估计量的评选标准与区间估计
一 估计量的评选标准
(一) 无偏性
定义 若估计量 = (X1 ,X2 ,…,Xn)的数学期望E( )
存在，且对于任意∈有
E( )=,
则称 是的无偏估计。
在科学技术中E( )-称为以 作为的估计的系统误
差,无偏估计的实际意义就是无系统误差。
例1 设总体X的的k阶矩k=E(Xk)(k1)存在，又设X1
,X2 ,…,Xn是X的一个样本。试证明不论总体服从什么分
布，k阶样本矩
证 X1 ,X2 ,…,Xn与X同分布，故有
E(Xik)=E(Xk) = k , i=1,2,…,n.
即有
证
例2 对于均值,方差20都存在的总体，若, 2均为
未知，则2的估计量 是有偏的。
是k阶总体矩k的无偏估计。
特别，不论总体服从什么分布,只要它的数学期望存在
总是总体X的数学期望1=E(X)的无偏估计量。
所得的估计量就是无偏的了：
这就是说S2是2的无偏估计，因此，一般都是取S2作为
方差2的估计量。
例3 设总体X服从参数为的指数分布，概率密度为
其中>0为未知,又设X1 ,X2 ,…,Xn是来自X的样本,试证
都是的无偏估计量
证
而Z=min(X1 ,X2 ,…,Xn)服从参数为/n的指数分布，
即具有概率密度
故知
即nZ也是参数的无偏估计量。
由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量。
事实上X1 ,X2 ,…,Xn均可。
(二)有效性
的无偏估计量，若有
现在来比较的两无偏估计量.
例4 (续例3)试证当n>1时,的无偏估计量 较的无
偏估计量nZ有效。
(三) 一致性
定义 设 (X1 ,X2 ,…,Xn)为参数的估计量,若对于
任意,当n时 (X1 ,X2 ,…,Xn)依赖收敛于,则称
为的一致估计量。
证 由于D(X)=2,故有D( )= 2 /n,
再者，由于D(Z)==2/n2 , 故有D(nZ)= 2.
当n>1时 D(nZ)>D( ),故 较nZ有效。
由第六章2知，样本k(k≥1)阶矩是总体X的k阶矩
k=E(Xk)的一致估计量，进而若待估参数=g(1 , 2 ,…,
k ),其中g为连续函数，则的矩估计量
=g(A1 ,A2 ,…,Ak)是的一致估计量。
由极大似然估计法得到的估计量，在一定条件下也
具有一致性。
二 区间估计
对于未知参数,除了求出它的点估计 外，还必须给
出一个范围，并知道这个范围包含真值的可信度，这样
的范围用区间给出，并给出范围含的可信程度。这种形
式的估计称为区间估计。
置信区间 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知
参数. 对于给定值a(0<a<1), 若由样本X1 ,X2 ,…,Xn确定
的两个统计量
满足
别称为置信度为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上
限，1-a称为置信度。
意义：若反复抽样多次(容量都是n),每个样本确定一
个区间，其中包含 真值的约占100(1-a)%。
例4 设总体X~N(,2), 2为已知, 为未知, 设X1 ,X2,
…,Xn 是来自X的样本, 求的置信度为1-a的置信区间。
且它不依赖于任何未知参数, 按标准正态分布的上a分位
点的定义，有(如图)
这就得到了的一个置信度为1-a的置信区间
如果取a=, 即=, 又若 =1, n=16, 查表
得za/2 = =. 于是得到置信度为的置信区间
这已不是随机区间, 但仍称为95%的置信区间，含义
是该区间属于那些包含的区间的可信程度为95%, 或“该
区间包含”的可信度为95%.
注意：置信区间不唯一，上例给定a=, 则还有
也是的置信度为95%的置信区间。
比较（5）和（7）则区间长度分别为
可见, L随n的增大而减小(当a给定时)。
我们可以 确定n , 使置信区间具有预先给定的长度。
寻求参数 的置信区间的具体做法步骤：
1)寻求一个样本X1 ,X2,…,Xn的函数：
Z=Z(X1 ,X2,…,Xn ; ),
它包含待估参数 ，而不含其它未知参数，且Z的分布不
依赖其它未知参数。（当然不依赖于待估参数 )
2)对给定置信度1-α ，定出两常数a, b，使
P{a<Z(X1 ,X2,…,Xn;)<b}=1- α
3)若能从a< Z(X1 ,X2,…,Xn;)<b得到等价的不等式
函数Z(X1 ,X2,…,Xn ; )的构造, 可以从 的点估计着
手考虑。
(三)单个总体N(,2)的情况
设已给定置信度为1-a, 并设X1 ,X2,…,Xn为总体N(,2)
1)均值的置信区间
于是得的置信度为1-a的置信区间
例5 有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量为
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
解 这里 1-a=, a/2=, n-1=15,
s=.
于是根据 得均值的置信区间
即 （, ).
若以此区间任一值作的近似值，其误差不大于
设袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值
的置信区间。
2)方差2的置信区间(只介绍为未知)
2的无偏估计为S2 由第六章2定理一知
这就是2的置信度为1-a的置信区间
还可得标准差的置信区间。
例6 求例5中的置信度为置信区间。
解 a/2=, 1-a/2=, n-1=15,
(15)=, (15) =, S=.
由上式得 的置信区间为(，).
