第33卷第10期
系统工程理论与实践
, 2013年10月
S—ystems Engineering Theor y& Pra ctice
Oct., 2013
文章编号---:10006788201310264509 中()图分类号TP:183 文献标志码A
:基于启发式遗传算法的指数追踪组合构建策略
倪禾
浙江工商大学金融学院杭州310018(,)
摘要消极组合管理方法巳由国内外众多基金的表现证明是一种有效的资产组合投资方式.指数
基金作为采取消极管理策略的典型代表,其业绩超越多数采取积极管理模式的基金.指数基金管理
者的主要目标是使其基金的收益尽可能接近其标的股指如,我国的沪深300,美国的标普500的收
益.本文提出了一 种基于启发式遗传算法的寻优方案,通过最大化效用函数来寻找一个最为经济的
指数复制组合?该组合同时应该满足拥有最少的资产数量、尽可能少的权重调整次数、最小的收益
波动性等限制条件以减少基金开销,并使其收益尽量接近或者超越标的指数的收益.为使该策略具
有更强的实用性文,章考虑了股票具有最小交易规模、投资权重分布不平均等实际限制.实验所得
策略通过构造追踪组合来匹配沪深300指数,其综合效果超过了使用二次规划、等权或者是先验经
验构筑的投资组合.
关键词指数追踪;投资组合启;发式遗传算法沪深300
;Heuristicetic gealorithm for optimizinn index trkinnggaac g
portfolio
NIHe
School ofFinanc e Zheian,jg Gongshang Universitnya, Hangzhou 310018, Chi)
(Abstract Passive portfolio managemet hnas been proved as an eficient ethmod to get the a?
verage market return and can outperform most of funds hich are manawged actively. Index fund is one of typical
passively managed funds. Its major obective is to mimic the performance of a benchmark stock index, .
jS&P500 in US and CIS300 Chinina. In order to redcue the cost of transactio blny imiting the number
of rebalad ecessarsedancaing nunny pning on less influental stockthsi, i pper aims at proposinga h euristic
genetic algorithm that could helpto bild ua tracking portfolio with the helpof tailored utilityfun a ction.
The portfolio cotnains fewer stocks tha tnhe tracked indehlxie h, was adequate accuracyand lower costs.
The technique is applied on buildinga stock portfolio which tracked the performance of CIS300i, wth
a positive comprehensive otuput which outperforms tracking portfolio built by quadratic programming,
equallywei ghted or experienceded m guiodels.
Kedywords ine txracking itanvesmentrch CIS300
; portfolio heuristic se;;i引言
指数化投资因为其收益稳定、成本低廉、税收优惠等特点越来越多的获得投资者的关注.该投资手段是
一种典型的消极管理(passive management)方案,其投资目标是以追踪或者复制某一市场指数通过,分散投
资以及被动化权重调整来取得市场平均收益率.与之相对的是旨在追逐超额收益率的积极管ac?
tive man理(agement) 方案’虽然不少采取该策略的投资基金通过积极努力,博取了高额的收益但是普遍存在收益稳健
,性差的问题.因而大量的投资基金采取了消极管理模式,其中典型的代表交易型开放式指数基金exchan(ge
traded fundETF, ),截至2010年9月据美国国家投资公司协会1报道仅美国就有916只ETF管理超过8820
收稿日期:2011-09-14
资助项目:国家自然科学基金青年基金(71101126);教育部留学回国人员科研启动基金教外S508I留2011()号;浙江省高校
()人文社会科学重点研究基地基金教育部博士点基金
;作者简介:惋禾-1978()男’浙江杭州人,博士,副教E-mail: nihe?授,研究向:金融方工程资,投组合管理,.
1.协会英nves文名I tment CompanyIns titute网址 htt,p:
/
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亿美金资产.在2004年获国务院认可、证监会核准中国首只ETF开始推出至2010,年底我国有25只ETF
获准运作.在我国作为指数基金主要跟踪对象的是沪深300指数,因此本文将以追踪沪深300为例来构建投
资组合.单从指数基金投资的股票数量上看表1,显示目前的追踪手段主要还是采取比较原始的全部复制方
案full replication),截至2010年底,我国21只以沪深300指数作为业绩比较基准的基金中仅有4只使用
(部分复制方案.
