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不同 Vague集相似度量直接聚类算法比较
分析1
刘盛辉 1，王伟 2，彭进业 2
(1. 西安邮电大学物联网与两化融合研究院，西安 7100061；
2. 西北大学信息科学与技术学院，西安 710127)
摘要：在智能系统的研究与开发中，聚类分析是一个非常重要的问题。针对新的以 Vague
集的相似度量为评价准则的直接聚类算法，采用不同的 vague 集相似度量公式进行聚类分
析。实验结果表明，基于 Vague集相似度量的直接聚类算法是有效的，并且不同 Vague集相
似度量的直接聚类算法聚类效果基本相同，但具体聚类步骤差别较大。在具体应用中要根据
实际情况选择使用。
关键词： vague集；相似度量；聚类
中图分类号：TP18 文献标识码：A
Comparison and analysis of direct clustering algorithms
based on different Vague sets similarity measure
Liu Shenghui1, Wang Wei2, Peng Jinye2
(1. Institute of Communication Technology, Xi’an University Posts and Telecommunications,
Xi’an 710061, China; 2. School of Information Science and Technology, Northwest University,
Xi'an 710127, China)
Abstract: Clustering analysis is very important in the research and development of intelligence system.
According to the clustering algorithm with Vague sets similarity measure as evaluation criteria, we
employ different Vague sets similarity measure formulas to carry out clustering analysis. Experimental
results show that the direct clustering algorithms based on Vague sets similarity measure are effective,
and clustering results of different algorithms are basically the same, but differ much in clustering steps.
We should select the algorithms properly taking into account the practical situation in applications.
Key words: vague sets, similarity measure, clustering
0 引言
聚类是一个将数据库中的数据划分成具有一定意义的子类，使得不同子类中的数据尽
可能相异，而同一子类中的数据尽可能相同的过程。由于聚类技术能够发现数据中隐含的关
系和模式，因此受到数据挖掘和模式识别等领域研究人员的广泛重视。Vague集作为当前模
糊信息处理中的一个新兴研究课题，能够很好地表示多维度模糊信息和区间模糊信息。Vague
聚类就是按照相似或等价的属性关系，将Vague集中的对象进行归类的方法。
目前，Vague 聚类方法主要有以下两种。(1) 基于 Warshall 算法的 Vague 等价聚类方法
[1]。该方法通过 Vague 矩阵之间的复合运算求出 Vague 传递闭包，构造 Vague 等价矩阵，但
由于进行了矩阵自乘运算，会造成原始信息的失真。(2) 直接聚类方法。由于 Vague 集上的
直接聚类法不对原始数据进行运算，而是直接对相似矩阵进行分析，未进行矩阵自乘运算，
可避免信息失真，保留最原始的信息。Vague 集相似度量所描述的就是 Vague 集间的“相像”
程度，故相似度量可以作为 Vague 聚类的一个根据。文献[2]给出了基于 Vague 相似度量的
直接聚类方法。目前，又有大量学者提出了多种 vague 集相似度量方法[3-10]。用不同的 Vague
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20096102110025）；国家自然科学基金（61075014/F030303）
作者简介：刘盛辉(1977-)，女，工程师，主要研究方向：机器学习和人工智能，
通信联系人：王伟，博士，主要研究方向：机器学习和人工智能，
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集相似度量方法进行聚类，结果肯定有偏差，因此对不同的 Vague 集相似度量直接聚类算法
进行对比研究，有一定的现实意义。
1 预备知识
Vague 集相关理论
Gan 和 Buehrer 提出的 Vague 集相关基础理论描述如下：
