第四章 概率与概率分布
重点：了解随机事件与事件概率的定义，理解随机变量的定义，掌握随机变量均值、方差的计算方法。
难点：关于随机变量定义的理解，全概公式与贝叶斯公式的应用。
所需课时：6课时
本章主要内容
第一节 随机事件及其概率
第二节 概率的性质与运算法则
第三节 离散型随机变量及其分布
第四节 连续型随机变量及其分布
第一节 随机事件及其概率
一、随机事件的几个基本概念
二、事件的概率
一、随机事件的几个基本概念
(一)试验
1、对试验对象进行一次观察或测量的过程
掷一颗骰子，观察其出现的点数
从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果（纸牌的数字或花色）
2、试验的特点
可以在相同的条件下重复进行；
每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有
可能结果在试验之前是确切知道的；
在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果.
（二）事件
1、事件：试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
掷一颗骰子出现的点数为3
用大写字母A，B，C，…，表示
2、随机事件(random event)：每次试验可能出现也可 能不出现的事件
掷一颗骰子可能出现的点数
3、简单事件(simple event) ：不能被分解成其他事件组合的基本事件
抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面”
4、必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示
掷一颗骰子出现的点数小于7
5、不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件，用表示
掷一颗骰子出现的点数大于6
二、事件的概率
事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小，记为P(A)。基于对概率的不同解释，概率的定义有所不同，主要有古典定义、统计定义和主观定义。
（一）概率的古典定义
1、特点：有限性、等可能性
2、计算公式：
如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数n的比值，记为：
试验的次数
正面 /试验次数
0
25
50
75
100
125
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右
（二）概率的统计定义
在相同条件下随机试验n次，某事件A出现m次（m<n）,则比值 称为事件A发生的概率。随着n的增大，该频率围绕某一常数p上下波动，且波动的幅度逐渐减小，趋于稳定，则这个稳定的频率值即为该事件的概率，记为
（三）主观概率的定义
第二节 概率的性质与运算法则
一、概率的性质
二、条件概率与独立事件
三、全概公式及贝叶斯公式
一、概率的性质
（一）互斥事件及其概率
1、定义：在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥事件(没有公共样本点)
A
B
互斥事件的文氏图(Venn diagram)
【例题分析】
例1 在一所城市中随机抽取600个家庭，用 以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件
A：600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑
B：恰好有100个家庭拥有电脑
C：特定户张三家拥有电脑
说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由
(1) A与B (2) A与C (3) B与 C
解：
事件A与B是互斥事件。因为你观察到恰好有265个家庭拥有电脑，就不可能恰好有100个家庭拥有电脑。
事件A与C不是互斥事件。因为张三也许正是这265个家庭之一，因而事件A与C有可能同时发生。
(3) 事件B与C不是互斥事件。理由同(2)
例2、同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？
解：用H表示正面，T表示反面，下标1和2表示硬币1和硬币2。该项试验会有4个互斥事件之一发生
(1) 两枚硬币都正面朝上，记为H1H2
(2) 1号硬币正面朝上而2号硬币反面朝上，记为H1T2
(3) 1号硬币反面朝上而2号硬币正面朝上，记为T1H2
(4) 两枚硬币都是反面朝上，记为 T1T2
由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个简单事件中每一事件发生的相对频数(概率)将近似等于1/4。因为仅当H1T2或T1H2发生时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件H1T2或T1H2又为互斥事件，两个事件中一个事件发生或者另一个事件发生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概率等于H1T2或T1H2发生的概率，也就是两种事件中每个事件发生的概率之和。
（二）互斥事件的加法规则
1、若两个事件A与B互斥，则事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即
P(A∪B) =P(A)+P(B)
2、事件A1，A2，…，An两两互斥，则有
P(A1∪A2 ∪…∪An)
=P(A1)+P(A2) +…+P(An)
【例题分析】