表1以沪深300撤&作为业绩比较基准的指数基金持股数截至2010年底()
基金名称
持股数
基金名称
持股数
基金名称
持数
股银河沪深300价值
99
易方达沪深300
296
鹏华沪深300
300
申万菱信沪深300价值
99
建信沪深300
300
广发沪深300
296
国投瑞银沪深300金融
52
工银纖沪深300
301
嘉实沪深300
307
大成沪深300
299
银华沪深300
299
国富沪深300(强
305
)博时裕富沪深300
299
长盛沪深300
294
富国沪深300强(
101
)国泰沪深300
333
南方沪深300
299
中欧沪深300强310
(
)华夏沪深300
319
国投瑞银300
298
长城久泰沪_ 深300295
(强)
&本表格娜来自WIND数据库基金2010年报.其中强代表增强型指数基金,其它为被动性指数基金.
()全部复制方案是一种完全被动的管理方案,直接以股指的编制权重作为成份股的投资权重,其好处是组
合构建以及维护过程简单而,缺点在于:1.需要投资大量的股票特别是当被跟踪指数具有大量成份股的时
,候2.由于成份;股会定期一?次或者由成份两于某些股的退市,新成份造成股的加入不定期的编制
()权重变化进,而影响到所有投资权重的经常性变化.仅在2010年后半年标普500就有8次调整W投资权
重的不断变化会导致交易成本的上升尤其对那些流动性比,较欠缺的小权重成份股3.;指数基金属于开放式
基金在遇到,投资者需要赎回时,调整将涉及大量的4.当票股票;股指数波动较大时跟踪误差将显著波动.
,因此不少的指数基金采取部分复制策略partial replication该(),策略仅投资标的指数的部分成份股,投
资者通过对权重的主动安排来达到对标的股指的追踪效果同,时克服全部复制技术带来的维护成本高、追踪
误差波动率大等问题?本文旨在提出一^利用遗传算法构建的指数追踪组合模型,该模型采取部分复制策略,
兼顾减少跟踪误差、误差波动、组合管理营运成本等多个因素.文章将使用公开可得的票股以及基金数据对
所提出的模型进行检验和分析,以便其他研究者进行比对实验.本文第二节将通过现有文献回顾总结对指数
追踪技术进行介绍,并提出本研究主要针对的问.题第三节针对构建指数追踪组合的需对要沪深300成份股
进行分析和处理.第四节介绍并用遗运传算法模型基于市场数据训练并优化追踪组合.第五节对本文提出的
算法模型的优缺点以及未,来研究方向进行讨论和总结.
2指数纖
A.目标选择
国内外大量的文献对于指数追踪的大多数研究基于寻找合理的数学方法来构建一个追踪模型,并最小化
该模2型的跟踪.[1
误差误差通常通过以下的均方差的形式表现T
2
—imn=e min^i?(t R^)w“1⑴
: R=Tt 〉Wiit
: =l
i其中R表l示在t时间标的指数收R益率,t表示在t时间跟踪组合的收益率Wi,是经过优化的资产i占
追踪组合的权重r,表示样本数据个数或者样本时间窗口jv,表示可供选择的资产总数.上式的限制条件是
E=1在不可卖空ili邶的,条件下> o.
Wi 学者们也对通过跟踪误差波动性的分解来讨论导致误差形成的主要因素,从以而分而治之的思想来减少
误差的变化率?误差波动性通常表现成误差的标准差或者方差.()假设可以构造一个追踪组合对标的指数的
收益率进行复制,该组合的收益率可以表示成一^线性回归式的结果,即单因素nl模型si(ge index model)形
式.