定义 1 设论域 1 2{ , , , }nU u u u= " ，其中元素 ( 1,2, , )iu i n= " 是所讨论的对象。U 上一个
Vague 集 A 由真隶属度函数 At 和假隶属度函数 Af 描述为 : [0,1] : [0,1]A At U f U→ →， ，其中，
( )A it u 是由支持 iu 的证据所导出的肯定隶属度的下界， ( )A if u 是由反对 iu 的证据所导出的否
定隶属度的下界，且 ( ) ( ) 1A i A it u f u+ ≤ 。元素 iu 在 Vague 集 A 中的隶属度被区间[0,1]的一个
子区间[ ( ),1 ( )]A i A it u f u− 所界定，称该区间为 iu 在 A 中的 Vague 值。
定义 2 一个 Vague 集 A 的补集 Ac 定义为 ( ) ( )c AAt x f x= ，1 ( ) 1 ( )c AAf x t x− = − 。
性质1 Vague集A为B所包含，即 A B⊆ ，当且仅当 ( ) ( )A Bt x t x≤ 且1 ( ) 1 ( )A Bf x f x− ≤ − 。
定义 3 两个Vague集A和B相等，即 A B= ，当且仅当 A B⊆ 和 B A⊆ ，即 ( ) ( )A Bt x t x= ，
1 ( ) 1 ( )A Bf x f x− = − 。
定义 4 设 ( )ij m nR r ×= ，其中 ijr 表示[ ,1 ]ij ijt f− ， ijt 为第 i 行第 j 列的支持度，1 ijf− 为第
i 行第 j 列的反对度， 1,2, , 1,2, ,i m j n= =" "， ，，则称 R为 Vague 矩阵。
定义 5 称 Vague 矩阵 [ ,1 ]ij ij m nt f ×= −R 为单位矩阵，若 1,1 1ii iit f= − = ，且
0,1 0ij ijt f= − = ， , 1,2, ,i j i j n≠ = "，且 ，，记为 E。
定义 6 Vague 矩阵 [ ,1 ]ij ij m nt f ×= −R 满足：(1) 自反性 1,1 1ii iit f= − = 1,2, ,i n= "， ，，即
E R⊆ ； (2) 对 称 性 ,1 1ij ji ij jit t f f= − = − ， 1,2, ,i n= " ，， 记 为 T =R R ； (3) 传 递 性
2 = ⊆DR R R R，则称 [ ,1 ]ij ij m nt f ×= −R 为 Vague 等价矩阵。若只满足自反性和传递性，则称
为 Vague 相似性矩阵。
定义 7 设 ( ) [ ,1 ]ij m n ij ij m nr t f× ×= = −R ，对任意 , [0,1]t fa a ∈ ，作矩阵 ,, ( )t ft f a aa a ij m nr ×=R ，其
中 , 1, 1
0,
且
否
≥ − ≥⎧⎪= ⎨⎪⎩
t f ij t ij fa a
ij
t a f a
r ，则称 ,t fa aR 为 R的 ,t fa a 截矩阵， ,t fa aR 为一个布尔矩阵。
基于 Vague 集相似度量的直接聚类算法
基于 Vague 集相似度量的直接聚类算法描述如下。
假设被分类对象集合为 1 2{ . , , }nU u u u= " ，如果要按某种性质对集合元素U 中的元素进
行分类，每个元素 iu 有 m 个特性指标，令第 i 个对象 ui 的第 j 个特性指标为 [ ,1 ]ij ij ijt f= −u ，
则 ui可由 m 维特性指标向量 1 1 2 2([ ,1 ],[ ,1 ], ,[ ,1 ])ij i i i i im imt f t f t f= − − −"u 表示。n 个待分类对象
可用矩阵表示为：
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11 11 12 12 1 11
2 21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
[ ,1 ][ ,1 ] [ ,1 ]
[ ,1 ][ ,1 ] [ ,1 ]
[ ,1 ][ ,1 ] [ ,1 ]
m m
m m
n n n n n nm nm
t f t f t fu
u t f t f t f
u t f t f t f
− − −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
"
"
# #
"
根据 Vague 集的相似度量公式，可给出 Vague 相似矩阵为：
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
n
n
n n n n
M u u M u u M u u
M u u M u u M u u
M u u M u u M u u
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
#
"
R
基于 Vague 相似度量的直接聚类步骤如下。
步骤 1 取 1 1λ = ( R中的最大值)，将满足 ( , ) 1i jM u u = 中的 iu 和 ju 归并为同一类，构成
相似类。由于不是等价类，故不同的相似类可能含有同一个元素，即它们的交集非空。对交
集非空的相似类，应当取其并集，将其归并为一个相似类。