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 ，根据互斥事件的加法规则，得
例3、抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
（三）概率的性质（总结）
1、非负性
对任意事件A，有 P 0
2、规范性
一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即
对于任意事件 A，有0 P 1
3、必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。 即P ( )=1； P( )=0
4、可加性
若A与B互斥，则P(A∪B) =P(A)+P(B)
推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有
P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
5、广义加法公式：对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
两个事件的并
两个事件的交
【例题分析】
解：设 A =员工离职是因为对工资不满意
B =员工离职是因为对工作不满意
依题意有：P(A)=；P(B)=；P(AB)=
P(A∪B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=+=
例4、一家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意，有30%是因为对工作不满意，有15%是因为他们对工资和工作都不满意。求两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率
二、条件概率与独立事件
（一）条件概
1、定义：在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，称为已知事件B时事件A的条件概率，记为P(A|B)
P(B)
P(AB)
P(A|B) =
事件B及其概率P (B)
事件 AB及其概率P (AB)
事件A
事件B
一旦事件B发生
【例题分析】
解：设 A =顾客购买食品， B =顾客购买其他商品
依题意有：P(A)=；P(B)=；P(AB)=
例5、一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。求：
(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率
(2)已知某顾客购买其他商品的条件下，也购买食品的概率
例6、一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示
从这200个配件中任取一个进行检查，求
(1) 取出的一个为正品的概率
(2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率
(3) 取出一个为供应商甲的正品的概率
(4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
甲乙两个供应商提供的配件
正品数
次品数
合计
供应商甲
84
6
90
供应商乙
102
8
110
合计
186
14
200
解：设 A = 取出的一个为正品
B = 取出的一个为供应商甲供应的配件
(1)
(2)
(3)
(4)
（二）乘法公式
1、用来计算两事件交的概率
2、以条件概率的定义为基础
3、设A，B为两个事件，若P(B)>0，则
P(AB)=P(B)P(A|B)
或
P(AB)=P(A)P(B|A)
【例题分析】
例7、一家报纸的发行部已知在某社区有75%的住户订阅了该报纸的日报，而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为50%。求某住户既订阅日报又订阅晚报的概率
解：设 A = 某住户订阅了日报
B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=；P(B|A)=
P(AB)=P(A)· P(B|A)=×=
例8、从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率 。
解：设 A = 第2次摸到红球
B = 第1次摸到红球
依题意有：
P(B)=3/5；P(A|B)=2/4
P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×2/4=
（三）独立性
1、若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ，则称事件A与B事件独立，或称独立事件
2、若两个事件相互独立，则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积，即
P(AB)= P(A)· P(B)
3、若事件A1,A2,,An相互独立，则
P(A1, A2, , An)= P(A1)· P(A2) · · P(An)
【例题分析】
例9、一个旅游景点的管理员根据以往的经验得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下来的两个游客都照相留念的概率
解：设 A = 第一个游客照相留念
B = 第二个游客照相留念
两个游客都照相留念是两个事件的交。在没 有其他信息的情况下，我们可以假定事件A和事件B是相互独立的，所以有
P(AB)=P(A)P(B)=×=
例10、假定我们是从两个同样装有3个红球2个白球的盒子摸球。每个盒子里摸1个。求连续两次摸中红球的概率
