1，⋯，m—1)，D 一 f蕾fi
=m+1，⋯，N)，对D D 。和D分别建模，得到
模 型 和 Ⅳo．考察模型的具体形式和模
型参数等指标，若有显著差异，说明模型的结构发
生显著改变，即第 m个点是变结构点}若没有显
著差异，则要具体分析．若能给定 拈，则问题变得
很简单，由判断准则，可以判断第 m个点是不是
异常点．若第 m个点不是异常点，则可以认为数
据集 D中不存在异常点，因为根据异常点的含
义，若连偏离数据集最远的点都不是异常点，其他
点也不可能是异常点．若第 m个点是异常点，就
要考察这个点是不是强影响点，毕竟这是一个值
得怀疑的点．若该点远离数据集的其它点，由判断
准则，问题也能迎刃而解，这必是一个强影响点；
否则对删除数据点z 的数据集D ={≈Ji—l，2，
⋯
，m—l，m+1，⋯，N)建立模型 1，考察模型
。和 ，若 。和 没有显著差异，由强影响点
的定义可以断定点 不是强影响点；如果 。和
有显著差异．同样由定义得知，点 是强影响
点、
在 实际时间序列分析之前，有几个基本问题
需要解决 ：
i． 和仉的取值问题；
ii_如何判断模型结构差异是否显著．
把这两个问题结合起来解决，设基于原数据
集 D建立的模型为 。．基于被怀疑点 被删除
后的数据集D 建立的模型为M ，从两个方面考
察这两次建模．一方面，模型损失的拟台优度有多
大，这将决定第 个点是不是异常点；另一方面，
这两个模型是否有显著差异，这将用于判断第m
个点是不是强影响点．
原假设 H。： 不是异常点．即 f 一 F( )f
< ；备择假设H ：第m个点是异常点，即 f 一
F( )f≥ ．模仿置信区间的设定，取一个充分
小的数 f(比如 f可以等于 0．1或 0．01)．设模型
。的变异系数为 ， 的变异系数为 y ，只要
fy。一y f／ ≤f，就可以接受原假设，即认为点
不是异常点i否则认为点 是异常点．
同理，如果点 是异常点，要验证点 是不
是强影响点，可应用判断准则．取原假设 H。 不
是强影响点，即P( )≤ }备择假设 H ： 是强
影响点，即P( )>仉．ARCH模型的差异可能有
两种体现；模型形式是否有变化，即删除 后，模
型是否变成另外 31种模型之一；或者模型形式未
变，但参数有显著变化．
分段建模方法应用于对被怀疑点前后数据的
建模，可以由此判断该点是不是变结构点．
探测变结构点的可疑点是变结构分析的第一
步，使用的是图示法．对数据集 D建模并绘出图
形，观察方差的描点图，看是否有较突兀的点．因
① 7是表达模型 偏离宴 际敷据 程度奇勺量度 定 义为 7=
Ⅳ
∑( 一 )
L———一
．
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16 管 理 科 学 学 报 2001年 4月
为二阶矩上的异常点很有可能就是一阶矩的强影
响点或变结构点，这个点就是变结构点的可疑点．
3 实证研究
3．1 时间序列样本数据的选取
选取上海证券交易所综合股票指数的日收盘
价格为样本数据，在此基础上实现ARCH模型变
结构研究，并进行了分析，以检验所提方法的实用
性．
样本的取值区间是从 1 999年1月2日到1999
年 11月1日，共有2l4个样本数据，即该时间序列
的样本长度为 214．给这组数据起名为CI．由于数
据量庞大，不便在文中罗列原始数据。
3．2 实证研究
按以下步骤为数据建模．
(1)读人数据及数据预处理
CI数据是价格序列，设为{ )，包含各种成
本，并非投资者关心的收益．而所谓收益是今天价
格与昨 日价格的比价．所以先通过式(10)将价格
转化为收益率
五 一 1001n(尸⋯／P ) (1O)
式中 100只是常数，起放大数据的作用．
(2)建模过程
对时 间序列 {五)依 次进行异方差检 验、
ARCH检验、分整增广GARCH—M模型的参数估
计、分整增广 GARCH—M 的近似参数检验、模型
检验和诊断分析．
首先，对这 214个数据(即数据集 Do)进行参
数估计和检验，得到下列估计结果．设此时的模型
为 。，变异系数为yo
五 一 0．187 8+ 五一t(0．596 9+
0．404 0exp(一 ／ ))+
0．21 9 9 + (11)
一 0．504 4+ 0．526 O啦 。+
0．561 8吐 (12)
y。一2．888 1 (LGARcH—M模型)
图2是基于Do的方差的散点图．从中可以找
到一个非常突兀的点，其对应的横坐标是 114．
第 2步，探察异常点；按 l墨一五l的大小排序
( 是分整增广 GARCH—M 模型在第 t个数据点
的估计值)．发现距离拟合模型最远的点是第 ll4
个点，即m— l14．这是一个最可疑的异常点．对
这个点进行进一步的分析：令D 一{而lt≠l14}，
基于D 建模 如式(13)，变异系数是 y
五 一 3．495 2+ 墨一 (O．189 8+
0．804 4exp(一 ／ ))+
0．289 8 + E， (13)
In( )一 0．742 8+ 0．072 Oln(啦 )+
0．583 1ln( ) (14)
y】一 2．91 5 7 (MGARCH—M模型)
l y 一y。l一0．027 6< 0．028 81一 l％ ，这
说明 l14点的加入并没有使模型刻画实际数据的
能力下降．也就是说这一点是一个正常点．因为
114点是最偏离模型 Mo的，它都不是异常点，其
它点更不可能是异常点．所以数据集Do中不存在
异常点．
但是显然式(11)、(12)和式(1 3)、(14)是不
同的两个模型．这就表明点 114虽然不是异常点，
却是一个强影响点，它的存在对建模有重大作用．
