锦泰期货研发 国债期货估值研究 国债期货理论价格与最便宜可交割债券 摘要： 研究创 造 价值 国债期货的价值主要来自于两方面，一是国债价格与持 用心、诚心、专心、贴心 有收益的差额，二是期货空头方拥有的策略性交割选择权， 即国债期货的内含期权。要想对国债期货进行估值，就需要 从这两方面入手，研究国债期货的定价。 本文在不考虑内含期权的情况下，采用无套利定价原理 探讨国债期货理论价格的形成，通过求解隐含收益率寻找最 便宜可交割债券，并与使用扣除持有收益的净基差得到的结 果进行比较，此外还讨论了收益率及交割日对最便宜可交割 债券的影响，最后以国债期货仿真合约TF仿1209为例，计 算得到该合约在2012年8月8日不考虑内含期权的理论价 格。 锦泰期货研发部 杨蔚 025-83659228 yangwei513@ 从业资格号：F0284439 请务必阅读正文之后的免责条款部分
国债期货估值研究 国债期货理论价格与最便宜可交割债券 国债期货的价值主要来自于两方面，一是国债价格与持有收益的差额，二是期货空头方拥有的策略性交割选择权，即国债期货的内含期权。持有收益是指投资者持有国债获得的利息收入与为融入国债所支付的成本之差，而内含期权指的是空头方拥有交割何种国债以及何时进行交割的选择权，这种选择权也是也是有价值的。要想对国债期货进行估值，就需要从这两方面入手，研究国债期货理论价格的形成。本文在不考虑内含期权价值的情况下，考察国债期货的理论定价。 一、国债期货的无套利定价 假设只存在一种可供交割的国债，且交割时间确定，则可以根据无套利定价原理为国债期货定价。 假设期货价格为F，唯一的标的国债现货价格为P，也就是说转换因子为1，其票面利率为c，在市场上借贷资金的融资利率为r，距离交割日的时间为t（年）。我们使用现货持有交易策略和反向现货持有交易策略对国债期货进行无套利定价，暂不考虑应计利息，则定价过程如下表所示： 表1 国债期货的无套利定价 现货持有交易策略 反向现货持有交易策略 交易日 交割结算日 交易日 交割结算日 1、以价格F卖出期货合用买入的国债交割，收1、以价格F购买期货合合约交割付出F，收到国约； 到F； 约； 债现券； 2、以利率r借入P，期限偿还借款本金和利息2、以价格P卖出国债现用交割获得的国债现券到结算日为止； P+rtP； 券； 补回现货空头，并支付应计利息ctP； 3、以价格P买入国债现现券用于期货交割，并3、以利率r贷出P，期限收到贷款本金和利息收券。 收到国债应计利息ctP。 到结算日为止。 益P+rtP 现金流入： 现金流入： F+ctP P+rtP 现金流出： 现金流出： P+rtP F+ctP 无套利定价：F+ctP=P+rtP F=P+Pt(r−c) 其中Pt(r-c)就是为了融入国债所支付的资金成本与持有国债获得的利息收入之差，也就是持有成本，Pt(c-r)即持有收益，也就是说，国债期货的理论价格等于国债现货价格减去持 请务必阅读正文之后的免责条款部分 1
国债期货估值研究 有收益。 二、最便宜可交割债券和转换因子 在上述推导中，我们假设只存在一种可交割国债，但事实上，国债期货的标的为标准化合约，也就是虚拟的一种票面利率为3%、面值为100万元人民币的5年期国债，在实际交ccc割时，距交割月首日剩余期限为4-7年的固定利率国债都可参与交割，也就是有一揽子可交 1 割债券供空方选择。由于这些国债票面利率、剩余有效期各f不相同，为了公平公正，需要使ffcTS d CF ... υ用转换因子（dddconversion factor，CF）对各种可交割国债进行转换。 1 n 1 fTS转换因子的实质就是以名义标准券的 票面利率♣（3%），将面值为TSTSTSy1元的可 交割国债在•其y♣ •y♣ • 1 ♦ ÷1 ♦ ÷1 剩余有效期内的现金流贴现到最后交割日得到的债券价格（净价）。中金所公布的转换因子♦ ÷ ♥f ≠f ♥ ≠f ♥ ≠计算公式为： ♠≡c1 ↔≈1ccycTS d υ υd n 1 fyT♣S•y♣f TS•y 1 1♦ ÷♦÷ff♥≠♥←≠…其中，CF即转换因子，c是1元可交割债券的票面利息，y是名义标准券的票面利率（中金所国债期货仿真合约中为3%），f是可交割债券每年的付息次数，d是最后交割日距下一个付息日之间的天数，TS是可交割债券当前付息周期的天数，n是剩余付息次数。 