第!!卷 第"期 运 筹 与 管 理 #$%&!!，’$&"
())(年!)月 *+,-./0*’1-,1,.-23.’45.’.6,5,’/120,’2, *78&，())(
收稿日期：())(9)"9):
基金项目：国家自然科学基金项目（;<<;))!"和;)!=()!"）
作者简介：谢赤（!<>?9），男，湖南人，博士，教授、博士生导师，主要研究方向：金融工程与金融管理。
组合投资!调整与效用最大化的套期比的选择
谢赤
（湖南大学 工商管理学院，湖南 长沙=!)):(）
摘 要：为了针对市场风险对风险资产的组合投资进行套期保值，一般认为要选择将使组合投资
多头和期货合同空头结合起来的头寸方差最小化的套期保值比率，也就是要选择使某一特定函数
的期望效用最大化的套期保值比率。但是本文认为，由于种种原因，人们更倾向于选择对简单风
险最小头寸的套期保值比率。
关键词：效用最大化；组合投资；套期比例
中图分类号：@:?(A=: 文章标识码：. 文章编号：!));9?((!（())(）)"9)):;9)>
!"#"$%&’()"*("+,%&-.*/01%&’(2-3%4-#&-’!-35,6&7&8&’(9%&#&%:
B0,2CD
（!"##$%$"&’()*+$)),-+-%$.$+/，0(+-+1+*2$3)*/4，!5-+%)5-=!)):(，!5*+-）
.;1%3,$%：/$CEFGEHI$J8K$%D$$KJDLMNHLLE8LHGHDOL8PHJME8JDLM，8CEIJEQH%EO8QDER7$OLDL8L$K
LE%E78DOG8CECEFGEJH8D$PDODPDSDOG8CEQHJDHO7E$KHI$LD8D$O7$PTDODOGH%$OGI$LD8D$O$O8CE
I$J8K$%D$HOFHLC$J8I$LD8D$O$OHKU8UJEL7$O8JH78，E&G&，LE%E78DOGHCEFGEJH8D$PHVDPDSDOG8CE
EVIE78EFU8D%D8N$KL$PELIE7DKD7KUO78D$O&’EQEJ8CE%ELL，K$JLEQEJH%JEHL$OL，$OEIJEKEJL8$JE9
L8JHDO8CE7C$D7E$KHCEFGEJH8D$O8$HLDPI%EJDLM9PDODPDSDOGI$LD8D$O&
<":=-3*1：PHVDPDSDOGU8D%D8N；I$J8K$%D$；CEFGEJH8D$
) 引言
多年来，人们一直都是将组合投资方法用来选择最优套期保值比以保护风险资产的组合
投资免遭市场风险。为了保护组合投资，就有必要相对于与要套期保值的资产尽可能接近的
指数售出一定数目的期货合同。尽管这种分析也可以应用于其它类型的风险资产，如由固定
利率资产组成或在固定利率资产与权益之间分散的组合投资，但在一般的分析中只使用了某
一给定货币的权益的组合投资。最适合保护这种组合投资的期货合同通常与基于用来尽可能
好地反映相关市场的一般趋势的一定数量的权益之上的金融指数相关联。
万方数据
! 指数基金的套期保值
本文的分析将范围缩小在权益组合投资的情形，它由一些的指数基金所组成。在这种情
况下，组合投资!将等于!。然而，本分析后面可推广到权益组合投资不同于指数方法的地方
以致其!小于或大于!。
为了保护这种指数基金，组合投资的多头结合以相同指数相关的期货合同的相反头寸，这
意味着在这一指数上售出大量的期货合同。目前有三种不同的方法，第一种方法采用了套期
保值头寸的绝对收益"!!"：
"!!""（"#"##"#!）#$（!%"#%"#!）"""#"#$"!%" （!）
其中，#为指数值，%为期货合同价格，$为套期保值比。
套期保值比又定义成
$" &’($／#$
"
&’#$
($
（%）
分子为合同销售数&与合同规模’之积。然后合同数又可作为选择套期保值价值的决
策变量。组合投资初始值($与指数初始值#$之比用作分母。这一方法利用选择如（%）式中
定义的套期保值的单位值。不仅如此，众多学者所使用的这种套期比定义使用起来十分简便。
（!）式中被许多实证研究用作出发点的套期保值头寸收益的定义事实上是建立在一个简
化的假设基础上。多头所获收益的定义"#"中忽略了由于获得权益组合投资分红的收益比
例。这可通过缩短要考虑的保护期限（由一天至几个星期不等）和将最近合同作套期保值工具
来进行调整。实际上在所有的衍生市场中，它总是流动性最大的合同，由此看来，正如
&’()*+,-’所指出的，可以认为红利的风险是可忽略的［!］。
