第四章
效用
偏好 – 一个回顾
x y: x 严格优于 y.
x ~ y: x 和 y 是无差异的.
x y: x 至少不差于 y.
p
~
f
偏好 – 一个回顾
完备性: 对于任意两个消费束 x 和 y ，偏好关系总是存在的。 x y 或者 y x.
~
f
~
f
偏好 – 一个回顾
反身性: 任何消费束 x 都不差于它自身; 即 x x.
~
f
偏好 – 一个回顾
传递性: 假如 x 不差于 y, 并且 y 不差于 z, 那么 x 不差于 z; 即 x y 且 y z x z.
~
f
~
f
~
f
效用函数
具备完备性,反身性, 传递性和连续性的偏好关系可以用一个连续的效用函数来表示.
连续指若是消费束有一个微小的变化，那么将导致偏好水平的微小变化，它是对应离散商品的偏好关系而言的.
效用函数
效用函数 U(x) 代表了某种偏好关系
if and only if: x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”).
~
f
p
p
效用函数
效用是一种 序数 (即 排序) 概念.
例如： 若 U(x) = 6 且 U(y) = 2 那么 消费束 x 严格优于消费束 y. 但 x 并不是会相当于y的三倍的效用.
效用函数和无差异曲线
考虑以下三个消费束 (4,1), (2,3) 以及 (2,2).
假设 (2,3) (4,1) ~ (2,2).
给这些消费束指定一些满足偏好次序的任意数字; 例如： U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4.
定义这些数字为效用水平.
p
效用函数和无差异曲线
无差异曲线包含了所有无差异的消费束.
无差异 相同的效用水平.
亦即, 无差异曲线上所有的消费束都具备同等的效用水平.
效用函数和无差异曲线
因此消费束 (4,1) 和 (2,2) 是无差异的，都在效用水平为U º 4的无差异曲线上。
但是消费束 (2,3) 是在效用水平为U º 6的无差异曲线上.
在无差异曲线的图中，这种偏好信息看起来如下图所示:
效用函数和无差异曲线
U º 6
U º 4
(2,3) (2,2) ~ (4,1)
x1
x2
p
效用函数和无差异曲线
显示这种信息的另一种方法是将效用水平重置到一个垂直坐标轴上.
效用函数和无差异曲线
U(2,3) = 6
U(2,2) = 4 U(4,1) = 4
x1
x2
Utility
效用函数和无差异曲线
如果将两条无差异曲线加入至这一关于偏好的3维视图，我们可以得到更多的认识.
效用函数和无差异曲线
U º 4
U º 6
Higher indifference curves contain
more preferred bundles.
Utility
x2
x1
效用函数和无差异曲线
比较更多的消费束，我们将能绘制出更多的无差异曲线并且可以更好地来描述消费者的偏好.
效用函数和无差异曲线
U º 6
U º 4
U º 2
x1
x2
效用函数和无差异曲线
与此前相同, 上图也可以通过将效用水平放至一个新的坐标轴上而将无差异曲线3维化.
效用函数和无差异曲线
U º 6
U º 5
U º 4
U º 3
U º 2
U º 1
x1
x2
Utility
效用函数和无差异曲线
比较所有可能的消费束，可以给出消费者无差异曲线的完整集合，代表了全部的不同级别的效用水平.
这一完整的无差异曲线的集合代表了消费者偏好的全部信息.
效用函数和无差异曲线
x1
x2
效用函数和无差异曲线
x1
x2
效用函数和无差异曲线
x1
x2
效用函数和无差异曲线
x1
x2
效用函数和无差异曲线
x1
x2
效用函数和无差异曲线
x1
x2
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
x1
效用函数和无差异曲线
对于给定偏好关系的所有无差异曲线构成完整集合叫做无差异图.
一个无差异图就等价于一个效用函数.
效用函数
表示偏好关系的效用函数并不是唯一的.
假设 U(x1,x2) = x1x2 代表的是一种偏好关系.
对于消费束 (4,1),(2,3)和(2,2)来说.
效用函数
U(x1,x2) = x1x2, 因此 U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4; 即是, (2,3) (4,1) ~ (2,2).
p
效用函数
U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2).
定义 V = U2.
p
效用函数
U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2).
定义 V = U2.
那么 V(x1,x2) = x12x22 且 V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16 因此 (2,3) (4,1) ~ (2,2).
V代表了与U同样的排序结果，因而也代表了同样的偏好关系.
p
p
效用函数
U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2).
定义 W = 2U + 10.
p
效用函数
U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2).
定义 W = 2U + 10.
那么 W(x1,x2) = 2x1x2+10 因此 W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. 依然是, (2,3) (4,1) ~ (2,2).