根据上述公式，计算得到的国债期货仿真合约TF仿1209、TF仿1212和TF仿1303的可交割国债及其转换因子如下表所示： 表2 中金所国债期货仿真交易可交割国债及其转换因子 代码 简称 到期日票面TF仿TF仿TF仿 利率 1209 1212 1303 10付息国债02 2020-2-4 % 09付息国债27 2019-11-5 % 09付息国债23 2019-9-17 % 09付息国债16 2019-7-23 % 09付息国债12 2019-6-18 % 12付息国债10 2019-6-7 % 2 请务必阅读正文之后的免责条款
国债期货估值研究 09付息国债07 2019-5-7 % 09国债03 2019-3-12 % 12付息国债05 2019-3-8 % 08国债25 2018-12-15 % 11付息国债21 2018-10-13 % 08国债18 2018-9-22 % 11付息国债17 2018-7-7 % 08国债10 2018-6-23 % 08国债03 2018-3-20 % 11付息国债06 2018-3-3 % 11付息国债03 2018-1-27 % 10付息国债38 2017-11-25 % 10付息国债32 2017-10-14 % 02国债13 2017-9-20 % 10付息国债27 2017-8-19 % 10付息国债22 2017-7-22 % 07国债10 2017-6-25 % 10付息国债15 2017-5-27 % 10付息国债10 2017-4-22 % 07国债03 2017-3-22 % 10付息国债05 2017-3-11 % 12付息国债03 2017-2-16 % 09付息国债32 2016-12-17 % 09付息国债26 2016-10-22 % 11付息国债22 2016-10-20 % 06国债16 2016-9-26 % 注：代码中IB表示银行间债券市场交易代码，SH为上海证券交易所代码，SZ为深圳证券 交易所代 码；转换因子由锦泰期货研发部整理计算。 由上表可以观察到转换因子有如下特征： 1、每种可交割债券在每个交割月份的转换因子是唯一不变的； 2、转换因子与可交割债券的票面利率呈正向相关，票面利率越高，转换因子越大； 3、可交割债券票面利率大于名义标准券票面利率时，转换因子大于1，且随着可交割债券剩余期限的增加而增大；可交割债券票面利率小于名义标准券利率时，转换因子小于1，且随着可交割债券剩余期限的增加而减小； 4、对一种可交割债券而言，当其票面利率大于名义标准券票面利率时，这种债券在近月合约对应的转换因子高于远月合约对应的转换因子；而当其票面利率小于名义标准券票面利率时，近月合约对应的转换因子低于远月合约对应的转换因子。 国债期货用于交割时，国债的买方支付给卖方的发票价格为： 请务必阅读正文之后的免责条款部分 3
国债期货估值研究 发票价格= 期货价格×转换因子 +应计利息 例1：11付息国债06，票面利率%，每年计息一次，到期日为2018年3月3日，国债期货仿真合约TF仿1209交割月首日时，该国债剩余有效期5年6个月，属于可交割债券，该债券的转换因子为，从上一次计息日到最后交割日2012年9月19日的应计利息为元。假设国债期货TF1209交割结算价为元，则发票价格为： 发票价格= × += 国债期货每张合约面值100万元，则对于每张合约，发票的总金额为：10000×=1,054,997元。 三、基差与持有收益 国债期货的理论基差为： 基差=国债现货 价格净价国债期货价格转换因子 υ=P-F Cυ Ftt其中Pt和Ft分别是t时刻国债现货价格（净价）和国债期货价格。根据国债期货无套利定价公式，这里理论基差的正负就取决于持有收益。如果收益率曲线斜率为正，长期利率高于短期利率，那么持有国债现货的利息收入倾向于高于融资成本，也就是说通常持有收益为正，国债的期货价格低于现货价格，国债的理论基差为正。 具体来说，持有收益的计算公式如下： 持有收益=利息收入-融资成本=C Tυt P AI RPT υ t υ fDCtt365其中C为债券票面利息，f为每年计息次数，T为国债期货最后交割日，t为购买国债现货的结算日，AIt是t时刻国债的应计利息，DC代表当前计息周期的实际天数，RP是借入国债的回购利率或融券利率。 例2：2012年6月6日发行、6月7日起息的固定利率国债12付息国债10，票面利率%，每年付息1次，2019年6月7日到期。假设购买国债的结算日是2012年8月8日，净价为元，应计利息元，回购利率为%，国债期货仿真合约TF仿1209的最后交割日为2012年9月19日。那么持有收益为： 4 请务必阅读正文之后的免责条款