基于套期保值头寸收益率的第二种方法使用了相同的套期保值的定义：
!!$，""
#("#($
($
#
&’#$
($
（
!%"#%$
#$
）""#)，"#$!!*，" （.）
套期保值头寸收益率的这一定义是由马柯维茨提出的均方差组合投资分析方法的一种扩展，
其中忽略了交易成本。事实上，组合投资的多头具有单位度量值（+!"!），期货合同的空头按
照负套期保值比（+%"#$）加权。套期保值头寸收益率对应于多头收益率和空头收益率的加
权平均值。
在目前情况下，权益组合投资由具有与期货合同指数内容相同的指数基金组成，于是在忽
略红利情况下，可以由下面三个形式中的一个来定义权益组合投资的多头收益率：
!!)，""
"#"##$
#$
（/）
!!)，""
#("#($
($
（0）
另一方面，空头收益率由下式给出：
!!*，""
!%"#%$
#$
（1）
为了用这种特殊方法来定义空头收益率，通常要注意采取期货头寸并不需要资本的初始
22 运 筹 与 管 理 %$$%年第!!卷
万方数据
费用。初始费用存款可以公布在付息国库券上，其购买者保持有利息收入。这些购买者所损
失的只是国库券的预防余额功能。
最后，如果要将未来头寸的收益率再表示成期货价格的变动比例，则套期保护头寸的收益
率就可以重新定义成：
!!"，#!
"$#"$#
$#
"
%&’#
$#
(#
’#
!(#"(#
(（ ）# !!!"")
(#
’#
!!#* （$）
!!#*!
!(#"(#
(#
（%）
空头收益率的这种定义恰好说明了套期保持系数较小的适用性，不难理解是由于三种方法是
基于相同思路之上的（（&）式）。
由于许多实证研究给出的前两种方法的风险最小化套期保值比估值非常相似，所以这里
采用这二种方法来选择最优套期保值比。
’ 风险最小化套期保值比
对套期保值目标最一致的理解是选择风险最小化套期保值比，即使得套期保值组合投资
收益的方差最小化的套期保值比，换句话说，收益率方差为
()*!!)!()*!!""’)+,(（!!"，!!*）-)’()*!!* （.）
这一定义与马柯维茨的均方差分析的定义相似。被套期头寸的风险也取决于多头和空头收益
率的方差以及这两个收益率的协方差。每一资产组合的收益方差的权重为（/）式中相同资产
组合定义中的权重和由它们的积所给定的协方差权重的平方。
为了就)使!!)，#的方差最小化，必须要满足下列一阶条件：
)#!
+,(（!!"，!!*）
()*!!*
（&#）
由此看来，最优套期比)#类似于众所周知的权益组合投资收益率对空头收益率的!系
数。因此，人们通常使用原始最小平方来估值最小化方差套期比，作为一阶近似［’］。简单线
性回归可用来估计由空头收益率的非条件方差分开的两个收益率之间的非条件协方差。因
此，一对一套期比要求协方差与方差相等。
将（&#）式给定的)#值代入（.）式，就可以得到下列度量套期有效性的指数［/］。
+!&"
()*!!)
()*!!"
!"’"* （&&）
其中"’"*为相关系数的平方。能完全消除风险的完全套期就要求两个收益率之间完全相关。
由于相关系数总量小于&，因而使用套期比)#只能在一定程度上消除组合投资的系统风险。
相反，特别风险则可以通过分散方法来得以消除。一些其余的风险主要都是基础风险。套期
者必须考虑期货合同和即期资产相对价格的各种可能的变化。因此按照0,*1234的解释，套
期者的目标也可以理解成是为了投机［5］。
!"# 基于均值和方差的套期比的选择
在任何条件下，最小方差系数由于其相信存在无限风险厌恶投资者而受到批评。相反，在
组合投资方法中，基于有效边界上的点的所有套期比中，效用最大化交易者必须选择其最优套
.%第6期 谢赤：组合投资!调整与效用最大化的套期比的选择
万方数据
期比，按照均方差原则，一些附加风险可由更大的期望收益补偿。
而且，均方差方法不过是期望效用理论的一个特例。在较一般化的套期模型中，就可能通
过使某个特定效用函数（例如对数函数）的期望值的最大化来选择最优套期比。但为简单起
见，通常将分析限定在均方差框架内。此外，在一些文献中，使用了另一种风险度量方法：一些
学者不是使用效益方差，而是建议采用扩展型的基尼均差。初看这种方法的确有点意思，因为
在正态分布权益情形下通常不能通过检验。
按照（!）式中给出的方差的相同定义，套期组合投资的期望收益为：
!（!"#）"!（!"$）##!（!"%） （$%）
其就#的一阶偏导数可正可负：
"!（!"#）
"# "#!
