第七章
再保险定价与准备金评估
第七章 再保险定价与准备金评估
再保险的类型
最优自留额
再保险形式的选择－最优再保险
再保险定价
再保险准备金评估
再保险，也称分保，是保险公司在保险合同的基础
上，通过签订分保合同，转嫁其所承担的风险和责
任的方式，也就是对保险人的保险。
再保险与原保险比较：
相同点：都要计算保费，计提准备金
不同点：承保对对象不同，再保险承保的是原保险人
的责任，原保险承保的是被保险人的风险。
再保险的类型
再保险的类型
1、按险种：
财产险再保险
责任险再保险
人寿险再保险
意外险再保险
2、按是否签订合约：
临时再保险
合约再保险
预约再保险
再保险的类型
3、按再保费与总保费之比是否等于再保险人分
担的赔款与总赔款之比：
比例再保险
非比例再保险
溢额再保险
成数再保险
险位超赔再保险
事故超赔再保险
赔付率超赔再保险
基本符号
C：总赔款
N：原保险人承担的赔款
R：再保险人承担的赔款
I：保险金额
f(c)：总赔款的概率密度函数
F(c)：总赔款的分布函数
比例再保险
比例再保险，是以保险金额为基础来确定分出公司自
留额和接受公司分保额的再保险方式。
分出公司的自留额和接受公司的分保额是按保险金额
的一定比例来分配的，分出公司和接受公司对于保险
费分配及赔款的分配也按保险金额的同一比例进行。
分类：
成数再保险
溢额再保险
成数再保险
成数再保险（quota share reinsurance），指原保险人
将每一风险单位的保险金额按约定的比例向再保险人
分保的方式。
不论分出公司承保的每一风险单位保险金额的大小，
只要在合同规定的最高限额内，都按照双方约定的比
例来分担责任、分配保险费、分摊赔款。分保比例是
事先约定、固定不变的。
特点：手续简便，节约成本。
适用范围：规模较小或新开业的保险人；缺乏业务经验
的保险人；同一资本系统的子母公司之间的分保。
成数再保险
原保险人
自留赔款：
自留赔款的期望与方差：
再保险人
分保赔款：
分保赔款的期望与方差：
其中Q：成数再保险的分保比例
结论：期望和方差按比例分配，未减少保险人的相对变异性。
例（成数再保险）
原保险金额 自留保险金额 分出保险金额 其他
40 000 12 000 28 000
100 000 30 000 70 000
500 000 150 000 350 000
1 500 000 300 000 700 000 500 000
在一份成数再保险合同中，每一危险单位的最高限额为
100万元，分出公司自留30%，分出70%，则在不同情况
下，双方的责任分配如下表（单位：元）。
表中第4笔的保险金额为150万元，超过了100万元的合同限
额，则超过部分的50万元将列入其他合同或安排临时再保
险，否则仍由分出公司自己承担。
溢额再保险
溢额再保险（surplus reinsurance），指分出公司确定
出一定的自留额，以自留额的一定倍数作为分出额，
并分别按照自留额与分出额对保额的比例来分配保费
和分摊赔款的再保险方式。
原保险人确定的自留额称为“一线”，分保限额是自
留额的一定倍数，也称为“线数”。分出公司可根据
业务发展需要，在原溢额基础上，设置多层次的溢额，
作为对普通溢额（即第一溢额）的补充。
特点：分出公司可以自由决定自留额，相对于成数再保
险，比较符合分散风险的再保险原则。
溢额再保险
原保险人
自留赔款：
自留赔款的期望与方差：
再保险人
分保赔款：
分保赔款的期望与方差：
其中S：自留额，I(i)：风险i的保险金额，C(i)：总赔款。
结论：溢额再保险一般能够有效削减原保险人赔款的变异性。
例（溢额再保险）
一份溢额再保险合同，分出公司自留额为10万元，接受公
司分保限额为5条线，合同限额为50万元，合同容量为60万
元。在不同情况下双方责任分配如下表（单位：万元）。