国债期货估值研究 持有收益= υ42 99 34 % υ υ13元66365=()理论上，国债现货价格与期货价格之差即持有收益，也就是说基差等于持有收益，但事实上，由于不止B有一种N可交割O的债券C，交割=日不确基定以及内差含期权等-等持因素，实际期货价格收益与理论价格不相同，实际基差与持有收益不相等，我们将扣除了持有收益的基差称作净基差CTt Tt =P-F CυF-[ υPA IR P ]υ υ（ttttNet Basis）或持有收益的净基差（Basis Net of Carry, BNOC），即有： fDC365 Tt♣CTt♣•• PA I 1 RυP ♦ FυCF AI υ tttt÷ υ♥♦365fDC♥≠÷≠ T t PA I 1 RυP Fυ CFA I υ ttT365 四、寻找最便宜可交割债券 （一）隐含回购利率 尽管使用了转换因子，各种可交割国债在交割时还是存在差异，有的相对便宜些，合约卖方可以从所有可用于交割的国债中选择最便宜、对他最有利的债券进行交割，该债券被称为最便宜可交割债券（Cheapest to Deliver，CTD）。最便宜可交割债券的价格决定了国债期货合约的价格，因此，国债期货的定价要从寻找CTD债券开始，这点可以通过求隐含回购利率得到。 隐含回购利率（Implied Repo Rate，IRR）是指买入国债现货并用于期货交割所得到的理论收益率。若从国债购买结算日到期货交割日之间没有利息支付，则： 发票价格-国债购买价格365IRR国债购买价格T t υF Cυ FA IT - P AI 365=tttυPAITt t若从国债结算日到期货交割日之间有利息支付，则IRR是下式的解： 发票价格+票面利息年计息次 υ1+T t IRRυc♠↔←国债 购 买价格 数 ↑→≡IRR国债购买价格365↓365≈T …↵t υ 请务必阅读正文之后的免责条款部分 5
国债期货估值研究 其中，tc代表息票支付日，解上式得到： F CυFC+AI+ P A 365tT I ♠↔ υ ≡tt f←≈…IRR T t CPA I υ T t υ ttcf如果从国债购买日到期货交割日之间有2次利息支付，也可同理计算相应的IRR。 根据上述公式，我们可以估计出可交割国债的隐含回购利率。假设购买国债现货的结算日为2012年8月8日，上述可交割债券在银行间债券市场、上交所和深交所都有交易，由于银行间市场交易量最大最活跃，为了简便起见，下文隐含回购利率的求解只使用银行间市场上债券的报价。由于可交割的国债在市场上的活跃度不一，有些近期没有可供参考的报价，这部分国债现货的价格使用中国债券信息网计算的理论价格作替代。 由下表可以发现，在最近三个月有超过2/3的可交割国债都没有报价，这说明目前国债市场流动性还不够强，市场上交易较多的主要还是近期发行的国债，尽管近几年国债的成交量有了很大的增长，但与成熟市场国家相比还有较大距离。这一方面是因为国债具有无风险、免税等特征，一些机构投资者如银行、保险等往往将其作为调节资产风险收益的工具，通常会持有至到期而无太大交易需求；另一方面，由于目前市场缺乏有效的风险管理，持有大量国债的商业银行和保险公司投资行为趋同，单边行情明显，缺乏交易对手，导致交易不活跃；最后，做市商的功能尚未得到充分发挥，目前银行间现券市场做市商共有25家，数量较少，其中绝大多数都是商业银行，他们拥有的国债大多为持有至到期资产，可供做市的规模有限，且由于对冲工具少，在面临加息时，做市商会暴露在风险之下，因此为了降低风险，做市商只好减少做市规模和次数。 表3 隐含回购利率及修正久期（2012-8-8） 代码 简称 到期日票面修正隐含回购利率 最近3 利率个月报 久期 TF仿TF仿TF仿价次数 1209 1212 1303 10付息国债02 2020-2-4 % % 0 09付息国债27 2019-11-5 % % % 0 09付息国债23 2019-9-17 % % % % 0 09付息国债16 2019-7-23 % % % % 17 09付息国债12 2019-6-18 % % % % 0 12付息国债10 2019-6-7 % % % % 390 09付息国债07 2019-5-7 % % % % 0 09国债03 2019-3-12 % % % % 0 12付息国债05 2019-3-8 % % % % 3000 6 请务必阅读正文之后的免责条款