R= O--t t \ pili + ￡
2()
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m:基于启发式遗传算法的指霞踪组合构賴略
2647
其中a即超额收益率,0是联动系数,e是追踪误差追踪,而误差的标准差可以表示成
T
^
1 S=tde .3() ()
=tl
\ 误差只在方差存在的时候有意.如义果差方极小,误差就可以认为是常数从而,可以通过对无风险资产
的借贷构建的杠杆头寸来消除误差3'!.Fletcher提出使用全局方差最小m varaince(global mniimu)和最小化
rackin跟踪误差t(gerror variance )两种方法分别检验在采用不同协方差矩阵时构建追逐组合的效果.结果
表明两种方法在减小误差波动性方面都有较好的表现Jorion⑷把跟踪误差波动性-trackin(gerror volatility)
作为限制条件构造投资组合作者发现仅通过满足该限,制条件就可以利用传统均值方差分析法来有效地提高
整个组合的盈利表现.
此外超额收益率是在最小化跟踪误差之后投资者关注的指标,也就是将误差分成有利u(pside差)误和
不利downside)误差.投资者不介意追踪组合的收益率超过标的指数,恶而只厌低于标的指数的情况.这种
(在目标方程中只反映单边误差的方法也被称为增强型指数追踪enhanced index tracking. Frino阆系)统详
(细地比较了指数追逐模型和增强型指数追踪模型在管理策略上的不同点以及相应表现上的不同.研究指出
增强型指数追踪模型比指数模型更加灵活和“积极”在,权重挑选上并不按照指数权重并且对投资权重的调
,整较指数权重调整更加积极主动[l使用了一种类遗传算法的免疫优化模型对5种主要股票价格指数进
行追踪.其研究结果显示免疫优化模型不仅可以使追踪组合有较小的追踪误差,同时还可以取得一定的超额
收益率?
B.优化算法
使用的传统数学方法’主要是规划模型.二次规划模型是在财务上常用的模型’如使用了 Markoiwtz
的均值方差模型,求解在特定投资组合对标的指数的超额收益率下最小化追踪误差方差的问题.Jansen^建
一立个同时考虑投资权重调整和股票数目选择的目标方程,并使用连续函数去近似目标函数当中的离散部
分.在股票数目选择一定后,作者使用二次规划,通过最小化投资组合追踪指数收益率的均方误差来构建投
资组合?倪苏间云等讨论并总结了4 种线性规划方法在建立跟踪组合的优势.
i此夕卜启发式heur试探stic method法()是目前常用的方9l.法如B[easley等运用数目启发式方法,通过
使用遗传算法中的选择、组合、变异来寻找合适的追踪10组合hat!方法.Spcott采用遗传算法和二次规划’通
过随机搜索的方法来寻找一个股票子集从而达到追踪目标收益的目的"!.Falng等将目标函数映成模糊射隶
属度函数,使用模糊逻辑来寻找最优组合方案.启发式方法基于规划算法提出需要优化的目标方程’以及需
要考虑的限制条件然后使用逐步逼近的方法来找寻最优解决方案.其找寻路径(或者逼近路径不)是遵循
,规划算法当中的有序逼近,而是根据目标自身特点来量体定制的,或者使用遗传算法中的穷举法,从而彻底
摆脱搜寻路径的制约?从方法上来说,启发式方法比规划法具有更好的自适应性特别对,于信噪比小、非线
性大、平稳性差的股票价格信号.再者,由于复制技术往往要求只使用部分股票,在计算那些权重变为零的股
票对追踪误差影响的时候,就可能使得目标函数不可微,这就会引发局部最小的发生,从而影响训练效果.这
个问对题于规划法来说是比较难以规避的,而启发式算法具有一定的优越性2 ■
C.模型构建
在组合构建方面的两种主流方法一,是直接法二,是使用分层抽样的间接法.直接法就是通过某种算法
直接把票合权重计算出来,股组而将股票个数的选择问题,作为一个控制因素或者目标函数的一部分融入到
计算当中去.股票的选择结果就通过股票对应权重是否为零来体现.间接法即通分过层抽样的方法首先将股
票抽取出来然后仅以抽取出来的股票作为样本来确,定股票2!组合的权1I重.两种方法并不存在本质区别,间
接法即把直接法当中的一个控制函数作了单另处.理两者的主而要问题在于:直接法会出现由于模型较为复
杂,导致误差变大间接法会因为人为两步区;分造成信息缺失,投资人在选择投资方案时不会把选股和选择
投资量分开考虑.
