第七章
应力和应变分析
强度理论
第七章 应力状态分析
应力状态的概念
用解析法分析二向应力状态
用图解法分析二向应力状态
三向应力状态
广义胡克定律
三向应力状态下的应变能密度
强度理论概述
四种常见的强度理论
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸 铁
1、问题的提出
7-1 应力状态的概念
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
低碳钢
铸 铁
一、应力状态的概念及其描述
（一）、应力状态的概念
轴向拉压
同一横截面上各点应力相等：
F
F
同一点在斜截面上时：
此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
应 力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
指明
F
F
示例一
S平面
1
1
1
1
F
F
S平面
1
n
同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.
F
l
a
S
1
3
S平面
z
Mz
T
4
3
2
1
y
x
y
x
z
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 表示，并且
该单元体称为主应力单元。
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零
平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
x
y
a
1.正负号规则
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。
α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。
α
n
t
x
7-2 二向应力状态分析--解析法
x
y
a
2.斜截面上的应力
dA
α
n
t
列平衡方程
dA
α
n
t
利用三角函数公式
并注意到 化简得
确定正应力极值
设α＝α0 时，上式值为零，即
3. 正应力极值和方向
即α＝α0 时，切应力为零
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
确定切应力极值
设α＝α1 时，上式值为零，即
4. 切应力极值和方向
则切应力极值，
试求：（1） 斜面上的应力；
（2）主应力、主平面；
（3）绘出主应力单元体。
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知
解：
（1） 斜面上的应力
（2）主应力、主平面
主平面的方位：
代入 表达式可知
主应力 方向：
主应力 方向：
（3）主应力单元体：
7-3 二向应力状态分析-图解法
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
R
C
1. 应力圆：
2.应力圆的画法
D
(sx ,txy)
c
R
A
D
x
y
D'
点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力
3、几种对应关系
D
(sx ,txy)
D'
(sy ,tyx)
c
x
y
H
n
H
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的
(1)指定斜截面上的正应力和剪应力;
(2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
单位：MPa
解：一、使用解析法求解
二、使用图解法求解
作应力圆，从应力圆上可量出：
1.定义
三个主应力都不为零的应力状态
7-4 三向应力状态
由三向应力圆可以看出：
结论：
代表单元体任意斜
截面上应力的点，
必定在三个应力圆
圆周上或圆内。
2
1
3
0
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。
解：
低碳钢
铸铁
例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
解：
1. 基本变形时的胡克定律
y
x
1）轴向拉压胡克定律
横向变形
2）纯剪切胡克定律
7-5 广义胡克定律
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
3、广义胡克定律的一般形式
7-6 复杂应力状态的变形比能
（2）各向同性材料在空间应力状态下的体积应变
（1）概念:构件每单位体积
的体积变化, 称为体积
应变用表示。
1
2
3
a1
a2
a3
(2) 在三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
1、 应变能密度的定义 ：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度
2、 应变能密度的计算公式 :
(1) 单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为
将广义胡克定律代入上式, 经整理得
用 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为体积改变能密度。
用 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为
形状改变能密度或畸变能密度
应变能密度等于两部分之和
(a)
(b)
由于两单元体的体积应变相等，所以 υv也相等。
(b)
图 b所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。
(a)
(b)
所以，a所示单元体的体积改变能密度υv 为
(a)
a单元体的应变能密度为
a所示单元体的体积改变应变能密度υv为
空间应力状态下单元体的 形状改变能密度 为
对于最一般的空间应力状态下的单元体, 其应变能密度为
（拉压）
（弯曲）
（正应力强度条件）
（弯曲）
（扭转）
（切应力强度条件）
1. 杆件基本变形下的强度条件
7-7、强度理论概述
满足
是否强度就没有问题了？
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出
的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
7-8、四种常见强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式
(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
关于屈服的强度理论：
最大切应力理论和形状改变比能理论
(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
关于断裂的强度理论：
最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值
－构件危险点的最大拉应力
－极限拉应力，由单拉实验测得
断裂条件
强度条件
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
铸铁拉伸
铸铁扭转
2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。
－构件危险点的最大伸长线应变
－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论
更接近实际情况。
强度条件
断裂条件
即
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。
－构件危险点的最大切应力
－极限切应力，由单向拉伸实验测得
屈服条件
强度条件
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到
较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
塑性变形或断裂的事实。
局限性：
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，
1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的畸变能密度达到一个极限值。
4. 畸变能密度理论（第四强度理论）
－构件危险点的形状改变比能
－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
屈服条件
强度条件
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
强度理论的统一表达式：
相当应力
各种强度理论的适用范围及其应用
1、在三向拉伸应力状态下，会脆断破坏，无论是
脆性或塑性材料，均宜采用最大拉应力理论。
2、对于塑性材料如低碳钢，除三向拉应力状态以外的复杂应力状态下，都会发生屈服现象，可采用第三、第四强度理论。
3、对于脆性材料，在二向拉应力状态下，应采用最大拉应力理论。
4、在三向压应力状态下，材料均发生屈服失效，
无论是脆性或塑性材料均采用第四强度理论。
例题 7–3 两端简支的工字钢梁承受载荷如图 (a) 所示。 已知其材料 Q235 钢的 = 170MPa , =100MPa 。试按强度条件选择工字钢的号码。
200KN
200KN
C
D
A
B
（a）
单位：m
200KN
200KN
C
D
A
B
解：作钢梁的内力图。
(c)
8４
M图
(b)
Q图
200kN
200kN
Q c = Qmax = 200kN
Mc = Mmax =
C , D 为危险截面
按正应力强度条件选择截面
取 C 截面计算
正应力强度条件为
选用28a工字钢，其截面的
W=508cm3
按剪应力强度条件进行校核
对于 28a 工字钢的截面，查表得
122
280
最大切应力为
选用 28a 钢能满足切应力的强度要求。
求在纯剪切应力状态下：
用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比
用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比
解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为
第三强度理论的强度条件为：
由此得：
剪切强度条件为：
按第三强度理论可求得：
第四强度理论的强度条件为：
由此得：
剪切强度条件为：
按第三强度理论可求得：
在纯剪切应力状态下：
用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比
用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比
