第五章 概率基础
本章主要内容
概率论的发展史
随机事件(Random Events)
概率的统计定义
古典概型(Classical Probability)
几何概率（Geometric Probability)
条件概率(Conditional Probability)
事件的独立性(Independence of Events)
第一节 随机事件
一、随机试验(Random experiment)
为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：
1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
3. 抛一枚骰子，观察出现的点数。
4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。
5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
这些试验都具有以下的特点：
可重复性：可在相同条件下重复进行
可预知性：试验可能结果不止一个,但能确定 所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种 结果出现。
在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)，表示为E
。
二、事件（Event)
必然事件 ：某件事情在一次试验中一定发生
如： “在一副扑克牌中任摸14张，其中有两张花色是不同” 就是必然事件。
不可能事件 ：某件事情在一次试验中一定不发生
如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。
随机事件（A,B,C,…) ：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生
如：“掷一枚硬币，出现正面朝上”
“扔一枚骰子，出想6点”
基本事件（ ）：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件
一般的事件由基本事件复合而成。
例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有6种
“掷得1点”
“掷得2点”
“掷得3点”
“掷得4点”
“掷得5点”
“掷得6点”
“掷得奇数”
“掷得偶数”
基本事件
复合事件
例1 对于试验E： 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记“正面”为H， “反面”为T，
则基本事件有：HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH ， TTT
随机事件
A＝“至少出一个正面”
＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；
B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}
C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}
20世纪，冯.米泽斯(Von Mises)开始用集合论研究事件。
1. 样本空间
样本点：随机试验E的每一个可能结果
样本空间：样本点的全体，即随机试验E的所有可能结果组成的集合，记为 。
例1：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：“正面向上”，“反面向上”两个，则样本空间为：
三、事件的集合论定义
2. 事件的集合论定义
事件可以看作是样本空间的子集
事件A不发生
不是A中的点
事件A发生
是A中的点
事件A
子集A
A
基本事件、样本点
点（元素）
不可能事件
空集
必然事件、样本空间
空间
概率论解释
集合论解释
符号
3、事件间的关系与运算
（1）事件的包含与相等
若“A发生必导致B发生”
记为
若 ,则 称事件A与B相等,记为A=B.
（2）事件的和（并）
“事件A与B至少有一个发生”,记作A∪B
（3）事件的积
事件A与B同时发生，记作 A∩B＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
（4）事件的差
事件A发生而B不发生,记为A－B
思考：何时A-B=φ?何时A-B=A？
（5）互斥事件
若事件A与B不能同时发生,即AB=φ,则 称事件A与B互斥,或互不相容
（6）逆事件
设A，B为两事件,若AB=φ且A∪B=Ω,则称事件A与B互为逆事件或对立事件.
记作 ，称为B是A的对立事件
A
Ω
解：
A1： “至少有一人命中目标”：
A2： “恰有一人命中目标”：
A3：“恰有两人命中目标”：
A4：“三人均命中目标”：
A5：“三人均未命中目标”：
A6： “最多有一人命中目标”：
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
第三节 概率的统计定义
一、 事件的频率(Frequency)
1. 定义：设E为任一随机试验，A为其中 任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(即频数)。
比值 称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).
2.频率的性质
非负性： 0≤ fn(A) ≤1；
规范性：fn(Ω)＝1， fn(φ )=0；
可加性：若AB＝φ，则 fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B).
稳定性：当试验次数n增大时，频率fn(A)
逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率.
实践证明：频率稳定于概率
（1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。
（2）男性别比率稳定于
一个孕妇生男生女偶然，但是就整个国家和大城市而言，从人口普查资料中看到，男性占全体人数的比例几乎年年不变，约为。
第四次（1990）
第五次（2000）
第三次（1982）
第二次（1964）
第一次（1953）
比例
男性人数
总人数（亿）
人口普查
定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件的概率(Probability)，记为：
注：1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。
2 概率的统计定义只是描述性的。
3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值－－（monto calo方法的基本思想）
二、 概率的统计定义
第四节 概率的公理化定义
1.定义：若对随机试验E所对应的样本空间Ω中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：
(1) 非负性：P(A) ≥0；
(2) 规范性：P(Ω)＝1；
(3) 可列可加性：
设A1，A2，……是一列两两互不相容的事件，
即AiAj＝φ，(i≠j)，i,j＝1,2,…, 有
P( A1∪A2 ∪… )＝ P(A1) ＋P(A2)+…
则称P(A)为事件A的概率。
2. 概率的性质
例.在1～10这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A=“取到的数能被2整除”; B=“取到的数能被3整除”。则
P(A)=1/2 P(B) = 3/10 P(AB) = 1/10
(1) P(A∪ B)= P(A)+P(B)-P(AB)=7/10
(2)
(3) P(A-B) =P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5
第五节 古典概型
“古典概型”是最简单、最直观的概率模型。
定义：若某实验E满足：
1.有限性：样本空间Ω＝{ω1,ω2 , … ,ωn }
2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
则称E为古典概型也叫等可能概型。
设在古典概型中，试验E共有n个基本件，
事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为
二、概率的古典定义
例：任意投掷两枚均匀的硬币，求A＝ “恰好发生一个正面向上”的概率。
解：试验的所有结果：
（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）
根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有等可能性，这是一个古典概型。
A＝{（正、反）（反、正）}
所以，概率P=2/4＝
例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少?
解：设H=“某个孩子是男孩”，A=“至少有一个男孩”
试验所有结果为：
{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}
事件A={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT}
从而，n=8，m=7
P(A) = m/n= 7/8
1.几何概型：若一个试验具有两个特征：
（1）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的 几何区域来表示
（2）每次试验的各种结果等可能的。
则称这样的试验是几何概型。
2.几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为 ，事件A所对应的区域记为A，则定义事件A的概率为：
第六节 几何概型
（一）几何概型的定义
例 某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，试求它等待的时间不超过10分钟的概率。
解：因为电台每隔60分钟(即1小时)报时一次,因此，可认为此人打开收音机的时刻处在[0，60]上任何一点都是等可 能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间Ω=[0，60]。设事件A=“等待时间不超过10分钟”，则导致事件A发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间[50，60]上的任一点。 这个区间长度为10(单位:分) 。而Ω的长度为 60(单位:分)。由几何概率的定义，
例（布丰问题）平面上有距离为d的一族平行线，向此平面任意投掷一长为l(l<d)的针，求针与平行线相交的概率。
d
l
x
M
x
d/2
0
从而，
应用：
历史上不少学者用此来计算 近似值。方法是：投针n次，记录针与平行线相交的次数 ，
再以频率 作为概率的近似值，就有：
Monto Carlo方法
第七节 条件概率
思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问：
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？
一、条件概率
已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率 ，记作P(B|A)
定义：设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率P(B|A)定义为：
例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道一年中雨天的比例占20％，乙市占14％，两地同时下雨占12％，试求：
（1）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率
（2）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率
（3）甲市或乙市下雨的概率
解：记A=“甲市出现雨天”，B=“乙市出现雨天”
根据题意，P(A)=，P(B)=，P(AB)=
从而，在乙市下雨的条件下，甲市有％的可能要下雨，可能性很大。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。
设A、B∈Ω，P（A）>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A). 上式就称为事件A、B的概率乘法公式。
上式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般地，有下列公式：
P(A1A2…An)＝(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1 )
二、乘法公式
第八节 事件的独立性
例 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为，乙炮击中敌机的概率为，求敌机被击中的概率？