3基于启发式遗传算法的指数追踪
本文将沪深300指数作为业绩参考基准,虚拟一个投资组合.该组合的构建遵循部分复制原则’使用一
部分沪深300成份股来创一建个追踪组合.该组合需要首先保证其收益率可以超出或尽可能接近沪深300指
2.当然这个问题主要取决于目标函数的选择,本文暂不考虑.
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系统工程理论与实践
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数收益尽投;可能减少组合的资权重调整次数和规模,以此来减小交易成本和冲击成本;尽可能控制组合中
的股票数量,特别注意对流动性不好的股票采取尽可能减持,从而控制流动性风险.此外在算法上通过启发
,式算法减少算法本身的限制从理论上,提高模型最高精度可能性通过;引入合理的效用方程来整合各种限制
条件从提,而高计算效率,这对于信噪比较小的金融时间信号来说是一个重要瓶颈.
A.沪深300指数
沪深300指数是中国目前唯一指数期货的标的.截至2010年底,以该指数作为业绩比较标准的指数基
金总量超过1330亿人民币,是所有中国股票指数当中最多的.因此本文采用沪深300成份股作为样本池,选
择其中的部分票股来追踪沪深300指数收益率.研究选取从2005年4月到2011年4月的全部指数以及成
份股日收盘价格作为实验数据此数据从多处公,共数据源可得,便于其他感兴趣学者进行比较研究.剔除一
些由于新上市,或者兼并重组、下市等造成数据不全的个股,研究对象为225个股票.从选择股票的角度出
发,为了达到最好的追踪效果,备选股票应该具有和指数较高的相关性,即绝对值较大的相关系数.由于股票
价格的高度不确定性,某一个股的对市场指数的相关性不会保持不变.因此我们将225只个股的相关系数按
照时间取均值和方差,其中均值大而方差小的个股是理想的备择股票.
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Variance of Correlation Coefficieno Markert tt eturn
图1所有实验用个股基于其与沪深300收益率相关系数的均值及方差的分布图
图1显示作为成份股的大多数个股具有和沪深300指数较强及较稳定的相关性(分布于图片的左上方),
同时可以观测到该分布并不存在多余一个的聚类中心.这个对于选股可以提供参考:分布于图片的左上方的
个股相比分布在图片右下方的个股更加应该被选择,或者某个股票的选择概率应该与其分布位置有关.为了
便于量化选择概率,本文将采用arMkowitz均值方差分析当中使用的效用函数.即高效用函数值对应于高选
择概率.关于效用函数形式的讨论和确定在后文详述.此外图1并没有显示出时间对于相关性的影响,对于
投资组合来说即便是消极投资也需要有一个投资周期,而适当调小投资时间,也可以提高相关性的稳定程度.
常用来表征个股和市场相关程度的0是一个时变量,但是从Sharp投资学中的因素模型的定义看3,(往往被
近似成为常量.因此有必要选择一个合理的时间窗口在该时间,段中假设是常数,同时投资组合的权重保
持不变?由于没有很好的先验结果用以借鉴,本文采取首先对(3通过回归的方法进行估测,回归阶数的选择
通过实验决定?由于采用日数据,因此回归阶数从3开始逐渐增加.该阶数对31值的估计非常敏感.在回归
阶数很小的时候,0变化很大,阶数逐渐增大以后,(3变化变缓.此现象验证了票价格数据具有很低信噪比
股的事实.然后可以根3据(值变化阶段以及,投资者经验来确定投资周期.
图2展示了从实验用股票中随机选择的部分股票的值随时间变化情况无,数据的时间以空白表示.可
以看到值的变化是有一定具趋势性、阶段性的,但没有明确的周期.性选择时间窗口的原则:是首先尽可
能长,保持投资比例的稳定就意味着交易次数的减少,即交易费用的节省.其次不能过长到在窗口期0值发
生很大的波动,否则就不能近似地认为期内股票没有发生重大变化,从而将(3认作常数.
