第 章
抽样推断
1
学习目的与要求：
抽样推断是统计研究中的一种重要分析方法。
学习本章要求掌握能利用统计资料来推断总体
数量特征的原理及方法，其具体要求：
理解抽样推断的概念及特点
深刻理解抽样误差产生的原因
对抽样误差、抽样平均误差、抽样极限误差加以区
别
重点掌握简单随机抽样组织形式的区间估计方法
掌握必要样本单位数的确定方法
2
第八章 抽样推断
第一节 抽样推断的一般问题
第二节 抽样误差
第三节 抽样估计的方法
第四节 抽样的组织方式
第五节 必要抽样单位数的确定
3
第一节 抽样推断的一般问题
一、抽样推断的意义
抽样推断是按照随机原则，从全部研究
总体中抽取一部分单位进行调查，并依
据所获得的数据对总体的某一数量特征
做出具有一定可靠程度的估计与推断的
一种统计方法。抽样推断的全过程，就
是抽样调查。
4
抽样推断基本特点
按照随机原则
抽取样本单位
抽样调查的目的
在于推断总体
抽样误差可以事先
计算并加以控制
5
二、抽样调查的作用
（一）应用抽样法可对某些不可能或不容易进行全
面调查而又要了解其全面情况的社会经济现象进
行数量方面的统计分析。
对无限总体不可能进行全面调查。
有些现象总体范围过大，单位分布又过于分散，很难
或不必要进行全面调查。
对于产品或商品具有破坏性的质量检验也不能进行全
面调查。
对那些资料要求紧迫，需以较短时间，迅速了解总体
全面情况时，也可用抽样法。
6
（二）应用抽样法可对全面调查的结果加以补充或
订正
许多社会经济现象虽然可以全面调查，但同时开展抽
样调查，把两者结合起来应用也具有重要的意义。
全面调查不论是一次性普查，还是经常性统计报表制
度，由于范围广、工作量大，参加人员多，就较多地
存在发生登记性和计算性误差的可能。在全面调查后，
随即抽取一部分单位重新再调查一次，将这些单位两
次调查的资料进行对照、比较，计算其差错比率，并
以此为依据对全面调查的资料加以修正，这样就可以
进一步提高全面调查资料的准确性。
另外，由于抽样调查范围小，可以根据需要增加一些
调查项目，以便进行某项更深入的研究，以补充全面
调查的不足。
7
（三）应用抽样法可对生产过程中产品质量进行检
查和控制
抽样调查不但广泛用于生产结果的核算和估计，而且
也有效地应用于对成批或大量连续生产的工业产品在
生产过程中进行质量控制，观察生产工艺过程是否正
常，是否存在某些系统性的偏误，及时提供有关信息，
分析可能的原因，便于采取措施，防止损失。
（四）应用抽样法可对总体的某种假设进行检验，
来判断这种假设的真伪，决定行动的取舍
8
抽样推断的几个基本概念
全及总体和样本总体
全及总体：抽样调查所要认识对象的全体，也叫母体，简称
总体，它是具有某种共同性质或特征的许多单位的集合体。
全及总体的单位数通常用N来表示，N总是很大的数。
样本总体：又叫子样或抽样总体，简称样本。它是从全及总
体中随机抽取出来，代表全及总体的那部分单位的集合体。
样本总体的单位数称为样本容量，通常用n表示，相对N来说，
n是很小的数，它可以是N的几十分之一、几百分之一、几千
分之一、几万分之一。（一般来说，样本单位数达到或超过
30个称为大样本，而在30个以下称为小样本。社会经济现象
的抽样调查多取大样本 ）
9
全及指标和抽样指标
全及指标：根据全及总体各个单位的标志值或标
志特征计算的，反映总体某种数量特征的综合指
标称为全及指标。也叫总体指标或母体参数。由
于全及总体是唯一确定的，所以根据全及总体计
算的全及指标也是唯一确定的。
抽样指标：由样本总体各单位标志值或标志特征
计算的，反映样本数量特征的综合指标，它是用
来估计全及指标的。
10
全及指标和样本指标的相关公式
变
量
总
体
总体平均数
总体标准差
总体方差
全及指标 样本指标
11
全及指标和样本指标的相关公式
属
性
总
体
总体成数
总体成数
标准差
总体成数
方差
全及指标 样本指标