国债期货估值研究 08国债25 2018-12-15 % % % % 0 11付息国债21 2018-10-13 % % % % 1136 08国债18 2018-9-22 % % % % 0 11付息国债17 2018-7-7 % % % % 949 08国债10 2018-6-23 % % % % 0 08国债03 2018-3-20 % % % % 0 11付息国债06 2018-3-3 % % % % 0 11付息国债03 2018-1-27 % % % % 207 10付息国债38 2017-11-25 % % % % 0 10付息国债32 2017-10-14 % % % % 0 02国债13 2017-9-20 % % % % 0 10付息国债27 2017-8-19 % % % % 0 10付息国债22 2017-7-22 % % % % 119 07国债10 2017-6-25 % % % % 0 10付息国债15 2017-5-27 % % % % 0 10付息国债10 2017-4-22 % % % % 0 07国债03 2017-3-22 % % % % 0 10付息国债05 2017-3-11 % % % 0 12付息国债03 2017-2-16 % % % 3000 09付息国债32 2016-12-17 % % 0 09付息国债26 2016-10-22 % % 0 11付息国债22 2016-10-20 % % 135 06国债16 2016-9-26 % % 0 数据来源：Wind资讯，锦泰期货研发部整理计算 由上表可以看到，对TF仿1209合约来说，隐含回购利率最大的国债是09付息国债23，隐含回购利率为%，但该国债在近3个月没有报价，交易不活跃，相对而言最活跃且隐含回购利率排名最前的是12付息国债10，成为该合约的最便宜可交割债券。同理分析TF仿1212和TF仿1303，隐含回购利率最高的分别是09付息国债27和10付息国债02，但报价数均为0，因此，这三个合约在8月8日最可能成为最便宜可交割债券的是12付息国债10。 （二）久期与收益率的影响 在上述例子中，我们也可以看到隐含收益率最高的国债也是久期最大的国债，这是因为久期表示的是收益率变动引起的债券价格变动，久期越大，给定的收益率变化带来的债券价格变动越大。当收益率等于名义标准券票面利率（3%）时，国债的转换价格应当等于面值，也就是说国债价格除以转换因子等于100，任何两种可交割国债是无差别的；当收益率大于3%时，随着收益率的上升，国债价格下降，但高久期国债价格下降幅度大于低久期国债， 请务必阅读正文之后的免责条款部分 7
国债期货估值研究 因此，高久期国债成为交割便宜的国债；当收益率小于3%时，随着收益率的下降，国债价格上升，但高久期国债价格上升幅度大于低久期国债，因此，低久期国债成为更便宜的选择。 图1 久期与最便宜可交割国债 价格/转换因子 高久期国债 100 低久期国债 3% 收益率 我们可以通过直接计算可交割债券的收益率来看其是否大于或小于3%，也可以通过市场收益率曲线来大致观察。表3中隐含收益率较高的国债剩余有效期均在6年以上，根据图2的收益率曲线可以看到，在2012年8月8日，银行间市场6-7年固定利率国债的到期收益大于3%，因此此时久期高的国债成为最便宜可交割国债。 图2 银行间固定利率国债到期收益率曲线（2012-8-8） 期限（年） 利率（%） 4 5 6 7 数据来源：中国债券信息网，锦泰期货研发部 8 请务必阅读正文之后的免责条款