（!"%）"#
!（!&’）#&&
(&
（$’）
因此一阶导数的符号取决于时刻’相比于现值的期望价格。如果投资者预期期货价格上升
（这在不断发展的权益市场上很自然），那么他就必须减小套期比以增加其全部头寸的期望收
益。但是如果他认为期望价格低于实际价格，他就要增大套期比。
一般可通过下列效用函数反映均方差方法：
)（!"）"!（!"）#*()*!" （$+）
在这个初始模型中，*#&度量了风险厌恶的程度。效用为期望收益的增函数，为由方差量度
的风险的减函数。以（$%）式和（!）式给出的值代入（$+）式效用函数期望值和收益方差，可得到
)（!"#）"!（!"$）##!（!"%）#*（()*!"$,#%()*!"%#%#-.(（!"$，!"%）） （$/）
可见这是对#的二次方效用函数。当一阶导数等于零，二阶导数严格为负时，#效用达到最
大：
)+（!"#）"#!（!"%）#*（%#()*!"%#%-.(（!"$，!"%））"& （$0）
最大效用套期比#$$可以分解成两项：
#$$"#
（!&（!&’）#&&）／(&
%*()*!"%
,
-.(（!"$，!"%）
()*!"%
（$1）
（$1）式右边第一项为纯投机因素，第二项为纯套期因素。可见，纯投机需求的分子与套期头寸
的期望收益就#的一阶导数相等。
这里考虑一个特例，最大效用套期比取决于&’的期望估计值。一些学者认为要实际计算
出期望投机收益很困难，而且实际上他们也直接关注纯套期，即风险最小化套期比，因为对期
货与即期价格变化方差和协方差估值相对较容易。在目前情况下，&’的期望值总是大致等于
其现值&&，这是最简单的一种预期方法。而且根据文献［/］，不同的代理很可能有相同的方差
和协方差估值，但其估值对基于私人信息的&’期望值完全不同。
其它一些学者由于他们认为难以权衡（$1）式中的两个因素因而对组合投资方法持否定态
度，这与拒绝按照某个效用函数的最大期望值的每一个选择是相应的，这两个因素只要一个选
择了效用函数的特例就能自动加上权重。在这里所考虑的简例中，如果风险厌恶参数增加，则
给纯投机因素的重要性就减轻；相反，代表纯套期需求的第二个因素对所有投资者都是相同
的。一些学者还指出，风险最小化套期比的选择在投资者中将达成一致。不同的方法是要说
效应函数的每一种特例的选择都是套利性的。
可是，拒绝组合投资方法而提倡选择最小方差套期比的另一个重要原因是考虑到期货市
&! 运 筹 与 管 理 %&&%年第$$卷
万方数据
场上的实际价格!!从不发生偏离，即它总是等于其期望值"（!!#）。如果其向上偏离，最大效
用套期比便大于最小方差套期比，而如果期货价格向下偏离则相反。在商品期货合同条件下，
过去经常要由风险厌恶投机者要求的风险费用和正常的交割延期票据来解释这一偏离。很多
年来，人们都对估值这种风险费用的研究持肯定态度，一些研究承认在某些期货合同中明显存
在有偏离，而另一些研究否认这一点。然而，根据许多研究，流动性期货市场中的价格一般并
没有表现明显偏离。因此套期组合投资的期望收益是独立于套期决策的。
借助于大量的在期货市场上经营的风险中性投资者，也可能要求市场均衡投机利润为零。
在这种情况下，套期头寸的期望利润仅仅取决于即期头寸的期望利润。相应地，有关套期比的
实证研究通常假设投机因子会消失且只对风险最小化套期比估值。
相反，另一些实证研究认为，在一些期货市场上存在风险费和正常交割延期费。因此一些
学者仍然对选择最大效用套期比持肯定态度，认为风险最小套期比太严格。在这一前提下，就
可以对由这两种方法推出的结果来进行比较。
!"! 买卖期货合同的组合投资!的调整
由于人们目前可以看到效用最大化套期比的选择总是等价于组合投资!的调整，因而难
以理解的是对组合投资方法的否定。一方面，众所周知，通过买卖期货来加大或减小初始!