解：设 A = 从第一个盒子里摸到红球
B = 从第二个盒子里摸到红球
依题意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5
P(AB)=P(A)P(B|A)=3/5×3/5=
三、全概公式及贝叶斯公式
(一)全概公式
B2
B5
B4
B1
B3
完备事件组
【例题分析】
例11、假设在n张彩票中只有一张中奖奖券， 那么第二个人摸到奖券的概率是多少？
解：设 A = 第二个人摸到奖券，B = 第一个人摸到奖券，依题意有：
P(B)=1/n； P(B)=(n-1)/n
P(A|B)=0； P(A|B )=1/(n-1)
（二）贝叶斯公式
P(Bi)被称为事件Bi的先验概率
P(Bi|A)被称为事件Bi的后验概率
【例题分析】
例12、某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率是多大呢？
解：设 A = 该考生答对了 ，B = 该考生知道正确答案
依题意有：P(B)=1/2；P(B )=1-1/2 = 1/2
P( A|B ) =1/4； P(A|B)=1
第三节 离散型随机变量及其分布
一、随机变量的概念
二、离散型随机变量的概率分布
三、离散型随机变量的数学期望和方差
四、几种常用的离散型概率分布
一、随机变量的概念
（一）随机变量
1、一次试验的结果的数值性描述
2、一般用 X，Y，Z 来表示
3、例如：投掷两枚硬币出现正面的次数
4、根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量
（二）离散型随机变量
1、随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2，…
2、以确定的概率取这些不同的值
3、离散型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
抽查100个产品
一家餐馆营业一天
电脑公司一个月的销售
销售一辆汽车
取到次品的个数
顾客数
销售量
顾客性别
0,1,2, …,100
0,1,2, …
0,1, 2,…
男性为0,女性为1
(三) 连续型随机变量
1、可以取一个或多个区间中任何值
2、所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点
3、连续型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
抽查一批电子元件
新建一座住宅楼
测量一个产品的长度
使用寿命(小时)
半年后工程完成的百分比
测量误差(cm)
X 0
0 X 100
X 0
二、离散型随机变量的概率分布
(一)、离散型随机变量的概率分布
1、列出离散型随机变量X的所有可能取值
2、列出随机变量取这些值的概率
3、通常用下面的表格来表示
X = xi
x1 ，x2 ，… ，xn
P(X =xi)=pi
p1 ，p2 ，… ，pn
4、P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数，其中
pi0 ；
【例题分析】
例13、投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率分布
X = xi
1
2
3
4
5
6
P(X=xi)pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
概率分布
例14、一部电梯在一周内发生故障的次 数X及相应的概率如下表
故障次数X = xi
0
1
2
3
概率P(X=xi)pi
一部电梯一周发生故障的次数及概率分布
(1) 确定的值
(2) 求正好发生两次故障的概率
(3) 求故障次数多于一次的概率
(4) 最多发生一次故障的概率
解：(1) 由于+++ =1
所以， =
(2) P(X=2)=
(3) P(X 2)=++=
(4) P(X1)=+=
（一）离散型随机变量的数学期望
1、离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和
2、描述离散型随机变量取值的集中程度
3、记为 或E(X)
4、计算公式为
三、离散型随机变量的数学期望和方差
（二）离散型随机变量的方差
1、随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为 2 或Var(X)
2、描述离散型随机变量取值的分散程度
3、计算公式为
4、方差的平方根称为标准差，记为 或
【例题分析】
例15、一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表
次品数X = xi
0
1
2
3
概率P(X=xi)pi
每100个配件中的次品数及概率分布
求该供应商次品数的数学期望和标准差。
四、几种常用的离散型概率分布
离散型
概率分布
两点分布
二项分布
泊松分布
超几何分布
（一）两点分布
1、一个离散型随机变量X只取0和1两个可能的值
2、它们的概率分布为
或
3、也称0-1分布
【例题分析】
例16、已知一批产品的次品率为p＝，合格率为q=1-p==。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为
X = xi
0 1
P(X=xi)=pi
0
1
1
x
P(x)
二项试验(伯努利试验)
（1）二项分布与伯努利试验有关
（2）伯努利试验满足下列条件
一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”
“成功”是指我们感兴趣的某种特征
一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1-p，
