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第二章 随机变量及其分布
§ 随机变量
1、 概念
对于随机试验：
E
甲,乙两人同时向某目标射击一次
中靶情况
E:
，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。
定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。
2、 分类
1、 离散型随机变量
2、 非离散型随机变量
§ 离散型随机变量
一(离散型随机变量的分布
设离散型随机变量可能取的值为:
取这些值的概率为
P(X=
i)= pi ,i=1,2,... (
)
称()式为离散型随机变量X的
分布律。()式也可以用表格的形式表示如下:
X
…
…
P
…
…
上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：
离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。
根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质
（1）pi
0,i=1,2,...
（2）
常见的几种分布
1、 单点分布
例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）
2、0-1分布
例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为
X
0
1
P
q
p
0<p< 1,q=1-p，或记为P()=pkq1-k ,k=0,1
则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。
3、 几何分布
例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0<p<1),不中的概率为q=1-p.今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为
X
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
q2p
…
qk-1p
…
或记为
()=, k=1,2, ...
则称X服从参数为p的几何分布。
4、超几何分布
例: 设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为
,m=0,1…,k,k=min(M,n)
则称X服从超几何分布。
(2） 二项分布
在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为
P( X= k )=,k=0,1,2,(,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为 。
例2:P39.
例3:P40.
在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？
泊松分布
1． 定义 若离散型随机变量X的分布为，k=0,1,2,( 其中常数(>0，则称X服从参数为(的泊松分布,记为。
2． 泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布X～B(), n=1, 2, ...,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有
证略。
例5:P43.
例6:P44,自学。
§ 随机变量的分布函数
一、概念
定义 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数
,令
()
则称F（
）为X的分布函数。
例1:（书上例） 设X服从参数为p的（0-1）分布，即：,= 0,1,其中0<p<1,q=1-p.求X的分布函数F(
).
例: 设. X的分布函数为
求X的概率分布。
二、性质
性质1 若
1<
2,则F(
1)(F(
2).即F(
)是
的单调不减函数。
性质2 对任意的实数
，均有
0( F(
)(1 ()
且
()
()
性质3 对任意的实数
0,有
()
即F(
)在
轴上处处右连续。
证明见P-44.
性质4 若F(
)在X=
0处连续，则P(X=
0)=0
性质5 P(a<X(b)=F(b)-F(a)
例: 设的分布为
确定A ,且求P(-1<
(2)
§ 连续型随机变量
1、 定义
设随机变量X的分布函数为F(
),如果存在一个非负可积函数f(
),使对任意的实数
，均有
F(
)= ()
则称X是连续型随机变量，称f(
)是X的概率密度或密度函数，简称密度。
二、图形
例如：正态分布
密度函数图形：
data normal;
do i=-3 to 3 by ;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*());
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
分布函数图形：
data normal;
do x=-3 to 5 by ;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
三、性质
性质1 f(
)0 ()
性质2 ()
性质3 P(a<Xb)=F(b)-F(a)
= ()
性质4 在f(
)的连续点
处，有
= ()
性质5 在f(
)的连续点
处，当>0,且很小时，有
P(
<X)=
+
几点说明：
1． 由5可以看出f(
)值的大（小）反映在
邻域概率的大（小）。
2． 连续型随机变量X取任一点
0的概率为零。即：P(X=
0)=0。
3． 连续型随机变量X的密度函数为f(
),则它取值于区间（a,b）、（a,b]、[a,b）、[a,b]上的概率都相等，即
同理，
。
4．连续型的F(
)是连续函数。但f(
)不一定是连续的。
例1：（P51）设计具有概率密度
确定常数K,并求P{X>}
指数分布：
例：(第一版)设.
(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(
); (3)P
。
例：(第一版) 已知随机变量
（1） 确定A和B；（2）求
；(3)求
二、均匀分布
例：设.
