第六讲 离散型随机变量及其分布列
课标要求 考情分析
1.了解离散型随机变量
的概念，理解离散型随
机变量分布列.
2.了解两点分布和超几
何分布，并能解决简单
的实际问题
以理解离散型随机变量及其分布
列的概念为主，经常以频率分布
直方图为载体，结合频率与概率，
考查离散型随机变量、离散型随
机变量分布列的求法.在高考中多
以解答题的形式进行考查，难度
多为中档
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，
都有唯一的实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量.可
能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随
机变量.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量 X 的可能取值为 x1 ，
x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概
率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
X 0 1
P 1－p p
3.离散型随机变量的分布列
(1)两点分布列
这样的分布列叫做两点分布列或 0－1 分布列.
如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从
两点分布，而称 p＝P(X＝1)为成功概率.
(2)超几何分布列
一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品.
从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n
如果随机变量 X 的分布列具有上述的形式，则称随机
变量 X 服从超几何分布.
【名师点睛】利用分布列中各概率之和为 1 可求参数
的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
题组一 走出误区
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可
以小于 1.( )
(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确
的意义，也可能不具有实际意义.( )
X 2 5
P
(3)如果随机变量 X 的分布列由下表给出，
则它服从两点分布.( )
(4)一个盒中装有 4 个黑球、3 个白球，从中任取一球，
若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全
部取出来，设取到黑球的次数为 X ，则 X 服从超几何分
布.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
题组二 走进教材
2.(教材改编题)设随机变量 X 的分布列如下：
答案：C
3.(教材改编题)有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，
每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数 X 的
所有可能取值是__________.
答案：0,1,2,3
X －1 0 1
P a b c
考点一 离散型随机变量分布列的性质
1.随机变量 X 的分布列如下：
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________，
公差 d 的取值范围是________.
X 0 1 2 3 4
P m
3.设离散型随机变量 X 的分布列为
(1)求随机变量 Y＝2X＋1 的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2 的分布列.
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
Y 1 3 5 7 9
P
解：(1)由分布列的性质知，＋＋＋＋m＝1，
得 m＝.
首先列表为
从而 Y＝2X＋1 的分布列为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
η 0 1 2 3
P
(2)列表为
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝＋＝，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝.
故η＝|X－1|的分布列为
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
ξ 0 1 4 9 16
P
(3)列表为
从而ξ＝X2的分布列为
【题后反思】分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及
检查分布列的正确性.
(2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥
的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
考点二 求离散型随机变量的分布列
[例 1]某商场销售某种品牌的空调器，每购进一
定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利 500 元.
若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费 100 元；若
供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅
获利润 200 元.
(1)若该商场某进 20 台空调器，求当润
(单位：元)关于当量 n(单位：台，n∈N)的函数解析
式 f(n)；
量 n 18 19 20 21 22
频数 1 2 3 3 1
(2)该商场记录了去年夏天(共 10 周)的空调器
量 n(单位：台，n∈N)，整理得下表.
以记录的每量的频率作为每量的概率，
若商场某进 20 台空调器，X 表示当润(单位：
元)，求 X 的分布列.
解：(1)当 n≥20 且 n∈N 时，f(n)＝500×20＋200×
(n－20)＝200n＋6 000，
当 n≤19 且 n∈N 时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝
600n－2 000，
X 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400
P
(2)由(1)得 f(18)＝8 800，f(19)＝9 400，f(20)＝10 000，
f(21)＝10 200，f(22)＝10 400，
所以当润 X 的所有可能取值分别为 8 800 ，
9 400，10 000,10 200,10 400，
P(X＝8 800)＝，P(X＝9 400)＝，P(X＝
10 000)＝，P(X＝10 200)＝，P(X＝10 400)＝.所
以 X的分布列为
【题后反思】离散型随机变量分布列的求解步骤
【变式训练】
为创建国家级某省市某省市号召出租车司机在高
考期间至少进行一次“爱心送考”某省市某出租车公司
共 200 名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图
9-6-1 所示.
图 9-6-1
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均
次数；
(2)从这 200 名司机中任选两人，设这两人进行送考次
数之差的绝对值为随机变量 X，求 X 的分布列.
解：(1)由统计图得 200 名司机中送考 1 次的有 20 人，
送考 2 次的有 100 人，送考 3 次的有 80 人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考 1
次，另一人送考 2 次”为事件 A，“这两人中一人送考 2
次，另一人送考 3 次”为事件 B，“这两人中一人送考 1
次，另一人送考 3 次”为事件 C，“这两人送考次数相同”
为事件 D，
由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2，
考点三 超几何分布
[例 2]现要调查某县城居民对某项政策的知晓率，专家
在进行评估时，从该县城的 10 个乡镇中随机抽取居民进行
调查，知晓率为 90%及以上记为合格，否则记为不合格.
已知该县城的 10 个乡镇中，有 7 个乡镇的居民的知晓率可
达 90%，其余的均在 90%以下.
(1)现从这 10 个乡镇中随机抽取 3 个进行调查，求抽
到的乡镇中恰有 2 个乡镇不合格的概率；
(2)若记从该县城随机抽取的 3 个乡镇中不合格的乡镇
的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
【题后反思】超几何分布的实际应用问题，主要是指
与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量
的分布列、期望及方差的求解等有关的问题.解题的关键如
下：
①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散
型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与
二项分布.
②定参：确定超几何分布中的三个参数 N，M，n.即确
定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的
元素个数.
③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率
列出分布列.
④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代
入相应数值求值.
【变式训练】
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心
理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者
随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种
心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果
来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者 A1 ，A2 ，
A3，A4，A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随
机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含
B1 的概率；
(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X
的分布列.
X －1 0 1
P a b c
⊙离散型随机变量分布列性质的交汇应用
[例 3]设随机变量 X 的分布列如下：
答案：A
【反思感悟】利用离散型随机变量分布列性质与等差
中项交汇去求解，注意本题 a≥0，c≥0.
【高分训练】
1.已知如表为离散型随机变量 X 的概率分布列，则概
率 P(X≥D(X))＝( )
答案：A
X －2 －1 0 1 2 3
P
2.若随机变量 X 的分布列为
则当 P(X<a)＝ 时，实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2]
C.(1,2]
B.[1,2]
D.(1,2)
解析：由随机变量 X 的分布列知，P(X< －1)＝，
P(X<0)＝，P(X<1)＝，P(X<2)＝，则当 P(X<a)＝
时，实数 a 的取值范围是(1,2].故选 C.
答案：C