12
四、抽样方法
重复抽样
也称重置抽样、回置抽样。它是指从总体N个单位中随机抽取
容量为n的样本时，每次从总体中抽取一个单位，把结果登记
下来后，重新返回，再从全及总体中抽取下一个样本单位。
在这种抽样方式中，同一单位可能有多次被重复抽取的机会。
例如
不重复抽样
也称不重置抽样、不回置抽样。它是指从总体N个单位中随机
抽取容量为n的样本时，每次从总体中抽取一个单位，不再放
回去，下一次则从剩下的总体单位中继续进行抽取，如此反
复构成一个样本，就是说，每个总体单位只能被抽取一次，
所以从总体中每抽取一次，总体就少一个单位，因此，先后
抽出来的各个单位被抽中机会是不相等的。例如
13
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念和影响抽样误差的
主要因素
（一）抽样误差的概念
抽样误差是指样本指标与总体指标之间
的离差。具体地讲，就是样本平均数与
总体平均数的离差（即 ），或样
本成数与总体成数的离差（即 ）。
16
在抽样中误差的来源有许多方面。
其中一类是登记性误差，即在调查过程中
由于观察、测量、登记、计算上的差错所
引起的误差，这类误差是所有统计调查都
可能发生的。
另一类是代表性误差，即样本各单位的结
构不足以代表总体而引起的误差。
17
代表性误差的发生有以下两种情况：
一种是由于违反抽样调查的随机原则，如有意地
多选较好的单位或较坏的单位进行调查。这样做，
所据以计算的抽样指标必然出现偏高或偏低现象，
造成系统性的误差。系统性误差和登记性误差都
是不应当发生的，是可以也应该采取措施避免发
生或将其减小到最小限度。
另一种情况是，即使遵守随机原则，由于被抽选
的样本有各种各样，只要被抽中的样本其内部各
单位被研究标志的构成比例和总体有所出入，就
会出现或大或小的偶然性代表性误差。
18
我们所讲的抽样误差就是指这种偶然性代表性误差。
即按随机原则抽样时，在没有登记性误差和系统性
误差的条件下单纯由于不同的随机样本得出不同估
计量而产生的误差。抽样误差是抽样调查所固有的，
是无法避免与消除的，但可以运用数学方法计算其
数量界限，并通过抽样设计程序控制其范围，所以
这种抽样误差也称为可控制误差。
需要指出，抽样误差不是固定不变的数，它的数值
是随样本不同而变化的，所以它也是随机变量。
19
（二）影响抽样误差大小的因素
1、样本单位数的多少
2、总体被研究标志的变异程度
3、抽样方法
4、抽样调查的组织形式
20
二、抽样平均误差
（一）抽样平均数的抽样平均误差
计算平均数的抽样平均误差的理论公式为：
表示抽样平均误差
该公式表明了抽样平均误差的意义。但是当总体单
位数较大，而抽取的样本单位数也较大时，样本
可能数目就非常大。即使求出样本可能数目，上
述公式仍然不适用，这是因为，在该公式中出现
了总体平均数。这也正是抽样调查所要推算出的
数值，实践中是不知道的。
21
抽样调查实践中用来计算抽样平均误差的基
本公式是根据定义公式推导出来的。数理统
计证明，在重复抽样条件下，抽样平均误差
与总体标准差成正比，与样本单位数的算术
平方根成反比。即：
22
现以4个工人的日产量为例来验证两个公式
的计算结果是相同的。
[例1] 设4个工人的日产量分别为40、42、46、
48件。则平均日产量与平均日产量的标准差
如表8—1，则：
23
序
号
样本变量（ ） 样本平均数
（ ）
离差
（ ）
离差平方
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
40 40
40 42
40 46
40 48
42 40
41 42
42 46
42 48
46 40
46 40
46 42
46 48
48 40
48 42
48 46
48 48
40
41
43
44
41
42
44
45
43
44
46
47
45
45
47
48
－4
－3
－1
0
－3
－2
0
1
－1
0
2
3
0
1
3
4
16
9
1
0
9
4
0
1
1
0
4
9
0
1
9
16
合
计
－ － 704 － 80
24
如果从总体中随机抽出2个单位进行调查，则抽样平均误差：
抽样平均误差：
25
不重复抽样条件下计算公式为：
通过比较不重复抽样条件下和重复抽样条件下的公式可以看
出，根号下相差
我们把这个式子叫做修正因子。不难看出当N较大时，
与 的计算结果是十分接近。因此，当N较大时在不
重复抽样条件计算抽样平均误差的公式可采用时
26
[例2] 从某厂生产的10000只日光灯管中随机抽取100只进行检
查，假如该产品平均使用寿命的标准差为100小时，试计算
该厂日光灯管平均使用寿命的平均误差。
解：在重复抽样条件下
在不重复抽样条件下
27
抽样成数的抽样平均误差
如用 表示抽样成数的抽样平均误差,其公式为：
在重复抽样条件下
在不重复抽样条件下
以上所有的公式中，不论是抽样平均数的抽样平均误
差，还是抽样成数的抽样平均误差，所用的标准差都
是全及总体的标准差。但实际上，无论是在抽样之前，
还是在抽样之后，全及总体的标准差都是未知的。所
以，一般都用样本总体的相应指标来代替。
28
[例3] 从某厂生产的10000件产品中，随机抽取1000
件进行调查，测得有85件为不合格。试求产品合格
率的抽样平均误差。
解：根据条件可知，合格率P==%
1.在重复抽样条件下
= = %
2. 在不重复抽样条件下
=
29
三、抽样极限误差
（一）抽样极限误差的概念
抽样极限误差是指样本指标和总体指标之
间抽样误差的可能范围。由于总体指标是
一个确定的数，而样本指标则是围绕着总
体指标左右变动的量，它与总体指标可能
产生正离差，也可能产生负离差，样本指
标变动的上限或下限与总体指标之差的绝
对值就可以表示抽样误差的可能范围，我
们将这种以绝对值形式表示的抽样误差可
能范围称为抽样极限误差。
30
抽样极限误差的计算公式
基于概率估计的要求，抽样极限误差通常需要以抽
样平均误差或为标准单位来衡量。把极限误差或
分别除以或，得相对数t，它表示误差范围为抽样
平均误差的若干倍，t是测量估计可靠程度的一个
参数，称为抽样平均误差的概率度。
31
抽样估计的概率度是表明抽样指标和总体指标的误
差不超过一定范围的概率保证程度。由于抽样指标
值随着样本的变动而变动，它本身是一个随机变量，
因而抽样指标和总体指标的误差仍然是一个随机变
量，并不能保证误差不超过一定范围这个事件是必
然事件，而只能给以一定程度的概率保证。因此，
就有必要来计算抽样指标和总体指标的误差不超过
一定范围的概率大小，即计算抽样指标落在一定区
间范围内的概率，这种概率称之为抽样估计的概率
度。
32
根据计算极限误差的基本公式 概率度t
的大小根据对推断结果要求的把握程度来确定，即
根据概率保证程度的大小来确定。概率论和数理统
计证明，概率度t与概率保证程度F（t）之间存在着
一定的函数关系，给定不同的t值，就可以计算出
F（t）来，相反，给出一定的概率保证程度F（t），
则可以根据总体的分布，获得对应的t值。在实际应
用中，因为我们所研究的总体大部分为正态总体，
对于正态总体而言，为了应用的方便编有“正态分
布概率表”供使用时查值。根据“正态分布概率表
”，已知概率度t可查得相应的概率保证程度F（t）；
相反，已知概率保证程度F（t）也可查得相应的概
率度t。现将几个常用的对应数值列于下表。
33
常用概率度与概率保证度表
概率度t 概率F(t)
(%)
34
从抽样极限误差的计算公式看，极限误差 与概
率度t和抽样平均误差 三者之间存在如下关系：
1、在保持不变的情况下，增大t值，把握程度相
应增加，误差范围 也随之扩大，这时估计的精
确度 将降低；反之，要提高估计的精确度，就
得缩t值，此时把握程度也会相应降低。
