第24卷第4期赤峰学院学报(自然科学版)年7月JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)概率分布及其应用的研究周桂如(福建交通职业技术学院基础教研室,福建350007)摘要:从二项分布和泊松分布的数学导出过程出发,剖析这两个分布概率函数的定义和联系,给出启发式的数学表述,并研究两个分布在企业管理中和大量试验中稀有事件出现的频率数的应用.关键词:二项分布;泊松分布;指数失效律;应用中图分类号:文献标识码:A文章编号:1673-260X(2008)04A-0013-021二项分布和泊松分布的导出过程的剖析位区域或间隔内事件A发生的次数服从泊松分布.二项分布和泊松分布是两类最熟悉不过的重(2)二项分布指的“一定范围”是离散变量度量要离散型分布,而且这两个分布的概论函数有密切的,泊松分布指的“一定范围”是连续变量度量的,的联系.下面先给出概率论教材中的这两个分布的当离散和连续互相近似转化,可以预料两个分布之数学导出过程.间可能会有联系.二项分布二项分布和泊松分布联系的启发式数学表述.在N次贝努利试验中(1)事件A在一次实验泊松定理指出二项分布的概率函数在一定条件下中发生的概率为P(0<p<0)(.2)事件A在各次的以泊松分布的概率函数为极限.若X服从二项分布试验发生是独立的,则X的概率函数为kp(X=k)kkn-k&B(n,p),当n→∞时,p比较小时有limCpq=kkn-kn=Cx→∞npq,k=0,1,2⋯n.称X服从二项分布B(n,p).k!-’泊松分布e其中(=np.泊松分布可以从一个计数过程导出,若计数过证明:程满足:kkn-kkn-kn!p(X=K)=Cp(1-p)=p(1-p)(1)独立增量性:任意s,t≥0,N-N与{N,u≤t}nt+stuk!(n-k)!独立,即在不重叠的时段内A发生的次数之间独立n(n-1)⋯(n-k+1))k*n-k=()(1-).k!nn(2)增量平稳性:任意s,t≥0,N-N的分布与tkt+st无关,即在某时段内发生的次数的分布只取决于时+12k-1=(1-)(1-)⋯,n-k(1-)(1-)k!nnnn段的长度,与时段的起点无关.∵lim12k-1(1-)(1-)⋯(1-)=1(3)p(N≥2)=o(t)长度为的时段内A发生不止一x→∞nnnt次的概率是t的高阶无穷小,则X的概率函数为-(1-)=ex→∞n!k-"(X=k)=ek=0,1,2⋯其中E(x)=#,$>0称X服k!当n→∞,/>0时保持为常数=随n着变从泊松分布np(%).2对两个分布定义的剖析化而变化时,有(1)二项分布和泊松分布都是对应于“一定范limkk112Cp(1-p)=lim(1-)(1-)⋯(1-围内事件发生的次数”的问题,二项分布指的x→∞nx→∞k!nnAk“一定范围”是N次贝努利试验,泊松分布是“时间2n-k-k-134)(1-)=e段”的概念nnk!,引申为空间、区域等,在一定条件下,单·13·
由此可见,当n充分大,P很小,!=np大小适个,就能使消费者感到你的产品质量过硬,赢得顾中时有客信任,利用科学知识,无需改造、升级、更新现有kkkn-k设备,就能提高企业的信誉,从而提高市场占有率,p(X=k)=Cp(≈"-#1-p)enk!增强企业竞争力.3两个分布的应用研究泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现二项分布在管理中的应用.生产和服务过程中频率数的概率,这里的频数指在相同条件下,进行会有很多因素的影响,所有这些因素的综合作用导大量试验中稀有事件发生的次数.致过程的动荡,从而体现出质量特性或服务水平的例已知患色盲者占%,试求(1)为发现不稳定性.数理统计和概率论等统计技术可以帮助一例色盲者至少要检查25人的概率?(2)为使发现我们了解和监控这些波动,使之控制在我们期望的色盲者的概率不小于,至少要对多少人的辨色范围内,这也是质量管理所要研究的课题,在这仅进行检查.以管理决策方面来研究.分析:(1)设X表示恰好发现一例患色盲者所市场竞争的核心是科学技术的竞争、质量的竞需要检查的人数,则X"G()争,而在不增加成本的前提下,追求利润的最大化是迫切需要解决的问题,其实在有些情况下即24:p{X≥2!∞K-255}P(1-P)=(1-P),产品k=25可靠性数据可按二项分布加以分析,我们只需作出24=()≈小小的调整,就能收到良好的效果.(2)设至少对个人的辨色能力进行检查,于是例市场上某品牌的镙丝钉是100个/盒,若p(x≤n)≥镙丝钉生产中废品率为,问一盒应装多少颗,才能保证每盒中有100只以上的合格镙丝钉的概从而K-1p(x≤n)=!nP(1-P)=!∞K-11-P(1-P)率不少于k=1k=n+190%.n解设每盒装=1-(1-p)100+K颗,X为盒中的次品数$=np=+由n1-(1-p)≥得n≥≈∴所以至少要检查920人.p{X≤K}!K!Ki-&%e=p≈100+k(i)i=0i=0i!——————————即!K[(100+K)*]*(100+K)参考文献:e≥=0i!〔1〕魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京:高等教育若’≈,查表可得K=3;出版社,取K〔2〕邓方安.概率论与数理统计教程.青岛海洋大学=3,可算出!==0i!出版社,1999.故装103颗,就能保证有100颗以上的合格镙〔3〕刘剑平,陆元鸿.概率论与数理统计方法.华东理丝钉的概率不少于90%,同样很容易算出装有104工大学出版社,2001.颗、105颗就能保证有100颗以上合格镙丝钉的概〔4〕邰淑彩,何娟娟.应用数理统计.武汉大学出版率分别是逼近%和%.社,2005.从以上的实例可以看出,只需每盒中多装2·14·
