工程上常用的曲面立体一般为回转体。
回转体由回转面或回转 面与平面围成。
一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回
转运动所形成的曲面称为回转面。
形成回转面的动线称为母线，定直线称为回转轴，
母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的
运动轨迹都是圆，称为纬圆。
第六章 曲面 体
§6-1 曲面体的投影的投影
i
i
由平面与曲面或全部由曲面围成的几何体称
为曲面体，如圆柱、圆锥、圆球等。
母线 素线
回转轴
回转轴
母线
素线
圆 柱 面 圆 锥 面 圆 球 面
回转轴
母线
素线
一 圆 柱
1 圆柱的投影
A
A1
a(a1)
a`
a1`
a``
a1``
最左素线
最左素线的正面投影
a`
a1`
a``
a1``
a (a1)
空间分析
1. 圆柱各表面的投影特性
2. 圆柱的投影
3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线
一 圆柱
1 圆柱的投影
2 圆柱表面上的点、 线
在圆柱表面取点常利用积聚性法求,
即在该面具有积聚性的投影上作出点的投
影,然后再作点的第三投影.再判定可见性
在圆柱表面取线是在圆柱表面上取
点的基础上进行的，若为直线 则求其两
端点的投影然后将其同面投影相连即 可。
若为曲线则要作出曲线上若干个点的 投
影,再将同面投影光滑连线
可见性判定:面可见则点、线可见，面不可见则点、线不可见 。
例6-1 如下图所示,已知圆柱表面上点A
和点B的正面投影a`和b`和点C的侧面投影c’’,
试求出a和a``、b和b``及c 和c’。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
主要分析是否有
积聚性表面,图示圆
柱面为侧垂面,其侧
面投影积聚为圆周。
(2) 判定点的
空间位置
A点在上半圆柱
面的前方,B点在圆柱
的最前素线上。C点
在右端面上。
(3) 作图
利用积聚性直接求
出a``、b’’和c’’、再由
a`和a`` ; b’和b``;c’和
c’’ 求得a,b,c。
YW
Y
H
a
a`
b`
b``
b
a``
( C`` )
C`
C
例6-2 如图所示,已知圆柱表面上的线
ABC的正面投影,试求其余两面投影。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
圆柱面的水平投影有积聚性
(2) 分析线的位置及投影
线ABC位于前半个
圆柱面上,空间为一段
曲线,点A在圆柱面的
最左素线上,点B在最
前素线上
(3) 作图
·1· 利用积聚性直接求
出ABC的水平投影,再求
其侧面投影;
·2· 求曲线上一般点的投影 ;
·3· 判别可见性,光滑连线。
(c``
)
a`
b`
c`
a
b
c
a``
b``
1`
2`
1
1``
2
(2``
)
1 圆锥的投影
二. 圆 锥
最左素线
s`
A
a`
S
s
a
M
m
s`
a`
s
a
s``
a``
投影分析：
(1) 圆锥各表面的投影特性
(2) 圆锥的投影
(3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线
2 圆锥表面上的点和线
1 圆锥的投影
二. 圆 锥
例6-3 如图所示，已知圆锥面上一点K的正
面投影k`，求点K的水平投影k和侧面投影k``。
s`
k`
s
s``
形体分析
由于圆锥面的三
面投影均无积聚性，
且K点也不在特殊位
置素线上，故必须通
过作辅助线的方法求
解。
S
K
(1) 素线法
作图
锥顶S与锥面上
任一点的连线都是
直线,如图中SK , 交
底圆于M点。
(2) 纬圆法
由于母线上任一
点绕轴线旋转轨迹都
是垂直于轴线的圆,
图示圆锥轴线为铅垂
线,故过K点的纬圆为
水平圆,其水平投影
是圆。
(k``
)
M
s`
k`
s
s``
m`
m
m``
YW
Y
H
k
注意:所作的素线一
定要过锥顶
S
A
BC
例6-3 已知圆锥面上的折线SABC
的正面投影s`a`b`c`,求其它两面投影。
s`
a`
b` c`
s
a
(a``)
c
b
c`` b``
d`
d
d``
e`
e
e``
解题分析
作 图
(1) 辅助线法求出直线另一
端点A的水平及侧面投影
(2) 确定圆弧BC的半径,求
出它的水平及侧面投影
(3) 描点求曲线AB的投影
(特殊点D、一般点E)
(4) 判别可见性,依次光滑连线
线段SA过锥顶,空间为
直线;线段AB为曲线;线段
BC平行底为一水平圆。如
立体图所示。
1 圆球的投影
三. 圆 球
如图所示,圆球的三面投影都是
与球的直径相等的圆.这三圆分别
为球面上平行于正面、水平面、和
侧面的最大圆周的投影,
作图时先
确定球心的三
面投影,再画出
三个与球的直
径相等的圆.