B.效用函数
.
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说禾:基于启发式遗传算法的指数追踪组合构建策略
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() () () () 1
K
w.
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
((() () ) ) m
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
() () () () %
1
\l
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
06 07 08 09 10
图2随机选取部分成份股从2005至2011年Beta值变化情况
效用函数utilit(yfunction 用以衡量投资者从投资既定的投资组合中所获得满足的程度.效用函数具有
)各种不同的形式,其本质是反映了投资者的某种偏好,或者某种特别的评价指标.本文采用效用函数的目的
在于效用函数可以使用某种组合来集成多个指标,即同时满足多目标任务.这些目标包括最小化追踪误差,
以及控制交易成本、减小冲击成本、规避流动性风险等.不同目标的重要性通过在效用函数中不同的系数权
重来反映,
U ?= Aa;l \2+? ? i+2x +4 Xxn() () n() ()
其中表示某个指标归一化后的数值入,i表示该指标对应的系数U,表示效用值.效用函数的形式取决于
使用者的偏好,作为指数基金的投资者,其共同偏好即使投资组合的收益率尽可能接或者超出近,标的指数
的收益率交,同时满足减少易成本、控制交易风险等条件.效用函数中的所有系数由于没有先验知识,将全
部通过实验的方法取得.此外指,标之间的关系假设为线性.效用值用来作为遗传算法判断进化的数值依据.
C.权重分布
因为不同的成份股于股对指的影响是不一致的.通常来说市值大、流动性好、行业发展前景好的股票应
该占有较大的权重.而那些相对小型企业的,流动性差的股票应该是权重较小.对于权重的安排上,首先是权
重的分布,尤其是有多少权重应该是零,权重非零的比例即为投资的广度.部分复制技术就要求使用较小的
非零比例.其次需要考虑的就是权重不应该是任意值.由于股票买卖要求是100的整数倍因此权重股,需要
有所限制.但是由于票价格的股不定性对于权重的最小可变范围就不一定.因此在实际操作中只,能通过限
,制投资权重变化占总权重的最小比例来控制.最后所有投资的权重和必须为1,这个对于实验中使用的遗传
算法是一个挑战.因为算法当中的杂交及变异都可能影响权重和,而简单的归一化又可能违背权重变化最小
比例的限制.
关于权重的分布,在没有先验知识的情况下,类似其它数据处理的方式,高斯分布将是未知分布的最优估
计.ution基于金融数据的特殊性,除了通常使用的高斯分布以外本,文还考察了帕累托分布Pareto distrib()
和平均分布这两类情况.帕累托分布被广泛应用于描绘财富分布上面,并被证明一是种有效的分布体系1311.
即通常所说的小部分人拥有大部分财产的8020/定律.对于投资组合来说,可能的现象就是80%的投资集
中在20%的成份股.上平均分布一是种最直观简单的分布方式,但是却引起了很多实务研究者的注意.人们
发现这种最简单的投资方式,有时能获得意想不到的结果.有人声称如果在过去10年平均投资标普500成
份股其,收益率大于标普500指数收益.虽然此项声称出处并不可考,但是最近出现的如中证栺数公司编制
的中证策略指数中的“等权”90上证,策略指数中的“180等权”等指数说明平均分布有其意义.相应的权重
的初始化将使用帕累托分布和平均分布两种情况.另外针对权重值不能取任意值的限制条件,初始化时需要
预设一个最小投资比例,而对任意股票的投资量必须是该投资比例的整数倍.因此初始化的方法是先将投资
2650
系统工程理论与实践
第33卷
等分为K份,然后确定初始投资股票数n,其中n同时满足小于所有可投资成份股以及n<K,最后将K
份投资平均,或者按帕累托分布分散到n个股票上去.
