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一种基于相关系数的窄带时间延迟估计方法1
高 阳 邱天爽 2 赵燕斌
（大连理工大学电子与信息工程学院，辽宁大连 116024）
摘 要： 本文研究窄带信号时延估计问题，分析了已有算法在处理窄带信号所存在的问题，
提出一种基于相关系数的窄带时延估计算法。本文算法通过相关运算将原始信号时延信息转
化为自相关与互相关函数之间的延迟关系，通过波形比较方法给出准确的时延估计结果。通
过理论分析及计算机仿真表明了本文算法的有效性。通过与其他算法比较，验证了本文算法
在处理窄带信号的优势。
关键字：时延估计，窄带信号，相关系数
中图分类号：
1 引言
时间延迟估计是无线电定位系统中的关键技术，是信号处理领域的一个十分活跃的研究
课题[1][2]，在声纳、雷达、无源定位系统以及目前发展迅速的移动通信系统中都有广泛应用。
目前的主要时间延迟估计方法主要分为时域与频域两个主要类别。时域方法包括对采集得到
的信号进行相关运算[3][4]，得到信号间的时间延迟信息，进而得到信号源的方位角以及位置
信息，除此之外，还可以利用时域的自适应算法进行时间延迟估计，这其中包括了 LMS 算
法[5]、ETDE 算法[6]及其各种衍生算法[7]-[8] ，文献[9]研究了时延估计问题的误差界，[10]与
[11]分别给出两种不同于经典算法的新算法。而频域算法主要是根据信号时域的延迟信息包
含在其相位谱中，通过具有相对时延信息的两路信号相位关系进行估计[12]。在很多情况下，
接收到的无线电信号多为窄带信号，由于无线电系统中采样频率很高，因此此时采集得到的
信号归一化带宽（即绝对带宽与采样频率的比值）很窄。目前关于窄带信号时延估计中存在
的一些问题仍没有很好的解决，传统的时延估计方法的在精度方面不能满足实际需要，因此
国内外研究者正在努力通过改进已有方法或提出新方法来改善时延估计的性能。
随着采样频率的提高，信号归一化带宽变窄，从而使两路信号的相关峰变得平坦，不利
于峰值点位置的判断；基本的 LMS 自适应时延估计算法由于也是利用对滤波器权值的极值
位置判断，同样受带宽的影响；而 ETDE 及其衍生算法由于其迭代误差性能曲面不是二次型
的，因此其初始值选择上受到很大限制，很难保证其收敛性。频域方法由于受窄带影响，频
率分辨率及可用采样点受限制，很难保证估计精度。
本文利用广义相关法将原始信号的时间延迟信息转移到信号的相关函数中，再通过对单
路信号自相关函数及两路信号互相关函数进行波形比较进行时间延迟估计。为了提高估计的
精度及算法的韧性，在波形比较时采取分段方式，得到多个估计结果，利用统计方法得到最
终结果。理论及实验仿真表明，该算法适用于窄带信号的时间延迟估计。
1 国家自然科基金资助项目（60372081，30570475），教育部博士点基金资助项目（20050141025）
2 通信作者：qiutsh@
1
2
2 方法介绍
相关法时间延迟估计[2][3]
文献[2]、[3]给出了基于相关运算的时间延迟估计算法。设时间延迟估计问题的离散时
间信号模型为：
1 1
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x n s n v n
y n s n v n
= +⎧⎨ = +⎩ (1)
式中，源信号为 ( )1s n 与 ( )2s n ，其中 ( ) ( )2 1s n s n D= − ， D 表示两路信号之间的延迟时
间， ( )1v n 、 ( )2v n 为相互独立的高斯白噪声。若信号 ( )x n 与 ( )y n 为平稳信号，对这两路
信号求相关函数，有
( ) ( ) ( ) ( )
1 11 2xy s s
R m E s n s n m R m D= ⋅ + = −⎡ ⎤⎣ ⎦ (2)
根据相关函数性质， ( ) ( )
1 1 1 1
0s s s sR m D R− ≤ ，因此，可得时间延迟估计
{ }1 1ˆ arg max[ ( )]s smD R m D= − (3)
此外，针对不同应用背景，可以对信号做预处理，即对相关函数进行加权运算，形成广义相
关算法，可以提高估计的准确性。
根据维纳-辛钦定理[13]，信号的自功率谱与其自相关函数互为傅立叶变换关系。根据傅
立叶变换的性质，频域越窄，时域越宽。因此，窄带信号的相关函数在时域被展宽，其峰值
处较为平坦，极易受噪声影响，影响峰值位置的判断。
另一方面，无线电信号一般为调制信号，其相关函数具有调制性，呈一定的周期性变化，
这也称为窄带信号相关函数的模糊性[14]。设窄带调制信号模型为：
( )
( ) ( )
1
2 1
( )
( ) ( )