2 圆球表面上的点和线
1 圆球的投影
三. 圆 球
如图所示,已知球面上点A的正面投
影a`,求它的水平及侧面投影a`和a``.
R1
a`
a``
a
圆球的三面投影均无
积聚性,故球面上的取点通
常采用纬圆法 , A点在球
的左、前、上方。
(1) 过点A作一水平辅助
圆 , 正面投影作过a`的水
平线段 ,水平投影以线段
的长R1为半径画圆 ;
(2) 求出水平投影a
和侧面投影a``。
解题分析
作 图
例6-4 求作立体的第三投影,并完成其
表面上的点和线的其余投影.
a`
b`
c`d`
a
d
c``
a``
b
d``
c
e`
(b``)
(e``)
e
1 基本体及其投
影特性
2 点的位置及投
影特性
3 折线BCD空间
形状及投影特性
解题分析
4. 取若干一般点
(如点E)，求解方
法同点B。
1. 点A是主子午线上的点,可直接求得其
余两投影。
2. 线段CD是一
段水平圆弧,其水
平投影反映实形,
侧面投影为一段
直线。
3. 线段BC是一
段正垂圆弧,其水
平投影和侧面投影
均为一段椭圆弧。
点C投影已求出,再
求点B的投影。
5. 判别可见性，光滑连线。
作 图
§6-2 平面与曲面立体相交
二、 平面与 圆柱相交
三、平面与 圆锥相交
四、平面与 圆球相交
一 、 概述
五、综合题
一 、 概述
平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。
截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。
曲面体截交线的性质：
1、封闭的平面图形（曲、 直线围成）。
2、截交线为立体表面和截平面的共有线。
3、截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。
求曲面体的截交线的方法：
找出立体表面和平面上的若干共有点，然后依
次连线。
1 平面与圆柱相交所得截交线形状
2 圆柱截交线的求法
3 圆柱截交线例题
二、 平面与 圆柱相交
1、平面与 圆柱相交所得截交线形状
矩形 椭圆圆
圆柱截交线求共有点的方法
1、利用积聚性法
2、素线法
上一级
带切口的圆柱
Ⅱ
Ⅰ
如图所示 , 圆柱左侧的切槽是由
一个侧平面和一个水平面切割而成。
平面Ⅰ为侧平面,它
与圆柱面的交线为两条
铅垂线AA1,BB1。
平面Ⅱ为一水平面,
它与圆柱面的交线为圆弧。
B
B1
A
A1
作图关键是求出AA1
和BB1的侧面投影
B
B1
A
A1
a (a1)
A
A1
a
a' a"
d‘c'
3‘4
' 3"4"
d"
c"
2‘1' 1"2"
b' b"
b
2
1
4
3
d
c
3
4
2
1
c
d
a
b
例6-5 圆柱截交线 1
例6-6 圆柱截交线3
分析：
1. 截平面数量
及相对投面影面的位置
2.截交线的空间形状及投影形状
正垂面
侧平面
水平面
正垂面
2
5
6
8
7
9
4
3
侧平面
水平面
1
（6`）5'
3`
1`
（2`）
（4`）
7` （8`）
9`
例6-6 圆柱截交线3 作图:
1.求特殊点
2.求一般点
正垂面
2
5
6
8
7
9
4
3
侧平面
水平面
1
1``
（6`）5'
3`
1`
（2`）
（4`）
9``
7` （8`）
9`
1
2
3
4
5
6
7
8
例6-6 圆柱截交线3
2``
y
y
Y。
Y。
9
5``6``
(8``) (7``)
作图:
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
2
5
6
8
7
9
4
3
1
1、平面与 圆锥相交所得截交线形状
2、 圆锥截交线的求法
3、 圆锥截交线例题
三、平面与 圆锥相交
1 平面与 圆锥相交所得截交线形状
圆 椭圆一对相交直线
双曲线 抛物线
圆锥上的截交线
求共有点的方法
素线法
纬圆法
例6-7圆锥截交线 分析：
2. 截平面与圆锥
体及投影面相
对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图:
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例6-8 圆锥截交线
RV
分析：
2. 截平面与圆锥
体及投影面相
对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图:
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例6-9 圆锥截交线 分析：
2. 截平面数量
及相对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图:
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
1、平面与 圆球相交所得截交线形状
2、 圆球截交线的求法
3、 圆球截交线例题
四、平面与 圆球相交
圆球被任何位置
平面切割时, 其交线均
为圆。截平面离球心
愈近,交线圆的直径愈
大。
当 截平面与某投
影面平行时, 则交线
在该投影面上的投影
反映圆的实形。
1、平面与 圆球相交所
得截交线形状
2 、圆球上的截交线
求共有点的方法
纬圆法
例6-10 求球被水平面截切后的投影。
例6-11 完成带切口的半球的投影。
分析
例6-12圆球截交线1
分析：
2. 截平面的相
对位置
3.截交线的形状
1.分析形体特征
作图:
1.求特殊点
2.求一般点
3 判断可见性
4.检查
例6-13 已知半球被
截切后的水平投影,
求作其余两投影.
