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柔性合同下的多个零售商竞争
庄元东，郭永江**
作者简介：庄元东(1991-)，男，在校硕士生，主要研究方向：供应链管理
通信联系人：郭永江(1975-)，男，副教授，主要研究方向：随机排队网络，供应链管理. E-mail:
（北京邮电大学理学院，北京 100876）
5 摘要：在需求不确定的条件下，研究了一个供应商和多个零售商的供应链协调问题。在这个
供应链模型中，假设多个零售商各自的需求是根据它们各自的库存在总库存中所占的比例得
到的。在需求被偷效应(demand stealing effect)的影响下，零售商往往倾向于订更多的货。针
对于此供应链，我们用批发价合同和柔性合同分析供应商的行为，我们发现：在批发价合同
下，供应商就可以协调供应链并获得正的利润，但供应商往往不能获得最大的利润。而在柔10
性合同下，供应商往往更有可能获得比批发价合同下更多的利润。
关键词：物资管理；供应商；零售商；竞争；数量柔性合同
中图分类号：F253
Competition of multiple retailers under the quantity 15
flexibility contract
ZHUANG Yuandong, GUO Yongjiang
(School of Science,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876)
Abstract: Under uncertain demand conditions,the problem of supply chain coordination between
one supplier and multiple competing retailers is this supply chain model,it is assumed 20
that the respective demands of multiple retailers are obtained according to the proportion of their
respective stocks in the total always tend to order more inventory because of a
demand stealing view of this supply chain,we analyze the supplier's behavior under the
wholesale price contract and the quantity flexibility find out that the supplier can
coordinate the supply chain and obtain a positive profit under the wholesale price 25
,the supplier can not get the maximum profit under the wholesale price
the quantity flexibility contract,suppliers are more likely to get more profit than the
wholesale price contract.
Key words: materials management;supplier;retailer;competition;quantity flexibility contract
30
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0引言
假设在一个供应链模型中有一个供应商和多个零售商，而多个零售商各自的需求是根据
它们各自的库存在总库存中所占的比例得到的（为了方便，我们以后都把这种需求分配模型
称为：成比例分配模型）。也就是说此时的竞争主要体现在零售商向供应商订货的数量上，35
所以我们运用柔性合同就可以协调整个供应链。
我们以往研究的供应链模型里大多只有一个供应商和一个零售商，但在现实生活中，往
往也存在一个供应商和多个零售商的模型。所以在纵向上，竞争发生在供应商与零售商之间；
在横向上，竞争发生在多个零售商之间。零售商之间的竞争主要由市场需求引起的，而我们
在这里研究的竞争形式主要体现在零售商向供应商订货的数量上。 40
对于只包含一个供应商和一个零售商的这种最简单的模型，我们通过以往的研究发现了
数量折扣合同，回购合同，柔性合同都可以协调供应链。但在一个供应商和多个零售商的竞
争模型里，当竞争仅发生在零售商向供应商订货的数量上时，回购合同和柔性合同也往往可
以协调供应链[1],[2]。
成比例的分配模型下的需求对于零售商是完美的。这样，每个零售商要么会有过量的需45
求，要么会有过量的库存。当顾客的调查成本比较低时，该模型是一个合理的模型。这种调
查不需要每一位顾客去实际考察每一家店。例如，在实际的日常生活中，顾客们在偶然的交
谈中就可以得到关于两家零售商所销售的产品的信息。同时假设该模型里的顾客们不关心他