步骤 2 取 2λ 为 R R 中的次大值，并从 R中找出相似度为 2λ 的元素，即 2( , )i jM u u λ= ，
则 iu 和 ju 归为同一类，然后再将 1 1λ = 时所得的划分中含有 iu 和 ju 的等价类归并。
步骤 3 取 3λ 为 R中的第三大值，后面的操作与步骤 2 相同。
步骤 4 重复以上步骤，直到U 被归并为单个等价类。
步骤 5 算法结束。
2 目前已有 Vague 集相似度量公式
设有限论域 1 2{ , , , }nU u u u= " ，U 上有 Vague 集：
1
[ () , ( ), ( )] /
n
A i A i A i i
i
A t x f x x xπ
=
=∑ ，
1
[ ( ), ( ), ( )] /
n
B i B i B i i
i
B t x f x x xπ
=
=∑ ，
称下述函数为 Vague 集 A 和 B 之间的相似度量。
(1) 文献[3]给出的 Vague 集的相似度量公式为：
C ( , ) 1 (1/ 2) ( ) ( )M x y S x S y= − − ；
(2) 文献[4]给出的 Vague 集相似度度量公式为：
HK ( , ) 1 2
x y x yt t f fM x y
− + −= − ；
(3) 文献[5]给出的 Vague 集相似度度量公式为：
LX
( ) ( )
( , ) 1
4 2
x y x yt t f fS x S yM x y
− + −−= − − ；
(4) 文献[6]给出的 Vague 集相似度度量公式为：
F ( , ) 1 3
x y x y x y x yt t f fM x y
π π φ φ− + − + − + −= − ；
(5) 文献[7]采取固定权值，考虑真假隶属度，核和 Vague 度的相似度量方法为：
Z
1 ( , ) 1 {8 ( ) ( ) 5
28
5 2 }
x y
x y x x y y
M x y S x S y t t
f f t f t f
= − − + − +
− + + − −
；
(6) 文献[8]给出的 Vague 集相似度量公式为：
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M
2 2 2 2
2 2
( , ) 1
2( ) 3 2( ) 3
10
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y
t t f f
M x y
t t f f
t t f fπ π
π π
− −= − − −+ + + +
− + − + −
+ +
；
(7) 文献[9]给出的 Vague 集相似度量公式为：
CP
(2 )
( , ) 1
3
− − −= − x y x yt t t tM x y
(2 )
3
− − −− x y x yf f f f
3
π π φ φ− + −− x y x y
(8) 文献[10]给出的 Vague 集相似度量方法公式为：
W
( ) ( )
( , ) 1 (1 )
2 x y
S x S y
M x y π π⎛ − ⎞= − × − −⎜ ⎟⎝ ⎠
。
上述各式中， ( ) x xS x t f= − 为元素 x 对 Vague 集 A 的核， ( ) 1 x xx t fπ = − − 为未知度或犹
豫度， ( ) (1/ 2)(1 )x xx t fφ = − + 为 Vague 值的区间中心。
3 不同 vague 集相似度量直接聚类算法对比分析
1) 针对模式识别应用中的一个典型应用实例，结合上述不同 vague 集相似度量公式进
行直接聚类对比分析。
在一个投票系统中，设 1 2 5{ , , , }U u u u= " 为5个候选人集合，5个候选人在5个地区得票情
况为：
1
2
3
4
5
{[, ],[],[, ],[, ]}
{[, ],[],[, ],[, ]}
{[,],[],[,],[,]}
{[,],[],[, ],[, ]}
{[, ],[
u
u
u
u
u
=
=
=
=
=
，
，
，
，
.9],[, ],[, ]}；
特性指标矩阵为：
[, ][][, ][, ]
[, ][][, ][, ]
[, ][][, ][, ]
[, ][][, ][, ]
[, ][][, ][, ]
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
。U
对基于不同 Vague 集相似度量公式计算出的相似矩阵进行聚类对比分析，结果如下。
(1) 基于文献[3]公式计算出的相似矩阵为：
1
1
5 1 5 5 5
0 5 1 0 0
0 5 0 1 0
0 5 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R
对该相似矩阵直接聚类，结果如表 1 所示。
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表 1 基于文献[3]公式的直接聚类结果
Table 1 Direct clustering results based on Ref. [3]
序号 阈值 结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 5 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 5 3 类 {u1,u2,u4}{u3}{u5}