W代表了与U及V同样的排序结果，因而也代表了同样的偏好关系.
p
p
效用函数
若
U 是一个代表了某种偏好关系的效用函数，并且
f 是一个严格增函数,
那么 V = f(U) 也是代表同样的偏好关系的效用函数.
正常商品、厌恶品和无关品
正常商品会增加效用 (越多越好).
厌恶品会降低效用 (越少越好).
无关品不会改变效用 (多或少没有关系，不介意).
正常商品，厌恶品和无关品
效用
水
x’
水做为正
常商品
水估为厌
恶品
在 x’ 处, 些微地增加一些水是无关品.
效用函数
一些其它的效用函数和它们的无差异曲线
与 U(x1,x2) = x1x2相对比，考虑 V(x1,x2) = x1 + x2. 对于这种 “完全替代”式的效用函数，它的无差异曲线看起来像是什么呢?
完全替代的无差异曲线
5
5
9
9
13
13
x1
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
V(x1,x2) = x1 + x2.
完全替代的无差异曲线
5
5
9
9
13
13
x1
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
全部都是线性的且平等的.
V(x1,x2) = x1 + x2.
一些其它的效用函数和它们的无差异曲线
与 U(x1,x2) = x1x2相对比，考虑 V(x1,x2) = min{x1,x2}. 对于这种 “完全互补”式的效用函数，它的无差异曲线看起来像是什么呢?
完全互补的无差异曲线
x2
x1
45o
min{x1,x2} = 8
3
5
8
3
5
8
min{x1,x2} = 5
min{x1,x2} = 3
W(x1,x2) = min{x1,x2}
完全互补的无差异曲线
x2
x1
45o
min{x1,x2} = 8
3
5
8
3
5
8
min{x1,x2} = 5
min{x1,x2} = 3
所有的直角顶点都在一条从原点开始的射线上.
W(x1,x2) = min{x1,x2}
Some Other Utility Functions and Their Indifference Curves
A utility function of the form U(x1,x2) = f(x1) + x2 is linear in just x2 and is called quasi-linear.
. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.
Quasi-linear Indifference Curves
x2
x1
Each curve is a vertically shifted copy of the others.
Some Other Utility Functions and Their Indifference Curves
Any utility function of the form U(x1,x2) = x1a x2b with a > 0 and b > 0 is called a Cobb-Douglas utility function.
. U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)
Cobb-Douglas Indifference Curves
x2
x1
All curves are hyperbolic, asymptoting to, but never touching any axis.
边际效用
边际意味着 “微小的增量”.
商品 i 的边际效用是指随着商品i消费量的改变，总效用水平的改变率; 即
边际效用
例如 若 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么
边际效用
例如. 若 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么
边际效用
例如. 若 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么
边际效用
例如：那 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么
边际效用
因此, 若 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么
边际效用和边际替代率
无差异曲线的一般等式是： U(x1,x2) º k, 是固定的. 从中可以得出在差异曲线上的些微移动
边际效用和边际替代率
移项得：
边际效用和边际替代率
移项得：
且
这就是 MRS.
边际效用和边际替代率：例子
假设 U(x1,x2) = x1x2. 那么
因此
边际效用和边际替代率：例子
MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1.
x1
x2
8
6
1
6
U = 8
U = 36
U(x1,x2) = x1x2;
拟线性效用函数的边际替代率
拟线性效用函数指以下形式的效用函数: U(x1,x2) = f(x1) + x2.
因此
拟线性效用函数的边际替代率
MRS = - f (x1) 意味着它并不依赖于 x2 ，所以拟线性效用函数的无差异曲线的斜率同x2 无关（在x2方向上是固定的），只与 x1有关. 那么这种形式的MRS在无差异图上会是什么情形呢?
¢
拟线性效用函数的边际替代率
x2
x1
每条曲线都是另一条曲线的垂直平移.
x1不变时MRS 保持不变.
MRS = - f(x1’)
MRS = -f(x1”)
x1’
x1”
x2
单调变换和边际替代率
效用函数的单调变换所得到的新的函数代表了同样的偏好关系，同样是这种偏好关系的效用函数.
那么单调变换发生后，边际替代率会有何变化呢?
单调变换和边际替代率
对于 U(x1,x2) = x1x2 ，MRS = - x2/x1.
设 V = U2; 即 V(x1,x2) = x12x22. V的MRS会是何种情形? 它具有同U一样的 MRS.
单调变换和边际替代率
更一般的,若 V = f(U) 此处f是一个严格正单调函数, 那么
因此，MRS对于正单调变换是不会改变的.