c
c
j n
j n D
s n A n e
s n s n D A n D e
ω
ω −
⎧ =⎪⎨ = − = −⎪⎩
(4)
其中 cω 为信号的中心频率，对于调制信号，一般为信号载波频率。对信号 ( )ns1 和 ( )ns2 求
互相关函数可得（5）式，其中 ( )AR Dτ − 为包络信号的相关函数。由（5）式可以看出窄带
信号的相关函数与该窄带信号具有同样的中心频率。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
* *
1 2
cc
c
j n Dj n
j D
A
E s n s n E A n e A n D e
R D e
ω τω
ω τ
τ τ
τ
+ −−
−
⎡ ⎤⎡ ⎤+ = + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= −
i
(5)
综上讨论，对于窄带调制信号，一方面其相关函数包络平坦，另一方面相关函数呈一定
的周期性变化，因此与真实峰值点相邻的其他伪峰值点在幅度上极为相近，很容易受噪声干
扰而产生错误估计。
2
3
基于相关系数波形比较的时延估计方法
根据（1）式给出的模型，有 ( ) ( )
1 1xx s s
R m R m= ， ( ) ( )
1 1xy s s
R m R m D= − ，即两路信
号的相对延迟信息可以转化为相关函数之间的延迟关系。而且通过求取相关函数，可以大幅
度提高信号信噪比，便于利用波形比较法进行时延估计。
仍然利用（1）式给出的信号模型，可以得到信号相关函数的估计值：
( ) ( ) ( )
1
ˆ
N
xx
n
R m x n x n m
=
= ⋅ +∑ (6)
( ) ( ) ( )
1
ˆ
N
xy
n
R m x n y n m
=
= ⋅ +∑ (7)
式中 N 为信号采样点数。根据前文分析，利用该估计所得相关函数进行波形比较即可得到
信号延迟估计。其算法步骤如下：
（1） 利用式（6）与式（7）求得信号自相关函数 ( )ˆxxR m 与互相关函数 ( )ˆxyR m ；
（2） 利用维纳加权系数，对互相关函数 ( )ˆxyR m 进行加权，进一步提高信噪比；
（3） 由自相关函数 ( )ˆxxR m 任取一段长为 L 的波形 1w ，与互相关函数 ( )ˆxyR m 中等
长的一段波形 2w 进行比较，比较方式为求两段波形的相关系数。取相关系数最
大的一段波形，两段波形在时间坐标轴上的相对位置即为时间延迟估计。
（4） 如此反复进行第（3）步，得到若干估计值，对估计值进行直方图统计，取统计
次数最大的一段数据，对该段数据取均值，得到最终估计结果。
( )x n
( )y n
ˆ ( )xxR m
ˆ ( )xyR m
Dˆ
图 1 利用相关系数的基于波形比较的时延估计系统结构图
Fig1 Diagram of TDE system based on wave-form comparison using correlation coefficient
本文算法有效性分析
由于信号的信噪比是影响时间延迟估计精度的重要因素，下面从信噪比改善的角度对本
文算法的有效性进行分析（仅以 ( )ˆxyR m 为例）。另外需要说明，以下分析中的等号表示等
号左右的数值相等，不含量纲。
由（1）式与（7）式有
3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1
1 1
1 2 1 2
1 1
ˆ
N
xy
n
N N
n n
N N
n n
R m x n y n m
s n s n D m v n s n D m
s n v n m v n v n m
=
= =
= =
= ⋅ +
= ⋅ − + + ⋅ − +
+ ⋅ + + ⋅ +
∑
∑ ∑
∑ ∑
（8）
为分析方便，定义如下符号：
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
1 1 1
1
2 1 2
1
3 1 2
1
N
n
N
n
N
n
N
n
R s n s n D m
I v n s n D m
I s n v n m
I v n v n m
=
=
=
=
⎧ = ⋅ − +⎪⎪⎪ = ⋅ − +⎪⎪⎨⎪ = ⋅ +⎪⎪⎪ = ⋅ +⎪⎩
∑
∑
∑
∑
(9)
则根据式（7）有
( ) 1 2 3ˆxyR m R I I I= + + + (10)
可以看出，式（10）中除了第一项为所需要的原信号的自相关函数和互相关函数的估计，其
余各项均可以看作干扰噪声。对于任意带宽为 B 的信号 ( )g n ，由 Parsval 定理，可以得到
其等效功率为