们所购买的产品来自于哪个零售商，也就是说他们没有品牌偏爱。
在零售价固定不变的条件下，许多专家学者还研究了其他需求分配模型。Parlar(1988)，50
Karjalainen(1992)，Anupindi和 Bassok(1999)，Anupindi，Bassok和 Zemel(1999)研究了一种
需求分配模型。在这种需求分配模型中，每个零售商的需求都是既随机又独立的，而且多余
的需求会重新分配给其他零售商。Netessine 和 Shumsky(2001)也研究了重新分配每个零售商
过量的需求的分配模型。Lippman和McCardle(1997)采用了一种更一般化的方法进行需求分
配，在这个模型里的需求也是独立而且随机的。当需求作为一个独立的随机变量时，它代表55
了聚合的需求，然后依据实际的需求进行划分（而不是依据零售商的预订量），进而分配需
求，零售商多余的需求会进行重新分配[3],[4]。然而在现实生活中，重新划分的需求也许会丢
失。例如，第一个零售商那里没有库存，一些顾客在得知此消息后，以后就不会乐意再去该
家零售商的店铺（不管以后库存是否得到补充）。因此，总销售取决于零售商们的总库存与
如何在零售商们之间分配库存。成比例分配模型下的的工业销售不取决于库存在零售商们之60
间的分配[5]。所以，成比例分配模型是比较容易分析的。虽然被 Lippman和McCardle(1995)
所采用的成比例分配模型并不是一个特殊的分配模型，但是我们仍然可以从这个模型里得到
许多启发。
1柔性合同
在柔性合同中，零售商要向供应商购买产品，每购买一单位产品，零售商都要向供应商65
支付一定的费用。但是在销售季节末，如果零售商仍有未卖出的产品时，供应商要对零售商
进行补偿，社会救助也会对零售商进行补偿。同时零售商的产品如果满足不了社会的需求时，
它也会受到一定的惩罚。假设在一个供应链中只有一个供应商和一个零售商。
在柔性合同中，常用的符号表示有：
w：供应商对零售商所购买的每单位产品需要收取的费用； 70
y：零售商向供应商购买的产品的总量；
r：零售商卖出每单位产品后所得到的收入；
δ ：一个合同参数，此参数在 ]1,0[ 区间内；
D：表示需求的用随机变量；
F ：关于需求的分布函数； 75
f ：关于需求的密度函数，同时假设密度函数是大于0的；
v：每单位剩余的产品的价值；
rc ：零售商为每单位所购买的产品所需支付的边际成本；
rg ：零售商为每单位缺失的产品所需支付的费用；
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sg ：供应商为每单位缺失的产品所需支付的费用； 80
μ：需求的期望值；
)( ys ：零售商的期望销售总量；
)( yI ：零售商的期望剩余总量；
)(yL ：零售商的期望缺失总量。
零售商如果有未卖出的货，供应商要对零售商进行补偿，零售商获得的补偿额为： 85
)},min{()( yIEvcw r δ−+ 。
其他数学公式计算为：
)()()( ySyDyEyI −=−= + ，
)()()( ySyDEyL −=−= + μ ，
{ } dxxFyDyEyS y−== 0 )(),min()( ， )1( 90
dxxFyIEyIE
y
y −=∧= )1( )()()},min{( δδδ 。 )2(
单个零售商的利润函数是：
)()},{min()(),,( yrSyIEvcwwy rr +−+=Π δδ
)()( yvIyLgycwy rr +−−− 。
关于报童模型里的参数，我们做一个修改： 95
0==== srr ggcv ，
此时单个零售商的利润函数是：
)},{min()(),,( yIwEwyyrSwyr δδ +−=Π 。 )3(
将 )2)(1( 代入 )3( ，我们可以得到单个零售商的利润函数：
ywrdxxFrdxxFwwy
y
y
y
r )()()(),,( )1( 0 −+−=Π −δδ 。 )4( 100
2多个零售商竞争
当需求是成比例分配时，多个零售商的竞争模型是单个零售商报童模型的更一般的推
广。当零售商的个数是多个的时候，我们把D看成总的需求， iD ),,2,1( ni = 为每个零售
商的需求，其中：
D
y
yD ii = ，
=
=
n
i
iyy
1
， ii yyy −=− 。 105
当有多家零售商竞争时，我们运用柔性合同，由 )4( 得到每个零售商的利润函数是：
i
y
y
yi
iii ywrdxxFrdxxFwy
y
yy )(})()({),(
)1( 0
−+−=Π
−
− δ 。
每个零售商的利润函数的一阶导数：
y
yFyFyw
y
dxxFy
wwr
y
yy i
y
yi
i
iii )])1(()1()([
)(
)(
),(
2
)1( δδδ −−−++−=
∂
∏∂
−
−
−
2
0
)()(
y
dxxFy
r
y
xFy
r
y
ii −
−− 。 110
每个零售商的利润函数的二阶导数：
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))1(()1()([