如果假设权重分布是有先验知识的,对于股票指数编制来说,交易所会根据股票的市值、流通量等情况
在编制各种指数时赋予不同的权?重如中证指数有限公司在其网站上就公布沪深300指数的编制方法,并定
时更新沪深300成份股的最新权重.对于完全复制来说,该权重就是一个想理初始权重,但是对于部分复制
来说,就需要减少而非仅仅维持非零权重票的股数量.可替代的一个间接方法是,根据股票和已编出的指数
的相关性来选择部分股票进行投资而未被选中的股票的相应投资权重为零.部分选择的方法就借鉴转盘原
,则,即所有股票的被选择概率不相等,位于图1左上的股票将比位于右下的股票有更大的概率被选择.先预
设选择股票的个数n,然后以n个股票为一组,取若干组后再做平均和归一化理就处,可以找到一组使用先
验知识的初始权重.
关于非零权重股的比例控制问题,首先需要设定一个控制阈值以一及个起始值然后,通过控制算法当中
变异的比例和变异后的处理,,来确保非零权重股票的比例在起始值和阈值之间“游走”.控制阈值以及起始
值可以过反通复实验或者专家意见的方法获得而,控制非零权重股票的比例就需要从算法着.手通过对算法
的调节,保证非零权重股票的比例保持一个动态的平衡或者减幅地逐步增加直到收敛到阈值.具,体的算法
控制分成两个部分:第一、对于投资股票的总数量在目标函数里面进行限制,即股票数量反比于效用函数的
数值.第二、通过遗传算cro法的交sso叉ver()和变异ionmutat()来控制投资股票的总数量?
D.启发式遗传算法
由投于资组合权重的选择没有一个合适的指南,启发式遗传算法是一种可以在一定边界内寻找最优解的
有效搜索算.法特别是在最优解根本不存在的时候,遗传算法可以找到次优解或者一个合理的优化解14丨丨.
,当然最优解的情况和目标函数obective function(j是)相关联的,本文使用的目标函数即为前述的效用函数.
此时问题就转化成为在一定的限制条件下,以效用函数为目标函数,使用启发式遗传算法寻找合适的投资权
重.
遗传算法的目标函数需要兼顾跟踪误差、跟踪误差的波动性、交易费用正比(于股票变更数量)、交易频
度,还需对所有参与变量进行归一化处理.用于本文实验的目标函数如下,
l2=^ A+ +5if V+N 3 ; ±2￡-t (初 ^-f(P,前()
; ) 其中i表第i个时间示窗口,时间窗口的大小即为停止交易的时间长度.V是权重系数,决定了跟踪误差均
值、标准差以及投资股票数量三个变量的效用程度.,是控制系数,用以保证使用百分比表示的非零权重股
票数量和前面的误差量保持同一量纲.这些系数需要通过实验的方法来反复验证后得到.et表示跟踪误差,
rn表示在第i个时间窗口内交易日的数量,pt代表被投资的成份股数量占总成份股数量的百分比.
交叉算是遗传法算法最重要的环节之一直,接影响到算法精准度和效率.交叉算法的形式一般根据对象
的不同,有不同的表现形式.对于投资股票的权重来说,由于票股权重和必须为1,因此通常方法下的任取两
个候选染色体的两段基因进行交换的方法不可取.本文使用的方法如图3:所示首先将权重整数化,为计算
方便投资总额应取为最小投资额的偶数倍,如图3中以20为例,即代表最小投资额度为‘投资总和为1.
然后lette 根据转盘roeuwhel(原则聞)找出一对染色体作为繁殖母体,如图3中的染色体一、染色体.二接
着将一对母染色体对应的基因相加并除以2得到染色体过渡一,该染色体所有基因和为20,,但会违背事先
约定的最小投资额度的假设’因此将所有不符合假设,即不整除情况列出如图3中的1至6.由于预设,陪数
为偶数,因此不整除情必况为偶数.因此染色体过渡一到染色体过渡二就把相应的不整除基因进行调整,调
整方案如图3,相邻两个基因一,个向比它小的最近整数靠一,个向比它大的最近整数靠.这样染色体过渡二
的所有基因和也为20.最后,为了防止由于平均计算造成的非零权重数量的增加将一定,比例小权重股票的
投资移向大权重股票如图3箭头所示,最小重权归到最大权重,次小权重归到次,大权重以,此类推.从而保
证投资不会因为交叉算法而逐渐分散.