题给
分析
作图
1.
2.
3.
§ 6-3直线与曲面体相交
直线与曲面体相交一
般有两个交点,这样
的点也称贯穿点 ,它
是直线与曲面体表面
的共有点.
求共有点的方法:
1.积聚性法
2.辅助平面法
例6-14求直线与
圆柱的贯穿点.
题给
分析
作图
1
1’
2’
2
判别可见性
例6-15 求水平线
AB与圆锥 的贯穿点
题给
分析
作图
PV
判别可见性
例6-16 求AB直线与正圆
锥的贯穿点
题给
分析
作图
判别可见性
1’
4’
2
2’
4
m2
1
3
3’
m’2m’1
m1 e
e’
d
d’
§6-4 平面立体与曲面立体相交
相贯线为平面曲线
相贯线为平面曲线
结合点为
贯 穿点
平面立体与曲面立体相交.
其相贯线为由若干段的平面
曲线组合而成的封闭曲线
每段平面曲线可看成是
平面体上的棱面与曲面
体的截交线
每两段平面曲线的交点
可看成是平面体的棱线
与曲面体的贯穿点,称为
相贯线的结合点.
因此,求平面立体与曲面
立体的相贯线可归结为
求截交线和贯穿点的问
题.
../Local%2520Settings/Temp/%E8%AF%BE%E4%BB%
例6-17 求四棱锥
与圆柱的相贯线
题给
分析
作图
例6-18求三棱柱与半圆球的相贯线.
题给
分析
作图
返回
2、相贯线的三种基本形式
3、两曲面立体相贯线的求法
4、相贯线上共有点的求法
1、两曲面立体相贯线的性质
6、例题
7、相贯线的特殊情况
§6-5 两曲面立体相贯
5、求相贯线的作图步骤
相贯线
相贯线
相贯线
1、相贯线的性质
（1） 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。
（2）、相贯线是两立体表面的共有线，也是两立
体表面的分界线,相贯线上的点是两立体表面的共
有点。
(2)、辅助平面法
(1)、利用曲面的积聚投影法
返回
当相交两立体之一表面的投影具有积聚性
时，（如圆柱的轴线垂直某一投影面，此圆柱
体的相贯线，在该投影面有积聚性，可利用积
聚性或面上取点法作图。
3、求解相贯线的关键
求出两曲面体表面的共有点，然后依次连线。
4、相贯线上共有点的基本求法
5、作图步骤
（1）形体分析（两立体之间及立体
与投影面之间的相对位置）
（2）相贯线空间分析、投影
分析
（3）求特殊位置点
（4）求一般位置点
（5）依次连接各点
（6）判断可见性
（7）整理轮廓线
返回
（1）、利用曲面的积聚投影法求相贯线
例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线
分析：
平直立圆柱
的水平投影
有积聚 性，
水圆柱的侧
面投影有积
聚性，
相贯线
的两面投影
分别落在这
两个有积聚
性的圆上，
故只需求正
面投影。
作图：
1，求特殊点。
2，求一般点。
3，判别可见性。
3`
1` 2` 1``
3``
1
3
外表面和外表面相交
1
3
例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线
最
左
最
高
点
最
前
最
低
点
最
左
最
高
点
投
影
最
右
最
高
点
投
影最前最低点投影
最后最低点投影
2
4
4``
相贯线
(1)求特殊点。
由于两圆柱轴线相
交，且同时平行于正
面，故两圆柱的外形
线位于同一正平面内，
因此，它们的正面投
影的交点分别就是相
贯线上的最左点，最
右点，同时是最高点
的投影。
3`
1` 1`
2` 2`
1``
2`` 3``
1
2 3
y
y
2
y
辅助素线
相贯线
外表面和外表面相交
1
32
例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线
（2）求一般点。
在相贯线水平
投影上任取一点
。
（3）判别可见性，
按顺序光滑连接。判别相贯线可见性的原则：
只有当相贯线同时位于两立
体的可见表面时，其相贯线
才是可见的。由于该两圆柱
所形成相贯形
两圆柱相交的三种形式
外表面和内表面相交
外表面和内表面相交
内表面和内表面相交
两圆柱相交的三种形式
挖孔后
切割后
返回
外表面和内表面相交
内表面和内表面相交
综合举例
错误的做法
错误的做法
利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助
平面与参加相贯的两曲面立体相交，各得一截
交线，而这两截交线的交点，就是所求相贯线
上的点。
（2）、辅助平面法
A
B
辅助平面
辅助平面
A
B
A
B
甲立体
表面
辅助
平面
乙立体
表面
截交线
截交线
两截交线的
交点即为
甲面
R面
乙面
共点
为了作图简便和准确，
在选取辅助平面时，应
尽量使辅助平面与两曲
面立体的截交线的投影