2
)}(])()([
2
{
)])1(()1()([)])1(()1()([
)(2)])1(()1()([),(
3
03
2
2
2
4
)1(
4
2
2
2
yyFwyywF
y
y
yf
y
ydxxFyyF
y
yr
y
yyfyfy
w
y
yFyFy
w
y
dxxFyy
w
y
yyFyFyw
y
yy
i
iyi
ii
y
yii
i
iii
δδ
δδδδ
δδ δ
−−−=
+−−
−−−
+
−−−
+
−
−−+
=
∂
∏∂
−
−
−
−
−
−−
)])()(()(
)1(
000
dxxFdxxFwdxxFr
yyy −−−+ δ
))1(()1()()( 2 yf
y
y
wyf
y
y
rw ii δδ −−−−+
])()()[{(
2
03 −−= − yi dxxFyyFrwyy
115
)]})())1(()1[(
)1(
0
dxxFyyFw
y −−−−− δδδ
))1(()1()()( 2 yf
y
y
wyf
y
y
rw ii δδ −−−−+ 。 )5(
因为在供应链中我们一般规定 rw < ，而且由积分知识得：
dxxFyyF
y> 0 )()( ， ))())1(()1( )1(0 dxxFyyF y −>−− δδδ ， )6(
将 )6( 代入 )5( 得 ： 120
0
),(2
<
∂
∏∂
−
i
iii
y
yy 。
所以 ),( iii yy −∏ 是凹函数，零售商 i有最优订货量 *iy 。
在博弈论中，零售商 i在面对其他零售商的策略时（在该模型里，策略就是指零售商们
的预订量），会有一个唯一的最优策略 *iy 。也就是说对于每个 iy− ，零售商 i都有最优订货量
*
iy 。所以可以让 )( ii yy − 作为零售商 i的反应函数[6]。 125
对于一序列预订量{ }**1 , nyy ，该序列在分散系统里到达纳什均衡的条件是：每个零售
商的预订量都是最好的策略。也就是说 *Ni ∈∀ ，我们有：
)( ** iii yyy −= ， )( ** iii yyy −= ， )( ** iii yyy −= 。
同时成立。也许在一个博弈中不仅仅存在一个纳什衡，而是存在多个纳什均衡。如果只有一
个纳什均衡，那么可以用纳什均衡预测分散系统的结果。 130
任何纳什均衡都会满足一阶导的条件：
( )
*
***
2*
1
*
)])1(()1()([
)(
)(
)(
),(
*
**
*
y
yFyFyw
y
dxxFy
wwr
y
yy
i
y
y
i
yy
yy
i
iii
ii
δδ
δ
−−−
+
+−=
∂
∏∂
−
−
=
=
−
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2*
0
*
*
**
)(
)()(
*
y
dxxFy
r
y
yFyr
y
ii −
−− 。 )7(
我们由 )7( 式得：
( )( ) )])1(()1()([)( ***1*
*
*
*
*
yFyFwydxxF
y
y
wywr
i
y
y
i δδ
δ
−−−++−
−
−
135
)()( **
0*
* *
yFrydxxF
y
y
r i
yi
−− −
0= ， )8(
把 *** ii yyy −=− 代入 ( )8 式，得：
( ) )])1(()1()([)()()(
***
1*
***
*
*
yFyFwydxxF
y
wyyywr
i
y
yi
δδ
δ
−−−+−+−
−
)()()( **
0*
**
*
yFrydxxF
y
ryy i
y
i −−− 140
0= 。 )9(
由 )9( 式得：
( ) })()()()])1(()1()([{
**
* 0*
*
1*
*** dxxF
y
ryrFdxxF
y
wyFyFwy
yy
yi +−−−−− −δδδ
( ) dxxFrdxxFwyrw
yy
y +−−= −
**
* 01
* )()()(
δ
， )10(
( )
)(
)()()(
*
1 0
*
*
*
*
*
yg
dxxFrdxxFwyrw
y
y
y
y
i
−
+−−
=
δ ， 145
)()])1(()1()([)(
**** yrFyFyFwyg −−−−= δδ
+−
−
**
* 0*)1(*
)()(
yy
y
dxxF
y
rdxxF
y
w
δ
。 )11(
由 ( )11 式我们可以看出每个零售商达到纳什均衡的条件是：当 *y 成为纳什均衡的总预
订量时。 *iy 与 i ),,2,1( ni = 无关，即 ( )jiyy ji ≠= ** 。所以当且仅当 ** inyy = 时，每个零
售商有最优预订量 *iy ，此时达到纳什均衡。 150
将 ** inyy = 代入 ( )11 式，得：
( ) dxxFyn
ndxxF
yr
w
n
n
yFyF
r
wyF
n
yy
y −+−−
−−−−
−
**
* 0*1*
***
)(11)(11
)]})1(()1()([)({1
δ
δδ
r
wr −
= 。 )12(
我们将 )12( 式的左端设为 )(
*yh ，则：
( ) dxxFyr
w
n
nyFyF
r
wyF
n
yh
y
y −−−−−−−=
*
*1*
**** )(11)]})1(()1()([)({1)(
δ
δδ
155
dxxF
yn
n y−+ *0* )(11 。
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我们下面对 )( *yh 求极限：
)])1(()1()([lim)(lim
)(1lim1)(lim11
)])1(()1()([lim1)(lim1)(lim
***
0*
*
)1(*
****
**
*
***
***
yFyF
r
wyF
dxx
yn
ndxxF
yr
w
n
n
yFyF
r
w
n
yF
n
yh
yy
y
y
y
yy
yyy
δδ
δδ
δ
−−−−=
−
+
−
−
−−−−=
+∞→+∞→
+∞→−+∞→
+∞→+∞→+∞→
)]1(1[1 δ−−−=
r
w
δ
r
w
−= 1 ， )13( 160
( )
)(lim1
)])1(()1()([lim1
)(1lim1
)(1lim101)(lim
*
0
**
0
0*0
1*0
*
0
*
*
*
*
*
***
yF
n
n
yFyF
r
w
n
n
dxx
yn
n
dxxF
yr
w
n
n
n
yh
y
y
y
y
y
yyy
→
→
→
−→→
−
+
−−−
−
−=
−
+
−
−×=
δδ
δ
0= 。 )14(
又因为 rw <<0 ， 10 << δ ，所以我们可以得到：
( ) 11lim0 *
*
<−=<
−
<
+∞→
δ
r
wyh
r
wr
y
。 )15(
下面我们对 )( *yh 关于 *y 求一阶导数： 165
)]})1(()1()([)({1)( *2***
*
yfyf
r
wyf
ndy
ydh δδ −−−−=
( )( )
( )2*
1
***
*
*
)])1(()1()([1
y
dxxFyyFyF
r
w
n
n
y
y −−−−−−
−
δ
δδ
( )
2
0
**
)(
)(1
*
∗
−−
+
y
dxxFyyF
n
n
y
。 )16(
170
图 1 积分面积 图 2 积分面积
Integral area Integral area
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要证 0/)( >∗∗ dyydh ，只要证：
( )( ) ( )dxxFyyFdxxFyyFyF
yy
y −<−−−− −
**
* 0
**
1
*** )()])1(()1()([
δ
δδ
为了在函数图象上标注方便，设： δδ −=−= 1/1 mrwt ， 。 175
如图 1和图 2 。图 1中的黄色阴影部分表示如下积分面积：
( )( ) dxxFyyFyF
y
y −−−−−
*
*1
*** )])1(()1()([
δ
δδ 。
图 2中的黄色阴影部分表示如下积分面积：
( )dxxFyyF y− *0** )( 。
由图 1和图 2我们可以得到： 180
( )( ) ( )dxxFyyFdxxFyyFyF
yy
y −<−−−− −
**
* 0
**
1
*** )()])1(()1()([
δ
δδ 。 )17(
将 )17( 代入 )16( ，我们有：
0)( *
*
>
dy
ydh 。
由 )15)(13( 及上式我们可以得到 )( *yh 的函数图象，如图 3。由图 3，我们可以知道
rwryh /)()( * −= 时有唯一解。也就是说在这场博弈中存在唯一的纳什均衡，即有唯一的185
最优订货量 *y ，其中每个零售商的最优订货量为 nyyi /** = 。
图 3 函数图象
Image graph of a function 190
此时每家零售商的利润为：
( ) i
y
y
y
iii ywrdxxFrdxxFwn
yy *
1 0
** )()()(1),(
*
*
*
−+
−=∏
−
− δ
，
因为
=
=
n
i
iyy
1
** ，所以我们有：
=
−
∏=∏
n
i
iiir yywy
1
*** ),(),,( δ 。 )18(
所以，在供应链中当
=
=
n
i
iyy
1
** 时，多家零售商竞争所得到的最大利润与一家零售商所得195
到的最大利润相等。
因为 )( *yh 是关于 *y 的增函数，而 )( *yh 是关于n的减函数，而 )12( 右端 rwr /)( − 又
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是一个固定值，所以 *y 是关于 n的一个增函数。也就是说，当需求D（成比例分配模型）
固定时，当零售商的个数增加时，竞争会使总的最优订货量增加。因为需求被偷效应(demand
stealing effect)，竞争会使零售商们订更多的货。所谓需求被偷效应就是：当需求D固定时，200
对于零售商 i和 j，当 iy 增加时， y也随之增加，而 yyDD jj /∗= ，所以 jD 也就减少。
需求被偷效应是对成比例分配模型更一般的概括，被 Lippman和McCardle于 1995年证明。
