学校编码：10384 分类号 密级 学号：15620061151040 UDC 硕 士 学 位 论 文 模型风险及其对衍生品定价的影响 Model Risk and Its Impacts on Pricing Derivatives 刘杨树 指导教师姓名：郑振龙 教授 专 业 名 称：金融工程 论文提交日期： 论文答辩时间： 学位授予日期： 答辩委员会主席： 评 阅 人： 2009 年 月
厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下,独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和《厦门大学研究生学术活动规范（试行）》。 另外，该学位论文为（ ）课题（组）的研究成果，获得（ ）课题（组）经费或实验室的资助，在（ ）实验室完成。（请在以上括号内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特别声明。） 声明人（签名）： 年 月 日
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摘 要 在金融的理论和实务中，各种数理模型已经得到了广泛的应用,但是大部分基于数理模型的研究都是在假设某个模型为真实模型之后，给出其定价方法和相应的复制策略。遗憾的是我们很难知道真实模型，因此本文在假设真实模型未知的情况下，研究衍生品进行定价和相应复制策略的问题。 首先，本文指出了以往对于模型不确定性与模型风险的研究框架的不足，在更加贴近市场操作的情况下研究模型风险给衍生品定价带来的影响。其次研究不同的复制策略，如参数复制策略和传统的Delta复制策略，其复制误差与模型选择、模型参数稳定性、真实测度的漂移项和真实状态变量等的关系。除此之外，本文还详细讨论了参数复制策略和Delta复制策略的优劣，以及这两种策略对模型风险的敏感度问题。最后，假设标的资产的真实过程是一个SVJ过程，分别用GBM,Local,Heston-Nandi,以及SABR模型进行参数敏感度复制和传统的Delta复制，通过模拟发现，在真实模型未知的情况下，一个实际中好的模型并不一定是一个复杂的模型，而是在各种复制策略下的表现都很稳定的模型；简单模型的参数复制策略的稳定性远超复杂模型，并且不容易受到模型风险的影响。而复杂模型的Delta复制策略比它所对应的参数复制策略的稳定性要高，但还是不如简单模型的Delta复制策略。由于模拟假设了标的资产的真实过程，因此本文的一些模拟结果可能受此影响，但并不妨碍最后的总体结论。 关键词：模型风险；参数复制策略；复制误差
ABSTRACT In both academic researches and practical operations, various mathematical models have been applied to solve finance problems. Most of the researches suggest pricing rule and hedge strategy consistent with a pre-assumed “true model” which hardly could be reached.. , causing misleadings in practical tradings. This paper, on the contrary, studies pricing and hedge without any assumption of true model. Firstly, this paper argues against former researches in the framework of model uncertainty. Secondly, the paper studies the impacts on hedge errors resulted from model selection, parameter stability, drift in the real world measure and the frustration of state variables given by different hedge strategies including parameter hedge and delta hedge. Besides, a comparison between parameter hedge and delta hedge containing their sensitivity to model risk is discussed. At last, by simulation, a test is provided by assuming SVJ as true model, while GBM, Local, Heston-Nandi and SABR are employed for parameter hedge and delta hedge. The final result shows that a good model might not be a complex one given no information on true model. A simple model may generate a robust hedge strategy under most frustrations, meaning that a simple one is much less sensitive than its counterpart exposed to model risk. And delta hedge implied by complex models is more stable than parameter hedge by complex models, but still behaves worse than delta hedge implied by simple models. General conclusions of this paper are conceivable, although some consequences of simulation might be affected by the assumption of true process. Key words：model risk；parameter hedge； hedge error
目录 第一章 绪论 .............................................................................................................. 1 第二章 模型不确定性与模型风险 .................................................................... 5 第一节 模型不确定性与模型风险 ..................................................................... 5 （一）不确定性的研究................................................................................ 6 （二）不确定框架下的最差情况方法........................................................ 6 （三）不确定框架下研究方法的缺陷........................................................ 