都是直线或圆。
常用的辅助平面
为投影面的平行面或
垂直面,要使辅助平面
与两立体表面交线的
投影为直线或圆。
交
线
是
平
行
两
直
线
交
线
是
圆
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅳ
辅助平面法原理
辅助平面
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要
使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
（2）、辅助平面法举例
返回
局部放大图
例6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线
1
2 3 4
5
6
89
10
7
1` 1``
2``2`
3`
4`
6``
7``
8``
9``
10``
5``
3``
4``
5`
6`
7`
8`9`
10`
返回
例6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线
例 6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线
返回局部放大图
例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线
a b
c
d
1 2
4
3
f
e
分析：
圆柱与半球相交其相贯线
为空间曲线，圆柱的轴线
垂直水平面，其相贯线的
水平投影与圆柱的投影重
合为圆。故只求作相贯线
的正面投影，侧面投影。
由于两圆柱的水平积聚
投影左右，前后不对称。
故相贯线的正面投影，侧
面投影为完整的封闭的相
贯线的投影。
作图：
1.求特殊点 垂直圆柱的
水平投影中标注特殊点。
先确定转向轮廓线上的点。
点A,B为最左最右点。
点C,D为最前后点，1，2点
为半球前后的轮廓线上点。
3，4点为半球左右的轮廓
线上点。E,F最高最低点。
点5，6为一般点。
2.求一般点
利用辅助正平面R，与
圆柱面的截交线正面投影
为两条平行的直线，与圆
球面的截交线正面投影为
圆，该两截交线的交点就
是相贯线上的点。
3.判别可见性，并将各点
的同面投影依次光滑地连
接起来，即得相贯线。
4.补全外形线，完成作
图
5 6
RH
例6-21求圆柱与半圆球的相贯线
a`
b`
a``
b``
c``
d``
1 2
3
f
e
ba
QH c
4
UH d
d`
c`
B
A
D
C
作图：
1.求特殊点 ：
先作圆柱上的外形轮
廓线上的点A,B,C,D。
利用辅助正平面R，
与圆柱面的截交线正
面投影为两条平行的
直线，与圆球面的截
交线正面投影为圆，
该两截交线的交点就
是相贯线上的点。
例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线
a`
a b
c
d
b`
d`
a``
b``
c``
d``
1 2
4
3
f
1`
2`3`
4`
e`
1``
2``
4``
3``
f``
e``
1
2
4
3
Y
YY
Y
KH e
MV c`
f`
E
F
作图：
1.求特殊点
再作圆球
上的外形轮
廓线上的点1
，2，3，4。
最高点E
最低点F。
例 6-21 求圆柱与半圆球的相贯线
a`
a b
c
d
b`
d`
c` a``
b``
c``
d``
1 2
4
3
f
e
1`
2`3`
4`
f`
e`
1``
2``
4``
3``
f``
e``
KH 5 6
5`
6`
2.求一般点
利用辅助正平
面R，与圆柱面的
截交线正面投影
为两条平行的直
线，与圆球面的
截交线正面投影
为圆，该两截交
线的交点5,6 就是
相贯线上的点。
K
H
6``
5``
例 6-21 求圆柱与半圆球的相贯线
a`
a b
c
d
b`
d`
c` a``
b``
c``
d``
1 2
4
3
f
e
2`3`
4`
f`
e`
1``
2``
4``
3``
f``
e``
KH 5 6
5`
6`
K
H
6``
5``
3.判别可见
性，并将各
点的同面投
影依次光滑
地连接起来，
即得相贯线。
4.补全外形
线，完成
作图
a`
1`
1`
f`5`
6 . 相贯线的特殊情况
两回转立体相交，相贯线一般为空间曲线，
但在特殊情况也可能是平面曲线或直线。
相贯线为直线
相贯线为平面
曲线(圆)
相贯线的特殊情况一
返回
同轴的回转体相交
, 相贯线为圆
相贯线的特殊情况二
返回相贯线的特殊情况二
公切于一球 的两回转体 相交,相贯线为椭圆
相贯线的特殊情况三
轴线互相平行的两圆柱相交,相贯
线为两条平行于轴线 的直线
曲面立体与曲面立体相贯
返回
曲面立体与曲面立体相贯
返回