变异算法帮助遗传算法克服陷入局部最小的风险,其思想来源于基因的突变造成而染色体的变异.可以
是基因发生随机的改变,或者基因在染色体中的排列顺序发生改变.同样为了保证达到投资权重的限制,变
异的算法安排如下.首先根据预设的比例随机选取一定数量的染色体作为变异候选然后在,每一个候选染色
体中随机选取两个基因,并重新安排两个基因的数值,原则是安有输与安排后的两基因数值和相同.
第10期
倪禾?.基于启发式遗传算法的指数追踪组合构建策略
2651
遗传算法的步骤如下:
染色体
+
染色体
13 2 5,.? , 0
I
I
3 2
,3 1 ,
过渡"一
■ptrfTirT]—
\
染色体
1 3过渡 2 2 2 3 4 0 1:2
;二
1
I 不厂 ‘
I
1
}图3图示交叉算法的步骤
1.根据假设的权重分布帕累托(,等权,有先验知识)进行权重随机初始化.即找出N组权重组合,每一个
权重值表示成一个基因,而每一个权重组合就表示成一个染色体.iV是一个预先确定的每一代进化种群
的总量(population.
)2.将每一个染色体带入目标方程,并根据得出的效用值将N个染色体进行效用排列.然后通过转盘原则
对N个染色体进行N次取样,每次取两个一组,而每个染色体被取样概率正比于该染色体的效用值.
3.将每次取得的一两个染色组体进行交叉运算,即每两个染色体将产生一个新子染色体.N次取样
母)(并交叉计算后,将出现新的N个染色体.
4.将新得到的N个染色体中随机选取一部分(按预先设定的比例)依次进行变异操作.即将需要变异染
,色体中的基因值在限定范围内进行随机变化.
5.把变异后得到的#个候选染色体和其前一代的染色体通过目标函数进行比较.如果效用均值提高、同
时效用值标准差保持基本恒定,则将这N个候选染色体保留成为新一代染色体,否则就放弃这N个候
选染色体.
6.重复到步骤2,直到达到预设的进化代数,或者最一近代的染色体超过预设的最大平均效用值及相应的
效用值标准差.
4实验结果与讨论
实验的第一步是确定启发式遗传算法的目标函数,即效用函数的形式及相应的参数估计.该函数的确立
对于整个算法有相当大的影响.但同时由于效用本身是个体现主观喜好的概念,相关参数估计并不仅有唯一
最优解.本文通过综合实验估计以及专家建议的方法得出.此外根据式(5)所示,参数可为时变量,研究总共
使用1500个连续有效交易日数据.其中每300日作为一个测试周期,前1200个日交易数据作为训练数据.
最后300个交易日数据作为测试数据.
为检验本文提出模型的有效性,作者设计了6 组比对实验.实验效果由四个检验指标表征:第一、追踪
2误差第2二追重分布波动性★_K W);
^ELi (et);踪误差的标准差2-Eeet l)第三;、权h ( I 第四、最终股票占全部成份股比例.第一二、个指标评价的是通过训练到得模型的用于未知交易数据的表现,
其中q表示测试交易日的数目,而第三个指标评价的是训练的过程是否收敛,其中N表示遗传算法中每代染
色体的个数第四个,指标是表征训练后模型本身的性质.6比组对实验是在初始权重分布分别为帕累托、等
权、根据经验知识三种情况下的运用本文所提出的启发式遗传算法做模型.以及使用等权全部复制模型、启
发式遗传算法全部复制模型在(不考虑投资股票数量的限制时使用启发式遗传算法找出投资权重)、使用实
验期初的公布权重一(个测试期,即300个交易日中不调整权重)全部复制模型.