2、在t保持不变的情况下，抽样平均误差 小，
则误差范围就小，估计的精确度 就高；反之，
抽样平均误差 大，误差范围就大，估计的精确
度 就低。
35
第三节 抽样估计的方法
抽样估计是用抽样资料来估计相应的全及总体指标
的数值，而全及指标是表明总体数量特征的参数，
所以这种估计也可以称为参数估计。总体参数的估
计有点估计和区间估计两种方法。
点估计和区间估计
点估计是以抽样指标数值直接作为总体指标估计
值的一种估计方法 。点估计的方法优点是简便易
行，原理直观，常为实际工作采用。但不足之处
是没有表明抽样估计的误差，更没有表明误差在
一定范围内的概率保证程度有多大。要了解这个
问题，就必须采用区间估计方法。
36
区间估计
区间估计的概念
区间估计区别于点估计有三点：
区间估计不像点估计那样用一个数值对总体指
标进行估计，而是用一个范围对总体指标进行
估计；
点估计是一个确切的估计值，而区间估计的是
区间，根据概率度的要求可宽可窄；
点估计无法回答估计值的把握程度，而区间估
计可以回答估计区间的把握程度。
37
区间估计的模式
1、根据已给定的抽样误差范围，求概率保证程
度。具体步骤是：
第一步，抽取样本，计算抽样指标，即计算样本平均
数和抽样成数p，作为总体指标的估计值，并计算样本
标准差s以推算抽样年均差。
第二步，根据给定的抽样极限误差范围，估计总体指
标的上限和下限。
第三步，将抽样极限误差除以抽样平均误差，求出概
率度t，再根据t值查《正态分布概率表》求出相应的概
率保证程度。
38
[例4] 对一批某型号的电子元件进行耐用
性能检查，按重复随机抽样的资料分组列
表如下，要求估计耐用时数的允许误差范
围=小时，是估计该批电子元件的平
均耐用时数（见表8—3）。
39
表8—3
耐用时数 组中值 抽样检查结果（只）
900以下
900—950
950—1000
1000—1050
1050—1100
1100—1150
1150—1200
1200以上
875
925
975
1025
1075
1125
1175
1225
1
2
6
35
43
9
3
1
合计 — 100
40
第一步，计算， s, :
第二步，根据给定的 =小时，计算总体平均数的上下
限：
下限= =–=1045（小时）
上限= =+=1066（小时）
41
第三步，根据 ，查正态分布概
率表得概率F（t）=%。
推断的结论是：以%的概率保证程度，
估计该批电子元件的耐用时数在1045—1066
小时之间。
42
[例5] 仍用上例资料，设该厂的产品质量检验
标准规定，元件耐用时数达1000小时以上为
合格品，要求合格率估计的误差范围不超过
4%，试估计该批电子元件的合格率。
第一步，计算p, , :
43
第二步，根据该给定的 =4%，求总体合格率
的上下限：
下限 = = 91%–4% = 87%
上限 = = 91% + 4% = 95%
第三步，根据 ， 查正态分布概率
表得概率F（t）= %。
通过计算得出如下估计：即可以%的概率保
证程度，估计该批电子元件的合格率在87%—
95%之间。
44
2、根据已给定的置信度，求抽样极限误差。具
体步骤是：
第一步，抽取样本，计算抽样指标 ，即计算样
本平均数和抽样成数p，作为总体指标的估计值，
并计算样本标准差s以推算抽样平均误差。
第二步，根据给定的置信度F（t）的要求，查正
态分布概率表求得概率度t值。
第三步，根据概率度t和抽样平均误差 推算抽
样极限误差 ，并根据抽样极限误差求出被估
计总体指标的上下限。
45
[例6] 对我国某城市进行居民家庭人均旅游消
费支出调查，随机抽取400户居民家庭，调查
得知居民家庭人均年旅游消费支出为350元，
标准差为100元，要求以95%的概率保证程度，
估计该市人均年旅游消费支出额。
第一步，根据抽样资料已算得：
样本每户年人均消费支出 =350（元）