7 第二节 模型风险的来源以及相关研究 ........................................................... 10 （一）模型风险的来源.............................................................................. 10 （二）其他与模型风险相关的研究.......................................................... 12 第三节 模型风险的度量方法 ........................................................................... 14 （一）贝耶斯模型平均.............................................................................. 14 （二）贝耶斯模型平均与期望损失.......................................................... 15 第三章 模型风险与复制误差 ........................................................................... 17 第一节 模型风险对复制误差以及衍生品定价的影响 ................................... 17 第二节 复制策略 ............................................................................................... 19 （一）参数的重复校准.............................................................................. 19 （二）参数复制策略.................................................................................. 20 （三）参数复制的必要性.......................................................................... 23 （四）参数复制策略的缺陷...................................................................... 24 （五）模型风险对标的资产Delta复制策略的影响 ............................... 27 （六）不完全市场中模型风险对复制策略的影响.................................. 28 第三节 真实模型未知情况下影响复制误差的因素 ....................................... 31 第四章 数值模拟 ................................................................................................... 33 第一节 模拟所使用的模型 ............................................................................... 33 （一）BS模型 ............................................................................................ 33
（二）局部波动率模型.............................................................................. 34 （三）Heston-Nandi模型 .......................................................................... 34 （四）SABR模型 ...................................................................................... 35 （五）随机波动率跳跃模型...................................................................... 36 第二节 离散化模拟 ........................................................................................... 38 第三节 参数敏感度复制与Delta复制 ........................................................... 40 （一）两种策略的复制误差的统计比较.................................................. 40 （二）参数敏感度复制策略对不同复制工具的敏感度.......................... 42 第四节 两种复制策略对模型风险的敏感度 ................................................... 44 （一）现实测度对复制误差的影响.......................................................... 44 （二）波动率的变化对复制误差的影响.................................................. 46 （三）跳跃频率的变化对不同复制策略复制误差的影响...................... 47 （四）不同模型与复制策略复制误差的路径.......................................... 49 第五章 结论 ............................................................................................................ 51 （一）本文的贡献...................................................................................... 51 （二）本文的缺陷以及未来的发展.......................................................... 52 附录 ............................................................................................................................ 54 参考文献 ................................................................................................................... 57 致谢...........................................................................................................60