2
2g g
BP F
Nπ= (11)
其中，假定了信号在带宽 B 内具有平坦谱，且频谱值为 gF 。
同理可以分析 ( )ˆxyR m 中各项的等效功率。同样假设信号 ( )1s n 为窄带信号，带宽为 B ，
在信号带宽内具有平坦谱，噪声带宽为 B′，也具有平坦谱。
1s
P 为信号 ( )1s n 的功率， 2sP 为
信号 ( )1s n D− 的功率，对于式（10）的第一项 R ，有
1 2
2
R s s
NP P P
B
π= ⋅ (12)
再设信号 ( )x n 的信噪比SNR 1/x xr= ，信号 ( )y n 的信噪比SNR 1/y yr= 。由于信号为窄
带信号，其带宽远小于噪声带宽，假定 B Bα ′= ， 1α � 。因此可得
1 1 2
2
I x s s
NP r P P
B
πα= (13)
4
5
2 1 2
2
I y s s
NP r P P
B
πα= (14)
3 1 2
2
I x y s s
NP r r P P
B
πα= (15)
根据前文分析，互相关函数中各项， R 为信号，其余三项为噪声，则相关函数的信噪比为
1 1 3
1SNR = R
I I I x y x y
P
P P P r r r rα α α=+ + + +互相关 (16)
与原信号信噪比相比，则有
x y
SNR SNR
SNR SNR ( )
x
x y x y
r
r r r rα= = + +
互相关 互相关 (17)
这里假设两路接收信号信噪比相同，则有 x yr r= 。当接收信号的信噪比为 0dB 时，若
α = ，则根据（17）式， xSNR / SNR =互相关 。即通过相关运算，信噪比可以提
高约 。对于自相关函数也可进行同样分析。在实际应用中，尽管信号不一定满足平
坦谱的假定，但由于干扰噪声的带宽远大于窄带信号带宽，即α 可以达到 3 410 ~ 10− − 数量
级，因此信噪比可以得到显著改善。从这一观点出发，可以看出本文算法尤其适用于窄带信
号的时间延迟估计，随后的仿真实验同样证明了这一点。
但是，如果希望反复利用相关运算提高信噪比却不可行。因为此时干扰项已不具备前文
假设的条件，噪声与信号具有同样的带宽，即 1α = ，则信噪比改善 x 1SNR / SNR 3=互相关 ，
信噪比反而下降。
另外需要指出的是，利用（6）、（7）式估计得到相关函数并不是无偏一致估计，随着m
的增大，其估计性能下降[13]，因此算法第三步对相关函数分段选取时，一般选择m 较小的
部分。本文实际选择了相关函数第一主瓣的波形进行比较。
3 仿真实验与结果讨论
按照式（1）产生随机信号序列 ( )x n 和 ( )y n ，其中 ( )s n 是采样频率为 50MHz 的射频
窄带信号，信号载波频率 ，采用抑制载波 AM 调制方式。设定延时为 10 个采样点，
即 μs 。 1( )v n 和 2 ( )v n 为独立的高斯白噪声信号，且与 ( )s n 互不相关。对相关函数进行
波形比较时，按前文所述，取m 较小的部分波形，这里取相关函数第一主瓣。
分别取不同带宽的信号，加入高斯白噪声，分别产生 0dB、5dB、10dB 的混合信号，为
了比较估计精度，这里同时引入维纳加权相关法的估计结果作为对比。估计精度通过均方根
误差给出，其定义式为：
5
6
( )2rms
1
1 ˆ
M
i
i
e D D
M =
= −∑ (18)
其中 ˆ iD 为每一次估计值，D 为时延真值，M 为仿真次数。这里每种情况仿真 20 次，按（18）
式给出均方根误差。
表 1 不同信噪比下时时延估计结果（归一化带宽 42 10−× ）
rmse （单位：ns）
信噪比 10dB 5dB 0dB
本文算法
维纳加权广义相关法
表 2 不同信号带宽条件下时延估计结果（归一化带宽 41 10−× ~ 42 10−× ， SNR=0dB）
rmse （单位：ns）
信号带宽 10KHz 8KHz 6KHz
本文算法
维纳加权广义相关法
通过比较表 1 与表 2 可以看出，与广义相关算法相比，本文算法精度高，特别是在低带
宽、低信噪比情况下，其精度要明显优于广义相关算法。在带宽变化时，本文算法的误差变
化不大，表明了该算法具有较好的韧性。当信号带宽低于 5KHz 时，广义相关算法的误差已
经达到了微秒级，而本文算法则仍然保持在纳秒级精度。
图 2 与图 3 给出了本文算法与维纳加权广义相关法的性能比较。由图 2 可以看出在高信
噪比下，两种算法的性能相当，而随着信噪比的降低，广义相关算法的估计精度急剧恶化，
而本文算法则具有稳定的精度。由图 3 可以看出，与传统的广义相关算法相比，本文算法在
带宽较低的情况下，估计精度有很大改善。
4 结论