国债期货估值研究 在寻找最便宜可交割债券时有两条经验法则，即： 1、久期判断：对于收益率小于名义标准券票面利率的国债，久期最小的是最便宜可交割债券；对于收益率大于名义标准券的国债，久期最大的是最便宜可交割债券； 2、收益率判断：对于具有同样久期的国债，收益率最高的是最便宜可交割债券。 （三）交割日的影响 在国债期货仿真交易阶段，国债期货的交割采用集中交割的方式，也就是在最后交易日未平仓的合约自动进入交割程序，在接下来3个工作日中进行交割，其中第一交割日为卖方申报日，第二交割日为交割配对日，第三交割日也就是最后交割日为券款交收日。而在国债期货真实交割中，预计将使用滚动交割加集中交割的方式，自交割月第一个交易日至最后交易日的前一个交易日采取滚动交割，由买方和卖方提出交割申请，按照“申报时间优先”原则选取买方和卖方进入交割，而在最后交易日，未平仓合约进入集中交割程序。在这种情况下，卖方可以选择交割月中的具体日期进行交割，而交割日的不同对隐含收益率和最便宜可交割债券的选择也会造成影响。 表4列举了在2012年8月8日购买国债现券，然后在交割月首日以及最后交割日交割分别得到的隐含回购利率。从表4中可以看出，对于大多数的国债而言，在最后交割日进行交割比在交割月首日交割得到的隐含回购利率高，空头倾向于在最后交割日进行交割，但对某些国债（隐含回购利率下用下划线标示），提前交割得到的隐含回购利率更高。通过观察国债收益率和隐含回购利率之间的关系，可以看到这两种不同交割选择是由持有收益决定的。对前者而言，由于国债的收益率高于回购利率，投资者买入国债并卖出期货合约的持有收益为正，这样卖空者就会选择持有国债至最后可交割的日期，而对后者而言，回购利率大于国债的收益率，也就是说国债利息的收入不足以弥补在回购市场上的成本，持有收益为负，为了避免损失，空头方会提前进行交割。 但需要注意的是此处尚未考虑空头方拥有的内含期权，若提前交割，空头方便放弃了内含于国债期货的中的各种交割期权的剩余价值，而在一些情况下，由于这些内含期权价值的存在，提前交割是不划算的，空头方可能会选择承担一定的持有成本，而获取更高的内含期权价值。 表4 不同交割日的隐含回购利率（2012-8-8） 代码益隐含回购利率 简称 到期日收 率交割月首日交割 最后交割日交割 TF仿TF仿TF仿TF仿TF仿TF仿 请务必阅读正文之后的免责条款部分 9
国债期货估值研究 1209 1212 1303 1209 1212 1303 10付息国债02 2020-2-4 % % % 09付息国债27 2019-11-5 % % % % % 09付息国债 23 2019-9-17 % % % % % % % 09付息国债16 2019-7-23 % % % % % % % 09付息国债12 2019-6-18 % % % % % % % 12付息国债10 2019-6-7 % % % % % % % 09付息国债07 2019-5-7 % % % % % % % 09国债03 2019-3-12 % % % % % % % 12付息国债05 2019-3-8 % % % % % % % 08国债25 2018-12-15 % % % % % % % 11付息国债21 2018-10-13 % % % % % % % 08国债18 2018-9-22 % % % % % % % 11付息国债17 2018-7-7 % % % % % % % 08国债10 2018-6-23 % % % % % % % 08国债03 2018-3-20 % % % % % % % 11付息国债06 2018-3-3 % % % % % % % 11付息国债03 2018-1-27 % % % % % % % 10付息国债38 2017-11-25 % % % % % % % 10付息国债32 2017-10-14 % % % % % % % 02国债13 2017-9-20 % % % % % % % 10付息国债27 2017-8-19 % % % % % % % 10付息国债22 2017-7-22 % % % % % % % 07国债10 2017-6-25 % % % % % % % 10付息国债15 2017-5-27 % % % % % % % 10付息国债10 2017-4-22 % % % % % % % 07国债03 2017-3-22 % % % % % % % 10付息国债05 2017-3-11 % % % % % 12付息国债03 2017-2-16 % % % % % 09付息国债32 2016-12-17 % % % 09付息国债26 2016-10-22 % % % 11付息国债22 2016-10-20 % % % 06国债16 2016-9-26 % % % 数据来源：Wind资讯，锦泰期货研发部整理计算 （四）使用净基差的情况 除了比较隐含回购利率，还可以使用扣除持有收益的净基差（BNOC）来寻找最便宜可交割债券。