值!!$以增大或减小市场风险的暴露并不困难。如果由股票市场提供的风险和收益发生变化，
则基金管理者将希望调整其组合投资!。例如，如果基金管理者预期权益市场要上涨，他就可
以通过买入给定数量的期货来提高!。
首先考虑基金管理者打算将!降低到某个所要求的值!%$ 的情形。这可以通过权益组合
投资一定比例并将余额投资于无风险资产上来实现，也可以通过售出高!值的权益和购入低
!值的权益来实现。在这两种情况下，交易成本都较高而且还存在交易风险，以什么价格才可
能售出和购入权益呢？在第一种情形下，新的组合投资中的权益比例为&"，无风险证券比例
为&#，所要求的!值为其初始值之间的关系为：
!%$$&"!!$ （"%）
&"$!%$／!!$ （"&）
因此，除了有效地售出一部分（&#）的风险权益组合投资并使用余额以购入无风险证券之外，
存在另一种消除这种高交易成本的方法。为了保护正常分配给无风险资产的投资部分，基金
管理者可以售出一定数量的期货合同。为了解决期货合同的空头，可以认为基金管理者开始
将一定比例的组合资本投资于国库券以使其能产生初始费用存款并对费用变动作出反映。
采用相同的’的定义并考虑到套期比的选择取决于!的初始值，便要求：
!!$$
()*!
&#+!
（#!）
因此，看来基金管理者所套期的只是新的组合资本分配给无风险资产的那部分，要售出的合同
数为：
($!
!
$&#+!
)*!
（#"）
剩下的问题就是如何理解组合投资!的调整了。我们可以定义变化后的套期比’% 作为
全部应用于初始组合投资的套期比：
’%$()*!／+!$!!$&#$!!$（"’&"） （##）
"&第(期 谢赤：组合投资!调整与效用最大化的套期比的选择
万方数据
!"!!"##$$!"#!!"##!"# （%&）
相应的，变化后的套期比必须与减小组合投资!值的要求相对应。
& 调整!与组合投资方法的等价性
最后剩下的工作就是要建立起上述两个方法之间的联系了。由于套期比!!的定义与!
调整中出现的变化后套期比!" 准确地对应，这两个表达式可在下列关系中达到相等：
!"##!"#!!"!!!!!#
（%（"&’）#&"）／("
%)’()"*+
*
+,’（"*,，"*+）
’()"*+
（%-）
（%-）式中右边的第二项与最小化方差套期比!!等价，首先可看到：
%)’()"*+（!"##!"##!!）!#
（%（"&’）#&"）
("
（%.）
其中，要套期的组合投资与指数基金相似。由定义，!的初始值为$。无论如何，如果有
必要对不同于股票指数的基础组合投资的组合投资套期，那么对指数基金有效的套期比的估
计值!!就应该按照一般原则乘上要套期的组合投资的!值。然后计算式可转换成：
%)’()"*+（$#!!）#!"#!#［%（"&’）#&"］／(" （%/）
由这个公式便不难将下列分析推广开来。然而，在指数基金的简单情形下，由定义确定的
!的初始值等于$。所以（%/）式左边的符号仅取决于相对!"# 的（$#!!）值。实际上（%/）式
所有其它项都为正值。忽略了纯投机因素的一般情况使得我们要作出如下特别的假设：
!"#!$#!! （%0）
实际上借助于（%0）式导出的条件，纯投机因素的分子变成零。当套期时间增加到与到期日接
近时，套期比的估值变得越来越接近于$。所以不难看出，准确地说组合投资的方差的最小化
条件或多或少与接近于零的组合投资!值的调整相对应。对所有高于（$#!!）的!期望值来
说，投资者希望当他拥有头寸时期货股票指数合同价格将上升。
参考文献
［$］1234567829:;<5=32>3?5)@,)A(>+5(>=B(727)2782>7:,+82>=5C@D:D)57［E］;FG5E,D)>(4,@12>(>+5，$HI-，&-（$）：0"J$.0;
［%］E,G>7,>KK;FG5:G5,)L,@G5=32>3(>=7?5+D4(:2,>2>+,AA,=2:L@D:D)57［E］;M5’256,@N+,>,A2+9:D=257，$H/"，%0：.$J$&H;
［&］N=5)2>3:,>K<;FG5G5=32>3?5)@,)A(>+5,@:G5>56@D:D)57A()85:7［E］;FG5E,D)>(4,@12>(>+5，$H0H，&-（$）：0"J$.0;
［-］O,)82>3<;P56+,>+5?:7+,>+5)>2>3@D:D)57A()85:7(>=?)2+57［E］;FG5QA5)2+(>N+,>,A2+M5’256，$H/%，.%（&）：-&$;
［.］RD@@25R;1D:D)5S()85:7［S］;T)5>:2+5J<(44U>:5)>(:2,>(4，K,>=,>，$HIH;
［/］谢赤，吴晓;关于货币风险套期保值方法的描述与比较［E］;中国管理科学，%"""，I（-）：$J.;
［0］谢赤;出口企业的具有状态非独立效用的套期决策［E］;湖南大学学报（自然科学版），%""$，%I（-）：$$/J$%";
%H 运 筹 与 管 理 %""%年第$$卷
万方数据