图4和图5显示了以帕累托分布为初始权重分布的使用启发式遗传算法做指数追踪的结果.图4的上
半部分显示每次循环后跟踪误差的变化,阴影部分的大小表征了误差的一倍标准.差可以看出误差代表其不
确定性的标准差都逐是步减小并收敛的,但是由于遗传算法在选择遗传母体时根据概率选取,另目标方程是
使用效用而不直接使用跟踪误差,因此在迭代过程当中误差是随机减小的.图4的中部表示在300个测试交
易日中模型追踪指数收益率的表现.实线表示指数收益率,虚线表示追踪组合的收益率.图4的左下是投资
2652
系统工程理论与实践
第33卷
股票数量逐渐上升并收敛的过程,右下表示迭代过程中股票数量的波动情况.图5通过了投资票数量、权
股重稳定性、追踪误差三个量来描绘出迭代训练的轨迹,其中三角表示训练起点,星号表示训练终点,每10次
迭代之后的状态使用一个圈表示,实线表示轨迹.可以看到训练的过程如意料中逐渐趋向稳定,整个训练过
程是收敛而非发散的.
-5 Value of trackinerror on each ieraonean and ()
1Q:
L—..50 100
150 200 250 300350 400 450 500
Tackinrgpeformance onestindaa
r t gt 樣丨P攀
翻'‘‘‘ 1着術 I '‘!
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iii1 ii[ ?‘
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‘‘I!? 1‘1
1 501000 250
0150 2 Percentae ostocvestegf ksn idStd. ofercentaes ostocgf ksinveste d
p注:图中实线是跟踪误差轨迹图,阴影区域的大小为误差1倍标准差的幅度;中图是测试结果:
左下是投资股票的数量占成份股总数的比例变化轨迹;右下是投资股票数量的实时标准差.
图4初始权重为帕累托分布的投资权重训练结果
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3
图5使用追踪误差、权重分布稳定性、投资股票数量三个指标表征的初始权重为帕累托分布的投资权重训练过程
表2显示了使用不同模型构筑的追踪组合在同样的测试数据中的不同表现.从表中数据可得,首先部分
复制技术是有效的,在限制交易频率的情况下,其表现优于全部复制技术.尤其是根据经验的全部复制技术,
一旦交易频率被限制就会出现“过度拟合”带来的问.题其次启发式遗传算法在协调多个目标方面可以发挥
其效用,效果优于线性规划以及等权技术.最后本文提出的3种权重初始化方法并没有明显影响到模型训练
的结果,其原因可能具有多种:理论上的帕累托分布、等权分布和实际分布可能距离较大;指数的编制是受股
票的影响的,而机构投资者的投资习惯可能会影响股价,进而影响指数;模型本身还具有种种不足,等等.
第10期
惋禾:基于启发式遗传算法的指数追踪组合构建策略
2653
表2比对实验在各指标反映下的繊情况
模型名称
追踪误差"5
xlO误差标准差"6
X10概波动性
最终股票占比%
启发式 帕累托
遗传算等权
法经 验
规划式1部分复制2
等权册复制2
4000
.启发式全部复制
100
经验錢复制
NA3
NA
100
注:1.规划式复制是使用以最小化投资误差均方差为目标的二次规划算法确定投资权重.2.部分复制
是用且仅用启发遗传算法得出的投资股票复制指数‘ 3. NA表示不适用或者无意义.
5结论
本文研究并应用启发式遗传算法于股指追踪模型的构建.本文依据部分复制的原则,综合考虑交易频
率、交易规模、交易稳定性等多个因素设,计效用方程并使用遗传算法来计算得出优化的追踪模.型该模型
在用于挑选并使用沪深300成份股构筑追踪沪深300指数的追踪模型上具有较好的表现,可以证明该技术
在此应用方面的有效性,可以替代甚至胜过常用的二次规划算法.
当然本文所做研究只是一个基础性的初步研究,还有很大的拓展和改善空间.如本文未考虑股票的交易
数量虽然对股指相关性的大小可以间接反映出股票的流动性,但是交易数量的大小可以比较直地反映观出
,股票的流动性从而可以通过对流动性的加权来有效地减少冲击成本和交易成本.另外本文只使用沪深300
,作为研究对象,虽然沪深300是比较典型的中国股价指数,但是作为技术考察来说,还需要涉及更多的数据.
模型当中使用的一些假设以,及使用实验的方法来确定的函数形式,参数估计等等都需要未来一进步的研究
来逐步修正和完善.
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