Content Chapter1 Introduction .......................................................................................... 1 Chapter2 Model Uncertainty and Model Risk ............................................. 5 Model Uncertainty and Model Risk ............................................................. 5 Studies on uncertainty ........................................................................... 6 Worst case approach ............................................................................ 6 Defect of uncertainty research on pricing derivatives .......................... 7 Source of Model Risk and Relative Research ............................................ 10 Source of Model Risk ......................................................................... 10 Other studies ....................................................................................... 12 Method to measure model risk ................................................................... 14 Bayesian Model Average .................................................................... 14 Bayesian Model Average and Expected Shortfall ............................... 15 Chapter3 Model Risk and Hedge Error ....................................................... 17 Model Risk’s Influence on Hedge Error and Derivative Pricing............. 17 Hedge Strategy ............................................................................................. 19 Recalibration Parameters .................................................................... 19 Hedge Parameters ............................................................................... 20 .Nesessity of Hedge Parameters .......................................................... 23 Defect of Hedge Parameters ............................................................... 24 Model risk’s Influence on Delta Hedge .............................................. 27 Model risk’s Influence Hedge Strategy in an Incomplete Market ...... 28 Factors’ Impact on Hedge Error ................................................................ 31 Chapter4 Simulation ............................................................................................ 33 Models in Simulation ................................................................................... 33 BS Model ............................................................................................ 33
Local Volatility Model ........................................................................ 34 Heston-Nandi Model ........................................................................... 34 SABRmodel ........................................................................................ 35 SVJ Model .......................................................................................... 36 Discretization ................................................................................................ 38 Delta Hedge and Parameters Hedge .......................................................... 40 Hedge Errors Compared by Delta Hedge and Parameters Hedge ...... 40 Sensitivity of Parameters Hedge to Different Hedge Tools ................ 42 Robust comparison of Delta Hedge and Parameters Hedge .................... 44 Impact of real measure on Hedge Error .............................................. 44 Impact of Various Volatility on Hedge Error ...................................... 