样本标准差 = 100（元）
（元）
46
第二步，根据给定的概率保证程度F（t）=95%
，查得正态分布概率表得t = 。
第三步，计算 （元）则该
市居民家庭年人均旅游消费支出额：
下限 = = 350– = （元）
上限= = 350+ = （元）
结论：我们可以95%得概率保证程度，估计该市
居民家庭年人均旅游消费支出额在元—
元之间。
47
[例7] 某市电视台为了解观众对某电视栏目的
喜爱程度，在该市随机对900名居民进行调查，
结果有540名喜欢该电视栏目，要求以90%的
概率保证程度，估计该市居民喜欢该电视栏
目的比率。
第一步，根据抽样资料计算：
样本喜欢程度比率
48
第二步，根据给定的置信度F（t）= 90% ，查正
态分布概率表得概率度t = 。
第三步，计算 ，则总体比
率的上下限为：
下限 = = 60% –% = %
上限 = = 60% + % = %
结论：我们可以概率90%的保证程度，估计该市
居民对此电视栏目喜爱的比率在%—
%之间。
49
第四节 抽样的组织方式
抽样调查有四种基本的组织方式，即简单随
机抽样、等距抽样、分类抽样、整群抽样。
在具体的抽样调查中，可根据调查对象的特
点，单独使用其中一种方式，也可以多种方
式结合使用。
一、简单随机抽样
简单随机抽样也叫纯随机抽样。它是指在进
行抽样时，对全及总体不经过任何形式的整
理和加工，完全凭借偶然的机会从总体中抽
取样本单位的抽样方式。
50
简单随机抽样
直接抽选法 抽签法 查随机数表法
直接抽选法是指直接从调查对象中随机抽选。例如，
从仓库中存放的所有同类产品中随机指定若干件产
品进行质量检验；从粮食仓库中不同的地点取出若
干粮食样本进行含杂量、含水量的检验等。
抽签法即先将全及总体各个单位按照某种自然的顺
序编上号，并做成号签，再把号签掺合起来，任意
抽取所需单位数，然后按照抽中的号码取得对应的
调查单位加以登记调查。
51
随机数表是指含有一系列组别的随机数字的表格。
这种表格的编制，即可以借助电子计算机产生，也
可以采用数码机产生或自己编制。表中数字的出现
及其排列是随机形成的。
利用随机数表进行抽样的具体步骤是：
①先取得一份调查总体所有元素的名单（即抽样框）；
②将总体中所有元素一一按顺序编号；
③根据总体规模是几位数来确定从随机数表中选几位数码；
④以总体的规模为标准，对随机数表中的数码逐一进行衡量
并决定取舍；
⑤根据样本规模的要求选择出足够的数码个数；
⑥依据从随机数表中选出的数码，到抽样框中去找出它所对
应的元素。
52
下表就是对
3000人的总
体进行抽样
时，我们采
用后四位数
码进行取舍
的例子，见
表8—4：
53
二、类型抽样
类型抽样也叫分类抽样。它是运用统计分组法，
把全及总体按主要标志划分为几个类型组，然后
在各组中再按随机原则抽取样本单位的组织形式。
类型抽样有以下两个好处：
第一，可以提高样本的代表性。
第二，可降低影响抽样平均误差的方差。
54
经过划类分组后，确定各类型组抽样单位数一般有
两种方法：
1、不等比例抽样。即各类型组所抽选的单位数，按
各类型组标志值的变动程度来确定，变动程度大的
多抽一些单位，变动程度小的少抽一些单位，没有
统一的比例关系。
2、等比例抽样。即按照样本单位数在各类之间分配
的比重与总体在各类之间分配相同的比重进行抽样。
55
56
57
58
59
三、等距抽样
等距抽样又称机械抽样。它是先将总体单位按一定
标志排列起来，而后按固定顺序和一定距离来抽取
样本单位的抽样方式。
采用机械抽样对总体单位进行排队，必须选择一定
的标志。这种标志的选择有两种情况：一是按无关
标志；二是按有关标志。无关标志就是和研究现象
毫无关系的一个标志。有关标志就是和被研究现象
有关系的标志。
60
四、整群抽样
整群抽样与前几种抽样的最大区别在于，它的抽样
单位不是单个的个体，而是成群的个体。它是将总