原保险金额 4 15 50 100
自留额(自留比例) 4(100%) 10(67%) 10(20%) 10(10%)
分保额(分保比例) 0 5(33%) 40(80%) 50(50%)
其他 0 0 0 0
赔款 3 10 40 80
自负赔款 3 8 8
分出赔款 0 32 40
其他 0 0 0 32
当保险业务的保险金额为100万元，超过了溢额再保
险合同的容量，则超过部分的40万元将放入其他合同
或安排临时再保险。
上表中，由于每笔保险业务的保险金额不同，每笔保
险业务的分保比例也不同，双方的责任比例是变化的。
例（溢额再保险）
非比例再保险
非比例再保险，以赔款金额为基础确定分出公司自负
责任和接受公司分保责任的再保险方式。
当分出公司的赔款超过约定的额度或标准时，其超出
部分由接受公司在一定的额度或标准内承担。
分类：
险位超赔再保险
事故超赔再保险
赔付率超赔再保险
险位超赔再保险
险位超赔再保险（excess of loss per risk basis），也
称超额损失再保险，以每一风险单位所发生的赔款金
额为基础来计算原保险人的自负责任和分入公司的分
保责任。
赔付以一次事故所引起的一次赔款为基础。
特点：可以保障一般的损失；控制分出公司对每一风
险单位的自负责任；只适用于一般性保险业务，无法
应对巨灾损失。
险位超赔再保险
原保险人
自留赔款：
自留赔款的期望与方差：
再保险人
分保赔款：
分保赔款的期望与方差：
结论：超额损失再保险可以显著削减原保险人赔款的变异性。
例（险位超赔再保险）
假定有一份超过50万元以后的100万元的险位超赔分
保合同，在一次事故中，有5个风险单位受损。如果
每次事故对风险单位的个数没有限制，则分出公司和
分入公司对赔款的分摊见下表（单位：万元）。
风险单位 发生赔款
分出公司
自担赔款
接受公司
分摊赔款
1 20 20 0
2 50 50 0
3 150 50 100
4 200 100 100
5 250 150 100
共 计 670 370 300
例（续）
但如果每次事故有风险单位的限制，假定为风险单位
是2个，则接受公司只承担2个风险单位的损失，其余
损失由分出公司自己承担，则分出公司和分入公司对
赔款的分摊见下表（单位：万元）。
风险单位 发生赔款
分出公司
自担赔款
接受公司
分摊赔款
1 20 20 0
2 50 50 0
3 150 50 100
4 200 100 100
5 250 250 0
共 计 670 470 200
事故超赔再保险
事故超赔再保险（excess of loss per event basis），
也称为巨灾超赔再保险，以一次事故中所造成的总赔
款金额为基础确定分出公司自负责任和分入公司接受
责任的一种超赔分保方式。
在一次事故中许多风险单位同时发生损失，赔款总额
超过自负额时，超过部分由分入公司负责至一定额度。
一次事故的划分至关重要，如，可以规定台风、飓风、暴风
连续48小时为一次事故；地震、洪水连续72小时为一次事故；
其他巨灾事故连续168小时为一次事故。
特点：适用于异常灾害或巨额风险，具有防范巨灾的作用。
例（事故超赔再保险）
假定有一份超过50万元以后的100万元的事故超赔分保
合同，在1年中发生了4次事故，则分出公司和分入公
司对赔款的分摊见下表（单位：万元）。
事故 发生赔款
分出公司
自担赔款
接受公司
分摊赔款
1 50 50 0
2 150 50 100
3 200 100 100
4 250 150 100
合 计 650 350 300
赔付率超赔再保险
赔付率超赔再保险（excess of loss ratio），又称为停
止损失再保险，是以某一业务在一定时期的赔付率为
基础来确定分出公司自负责任与分入公司接受责任的
