第三章 效用函数
广西大学数学与信息科学学院
运筹管理系
§ 理性行为公理
问题：
某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在
市场看好的情况下，可以获利10万；在市场
前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较
差的概率分别为和，是否推出该新产
品？
若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产
品更好？
这是一个随机决策问题。
§ 理性行为公理
在随机决策中，决策系统（Ω，A，F）中的
决策方案均是在状态空间背景中加以比较，
并按照某种规则，选出决策者最满意的行动
方案。
在本章中，我们用事态体表示在随机性状态
空间中的行动方案，方案的比较表示为事态
体的比较，并引入效用的概念，用以衡量事
态体（行动方案）的优劣。
§ 理性行为公理
事态体及其关系
1．事态体的概念
定义
具有两种或两种以上有限个可能结果的方案
（或事情），称为事态体。
事态体中各可能结果出现的概率是已知的。
事态体即随机性状态空间中的行动方案。
1．事态体的概念
设某事态体的n个可能结果为：
o1, o2, …, on
各结果出现的概率是相应为：
p1, p2, …, pn
则该事态体记为：
T＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn, on）
特别当n＝ 2时，称 T为简单事态体，此时
T＝（p, o1；1－p, o2 ）
1．事态体的概念
事态体可以用树形图表示如下：
T
p1
p2
︰
︰
︰
pn
o1
o2
︰
︰
︰
on
当n＝ 2时：
p
T 1-
p
o1
o2
事态体集合Ŧ的性质
①在凸线性组合下，Ŧ是闭集。即：
若T1∈Ŧ，T2∈Ŧ，则当0≤λ≤1时，有
λT1 ＋(1－λ)T2∈Ŧ
两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。
②T＝(0, o1；0, o2 ；…；1, oj ；…；0,
on)∈Ŧ
称T为退化事态体。
退化事态体仍属于事态体集合。
2．事态体的比较
定义
设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据
决策目标和决策者偏好，o1和o2有如下关系：
①若偏好结果值o1，则称o1优于o2，记作
o1o2；反之，称o1劣于o2，记作o1 o2。
②若对结果值o1, o2无所偏好，则称o1无差异
于o2，记作o1 ～ o2。
③若不偏好结果值o1，则称o1不优于o2，记作
o1≼o2 ；反之，称o1不劣于o2，记作o1 ≽o2
。
2．事态体的比较
定义
设两个简单事态体 T1，T2具有相同的结果值
o1，o2，即 ：T1＝（p1, o1；1－p1, o2 ）
T2＝（p2, o1；1－p2, o2 ）
并假定o1o2，则：
①若p1＝p2，称事态体T1无差异于T2，记作T1
～T2 。
②若p1＞p2，称事态体T1优于T2，记作T1T2
；反之，称事态体T1劣于T2，记作T1 T2。
2．事态体的比较
定义
设两个简单事态体 T1，T2仅具有一个相同结
果值，另一个结果值不相同，即 ：
T1＝（p1, o1；1－p1, o0 ）
T2＝（p2, o2；1－p2, o0 ）
且o2 o1 o0，
①若p1≤p2，则事态体T2优于T1，记作T2T1
。
②若T1～T2 ，则必有p1＞p2 。
§ 理性行为公理
理性行为公理
公理（连通性，可比性）
事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是连通的。
即若 T1，T2∈Ŧ
则或者T1T2 ，或者T2T1 ，或者T1～T2 ，
三者必居其一。
表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！
§ 理性行为公理
理性行为公理
公理（传递性）
事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是传递的。
即若 T1、T2 、T3∈Ŧ，且T1T2 ，T2T3
，则必有 T1T3 。
表示任意多个事态体的优劣是可以排序的
（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）
满足公理和公理的事态体集合称为全序集。
§ 理性行为公理
理性行为公理
公理（复合保序性，替代性）
若T1，T2 ，Q∈Ŧ，且0＜p＜1，则T1T2
当且仅当 pT1 ＋(1－p)Q pT2 ＋(1－p)Q 。
表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，