在时间延迟估计问题中，两路接收信号的自相关函数与互相关函数同样包含了这两路信
号的相对延迟信息。通过理论推导，得出相关运算对于提高窄带信号相关函数波形的信噪比
具有重要作用，并且在此基础之上利用相关系数比较波形间的相对位置，进而得到时间延迟
估计的结果。同时利用了直方图统计方法对分段估计结果进行统计处理，改善了算法韧性，
通过仿真发现，该算法与已有的时延估计算法相比，具有适用于窄带信号，精度高，韧性好
的特点。
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
维纳加权相关法与波形比较法在不同信噪比下性能比较
信噪比 单位 dB
均
方
根
误
差
的
对
数
单
位
dB
本文算法
维纳广义相关法
6 7 8 9 10
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
维纳加权相关法与本文算法在不同带宽下性能比较
带宽 单位 KHz
均
方
根
误
差
的
对
数
单
位
dB
本文算法
维纳广义相关法
图 2. 广义相关法与本文算法在不同信噪比下性能比 图 3. 广义相关法与本文算法在不同带宽下性能
较（10KHz 带宽 AM 调制信号，50MHz 采样频率） 比较（SNR=0dB，AM 调制信号，50MHz 采样
频率）
Fig2 Performance of general correlator and method here Fig3 Performance of general correlator and method
Under different SNR(10KHz bandwithd, AM, 50KHz here under different bandwidth(SNR=0dB, AM,
sampling frequency 50MHz sampling frequency
参考文献
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A Narrowband Time Delay Estimating Based on Correlation
Coefficient
GAO Yang QIU Tianshuang ZHAO Yanbin
(School of Electronic and Information Engineering, Dalian University of Technology, Dalian,
China, 116024)
Abstract
This paper addresses the problems of time delay estimation of narrowband signals, analyzing the
disadvantages of the existing algorithms. The paper proposes a new narrowband time delay estimating
algorithm based on correlation coefficient. We also prove that this algorithm is suitable for disposing
the narrowband signals by theoretical analysis and computational stimulation. The algorithm proposed
in the paper transfer the original time delay information to the delay between the autocorrelation and
cross-correlation function, and give the precise estimating result by wave-comparison. The paper also
compares the algorithm proposed here with other algorithms and proves the advantages of the
algorithm of our paper over other algorithms.
Keywords: TDE, Narrowband signal, Correlation coefficient
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Text3:
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Text12:
