关于债券凸性对冲的构造及检验
覃圣尧
（深圳大学 !" 级金融学研究生# 广东# 深圳）
【摘要】# 债券是人们重要的投资工具之一，在进行投资分析过程中，投资者会运用债券的久期、凸度等指标来衡量债券的利率
风险。在投资过程中，投资者可以运用这些指标来构造债券的组合，实现凸性对冲。本文根据凸性对冲的原理，提出了构造债券
组合一种方法，并利用最近债券市场的交易数据进行检验，发现确实存在凸性对冲的机会。
【关键词】# 债券# 凸性对冲# 修正久期# 凸度
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# # 凸性对冲是偶然发现的一种投资策略，其原理是尝试建立一
个投资组合 A，使其与另外一个组合 % 有相同的收益率和修正久
期，但组合 A有较高的凸性，组合 A在收益率出现任何变化时，都
会比组合 %有更好的表现。投资者就可以通过做长组合 A（即买
进组合 A）而做短组合 %（即卖出组合 %），其结果是无论收益率如
何变动，都会有一个固定的无风险利润。凸性对冲的投资策略在
国外债券市场时有运用，特别是一些大型的对冲基金就热衷于寻
找在市场中寻找凸性的机会。债券是发行者为筹集资金，向债权
人发行的，在约定时间支付一定比例的利息，并在到期时偿还本金
的一种有价证券。利用债券的一些特性，可以实现凸性对冲进行
套利。在介绍债券凸性对冲的构造之前，首先介绍以下一些相关
的概念。
# # 债券定价：本文讨论的是典型的债券，固定利率、每年计算并支
付利息、到期归还本金。按照这种模式，计算债券价格的公式如下：
!
# # 其中：D为债券价格；B为各期的利息；C 为债券到期的本金；1
为贴现率，一般采用当时的市场利率或者投资者要求的必要报酬
率；-为每个时点上支付利息到现在的时间长度；’为债券到期前的
期限。
# # 通过债券的定价公式，在知道了债券的价格、票面率、本金以
及期限的情况下，就可计算出债券的到期收益率 ;，它反映了投资
者购买债券直到期末这段时间内的平均收益率。当收益率发生变
动时，债券的价格也发生变化，而且债券价格的变化与收益率的变
化成反比。当收益率上升时，债券的价格会下跌，反之亦然。
# # 接着可以计算债券的迈考雷久期（C242952; (912-)&’）和修正
久期（/&(),)+( (912-)&’）。久期的概念是弗雷德里克 & 迈考雷在
EFGH 年于其论文《EHIJ 年以来美国德利率、债券收益率和股价运
动中德某些理论问题》中提出来的，指的是以每笔现金流量的现值
占全部现金流量的现值的比重为权数对每笔现金流量的到期时间
进行加权平均而求得的加权平均值，可以用来评估债券的平均还
款期。
# # 最初迈考雷久期是一个时间的概念，在后来的实践中，人们发
现只要对迈考雷久期进行数学上的变形，就可以用来近似地衡量债
券价格的对收益率的敏感程度，也即后来提出的修正久期。修正久
期可以通过对债券的定价公式进行一阶求导并进行适当的变形得
出，其具体过程可参考相关文献，下面仅给出修正久期的公式：
定义修正久期 K "
# # 其中：DLBM 为 -时刻现金流的现值；78为债券现金流现值的
总和，也即利用债券定价模型计算出来的债券价格。
# # 下面介绍债券凸度（ 4&’3+:)-;）的概念。债券凸度与凸性对冲
有很密切的联系，正因为债券的价格收益率曲线的形状是凸向原
点的，才可能实现凸性对冲。凸度衡量的是由于收益率变动引起
债券价格变化的快慢程度，其数学公式如下：
定义凸度 K #
# # 一# 凸性对冲债券组合的构造
# # 在构造凸性对冲债券组合之前，首先给出以下假设条件：!债
券是普通债券，即不含选择权，不考虑可赎回债券或可转债。"收
益率曲线是平行移动的，即当收益率发生变动时，短期、中期和长
期收益率是按同一幅度上升或下降。（该假设很重要，如果该假设
不成立，那么凸性对冲就不是无风险套利）。#投资者可以持有某
·F!E·
种资产组合的空头。从本文来看，就是投资者可以在手中没有债
券的情况下，可以从券商借来某种债券或者多种债券的组合在市
场上出售，在未来的某段时期再从市场上买回相应债券还给券商。
!不存在交易成本。"不考虑违约风险。如果仅仅考虑国债的凸
性对冲，那么可以认为不存在违约风险。
! ! 现构建如下的投资策略：建立一个投资组合 "，使其与另外一
个组合 #具有相同的修正久期和收益率，且 "的凸度比 # 的凸度
大。投资者可以持有 "的多头（即买进组合 "）同时持有 #的空头
（即卖出组合 #），两者价值相等，这样的结果是无论收益率如何变
动，投资者都会得到一个固定的无风险利润（凸性对冲）。
! ! 为了要实现凸性对冲，首先要构造符合凸性对冲条件的两个
资产组合。由于一个组合可以包含一种或者多种证券，就存在多
种构造的可能。下面给出构造组合的一种方法：假设市场有三种
债券 $、%、&，这三种债券的价格分别为 ’ 、’ 、’ ，到期收益率分别为
( 、( 、( ，修正久期分别为 ) 、) 、) 。令 "为 $、%的组合，#仅包括
有债券 &。
! ! 接着要确定 "中 $、%各自的权重。考虑到组合 "和组合 #的
价格相同，修正久期也相同，可以考虑通过解以下方程组确定组合
"中两种债券的权重。
! !（*）+ ’ , - ’ . ’
! !（/）+ ) , - ) . )
! ! 其中 +、-为组合 "中 $、%的权重。
! ! 解方程组得出 +、-后，如果组合 "的收益率与组合 #的收益
率相等，就可以做多一定价值量的组合 "，并做空相等价值的组合
#，就可以实现凸性对冲了，无论收益率如何变动，投资者都可以获
得无风险利润。
! ! 下面还要计算组合的收益率，比较精确的方法是以收益率的
每一基本点变动引起组合中某只债券总价值的变动占组合价值变
动的比重为权数，对组合中债券的收益率进行加权平均来求出。
用公式可以表示为：
! ! ! 0 . !