复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。
§ 理性行为公理
理性行为公理
公理（相对有序性，连续性，偏好的有界
性）
若T1，T2 ，T3∈Ŧ，且T1T2 T3
则存在数 p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得：
pT1 ＋(1－p)T3 T2 qT1 ＋(1－q)T3
表示任意事态体都不是无限优，也不是无限
劣。
§ 理性行为公理
事态体的基本性质
性质
设事态体 T1＝（p, o1；1－p, o0 ）
T2＝（x, o2；1－x, o0 ）
且 o1o0 ， o2o0 ，若o2o1
则存在 x=p’＜p
使得 T1～T2
称x为可调概率值。
§ 理性行为公理
事态体的基本性质
性质3. 2（确定当量和无差异概率）
设事态体T＝（x, o1；1－x, o2 ）且o1o2 。
则对于满足优劣关系o1oξ o2的任意结果
值oξ，必存在x＝p（0＜p＜l），使得
T＝（p, o1；1－p, o2 ）～ oξ
称结果值oξ为事态体T的确定当量，称p为oξ
关于o1与o2的无差异概率。
事态体的基本性质
性质3. 3
任一事态体无差异于一个简单事态体。
设有事态体T ＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn,
on）则必存在一个简单事态体
T’＝（p’, o*；1－p’, o0 ）～ T
其中： o* ≽max{o1, o2 , …, on }
o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
且： 这里，qj(j=1, 2, …, n)为oj关
于o*与o0的无差异概率。
事态体的基本性质
根据性质3. 3
比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化
为比较简单事态体之间的优劣关系（将问题
简化）
得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后，
再根据公理（传递性）即可得到所讨论事
态体的排序。
§ 效用函数的定义和构造
设有决策系统（Ω，A，F），在离散情况
下，结果值可以表示为决策矩阵：
§ 效用函数的定义和构造
矩阵O的第i行表示第i个可行方案的n个可能
结果值，即事态体
Ti＝（p1, oi1；p2, oi2 ；…；pn, oin）
(i=1, 2, …,
m)
决策就是要对这 m个事态体进行排序。
由第一节中的性质知，存在简单事态体
T’，使得
Ti’＝（pi’, o*；1－pi’, o0 ）～
Ti
问题又化为对这m个简单事态体Ti’进行排
序。
§ 效用函数的定义和构造
Ti’＝（pi’, o*；1－pi’, o0 ）～ Ti
注意到这m个简单事态体Ti’具有相同的结
果值o*、 o0 ，根据定义，其优劣关系可
以由比较pi’的大小决定。
根据性质
qjj是结果值oij关于o*与o0的无差异概率。
其中：
问题：如何测定
无差异概率？
o* ≽ o0 ≼
§ 效用函数的定义和构造
效用和效用函数的概念
1. 效用的概念
2. 定义
3. 设决策问题的各可行方案有多种可能的
结果值o，依据决策者的主观愿望和价值
倾向，每个结果值对决策者均有不同的价
值和作用。反映结果值o对决策者的价值
和作用大小的量值称为效用。
§ 效用函数的定义和构造
效用和效用函数的概念
2. 效用函数的概念
3. 定义
若在事态体集合Ŧ上存在实值函数u，有：
(1)对任意的T1、T2∈Ŧ，T1T2 当且仅当
u(T1)> u(T2)
2. (2)对任意的T1、T2∈Ŧ，且0≤λ≤1，有
u[λT1 ＋(1－λ)T2]=λu(T1)＋(1－λ)u(T2)
2. 则称u(T)为定义在Ŧ上的效用函数。
效用和效用函数的概念
3. 估计效用函数的方法
（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法
)
思路：对于给定的结果值，测定其效用值。
设有决策系统（Ω，A，F），其结果值集
合为： O＝（o1, o2 , …, on）
记： o* ≽max{o1, o2 , …, on }
o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
3. 对于每一个结果值oj都存在一个概率值pj
，使得 oj～（pj , o*；1－pj , o0）
pj就可以作为结果值oj的效用值。
效用和效用函数的概念
（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法
)
步骤
①设 u(o*)=1，u(o0)= 0；
②建立简单事态体（x, o*；1-x, o0 ），其中x
称为可调概率；
③通过反复提问，不断改变可调概率值x，让
决策者权衡比较，直至当x= pj时
oj～（pj , o*；1－pj , o0）
④测得结果值oj的效用
u(oj)= pj = pj u(o*)＋(1－pj )u(o0)
效用和效用函数的概念
3. 估计效用函数的方法
（2）确定当量法(修正的V－M法)
思路：对于给定的效用值，测定其结果值。
步骤
①设 u(o*)=1，u(o0)= 0；
②对于给定的效用值pj，构造简单事态体
（pj , o*；1－pj , o0）
③通过反复提问，不断改变结果值oξ ，让决
策者权衡比较，直至当oξ= oj时
3. oj～（pj , o*；1－pj , o0）
4. ④得效用值pj对应的结果值为oj，即u(oj)=
pj 。
效用函数的构造
介绍一种实用的效用函数的构造方法。
基本思路
对于决策问题的结果值集合，先用确定当
量法找出一个基准效用值，即效用值等于
的结果值，称为确定当量oξ。其余效用
值不再测定，而是按比例用线性内插的方
法，用同一个标准计算得到。
效用函数的构造
方法
设决策问题结果值集合为：
O＝（o1, o2 , …, on）
① 取 o* ≽max{o1, o2 , …, on }
o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
并令 u(o*)=1，u(o0)= 0；
② 构造简单事态体（, o*； , o0），用确
定当量法找到该事态体的确定当量oξ，使
得： oξ～（, o*； , o0）
效用函数的构造
方法
③ 对结果值进行归一化处理，记归一化的结
果值为x(oj)
则： x*=x(o*)=1， x0=x(o0)= 0， 0≤x(oj)≤1
④ 记确定当量oξ的归一化值为ε，也记为
得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点：
（0, 0）,（ ε, ）,（1, 1）
u
x0
1
1ε
效用函数的构造
方法
⑤ 在新区间[0, ε] 和[ε, 1]按同样方法插入
点（ , ）和（ , ），保持
比例关系
计算得：
效用曲线上新增两个点：
（ ε2, ）,（2ε－ε2, ）
u
x0
1
1ε
ε2
2ε－ε2
⑥ 若认为点数太少，效用曲线不够精确，可
继续按同样方法在新产生的区间内插入效
用中点，直到产生足够的点为止。
若在效用区间[0, 1]
中插入2n个分点：
记相应的归一化的结果值为△k ，有：
效用与风险的关系
在风险型或不确定型决策问题中，决策者
选择方案几乎都要承担一定的风险，不同
的决策者对风险的态度是有区别的。
效用表示了决策者对决策方案各结果值的
偏好程度，也反映了不同类型的决策者对
风险的不同态度。
因此从不同类型的效用函数可以看出决策
者对风险的不同态度。
效用与风险的关系
1. 中立型效用函数
2. 设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有
则称该效用函数为中立型。
其效用曲线是一条直线。
中立型效用函数的效用值和结果值成正
比例，因此可以用结果值直接评选方案。
效用与风险的关系
2. 保守型效用函数
设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有
则称该效用函数为保守型。
其效用曲线是一条上凸曲线，表示效用值随
结果值的增加而增加，但增加的速度逐渐由
快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越
谨慎，对风险持厌恶态度。
效用与风险的关系
3. 冒进型效用函数
设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有
则称该效用函数为冒进型。
其效用曲线是一条下凸曲线，表示效用值随
结果值的增加而增加，且增加的速度越来越
快。反映了决策者随结果值增加越来越敢于
冒险追求高额回报的态度。
效用与风险的关系
u
x
1
10
中
立
型
效
用
函
数
保
守
型
效
用
函
数
冒
进
型
效
用
函
数
效用与风险的关系
4. 混合型效用函数
5. 三种基本效用函数的混合，如：
u
x
1
10
混
合
型
效
用
函
数
表示当x＜x0时，即
结果值不大时，决策
者具有一定冒险精神；
当x＞x0时，即结果
值较大时，决策者对
风险转而持谨慎态度。
x0
效用函数表
一、效用函数表的构造
实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲
线上的26（64）个点，效用函数的精度已
经足够。
书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标
值ε(ε<)的效用函数值。
ε<时，对应的是保守（上凸）型效用函