Anupindi 和 Bassok(1999)也注意到了这种效应。但这种效应不具有一般性，Netessine 和
Rudi(2000b)发现当有多个零售商而且它们的需求是不匀称时，竞争可能会使一些零售商处
于缺货状态[7]。也就是说，当一些零售商卖的产品不是其他零售商所卖产品的替代品而是补205
充物时，需求被偷效应可能是相反的[8],[9]：由其他零售商所引发的额外增加的需求可能会导
致每个零售商存货不足。所以需求被盗效应只有当每个零售商所卖的产品互为替代品时才是
成立的。
3 两种不同合同下的供应商利润
因为需求被偷效应，供应商在批发价合同下就可以协调供应链并获得正的利润，但供应210
商往往不能获得最大的利润。而在柔性合同下，供应商往往更有可能获得比批发价合同下更
多的利润。在柔性合同下,供应链能否协调也是不确定的，但是可以实现渠道协调，因为渠
道协调的实现与供应商的行为是没有关系的。
因为在供应链中，当
=
=
n
i
iyy
1
** 时，多家零售商竞争所得到的最大利润与单个零售商
得到的最大利润是相等的。所以我们下面考虑零售商的利润时，我们只考虑单个零售商的最215
大利润即可。
在只有一个零售商和供应商的报童问题中，我们定义 y 为整个供应链的最优订货量，
即：
)(maxarg yy ∏= ，
同时 y 会满足下面这个等式： 220
r
cryF −=)( 0 。
定义 )(yw 为批发价，也就是让 0=δ ，通过 )12( 式我们可以得到：
]
)(1)(11[ 0
y
dxxF
n
nyF
n
rw
y−
−−= 。 )19(
设 )( yw 为协调批发价，我们已知：
)()(1)(
0
yFdxxF
yr
cryF
y
<
−
= ， 。 )20( 225
由 )19( )20( 式，当 1>n 时：
。c
yFr
yF
n
nyF
n
r
y
dxxF
n
nyF
n
ryw
y
=
−=
−
−−>
−
−−=
)](1[
)](1)(11[
]
)(1)(11[)( 0
而在批发价合同下，供应商的利润函数为：
))(())(,( cywyywys −=∏ 。
所以当 1>n ，供应商在协调后的批发价合同中赚得利润，即： 230
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0))(())(,( >−=∏ cywyywys 。
当 1=n 时， ( ) cyw = ，即：
0))(,( =∏ ywys 。
所以在只有一个零售商的供应链模型中，供应商在批发价合同下利润为 0，此时供应链是不235
协调的。
下面我们求一阶导数：
。c
n
yyfryFr
dy
ywdycyw
y
ywys
−−−=
+−=
∂
∏∂
)()](1[
)())((
))(,(
将 yy = 代入上式，得：
。0
)(
)()](1[
))(,(
<
−=
−−−=
∂
∏∂
=
n
yyfr
c
n
yyfryFr
y
ywy
yy
s
240
由上式我们有：在 y 附近，供应商的利润函数 ))(,( ywys∏ 是关于 y的减函数，所以
此时供应商更希望增加批发价或者减少预订量来增大利润。虽然供应商可以用批发价合同协
调供应链，但此时供应商的利润不是最大的。所以供应商不希望用批发价合同协调供应链，
它希望用柔性合同协调供应链，在柔性合同下赚得的利润可能会超过在批发价合同下赚得的
最大利润。我们设 )(δδw 为柔性合同下的批发价。 245
我们通过 )12( 式及 rcryF /)()( −= ，我们可以得到：
)(
)(1)(11
)(
0
δδδ u
y
dxxF
n
nyF
nrw
y
−
−−
= ， )21(
( )
y
dxxF
n
nyFyF
n
u
y
y −−
−−−−−=
δδδδ 1
)(1)])1(()1()([11)( ， )22(
因为 1)(0 << δu ，所以我们有：
]
)(1)(11[)( 0
∗
∗−
−−>
y
dxxF
n
nyF
n
rw
y
δδ
250
)( yw= 。
因为供应商会给零售商一些补偿，补偿零售商因为未卖出的货而导致的损失，所以会刺激零
售商订更多的货，从而供应商会提高批发价，所以：
)()( yww >δδ 。
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也就是说在协调供应链过程中，供应商希望用更高的批发价 )(δδw 而不是 )( yw 。 255
4 结论
当供应链中有多个零售商时，它们之间往往会发生竞争。当需求是按各自的库存在总
库存中所占比例分配时，此时的竞争形式主要体现在零售商们的订货数量上，所以我们运用
柔性合同协调供应链。在协调供应链的过程中，零售商之间的竞争会存在一个唯一的纳什均
衡。在成比例分配需求模型下，多个零售商竞争会产生一种需求被偷效应。因为需求被偷效260
应，供应商可以通过批发价合同协调供应链。但在批发价合同下，供应商所取得的利润不是
最大的，所以会继续选择柔性合同。
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