，称X在[
,b]上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P((<X(+s)(a<(<(+s<b)。(3)写出X的分布函数F(
)。
定义：若随机变量X的概率密度为
则称X在[]上服从均匀分布，记为X～U[a,b],相应的分布函数为
一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为
则称X在D上服从均匀分布。
如果，则对于满足的任意的,有 = ()
三、指数分布
若随机变量X的概率密度为
（）
其中常数，则称X服从参数为(的指数分布，相应的分布函数为
()
例：（第一版书上例） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的(th内损坏的概率为，其中(是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略
四、正态分布
1、定义： 若随机变量X的概率密度为
, ()
其中都为常数且，则称X服从参数为的正态分布，记为
，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为
（）
2、 验证
3、 作出
的图形
，得驻点
，
得
，
EMBED
EMBED
EMBED
EMBED
作图SAS程序：
data normal;
do i=-3 to 3 by ;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*());
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。
data normal;
retain _seed_ 0;
do _i_ = 1 to 1000;
z = 0 + 1 * rannor(_seed_);
output;
end;
drop _seed_ ;
run;
proc gplot data=normal;
plot z*_i_=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
4、 性质：
（1） f(x)的图形是关于直线x=(对称的曲线
（2）
为最大值，当x远离(时，f(x)(0
（3） 当(固定而(变化时对图形的影响，(
EMBED 小
大，分布曲线在
形成陡峭的高峰。
(
大
小，分布曲线在
变成缓峰。
(=2, (=, 1, 2
data normal;
do i=-2 to 6 by ;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*());
z1=exp(-(i-2)**2/(2*))/(*sqrt(2*()));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*()));
output;
end;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
(=2, (=, 1, 2, 5, 10图形：
data normal;
do i=-5 to 9 by ;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*());
z1=exp(-(i-2)**2/(2*))/(*sqrt(2*()));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*()));
z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*()));
z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*()));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
（4） 当(固定而当(变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。
如图：(=1, (=0, 2
data normal;
do i=-3 to 5 by ;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*());
z1=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*());
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
分布函数图：
data normal;
do x=-5 to 10 by ;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
3、标准正态分布与有关概率的计算
若,则称X服从标准正态分布，其概率密度、分布函数分别记为
(x)= ()
Φ(x)= ()
注意：Φ(0)=
Φ(-x)=1-Φ(x)
一般，若
，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。
引理(P55):若
，则
证：
作变换
,…….
学会查附表2：标准正态分布表。注意表中公式的正确形式为：
注：如果用SAS算出附表2，需要时间不到1秒钟。
data normal;
do z=0 to 4 by ;
Prob=PROBNORM(z);
output;
end;
proc print noobs;
run;
这样还可以算出其它任意条件的概率。如利用
即
()
对任意的实数
1,
2 (
1<
2)，利用()式可得
Φ() ()
1-Φ() ()
Φ()-Φ() ()
比如：, (= (=2时：
全部概率值：
data normal;
do z=0 to 4 by ;
Prob=PROBNORM(()/2);
output;
end;
proc print noobs;
run;
P(X>0)=
data ;
Prob=1- PROBNORM(()/2); Put prob=;
Run;
Prob=
P(-1<X<2)=
data ;
Prob= PROBNORM(()/2)- PROBNORM(()/2); Put prob=;
Run;
Prob=
例1： X服从N(1,4),求P(x() , P(0<x() , P(|x|>4)
解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。
data ;
prob=probnorm((-1)/2); put prob=;