4 0 2 类 {u1,u2, u4, u5}{u3}
5 0 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
(2) 基于文献[4]公式计算出的相似矩阵为：
2
1 0
5 1 5 5 5
5 5 1 0 0
0 5 0 1 0
0 5 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R
对该相似矩阵直接聚类，结果如表 2 所示。
表 2 基于文献[4]公式计算的直接聚类结果
Table 2 Direct clustering results based on Ref. [4]
序号 阈值 分类结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 5 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 0 3 类 {u1,u2,u4}{u3}{u5}
4 5 2 类 {u1,u2,u3,u4}{u5}
5 0 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
(3) 基于文献[5]公式计算出的相似矩阵为：
3
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R
对该相似矩阵直接聚类，结果如表 3 所示。
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表 3 基于文献[5]计算的直接聚类结果
Table 3 Direct clustering results based on Ref. [5]
序号 阈值 分类结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 0 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 0 3 类 {u1,u2,u4}{u3}{u5}
4 0 2 类 {u1,u2,u3,u4}{u5}
5 0 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
(4) 基于文献[6]公式计算出的相似矩阵为：
4
1 5 7
5 1 8 2 8
7 8 1 0 3
0 2 0 1 0
7 8 3 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R 对该相似矩阵直接聚类，结果如表 4 所示：
表 4 基于文献[6] 公式的直接聚类结果
Table 4 Direct clustering results based on Ref. [6]
序号 阈值 分类结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 2 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 7 3 类 {u1,u3}{u2,u4}{u5}
4 2 类 {u1,u2,u3,u4}{u5}
5 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
(5) 基于文献[7]公式计算出的相似矩阵为：
5
1 0 9 4
0 1 1 9 3
9 1 1 6 6
4 9 6 1 8
7 3 6 8 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R 对该相似矩阵直接聚类，结果如表 5 所示。
表 5 基于文献[7]公式计算的直接聚类结果
Table 5 Direct clustering results based on Ref. [7]
序号 阈值 分类结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 9 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 3 类 {u1,u5}{u2,u4}{u3}
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4 9 2 类 {u1,u3,u5}{u2,u4}
5 0 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
(6) 基于文献[8]公式计算出的相似矩阵为：
6
1 8 4 7 4
8 1 2 6 1
4 2 1 1 3
7 6 1 1 5
4 1 3 5 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R 对该相似矩阵直接聚类，结果如表 6 所示。
表 6 基于文献[8]公式计算的直接聚类结果
Table 6 Direct clustering results based on Ref. [8]
序号 阈值 分类结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 6 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 4 3 类 {u1,u3}{u2,u4}{u5}