46 Impact of Jump Frequency on Hedge Error ........................................ 47 Path of Hedge Error by different models ............................................ 49 Chapter5 Summary .............................................................................................. 51 Contribution ........................................................................................... 51 Further Research .................................................................................... 52 Appendix .................................................................................................................. 54 Referrence…………………………………………………………………………58 Postscript..................................................................................................................60 2
模型风险及其对衍生品定价的影响 第一章 绪论 从上个世纪70年代开始，以BS模型(Black and Scholes, 1973)为代表，金融衍生产品的定价和相应的复制策略就成为金融理论发展中最重要的内容之一。在BS期权定价模型之后，不少学者又给出了对BS模型的扩展以及许多更加复杂的期权定价模型。这些模型主要从两个方面来改进期权定价的精确度：一方面是放松BS模型中的假设条件；另一方面是找到能够描述资产价格动态过程的更好的模型。但是并非越复杂的模型在实际使用时效果越好，复杂的模型相对于简单的模型在实际应用中有其无法忽视的缺点。本文试图通过建立一个在真实模型未知情况下的衍生品定价框架来发掘不同模型的模型风险以及信息的敏感度对衍生品定价的影响。除此之外，本文将运用模拟来说明如何运用新的框架来得出模型风险和信息敏感度的信息。这种方法对市场上的衍生品发行者，特别是有套期保值需要的衍生品空头具有较为重要的意义。并且，本文的结论暗示了为什么即使是最精确的模型，其作用也是非常有限的；市场上的众多未被模型考虑到的因素包括真实测度下的资产漂移率、标的资产的路径、以及模型参数的波动率等都会影响实际定价的结果。这也对市场上近来越来越数量化的金融衍生品分析和以此为基础的投资行为（如LTCM，次贷危机等）可能导致的巨额亏损作出了一定的解释。另外，尤其重要的是本文的方法可以应用到所有的衍生品定价模型，包括未来可能出现的新模型上。以下本文将从衍生产品交易员实际操作的角度来阐述为什么对模型风险和信息敏感性的研究是重要的。 对于市场上的交易员来说，模型的用途主要包括两个方面：a.用模型来定所要出售的衍生品的价格。b.用定价模型所对应的复制策略进行动态复制或者对冲衍生品空方所带来的风险。在用模型算出衍生品的价格后，交易员将以此作为参考，把衍生品出售给对手(counterpart)；在之后的产品存续期内，交易员为了规避衍生品空头的风险而根据模型对衍生品进行对冲所付出的费用即是交易员为了复制这个衍生产品所花费的成本。在对衍生品价格建模时，模型设定本身都假设风险源遵循的随机过程，并且模型中的参数为定价期初给定。但实际上市场中 1
模型风险及其对衍生品定价的影响 资产价格的真实过程是任何人都无法得知的，这意味着某个模型的参数在未来的产品存续期内可能和在期初给衍生品进行定价时完全不同。从而用某个模型在期初给衍生品定价时，交易员并无法知道之后的复制成本是多少，因此交易员不可能完全按照模型给出的价格出售衍生品。任何交易员都必须评估未来复制的成本，所以市场上的衍生品卖价（尤其是OTC市场）除了包括在风险中性世界中用不同的模型定出的价格外，还必须包括对未来复制成本和模型定出价格差异的估计。相对于简单模型来说，复杂模型在实际运用中将可能隐含以下两种风险。 第一，在进行参数校准时，复杂模型的风险较大，常常会遇到病态(ill-posed)的优化问题而使得参数极不稳定。由于未来是未知的，任何交易员都不可能准确估计未来的复制成本，因此他们一般通过连续校准模型参数来时刻保持自己的复制策略与市场当前的情况一致1。比如在用简单的BS期权定价模型对衍生品进行对冲时，隐含波动率是唯一的一个未知参数，并且隐含波动率还是普通香草期权价格的单调函数。因此在实际中运用市场上的普通香草期权(plain vanilla option)对该模型进行参数校准时，交易员能够很快得到这些期权的隐含波动率，并使用校准出来的参数对其他相同标的的衍生产品进行定价。但使用一个复杂的模型进行校准参数时，需要通过非线性优化来获得参数，常常可能只取到局部最优值，从而带来较大的校准风险。并且交易员用这些“局部最优参数”复制衍生品时将可能得到一个非最优的复制策略。即使交易员能够保证优化过程的全局最优，复杂模型本身的特点也可能导致校准结果出现问题。因为简单的模型比如BS模型的隐含波动率本身往往波动较小，并且和市场的情况有一一对应的关系。但复杂的模型由于参数较多，在市场上信息不够时（比如用来校准的衍生品的流动性较差或数量不够），将可能出现多组参数都满足当前市场的无套利限制。因此复杂的模型虽然能够更好的拟合普通香草期权的波动率曲面并且得到一个比简单模型更加合理的价格，但是复杂模型所隐含的复制策略将可能比简单模型有更大的风险。 第二，在运用参数复制策略对复杂模型的参数变动进行对冲的时候，参数的稳定程度将影响复制效果的好坏。在交易员连续校准的时候，模型参数将随着市 1 即保持和市场无套利 2
模型风险及其对衍生品定价的影响 场变动而变动(parameter update)，此时交易员可以通过在市场上进行交易来对冲参数变动风险。由于BS模型只有波动率一个未知参数，因此对于BS模型来说这种风险就被称为”vega 1risk”。为了对冲”vega risk”，交易员将要用到除了标的资产以外的衍生品；而对于其他复杂的模型，交易员必须要用到更多的交易工具来对冲敞口的风险。这就意味着更大的风险，而这种风险正是由使用复杂的模型带来的。因此在市场上，并非越复杂，历史拟合效果越好的模型就越受到交易员的亲睐。甚至很多交易员往往用最简单的BS模型来捕捉市场上的信息并为衍生品进行定价。 有学者定义过对于使用不同模型的所带来的风险。Rebonato(2003)指出市场上对模型风险的定义有两种：a.在当前金融市场的信息基础上，用不同的模型对复杂的衍生产品定价所产生的差异。b.当交易员用不同的模型定价并进行动态复制对冲风险后，所能得到的收益的差别。这两种定义和之前模型的两个用途相对应，实际上就是指在使用模型时，因为模型的差异所可能导致交易员在同样路径下的真实盈利情况不同的风险。不少学者(Schoutens et al. 2005, Longstaff et al. 2001, Hull et al. 2002)都关注过定价中使用不同的模型所造成初始定价的差异；而对用不同模型进行复制而导致的差异的研究较少。但在市场上，大多数交易员在使用模型时都非常重视不同模型所带来的复制差异，这种差异有很大一部分由未来的信息冲击所决定，因此在期初进行定价时很难预测其合理数值。如果在同样一条路径上不同的模型使用会造成初始定价和复制差异的双重风险，即Rebonato所指出的模型风险的两层定义，那么把这双重风险量化并建立它们和衍生品价格之间的关系，将会使衍生品的定价更加合理。 本文将讨论模型风险对复制误差以及衍生品定价的影响。其中初始定价误差代表模型风险，而之后的复制误差可以看成是一种信息敏感度。这样的区分是由于二者具有的不同信息集，模型风险是基于定价时所有的信息；而信息敏感度是由定价之后的信息冲击所导致的。由于信息集的差异，在参数给定的情况下，初始定价更容易影响衍生品的初始报价，而复制误差则很大一部分依赖于交易员对未来的判断和复制中的各种细节，从而最终影响到衍生品到期后交易员的损益。 1 价格对隐含波动率求偏导 3
