NCEPUBD
抽样Z变换
频率抽样理论
NCEPUBD
抽样Z变换--频域抽样理论
1 引言
2 ZT与DFT的关系
3 频域抽样理论
NCEPUBD
1 引 言
两种抽样
主要内容
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两种抽样
对一个频带有限的信号,根据抽样定
理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是
原带限信号频谱的周期延拓,因此完全可
以由抽样信号恢复原信号。
时域抽样：
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两种抽样
奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不失
真的还原出原信号，则抽样频率必须大于
或等于两倍信号谱的最高频率。
或
时域抽样：
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抽样内插公式
即由信号的抽样值xa(mT)经此公式而得到连续信号
xa(t).
两种抽样
时域抽样：
NCEPUBD
两种抽样
频域抽样：
对一有限长序列(时间有限序列)进行
DFT所得X(k)就是序列傅氏变换的采样。
所以DFT就是频域抽样。
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主要内容
Z变换与DFT的关系(抽样Z变换)
频域抽样后，时域的变化
频域抽样理论(频域抽样不失真条件)
频域内插公式
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2 Z变换与DFT关系
引 入
推 导
结 论
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引 入
DFT看作是DTFT在频域抽样后的变换对
DTFT是单位圆上的Z变换
所以对DTFT进行频域抽样时, 自然可以看
作是对单位圆上的Z变换进行抽样
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推 导
ω是单位圆上各点的数字角频率
ZT的定义式 (正变换) :
取z=ejω代入, 得到单位圆上Z变换为
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这正是DFT正变换定义式。
再抽样-- N等分
抽样间隔ω=2kπ/N, 即ω值为0,2π/N,4π/N,…。
考虑x(n)是N点有限长序列，n只需0~N-1即可。
将ω=2kπ/N代入并改变上下限, 得
推 导
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结 论
有限长序列x(n)的DFT--X(k)序列的各样值
等 于
x(n)的Z变换在单位圆上N等分抽样的各抽样点
值，即
Z变换与
DFT的关系
结论1
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结 论
有限长序列补零加长， 求其DFT。
发现：频谱包络不变，只是抽样点更密。
原因：补零加长并不改变有限长序列本身，因
而其 Z变换不变，而只是增加了N值。
结论2
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3 频域抽样后时域的变化
在频域内对序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）X
(ejω)进行等间隔采样，将导致时间序列的周期
延拓。
xp(n)是一个周期序列，其周期为N，其主值为
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4 频率抽样理论
--频域抽样不失真条件
问题引入
分析
结论
抽样后序列能否无失真恢复原时
域信号
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问题引入
是否任何一序列都能用频域抽样的办法去
逼近呢?
其限制条件是什么?
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分析
频域按每周期N点抽样，时域便按N点周期延拓
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结 论
长度为M的有限长序列，频域抽样不失真的条件：
频域抽样点数N要大于或等于序列长度M, 即满足
N≥M。此时可得到
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抽样后序列能否无失真恢复原
时域信号
有限长序列的长度为M
•当频域抽样不够密，即N<M 时，x(n)以N为
周期延拓会造成混叠，因此从x(n)中不能无
失真地恢复原信号x(n)。
•当N>M或=M时，可利用其z变换在单位圆上
的N个均分点上的抽样值精确地表示。
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例子
已知：矩形序列及其频谱（DTFT）
对其进行频域抽样。
按N=5点，
频域抽样，
时域延拓恰好
无混叠现象
（原信号为红色，
延拓取主值区间后
的恢复信号为兰色。）
按N=4频域抽样：
产生混叠现象
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5 频域内插公式
内插公式
内插函数
傅立叶变换的内插公式
傅立叶变换的内插函数
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内插公式
称为内插函数
NCEPUBD
内插函数
NCEPUBD
用 代替z可得
傅立叶变换的内插公式
NCEPUBD
傅立叶变换的内插函数
NCEPUBD
说明
• 在每个抽样点上X(ejω)精确地等于X(k)，即
• 各抽样点之间的X(ejω)值由各抽样点的加权内插
函数在所求点上的值的叠加而得到。