再保险方式。
赔付率，即保险公司已决赔款与已赚保费的比例。在
约定时期内（一般为1年），当赔付率超过一定标准
时，由再保险人就超过部分负责至某一赔付率或金额，
两者以低者为限。
例（赔付率超赔再保险）
赔付率超赔合同规定，赔付率在60%以下由分出公负
责，60%至100%之间的部分由分入公司负责，并规
定赔付限额为50万元，两者以较小者为准。则分出公
司和分入公司各自承担的责任见下表（单位：万元）。
年份 保费收入
已发生
赔款
赔付率
分出公司
自担赔款
接受公司
分摊赔款
1 200 150 75%
200×60%＝
120
200×15%
＝30
2 200 200 100% 150 50
最优自留额
对于保险人来说，自留额的确定是一个两难的
选择：
一方面，如果自留额过高，则可能因为承担风险
过多而使偿付能力降低，甚至会因巨灾损失而破
产；
另一方面，如果自留额过低，则可能流失大量利
润。
最优自留额
1. 绝对自留额
绝对自留额，就是通过对初始准备金的规定及保险人
愿意承受的最大破产概率的控制以调控绝对自留额。
由如下的方程组来确定绝对自留额：
其中：ε — 保险人可以承受的最大破产概率；
u — 保险组合的初始准备金；
k — 调节系数；
— 原保险人在再保险后的利润。
1. 绝对自留额
绝对自留额的适用范围：
保险人对自留额的精度要求不是很高时；
保险人缺乏经验和足够的信息，无法对风险分门别
类地计算自留额时；
各类风险单位同质性较高，可以忽略彼此间的差异
时；
保险人追求管理的简化以降低成本、减少计算量为
主要目标时。
最优自留额
2. 相对自留额
相对自留额，以一定的代价－流出的利润，换取最大
的收益－再保后风险最小，即用最小收益－最小方差
原理，确定出的自留额。
这一原理表达式为：
其中c为常数。
最优自留额
2. 相对自留额
相对自留额的适用范围：
精度要求较高时；
保单的非同质性现象严重时；
保险人拥有较丰富的经验数据时。
最优自留额
再保险形式的选择－最优再保险
再保险有多种不同的形式，哪一种再保险形式对原保
险人最为有利？
评判最优再保险的标准有两个：
在支付相同保费的情况下，使得原保险人的期望效用达
到最大；
在支付相同保费的情况，使得原保险人的风险降到最小。
根据期望效用最大化原理，如果决策人为风险厌恶者，
则他的行为准则是为了获得最大期望效用，而不是为
了获得最大期望金额。
再保险形式的选择－最优再保险
若保险人以效用最优作为最好的选择标准，则有：
定理 如果保险人在制订计划时，满足如下条件：
1）保险组合的初始准备金为w ；
2）保险人是风险厌恶型的，即u’(x)≥0，u’’(x)≤0 ；
3）保险组合在一段时间内总损失为Z，保险人用于分保的
保费为c ；
4）再保险人承担的风险为 ，且0 < <Z；
5）再保险人收取的保费为 ，其中 为再保险人
的安全附加系数；
6）忽略费用与正常的利润附加。
再保险形式的选择－最优再保险
则采用赔付率超赔再保险能够使期望效用达到最大。
即：
其中ρP是方程 所对应。
再保险形式的选择－最优再保险
如果追求效用最优改成风险最小来衡量，仍然有相
同的结论，即采用赔付率超赔再保险的保险人的风
险达到最小。
如果再保险形成局限于以一次损失或一次事故理赔
为基础，则也有类似的结论。
再保险定价
再保险定价，是指确定出各种再保险合同中原保险
人应该向再保险人支付的保费。
再保险有多种类型和安排，且再保险的出发点与面
对的对象与原保险人完全不同。
一般来说，再保险的定价与原保险定价完全不同。
损失波动性和损失估计对再保险定价尤为重要。
原保险合同通常是标准化的，而再保险合同往往是个性
化的，其中的保险期限、损失界定、佣金安排、再保费
和赔款的支付时间等都是因合同而异的。
由于赔付数据是由原保险公司提供的，可能存在一定的
扭曲，再保险公司要得到可靠的赔付数据比较困难。
再保险承保的风险具有索赔频率低、损失金额比较大、
赔付波动大的特点。一般而言，预期索赔频率越低，则
相关预期结果的差异性就越大，风险程度越高。
再保险事故从发生、报告和索赔处理都存在较长的延迟，
还会带来赔付通胀等新问题。
再保险定价与原保险定价的区别
以非比例再保险中的事故超赔再保险为例。
假设在某事故超赔再保险合同中，损失金额X的分布
函数为F(x)，密度函数为f(x)，原保险人的自负额为r。
假设XN是原保险人承担的赔款，XR是再保险人承担
的赔款。则有：
原保险人承担的期望赔款：
再保险人对每次事故承担的期望赔款（包括零赔款）：
再保险期望赔款
例
假设某项保险业务的索赔频率为，赔款金额服从
均值为1000万元，标准差为1500万元的帕雷托分布
Pareto(α,λ)分布，密度函数和分布函数分别为：
如果事故超赔再保险合同规定，再保险公司承担损失
超过2000万元的赔付责任，求再保险人的期望赔款。
例答案：
帕雷托分布Pareto(α,λ)分布的均值和方差分别为：
解得：
则再保险人对每次事故承担的期望赔款为：
由于索赔频率为，则再保险人的期望赔款为：
再保险的总保费计算公式：
分保佣金：再保险人支付给原保险人的费用；
经纪人佣金：根据再保费的一定比例计算，支付给再保险
的中介机构。
内部费用：根据再保险人的实际现金保费收入的一定比例
计算，随再保险业务而变化。
纯再保费：再保险人用于支付赔款、获取利润的保费。
再保险费
外部
费用
例
假设再保险人的期望赔款为10万元，再保险利润附加
率为20%，再保险人的内部费用率为10%，分保佣
金率为25%，经纪人佣金率为5%。
则再保费为：
例
在实际应用中，再保费通常为原保险费的一定比例。
假设原保费为500万元，再保费为原保险费的4%，
此时，实际再保险费为20万元。
如果实际再保险费为20万元，则再保费扣除外部费用
后的余额（即实际现金保费收入）为：
再保险人的利润附加为：
(1) 收集整理原保险人在不同风险类别的风险、费用和费率
信息，并根据主要费率因子进行分类；
(2) 计算每个风险单位的期望损失（PVRELC）或损失率。
假定原保险保费为PCP，则损失率=PVRELC/PCP；
(3) 收集原保险的赔款数据，根据主要费率因子进行分类；
(4) 从赔款数据中剔除赔巨灾风险赔付金额；
(5) 把赔款数据调整到定价日期的水平（如：进行通货膨胀
调整）；
(6) 把赔款数据进行损失发展的调整，预测最终赔款；
再保险定价的一般步骤
(7) 估计潜在的巨灾风险损失；
(8) 把历史的风险情况调整到定价日期的水平；
(9) 根据经验数据估计再保险人的期望赔款或损失率；
(10)根据风险的损失金额与经验损失率，采用信度理论确定
一个“可信”的损失金额与损失率；
(11)估计再保险累积赔款的概率分布；
(12)确定再保险分保佣金率（RCR）、再保险内部费用率
（RIXL）和再保险人的利润附加率（RTER）；
(13)与原保险人进行谈判、协商，最终确定再保险的价格。
再保险定价的一般步骤（续）
再保险准备金评估
再保险公司提存的准备金种类与非寿险公司一致，包
括：未决赔款准备金和未到期保费准备金。
未决赔款准备金包括：
原保险人已报案的未决赔款准备金；
对某些个案提存的额外准备金金
上述两种准备金的未来进展；
纯IBNR准备金；
不利偏差准备金。
再保险准备金评估的特点
报案延迟时间较长。
与原保险相比，再保险的报案延迟更加显著。因为只有当原
保险人最终确定损失之后，才能确定损失是否达到了再保险
合同的起赔点。
缺乏充足有效的数据。
原保险人一般只报告超过起赔点的赔案信息，再保险人无法
获得所有的损失信息。
受赔付膨胀的影响十分显著。
物价上涨、工资上涨、法律环境变化、医疗技术进步等会引
起赔付膨胀。
具有更大的不确定性。
原保险人分出的主要是高风险业务，因此，再保险人承保的
业务具有更大的波动性。
再保险准备金评估方法
再保险业务根据其尾部特征，可分为：
短尾业务
事故发生后很快理赔结案的业务，如大多数财产再保险业务。
根据已赚保费的百分比或应用赔付率方法估计准备金。
中尾业务
平均索赔延迟在2年以内，且在5年内可以结案的业务。如：
建筑工程保险、忠诚保证保险、海洋运输保险等再保险业务。
采用链梯法评估准备金。
长尾业务
平均索赔延迟在2年以上，且需要很长时间才能理赔结案，如
石棉、污染等责任保险的再保险。
一般采用S-B法（standard-Bühlmann）评估准备金。
S-B法
保险公司在第k个事故年的IBNR准备金为：
累积已报案赔款比例：是链梯法中进展因子的倒数，因
为已报案赔款×累积进展因子=最终赔款。
风险纯保费：从再保险费中扣除分保佣金、经纪人佣金、
再保险人内部费用后的余额。为消除不同年度在费率上
的差异，需要对各事故年的风险纯保费进行调整。
S-B法
r表示期望赔付率，P表示经调整的已赚风险纯保费，
F表示已报案赔款比例，C表示累积已报案赔款，则：
故期望赔付率：
例
假设某业务的数据见下表，且在第6年末，累积已报
案赔款比例可达到100%，分别应用S-B法和链梯法
计算该业务的IBNR准备金。
事故年
(1)
已赚风险
纯保费
(2)
经调整的已赚
风险纯保费
(3)
累积已报
案赔款
(4)
累积已报案
赔款比例
(5)
已报案赔款
对应的保费
(6)=(3)×(5)
2000 2000 2500 1500 100% 2500
2001 2500 2500 1600 95% 2375
2002 3000 2500 1700 85% 2125
2003 3500 3000 2000 75% 2250
2004 4000 4000 2500 60% 2400
2005 4500 4500 2800 50% 2250
合计 19500 19000 12100 13900
例答案
先计算赔付率：
分别应用S-B法和链梯法求得各个事故年的IBNR估
计值见表。
可见，链梯法对最近两个事故的赔付率估计偏高，而
S-B法的估计结果更加合理。事实上，对于尾部越长
的业务，S-B法的估计结果会越合理。
表 S-B法与链梯法准备金评估比较
事故年
(1)
S-B法的IBNR
(7)=r×(3)×[1-
(5)]
S-B法的赔付率
(8)=[(4)+(7)]/(3)
链梯法的IBNR
(9)=(4)/(5)-(4)
链梯法的赔付率
(10)=[(4)+(9)]/(3)
2000 0 60% 0 60%
2001 109 68% 84 67%
2002 326 81% 300 80%
2003 653 88% 667 89%
2004 1393 97% 1667 104%
2005 1959 105% 2800 124%
合计 4440 87% 5518 93%
信度IBNR
某些情况下，如果对S-B法的费率调整没有把握，可
用加权的方法把链梯法和S-B法的结果综合使用，即
信度IBNR。
确定权重时，对于早期的事故年，应赋予链梯法较大
权重，对于近期的事故年，应赋予S-B法较大权重。
例如：上例中，赋予链梯法的权重为：
可得信度IBNR的估计结果见表。
表 信度IBNR评估结果
事故年
累积已报案赔
款比例
S-B法的IBNR 链梯法的
IBNR
信度IBNR
2000 100% 0 0 0
2001 95% 109 84 97
2002 85% 326 300 315
2003 75% 653 667 658
2004 60% 1393 1667 1475
2005 50% 1959 2800 2169
合计 4440 5518 4714