且概率p对每次试验都是相同的
试验是相互独立的，并可以重复进行n次
在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X
（二）二项分布
1、重复进行 n 次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为X~B(n，p)
2、设X为 n 次重复试验中出现成功的次数，X 取x的概率为
数学期望
=E(X) = np
方差
2 =D(X) = npq
0
1
2
3
4
5
X
P(X)
n = 5 p =
0
1
2
3
4
5
X
P(X)
n = 5 p =
【例题分析】
例17、已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽取5个。求5个产品中
(1) 没有次品的概率是多少？
(2) 恰好有1个次品的概率是多少？
(3) 有3个以下次品的概率是多少？
二项分布(用Excel计算概率)
第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格
第2步：在Excel工作表中，直接单击【f(x)】(粘贴函数)命令
第3步：在复选框“函数分类”中单击【统计】选项，在“函数
名”中单击【BINOMDIST】选项，然后确定
第4步：在【Number_s】后填入试验成功次数(本例为1)
在【Trials】后填入总试验次数(本例为5)
在【Probability_s】后填入试验的成功概率(本例为) 在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值)
二项分布(用Excel生成累积二项分布概率表)
第1步：将试验次数的数值输入到工作表的A列试验成功的次数输入到B列每次试验成功的概率输入到第1行
形成二项分布的表头
第2步：在C3单元格输入公式
“=BINOMDIST($B3,$A2,C$2,1)”
然后将其向下、向右复制即可
（三）泊松分布
1、1837年法国数学家泊松(，1781—1840)首次提出
2、用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布
3、泊松分布的例子
一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数
一定时间内，到车站等候公共汽车的人数
一定路段内，路面出现大损坏的次数
一定时间段内，放射性物质放射的粒子数
一匹布上发现的疵点个数
一定页数的书刊上出现的错别字个数
4、泊松分布的概率分布函数
— 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数
e =
x —给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数
数学期望
E ( X ) =
方差
D ( X ) =
0
1
2
3
4
5
X
P(X)
0
2
4
6
8
10
X
P(X)
l = 6
l =
【例题分析】
例18、假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？
解：设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数
泊松分布(用Excel计算概率)
第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格
第2步：在Excel表格界面中，直接单击【f(x)】命令
第3步：在复选框“函数分类”中单击【统计】选项，并在“函数
名”中单击【POISSON】选项，然后单击【确定】
第4步：在【X】后填入事件出现的次数(本例为6)
在【Means】后填入泊松分布的均值(本例为7)
在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成功次
数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示计算成功
次数小于或等于指定数值的累积概率值)
泊松分布(作为二项分布的近似)
当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即
实际应用中，当 P，n>20，np5时，近似效果良好
（四）超几何分布
1、采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等
2、总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布
3、概率分布函数为
【例题分析】
例19、假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另外7支购买后将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购买，但你并不知道哪3支是获利的，哪7支是亏损的。求
(1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？
(2)3支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大？
解：设N=10，M=3，n=4
超几何分布(用Excel计算概率)
第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格
第2步：在Excel工作表中，直接单击【f(x)】(插入函数)命令
第3步：在复选框“函数分类”中单击【统计】选项，并在“函数名”中单击【HYPGEOMDIST】选项，然后单击【确定】
第4步：在【Sample_s 】后填入样本中成功的次数x(本例为3)
在【Number_sample】后填入样本容量n(本例为4)
在【Population_s】后填入总体中成功的次数M(本例
为3)
在【Number_pop】后填入总体中的个体总数N
(本例为10)
第四节 连续型随机变量及其分布
一、概率密度函数
二、正态分布
三、其它连续型概率分布
常用连续型概率分布
一 、概率密度函数
（一）连续型随机变量的概率分布
1、连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值
2、它取任何一个特定的值的概率都等于0
3、不能列出每一个值及其相应的概率
4、通常研究它取某一区间值的概率
5、用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述
（二）概率密度函数
设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件
值
(值, 频数)
频数
f(x)
a
b
x
（三）分布函数
1、连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x)来表示
2、分布函数定义为
3、根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
（四）分布函数与密度函数的图示
1、密度函数曲线下的面积等于1
2、分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
x
x0
F ( x0 )
（五）连续型随机变量的期望和方差
1、连续型随机变量的数学期望
2、方差
二、正态分布
（一）正态分布
由.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出
描述连续型随机变量的最重要的分布
许多现象都可以由正态分布来描述
可用于近似离散型随机变量的分布
例如： 二项分布
经典统计推断的基础
x
f (x)
1、概率密度函数
f(x) = 随机变量 X 的频数
= 正态随机变量X的均值
= 正态随机变量X的方差
= ; e =
x = 随机变量的取值 (- < x < )
2、正态分布函数的性质
（1）图形是关于x=对称的钟形曲线，且峰值在x= 处
（2）均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”
（3）均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越陡峭
（4）当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交
（5）正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1
和 对正态曲线的影响
x
f(x)
C
A
B
=1/2
1
2
=1
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
a
b
x
f(x)
3、标准正态分布
（3）标准正态分布的概率密度函数
（1）随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布
（2）任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布
（4）标准正态分布的分布函数
标准正态分布
X
m
s
一般正态分布
=1
Z
标准正态分布
标准正态分布表的使用
对于标准正态分布，即Z~N(0,1)，有
P (a Zb) b a
P (|Z| a) 2 a 1
对于负的 z ，可由 (-z) z得到
对于一般正态分布，即X~N( , )，有
标准化的例子P(5 X )
X
=5
=10
一般正态分布
=1
Z
标准正态分布
0
.0478
标准化的例子P( X )
5
s
= 10
X
一般正态分布
标准正态分布
0
s = 1
Z
.21
.1664
.0832
.0832
【例题分析】
例20、假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准差为10元的正态分布，那么全公司中有多少比例的职员每周的加班津贴会超过70元，又有多少比例的职员每周的加班津贴在40元到60元之间呢？
解：设=50， =10，X～N(50,102)
正态分布(用Excel计算概率)
第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格
第2步：在Excel表格界面中，直接单击【f(x)】(粘贴函数)命令
第3步：在复选框“函数分类”中单击【统计】选项，并在“函数
名”中单击【NORMDIST】选项，然后单击【确定】
第4步：在【X】后填入正态分布函数计算的区间点(本例为70)
在【Mean】后填入正态分布的均值 (本例为50)
在【P Standard_dev】后填入标准差 (本例为10)
在【Cumulative】后填入1（或TRUE）表示计算事件
出现次数小于或等于指定数值的累积概率值
正态分布(用Excel生成标准正态分布累积概率表 )
第1步：将x的值输入到工作表的A列
将取值的尾数输入到第1行
第2步：在B3单元格输入公式
“=NORMSDIST($A2+B$1)”
然后将其向下、向右复制即可
正态分布(用Excel生成标准正态分布分位数表 )
第1步：将标准正态变量累积概率的值输入到工作
表的A列，将取值的尾数输入到第1行
第2步：在B2单元格输入公式
“=NORMSINV($A2+B$1)”
然后将其向下、向右复制即可
正态分布(用Excel绘制标准正态分布图)