4 7 2 类 {u1,u2,u3,u4}{u5}
5 3 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
(7) 基于文献[9]公式计算出的相似矩阵为：
7
1 3 5 2 7
3 1 7 3 3
5 7 1 7 0
2 3 7 1 0
7 3 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R 对该相似矩阵直接聚类，结果如表 7 所示。
表 7 基于文献[9]公式计算的直接聚类结果
Table 7 Direct clustering results based on Ref. [9]
序号 阈值 分类结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 3 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 2 3 类 {u1,u2,u4}{u3}{u5}
4 5 2 类 {u1,u2,u3,u4}{u5}
5 0 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
(8) 基于文献[10]公式计算出的相似矩阵为：
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8
1 00 00 00 00
00 1 00 25 50
00 00 1 50 00
00 25 50 1 50
00 50 00 50 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R 对该相似矩阵直接聚类，结果如表 8 所示。
表 8 基于文献[10]公式计算的直接聚类结果
Table 8 Direct clustering results based on Ref. [10]
序号 阀值 分类结果 具体分类情况
1 1 5 类 {u1}{u2}{u3}{u4}{u5}
2 5 4 类 {u1}{u2,u4}{u3}{u5}
3 0 3 类 {u1,u3}{u2,u4}{u5}
4 0 2 类 {u1,u3}{u2,u4,u5}
5 0 1 类 {u1,u2,u3,u4,u5}
2) 试验结果与分析
(1) 从上述试验可以看出，虽然不同 Vague 集相似度量计算出来的相似矩阵差别较大，
但是基于不同相似矩阵的直接聚类都能够将待分类 Vague 数据进行聚类，说明基于 Vague
集相似度量的直接聚类算法是有效和实用的。
(2) 另外，具体聚类情况不同，Vague 集相似度度量有不同结果，大体归类如下：(1) 算
法第一步时，所有算法聚类结果均分为 5 类，即 1{ }u 、 2{ }u 、 3{ }u 、 4{ }u 、 5{ }u ； (2) 算法
第二步时，均为 1{ }u 、 2 4{ , }u u 、 3{ }u 、 5{ }u ；(3) 算法第三步时，聚类结果有较大差别，其
中文献[6]公式、文献[7]公式、文献[8]、文献[12]公式的聚类结果一样，均为 1 2 4{ , , }u u u 、 3{ }u 、
5{ }u ，文献[9]公式、文献[11]公式、文献[5]公式的结果相同，均为 1 3{ , }u u 、 2 4{ , }u u 、 5{ }u ，
文献[10]公式聚类
结果为 1 5{ , }u u 、 2 4{ , }u u 、 3{ }u ；(4) 算法第四步时，聚类结果有较大差别，其中文献[7]公式、
文献[8]公式、文献[9]公式、文献[11]公式、文献[12]公式的聚类结果一样，均为 1 2 3 4{ , , , }u u u u 、
5{ }u ，文献[6]公式为 1 2 3 5{ , , , }u u u u 、 4{ }u ，文献[10]公式的聚类结果为 1 3 5{ , , }u u u 、 2 4{ , }u u ，
文献[5]公式的聚类结果为 1 3{ , }u u 、 2 4 5{ , , }u u u ；(5) 算法第五步，所有公式的聚类结果均为
1 2 3 4 5{ , , , , }u u u u u 。
5 结 论
聚类分析是数据挖掘和模式识别中一种重要的分析方法，以 Fuzzy 集为基础的聚类分析
理论已经成熟，而以 Vague 集为基础的聚类分析还不够成熟。传递闭包法计算过程中，由于
存在矩阵自乘运算，不可避免地会丢失原始信息；而 Vague 直接聚类法计算简单，分类粒度
更小，不会造成原始信息的失真。因此，基于 Vague 集的直接聚类法更加有效。基于 Vague
相似度量的直接聚类分析方法是一种新的 Vague 聚类方法，本文通过实例说明了该方法的有
效性，并比较了不同 Vague 集相似度量的直接聚类方法。对比试验结果表明，不同 Vague
集相似度量的直接聚类算法聚类效果基本相同，但具体的聚类步骤差别较大，在具体应用中
3
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要根据实际情况选择使用。
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