数，效用函数值可直接查表。
ε>时，对应的是冒进（下凸）型效用函
数，效用函数值无法直接查表。
效用函数表
一、效用函数表的构造
可以证明：
ε>的效用曲线u(x)与ε’=1－ε的效
用曲线u’(x)是关于直线u=x对称的。因此，
ε>的效用函数值可以按下面的方法求
得： u(x)＝1－ u’(1－x)
具体步骤见教材P62。
注：查表时在给定的ε列若没有对应的x值，
则找出与之相邻的两个值x1、x2 ，查出对
应的效用值后用线性内插的方法确定u(x)。
效用函数表
二、效用函数表的使用
例 某企业欲投产一种新产品，有三种方
案可供选择。已知市场存在三种状态：畅
销、一般、滞销，三种方案在不同的市场
状态下所获利润额构成以下的决策矩阵：
决策者认为： oξ＝～（, 20； , －5）
例 试求该企业决策者的效用矩阵。
解： o* ≽max{oij}＝20， o0 ≼min{oij}＝－5
u(o*)=1， u(o0)= 0
将决策矩阵的结果值归一化：
得归一化后的决策矩阵为：
例 试求该企业决策者的效用矩阵。
由 oξ＝～（, 20； , －5）
得：
查P369附表6， ε＝ 所在列，以x22＝
为例 ： ＜ x22＝ ＜
而 u()＝， u()＝
用线性内插法：
解得u(x22) ＝。
例 试求该企业决策者的效用矩阵。
同理得： u(x11) ＝， u(x12) ＝，
u(x13) ＝， u(x31) ＝
u(x32) ＝， u(x33) ＝
且 u(x21)＝u(o*)=1， u(x23)＝u(o0)=0
得决策者的效用矩阵为：
例 在上例中，若决策者认为：
oξ＝～（, 20； , －5）
试求该企业决策者的效用矩阵。
解： 同上例方法得归一化后的决策矩阵为：
例
由 oξ＝～（, 20； , －5）
得：
查P369附表6，ε’＝= 所在列，以
x32＝为例，
u(x32)＝1－u’(1－x32) ＝1－ u’() ：
＜ ＜
而 u()＝， u()＝
用线性内插法解得u’() ＝，因此：
u(x32)＝1－ u’() ＝
例
同理得： u(x11) ＝， u(x12) ＝，
u(x13) ＝， u(x22) ＝
u(x31) ＝， u(x33) ＝
且 u(x21)＝u(o*)=1， u(x23)＝u(o0)=0
得决策者的效用矩阵为：
§ 效用函数的曲线拟合
前面讨论了针对特定的结果值，如何测定
其效用，我们得到的只是一些离散的效用
值，要得到连续的效用函数，则需要用曲
线拟合的方法。
• 常见的拟合曲线形式
① 线性函数型
② u(x)＝c1＋a1（x－c2）
③ 其中c1、a1、c2为待定参数。
④ 前面查表时用内插法确定某些效用值，
实际上就相当于效用函数为分段线性函数。
§ 效用函数的曲线拟合
常见的拟合曲线形式
② 指数函数型
其中ci、ai（i＝1，2，3）均为待定参数。
③ 双指数函数型
④ 指数加线性函数型
§ 效用函数的曲线拟合
常见的拟合曲线形式
⑤ 幂函数型
其中c1、a1、c2 为待定参数。
不论采用哪种形式的函数，一般都尽可能化
为线性函数通过最小二乘法确定待定参数。
⑥ 对数函数型
§ 效用函数的曲线拟合
幂函数型效用曲线的拟合
• 幂函数的一般形式
1. y＝ta （0＜a＜1）
2. 当0＜a＜1时，幂函数曲线是上凸的。在
区间（0，＋∞）上，曲线的曲率是变化的，
因此为了取得最佳的曲线拟合效果，一般
取幂函数曲线的某一段(待定)，作为效用
函数的近似曲线。
3. 为此，作坐标平移变换：
4. 参见教材P66图
幂函数型效用曲线的拟合
幂函数型的效用函数
坐标变换后得：Y＝-ca＋(T＋c)a （0＜a＜1）
1. 令：
且T＝x，则：
其中b、c为待定常数，这就是幂函数型的效
用函数表达式。当a取特定值时，可设法用线
性回归的方法定出b，c。
幂函数型效用曲线的拟合
线性回归确定参数
以a=为例
得到一个待定的线性函数 Z＝A＋Bu(x)
若已知若干组(xi, ui)可由最小二乘法定出A、
B，进而得出拟合的效用函数（过程略）。
移项后两边平方，整理得
Z
A
B
§ 效用函数的曲线拟合
对数函数型效用曲线的拟合
• 对数函数的一般形式
1. y＝lnt （0＜t＜+∞）
2. 对数函数曲线是上凸的。在区间（0,
+∞）上，曲线的曲率是变化的，因此为了
取得最佳的曲线拟合效果，一般取对数函
数曲线的某一段(待定)，作为效用函数的
近似曲线。
3. 为此，作坐标平移变换：
4. 参见教材P68图
对数函数型效用曲线的拟合
对数函数型的效用函数
坐标变换后得：Y＝-lnc＋ln(T＋c)
令：
且T＝x，则：
其中a、b、c为待定常数，这就是对数函数型
的效用函数表达式。其中c的值可由u(1)和
u(ε) 确定，然后用线性回归的方法定出a，b。
X
对数函数型效用曲线的拟合
参数的确定
由u( 1 )＝1和u(ε)＝
得：
即： 两式相除：