! !（ 1 . *，/⋯-），其中 2 为组合中第 1个债券的数量，( 为第 1个
债券的收益率，为收益率每变动一基点引起第 1 个债券价格波动
的绝对值，其值 . ) 3 4 *5555，所以组合 "的收益率为（+ ) ’ ( ,
- ) ’ ( ）4（+ ) ’ , - ) ’ ）。
! ! 二! 实证检验
! ! 根据以上债券凸性对冲的原理，我们可以运用中国债券市场
的交易数据，如某个时点上各债券的交易资料来对凸性对冲进行
实证检验。为了计算的简便，我们可以利用计算机进行运算。如
果市场上有 6 种债券，按照以上债券组合的构建方法，就有 37- . 6
8 7 8 / . /6 种投资选择可能存在凸性对冲的机会。同样，如果市
场上有 - 种债券，那么就有 37-种投资选择可能存在凸性对冲的机
会。然后对这些投资选择逐一进行判断，来发现凸性对冲的机会。
当我们发现了套利机会的时候，就可以计算该投资选择种两个组
合各自的凸性，然后持有凸性较大投资组合的多头，同时持有凸性
较小投资组合的空头，那么就可以实现凸性对冲了。
! ! 下面是从 /559年 7 月 /7 日的交易数据中找出满足以上套利
条件的其中三个债券（可用 :1&0;<;=> ?@&?A 实现，其过程在本文不
详细展开），债券代码分别为 5*5**B、5*5/57、5*5/*5，相关数据见
表 *。
表 *! 各债券有关数据
代码 到期收益率（C） 修正久期 凸性 全价（元）
$ 5*5**B /D 9EE /D BF9 GD *EF *5*D BBE
% 5*5/57 7D 5// BD 65/ 7/D EBG EED G*9
& 5*5/*5 /D FG6 7D *9E *5D E6B EED FE*
! !（数据来源：H1-I资讯）
! ! 其中，以 $、%作为组合 "中的两个债券，& 作为组合 # 中的一
个债券，列出以下方程：
! !（*）*5*D BBE+ , EED G*9- . EED FE*
! !（/）/D BF9+ , BD 65/- . 7D *9E
! ! 解得 + .5D G9E59F、- . 5D /*F6G7，其含义为在组合 " 中要含
有 5D G9E59F 单位的债券 $、5D /*F6G7 单位的债券 %。组合 # 中则
含有 * 单位的债券 &。用第二部分中第二种衡量组合收益率的方
法来计算组合 "的收益率为 /D F*GE*/C，减去组合 # 的收益率得
/D F*GE*/C J/D FG6C . J 5D 5B95EC，两个组合的收益率之差在 9
个基本点以内，可以认为两个组合的收益率大致相等，即市场中是
存在凸性对冲的套利机会。组合 "的凸性可对组合中两个债券的
凸性进行加权平均求出，权数为两个债券在组合中所占的比例，其
值为 */D G7BE9。由表中数据可知，组合 # 的凸性为 *5D E6B。组合
"的凸性大于组合 #的凸性，根据凸性对冲的原则，投资者应该持
有组合 "的多头，而持有组合 #的空头。
! ! 从日后的交易数据来看，执行该套利策略并不一定能获得无
风险利润，其结果是有赢有亏。原因很可能是现实中的市场并不
满足所提出的假设，特别是收益率曲线平行移动这一假设。
! ! 另外，从国际上的一些对冲基金案例来看，执行该套利策略也
不一定能获得无风险利润，有的对冲基金还发生了巨额亏损，所以
投资者在运用该策略的过程中要特别注意。
参考文献
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