体各单位划分成若干群。然后以群为单位，从中随
机抽取一些群，对中选群的所有单位进行全面调查
的抽样方式。整群抽样与类型抽样对比，虽然两者
都是将总体划分许多组，但划分组的作用却不同。
类型抽样划分的组称为“类”，它的作用是缩小总
体，使总体的差异减少。而抽取的样本仍是总体单
位；整群抽样划分的组是“群”，它的作用却是扩
大单位。
整群抽样的优点，是组织工作比较方便，但是抽样
误差较大，代表性较低。
61
62
第五节 必要抽样单位数的确定
确定必要抽样数目的意义
必要抽样数目是指为了完成抽样调查任务，
满足抽样调查的各项要求而科学计算的需
要抽取的样本单位数。即样本单位数
“n”的具体数值，也叫样本容量。
63
影响必要抽样数目的因素
总体各单位间的标志变异程度
极限抽样误差的大小
调查结果的概率保证程度
抽取样本单位的方法
64
必要抽样数目的计算公式
简单随机抽样方式的必要抽样数目的公式
65
[例9] 对某油田的2000口油井的年产油量进行抽样
调查。根据历史资料可知，油井年产油量的标准差
为200吨，若要求抽样误差不超过15吨，概率保证
程度为%，试求需要调查多少口油井
解：F（t）= % t = 2
66
67
[例10] 对某工厂的一批机械零件的合格率进行抽样
调查，根据过去的资料，合格率曾有过99%、97%
和94%三种情况，现要求允许误差不超过1%，要求
推断的把握程度为%，问需要抽取多少个零件。
解： （件）
p(1-p) 取最大值，即需抽取2256件产品才能满足要
求。
68
（二）类型抽样方式必要抽样数目的计算公式
类型抽样方式也有等比例抽样和不等比例抽样两种
方式。
69
（三）等距抽样方式必要抽样数目的计算公式
等距抽样一般都采用不重复抽样的方式，按无关标
志排队的抽样，用简单随机不重复抽样公式确定样
本容量；按有关标志排序的抽样，用类型不重复抽
样公式确定样本容量（公式从略）。
（四）整群抽样方式必要抽样数目的计算公式
整群抽样一般采用不重复抽样，它的必要抽样数目
的计算公式和简单随机抽样的计算公式从结构上讲
基本上是一致的。其不同之处有两个方面：一是标
志变异指标不同。简单随机条件下必要抽样数目计
算公式中的标志变异指标是总体方差。而整群抽样
条件下的计算公式是群间方差
70
二是采用的单位数目不同。简单随机抽样公式中
总体单位数和样本单位数分别用N、n表示。而整
群抽样公式中总体群数和抽样群数分别用R、r表
示。其计算公式为：
71
确定必要抽样数目应该注意的问题
必要抽样数目应大于30。
实际调查时可对计算的必要抽样数目进行调整。
当总体单位数不大时，如果采用不重复抽样的方
法抽取样本，必须应用不重复抽样的计算公式计
算必要抽样数目；当总体单位数很大时，虽然采
用不重复抽样方法，亦可采用重复抽样的计算公
式计算必要抽样数目。
当抽样调查是为了检验全面统计数字的质量时，
全及总体的标志变异指标 或p(1–p)是有实际资
料的，可以直接代入公式计算必要抽样数目。
72
如有几个方差可以选用时，宜选择最大数
值。
一个总体往往同时计算抽样平均数和抽样
成数。由于它们的方差和允许误差范围不
同，因此，需要的必要抽样数目也不相同。
为了防止由于样本单位数不足而扩大抽样
误差，在实际工作中往往根据比较大的必
要抽样数目进行抽样，以满足共同的需要。
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[例11] 对生产大型号的电池进行抽样调查，
据以往资料知道，电流强度的标准差为
安培，合格品率为95％。现用重复抽样方
式并以％的概率保证程度做保证，抽
样平均电流强度的极限误差不超过安
培，抽样合格率的极限误差不超过5％，试
求必要抽样数目。
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