净基差表示了买入国债并用于期货合约交割的成本中扣除持有收益的部分，也就是净成本，净成本最小的债券交割最便宜，也就是说最便宜可交割债券的BNOC最小。以TF仿1209合约为例，假设回购利率为%，从下表可以看到，隐含回购利率最高的国债09付息国债23也拥有最小的BNOC，为。但需要注意的是，两种不同衡量方式下可 10 请务必阅读正文之后的免责条款
国债期货估值研究 交割债券便宜程度的排序并不完全相同，比如12付息国债10在隐含回购利率衡量下排在第4位，但用BNOC衡量则排名第9，在国债价格不同时，使用BNOC可能会给出错误的排序。 表5 最便宜可交割债券的不同衡量方式（2012-8-8） 按隐含回购利率排序 按BNOC排序 代码 简称隐含回购 利率代码 简称 BNOC 09付息国债23 % 09付息国债23 09付息国债16 % 09付息国债16 09付息国债12 % 09付息国债12 12付息国债10 % 09付息国债07 12付息国债05 % 12付息国债05 09付息国债07 % 09付息国债32 09国债03 % 11付息国债17 11付息国债21 % 08国债25 08国债25 % 12付息国债10 08国债18 % 08国债18 08国债10 % 12付息国债03 11付息国债17 % 08国债10 11付息国债06 % 11付息国债06 11付息国债03 % 11付息国债03 08国债03 % 10付息国债38 02国债13 % 08国债03 10付息国债38 % 02国债13 10付息国债32 % 10付息国债32 10付息国债27 % 10付息国债27 07国债10 % 10付息国债22 10付息国债22 % 07国债10 10付息国债15 % 10付息国债15 10付息国债10 % 10付息国债10 10付息国债05 % 10付息国债05 07国债03 % 07国债03 12付息国债03 % 11付息国债22 09付息国债32 % 09付息国债26 11付息国债22 % 06国债16 09付息国债26 % 09国债03 06国债16 % 11付息国债21 数据来源：锦泰期货研发部整理计算 四、国债期货的理论价格 根据上文，可以看到在2012年8月8日，考虑到债券的流动性，12付息国债10最有可能成为国债期货仿真合约TF仿1209的最便宜可交割债券，该国债隐含回购利率较高并 请务必阅读正文之后的免责条款部分 11
国债期货估值研究 且流动性好，而若流动性改善，则隐含回购利率最高的09付息国债23成为最便宜可交割债券。 找到了最便宜可交割债券，可以根据无套利定价原则求出国债期货的理论价格。考虑到转换因子和应计利息等因素，对无套利定价公式修改如下： υ 1 T t C υT t FC♣FAIPAIRP♦♣♥1RPcTtt♦t365f365♥ •÷≠ υ•÷≠ T t υC T t PAIRPRPc A Iυ ttT 365f365FtCF如果在持有期间没有利息支付，则上式简化为： P A 1 TtIRP♣A• υ♦I ttF 365♥T÷≠tCF在12付息国债10为最便宜可交割债券时，由于2012年8月8日12付息国债10价格为元，应计利息元，转换因子为，假设回购利率为%，从8月8日至9月19日还有42天，到交割日，应计利息为元，计算TF仿1209合约的理论价格如下： 99 .8114 0 .5334 1 3 .5% 42 υ♣♦ •F 365♥（元）÷≠ 若09付息国债23成为最便宜可交割债券，其在8月8日的价格为元，应计利息元，转换因子为，该国债在9月17日计息元，到交割日的应计利息为，则TF仿1209合约的理论价格为： 10 1 .3461 1 ♣♦♥3 .5% 42 υ •÷≠4% 13 .5%♣♦♥ 2 19 υ•3652365÷≠ （ 元） 12 请务必阅读正文之后的免责条款
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