prob=probnorm((-1)/2)- probnorm((0-1)/2); put prob=;
prob=1-probnorm((4-1)/2)+probnorm((-4-1)/2); put prob=;
run;
P(x()=
P(0<x()=
P(|x|>4)=
例3 P56 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于，问d至少为多少
解：
(1)
data ;
prob=probnorm((89-90)/); put prob=;
run;
P(X<89)=
(2)要求(P{X>80}
即 P{X<80}(
P{(X-d)/<(80-d)/}(
(80-d)/(
data;
Z=probit(.010); put Z=;
run;
Z=
定义：设X~N(0, 1)，若
满足条件
,
则称点
为标准正态分布的上
分位点。
书上57页图
例：
下分位数：
data;
Z1=probit(.001); put Z1=;
Z2=probit(.0025); put Z2=;
Z3=probit(.005); put Z3=;
Z4=probit(.010); put Z4=;
run;
Z1= (
)
Z2= (
)
Z3= (
)
Z4= (
)
上分位数：
data;
Z1=probit(); put Z1=;
Z2=probit(); put Z2=;
Z3=probit(); put Z3=;
Z4=probit(); put Z4=;
run;
Z1=
Z2=
Z3=
Z4=
本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：
若
满足条件
,
则称点
为随机变量的
分位数。
单边的, 双边的，
注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。
SAS的两种计算公式：
data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;
p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;
p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;
run;
p1=
p2=
p3=
data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;
p1=
p2=
p3=
也可以验证数据，即以
为中心，需要几倍的标准差
距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。
Data;
q1=abs(probit(()/2));put q1=;
q2=abs(probit(()/2));put q2=;
q3=abs(probit(()/2));put q3=;
run;
q1=
q2=2
q3=
data;
q1=probit(1-()/2);put q1=;
q2=probit(1-()/2);put q2=;
q3=probit(1-()/2);put q3=;
run;
q1=
q2=2
q3=
注意：
为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差
距离。
Data;
q1=abs(probit(()/2));put q1=;
q2=abs(probit(()/2));put q2=;
q3=abs(probit(()/2));put q3=;
q3=abs(probit(()/2));put q3=;
run;
q1=
q2=
q3=
q3=
比如，
=
等的结论也是常用的。几乎都成常识了。
以下例1---4为第一版内容。
例1： X服从N(1,4),求P(x() , P(1<x() , P(|x|>4)
例2： 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于，问d至少为多少
例：（书上例） 某市高校高等数学统考，假定考生成绩X～。现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率（即60分以上者占总人数的百分比）。
例3：（书上例） 一桥长60cm,以桥的中心为原点，沿着桥的方向引入坐标轴如书上图2-10。一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥，假定弹着点的坐标X～N
.(1)求投掷一枚炸弹，命中此桥的概率p；(2)问独立重复投掷多少枚炸弹，才能使至少有一弹命中此桥的概率大于。
例4：(书上例) 甲,乙,丙三个工厂生产同一种产品且产量相等。它们的产品每件某种物质的含量（单位：mg）分别为，且, , .（1）今从三个厂的产品中任取一件，求这件产品某种物质的含量大于55mg的概率。（2）今从三个厂的产品中独立地任取两件，求这两件产品某种物质地含量都不大于55mg的概率。
§ 随机变量函数的分布
1、 若X是离散型随机变量
X
…
…
…
…
P
…
…
例1 P58，已知X分布列为
X -1 0 1 2
P
求Y=(X-1)2的分布列
解：Y的所有可能取的值为0，1，4.
例1 (第一版) 已知X分布列为
X -2 –1 0 1 2
P 1/6 1/4 1/6 1/4 1/6
求Y=(1/2)X2的分布列
解：Y的所有可能取的值为：0，1/2, 2
练习。。
二、X是连续型随机变量
1． 当是单调函数
例2，P58页：
例3，P59
定理 若连续型随机变量X只在上取值，它的概率密度为，又是严格单调的可导函数，则是连续型随机变量，其概率密度为
其中是的反函数，
是的值域。
例1 (第一版)， 第二版，P60例4， 设~N(
), 求
的概率密度（
是常数）
法一、用公式
~
是单调函数，
可直接用公式。
的反函数为
，
~
,
可知
~
。
法二、直接法，见书P-57~58（第一版）。答案同上。
小结：正态分布的线性函数仍是正态。
例5，P61。。。
例2 （第一版） 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：
在区间[0，1]上服从均匀分布。
法一、公式法；法二、直接法。
2、 当是非单调函数 （第一版）
例1：X服从N(0,1)，求Y=X2的概率密度。
例2：已知连续型随机变量X的概率密度为
求的概率密度。
本章习题：
1，3，4，5，18，19，23，25，26，27，29，30.
� EMBED ���
� EMBED ���
� EMBED ���
.
1
x
)
,
(