第1步：在工作表的第1列A3：A63输入一个等差数列，初始值为
“-3”，步长为“”，终值为“3”
第2步：在单元格B1输入正态变量的均值(如“0”)，在单元格D1
输入正态变量的标准差(如“1”)
第3步：在单元格B3输入公式“=A3*$D$1+$B$1”，并将其复制
到B4：B63区域
第4步：在单元格C3输入公式“=NORMDIST(B3,$B$1,$D$1,0)”，
并将其复制到C4：C63区域，作为与B4：B63区域正态变
量的值相对应的正态分布概率密度函数的结果
第5步：将B3：B63作为横坐标，C3：C63作为纵坐标，根据“图表
向导”绘制折线图
正态分布(用Excel绘制标准正态分布图)
数据正态性的评估方法
对数据画出频数分布的直方图或茎叶图
若数据近似服从正态分布，则图形的形状与上面给
出的正态曲线应该相似
求出样本数据的四分位差Qd和标准差s，然后计算比值Qd/s 。若数据近似服从正态分布，则有
Qd/s
根据第3章的数据得： Qd/s=
绘制正态概率图
正态概率图的绘制
正态概率图可以在概率纸上绘制，也可以在普通纸上绘制。在普通纸上绘制正态概率图的步骤
第1步：将样本观察值从小到大排列
第2步：求出样本观察值的标准正态分位数zi。标准正
态分位数满足
第3步：将zi作为纵轴，xi作为横轴，绘制图形，即为
标准正态概率图
(例题分析)
【例】一家电脑公
司连续10天的销售
额(单位：万元)分
别为176，191，
214,，220，205，
192，201，190，
183，185。绘制正
态概率图，判断该
组数据是否服从正
态分布
正态概率图的绘制 (例题分析)
电脑公司销售额的正态概率图
二项分布的正态近似
当n 很大时，二项随机变量X近似服从正态分布N{np , np(1-p)}
对于一个二项随机变量X，当n很大时，X取某一特定值的概率可用正态分布近似为
X取某一区间[a,b]的概率可用正态分布近似为
二项分布的正态近似
.0
.1
.2
.3
0
2
4
6
8
10
x
P(x)
正态曲线增加的概率
正态曲线减少的概率
二项概率：矩形的面积
正态概率：曲线下从到的面积
增加的部分与减少的部分不一定相等
二项分布的正态近似(例题分析)
【例】考虑某离散型随机变量X，若X～B(100，)，试计算这100次伯努利试验中恰好有15次成功的概率
解：设np=100=20>5，n(1-p) =100 (=80>5)
三、其它连续型概率分布
（一）均匀分布
1、若随机变量X的概率密度函数为
称X在 [a ,b]上服从均匀
分布，记为X~U[a,b]
2、数学期望和方差
x
f(x)
b
a
c
d
3、均匀分布概率计算
（1）随机变量X在某取值范围[a ,b]的任一子区间[c ,d]上取值的概率为
（2）同样有
【例题分析】
例21、某公共汽车站从早上6时起每隔15min开出一趟班车，假定某乘客在6点以后到达车站的时刻是随机的，所以有理由认为他等候乘车的时间长度X服从参数为a=0，b=15的均匀分布。试求该乘客等候乘车的时间长度少于5min的概率
解：概率密度函数为
落入区间[0，15]的任一子区间[0，d]的概率是
等候乘车的时间长度少于5min即有d =5，因此该事件发生的概率等于5/15=1/3
(二)指数分布
1、若随机变量X的概率密度函数为
称X服从参数为的指
数分布，记为X~E()
2、数学期望和方差
X
f(X)
=
=
3、指数分布概率计算
（1）随机变量X取小于或等于某一特定值x的概率为
（2）随机变量X落入任一区间(a，b)的概率为
【例题分析】
例22、假定某加油站在一辆汽车到达之后等待下一辆汽车到达所需要的时间(单位：min)服从参数为1/5的指数分布，如果现在正好有一辆汽车刚刚到站加油，试分别求以下几个事件发生的概率：
(1)一辆汽车到站前需要等待5min以上
(2)一辆汽车到站前需要等待5~10min
解：
指数分布(用Excel计算概率)
第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格
第2步：在Excel表格界面中，直接单击【f(x)】(粘贴函数)命令
第3步：在复选框“函数分类”中单击【统计】选项，并在“函数
名”中单击【EXPONDIST】选项，然后单击【确定】
第4步：在【X】后填入指数分布函数计算的区间点 (本例为5)
在【Lambda】后填入参数 (本例为)
在【Cumulative】后填入1(或TRUE)表示计算事件
出现次数小于或等于指定数值的累积概率值(填入0或FALSE
则表示计算事件出现次数大于指定数值的累积概率值)
Excel中的统计函数
BINOMDIST—计算二项分布的概率
POISSON—计算泊松分布的概率
HYPGEOMDIST—计算超几何分布的概率
NORMDIST—计算正态分布的概率
NORMINV—计算正态分布的区间点(临界值)
NORMSDIST— 计算标准正态分布的概率
NORMSINV—计算标准正态分布的区间点(分位数)
本章小结
1、事件及其概率
2、离散型概率分布
两点分布
二项分布
泊松分布
3、连续型概率分布
正态分布
均匀分布
指数分布
4、用Excel计算分布的概率
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3
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3
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As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease.
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