进一步地，考察一下点 114对模型结构的影响+应
用分段建模，设 D 一 {而l1≤ t≤ l13}，n 一
{墨l115≤t≤214}，对D_ 和n 分别建模，变异
系数分别为 和 得式(15)一 式(18)+
基于D 建模得到
而 一 0．592 0+ 而一l(0．328 7+
0．424 8exp(一 ／ )+
0+328 7 + (15)
一0．535 1+0．109 O l+0．561 8l 一 l+
0．711 4max(0，一 ) (16)
一 1．314 2 (TGARCH—M)
基于n 建模得到
一 0．324 3+ 五一t(0．365 3+
0．630 8exp(一 ／ )+
0．758 2 + (1 7)
In( )一 0．732 2+ 0．696 8In( 1)+
0．81 3 O(1 一】l+ 0．976 8 一1) (18)
7 — L 485 4 (EGARCH—M)
这 两个模型在模型形式上根本不同，说明点
ll4是一个变结构点．
第 3步，操察其它强影响点和变结构点
为了探察其它强影响点，需要先把点 114屏
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第 2期 柯 珂等：ARCH模型的诊断分布 l7
蔽掉，因为可能会由于它的存在，其它强影响点被
“掩盖”(masking)了．反复运行强影响点和变结
构点诊断计算．我们发现的第二个强影响点是点
113．事实上 ，在第二步中，点 113并不突出，正是
因为它的作用被近邻点 114对时间序列的强影响
力所掩盖．
对点 113做分段建模．得到
对于 D = {而ll≤ t≤ 112)建模
= 0．697 3+ ∞一l(O．200 7+
0．800 7exp(一 ／ ))+
0．770 4 + (1 9)
0．661 9— 1．654 6d _1+
0．997 0l‘一lf一
0．622 4max(O，一 ‘) (20)
= l_249 l (TGARCH—M)
对 一 {五fl15≤t≤ 214)建模，得
x ： 0．866 9+ ∞一l(0．560 4+
0．434 7exp(一 ／ ))+
0．347 l + (21)
一 0．477 6+ 0．534 9啦 l+ 0．266 8吐 1+
参 考 文 献
方 2oo
差 1 B。
16O
14O
12O
1O。
80
6O
4O
2O
O
0．434 O 二 《 (22)
其中s ；：
= 1．511 7(GJR—GARCH—M)
除了成片强影响点，为了找到其它强影响点
和变结构点，使用图示法．图2中的突兀点为进一
步的探测提供了方向．经识别，除了已探测出的点
I13和 l14外，没有其它强影响点．
第四步，结果分析和经济原因探究
当把变结构点 i13和 114对应的时闻点列出
时，点 l13是1 999年 6月28日，而114为 1 999年
6月29日．这两个日子是香港回归两周年前夕，更
是经历 5．19股市狂飙后，中央采取相应措施的日
子．与此形成对照的是 5．1 9附近并没有变结构
点；这一方面说明分整增广GARCH—M模型的鲁
棒性很强，把系统内的各种变化因子都考虑进去
了，如可能的投资者心理预期和股市的“信息潜
流”等的影响}另一方面，说明变结构的根源主要
来自系统外，具体到本案例，则是中央政府的干预
和宏观调控．
O 50 100 I50 200 250
田 2 基于 的方差敲点田
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Diagnose analysis in ARCH model s
KE Ke．ZHANG Shi—ying
School of Management，Tianjin University，Tianjin 300072，China
Abstract： The diagnose analysis and modeling problem with structure change in ARCH models are dis-
cussed in this paper．The paper proposses fractional integrated augmented GARCH—M model which can em—
brace almost all the current ARCH models．Based on the fractional integrated augm ented GARCH—M
model，the handicap in model specification test，long memory test and parameters estimation is oversome．
The segment—mod efing method is u自ed tO detect the structure changing points of the ARCH mod el and test
the models for segment changing mod els．Finally，with the composite index of closing price in Shanghai
stock market，it is shown to illustrate the effectiveness of the diagnOse analysis．
Key words# ARCH r／lodel；diagnose analysis；mod eling with structure change
维普资讯