模型风险及其对衍生品定价的影响 但信息敏感度并非和模型无关，恰恰相反，本文将证明复制误差将在很大程度受到模型的影响。除了模型之外，信息敏感度的决定还包括很多其他因素，比如衍生品本身的性质——一个普通期权和一个高阶矩的奇异期权的价值对市场冲击的敏感度可能有很大差异。另外不同的市场状况也可能导致复制误差的差异，本文将在之后的论述中详细讨论这个问题。 值得注意的是，不少学者(Routledge and Zin, 2001)(Cont, 2006)认为此处的模型风险实际上为模型不确定性。这点牵涉到风险与不确定性的定义，本文将阐述这个问题的本质与其分析方法与传统不确定性研究的差异，并指出之前的学者在这个问题上的错误。在此基础上本文的研究方法仍然沿用基于风险的分析方法，因此本文依然将这种由模型不同带来的差异称为模型风险。 本文的主要结构如下：第一章为绪论。第二章回顾了有关模型风险与模型不确定性的文献，指出模型不确定性研究方法的不足，讨论了模型风险的来源，并基于风险和不确定性的定义讨论模型风险和模型不确定性的度量。第三章从理论上讨论了在真实模型未知的情况下，使用近似模型时模型风险对参数复制策略和传统的Delta复制策略的影响，以及二者的缺陷。第四章通过模拟说明了模型风险对复制误差的影响。第五章是全文的总结。 4
模型风险及其对衍生品定价的影响 第二章 模型不确定性与模型风险 虽然在BS模型之后金融衍生品的定价理论已经发展了三十多年，新的模型对市场的解释能力也逐步加强,但是学术界对模型风险的相关研究在上个世纪90年代才由Derman(1996)提出，而且具有很大的分歧。不少统计学家运用统计学的方法对模型风险进行研究(Hoeting et al., 1999, Clyde and George, 2004)，但由于在衍生品定价理论和实际操作中模型的复制策略具有内在一致性，因此在金融衍生品定价中模型风险的影响将不同于大部分其他学科中的模型风险的影响。另外的学者倾向于把模型风险归结为模型不确定性，在不确定性的框架下进行研究。本章将回顾以往学者对模型风险的研究，并且讨论这些研究的合理性以及缺陷。 第一节 模型不确定性与模型风险 本节将讨论模型不确定性和模型风险两种说法的差异。关于风险的研究是基于Savage(Savage, 1954的经典框架，在这个框架中决策者以贝耶斯法则进行决策。不确定性的研究是基于Knight(Knight, 1921)的理论框架，在不确定性的世界中各个事件的发生概率是未知的，决策者将不再遵循贝耶斯法则进行决策。在模型使用的选择上，我们实际上面临的是不确定性问题。因为一个模型实际上代表着一种分布，但我们并不知道这个分布是否正确，或者正确的概率是多少。虽然模型不确定的确存在，但是这种不确定性和传统的不确定性的研究并不相容，因为在大部分衍生品定价上，模型不确定性并不会影响该衍生品的价格，以下本文将要通过论述和相关的例子证明这一点。 不少学者(如Routledge and Zin, 2001, Cont,2006)都系统的研究了模型的不确定性，并倾向于使用不确定性框架下的最差情况方法（worst-case approach）来刻画模型不确定性。在此为了能够更好的阐述传统的不确定性框架不适合描述衍生品定价中的模型不确定性，有必要回顾不确定性的研究历史。 5
模型风险及其对衍生品定价的影响 （一）不确定性的研究 Ellsberg(Ellsberg, 1961)在实验中发现了违反萨维奇公理(Savage axiom)的现象，并称为Ellsberg悖论。Ellsberg悖论主要描述了在客观概率未知时，决策者的行为将违背客观概率已知时的贝耶斯法则，学者们认为此时决策者的决策将在不确定性的理论框架下进行。实际上，Ellsberg悖论表明决策者对未知客观概率下的选择存在对不确定性的厌恶(ambiguity aversion)(Gilboa and Schmeidler, 1989)。对此，Gilboa et al(1989)提出了最大化最小期望效用函数(maxmin utility function)。最差情况方法实际上意味着衍生品的交易者效用函数为最大化最小期望效用函数，因此他们会在无法确定正确模型的情况下做最坏的打算，即选择表现最差的模型对衍生品进行定价，从而得到一个产品最保守的价格。 （二）不确定框架下的最差情况方法 Cont(2006)在Gilboa(1989)的最大化最小期望效用函数的框架下给出了度量模型不确定性的一致风险度量(coherent risk measure)，即该度量满足： 单调性、额外的现金受益不改变原资产风险、次可加性、齐次性1。 QΠ表示对模型不(X)确定性程度的度量： QΠ(X) ( X)Σ ( X ) Σ (2. ) 其中 (ΣX)表示衍生品定价的上限， (ΣX)表示衍生品定价的下限，它们的表达式如下： (ΣX) Ms u p EMi(X)iM (X) M iMnfMj( ) ( ) j EXΣX Σ () () 中的两个式子都具有很强的经济含义，如果X是一个衍生品多头的回报（假设不小于零），那么 X 即为衍生品空头的回报。 (ΣX)则表示衍生品多头所 1详见CONT, R. (2006) Model uncertainty and its impact on the pricing of derivative instruments. Mathematical Finance, 16, 519-547. 6
模型风险及其对衍生品定价的影响 可能达到的最高定价为使得回报为X的衍生品价格最高的模型所给出价格，这个价格是在M这个模型集中多方的最差选择。 (Σ X) 则表示站在空方立场进行定价， (Σ X) 指对空方而言这个产品的最差价格。因为对空方而言回报为 X 的产品必然使得空方定出的价格也为负数，即必须收到 (Σ X) 的价格，而某个使得 (Σ X )最大的模型必然使得 (Σ X) 最小。因此 为在模型集QΠ(X实际上)M中，一个完全根据模型进行定价的多方的最高可能出价和一个完全根据模型进行定价的空方的最低可能卖价之间的差额。Cont(2006)根据此得出一个模型不确定性的相对指标 MRX QΣΠ(X)() m(X ) ()其中 mΣ(X为) (ΣX)与 (ΣX)的中值，MR(X)则代表了模型不确定性在模型定价中所占的比例。 除此之外Cont(2006)还给出了模型风险的凸度量，即 *(ΠX) * (XΣ) * ( X ) Σ () 其中 Σ(X) s u p {Mi()C * EMMMEXi [H ]}i *(X) Σ ( X) Mi n fM {E (X)ΣC*EM i[H ]} i 这里 C*和H分别代表市场上用来进行参数校准的衍生品和该衍生品的回报，EMi[H]代表按照某个模型算出来的该衍生品的价格，而C* E M为校准误i[H]差的范数。以校准的误差(calibration error)作为惩罚函数(penalty function)，使得该风险测度考虑了校准的准确性。 （三）不确定框架下研究方法的缺陷 虽然，最差情况方法所内含的风险度量方法已经被证明是一致风险度量，并且Cont还给出了对应的凸度量；但是实际上这种风险度量对衍生品定价的影响 7
模型风险及其对衍生品定价的影响 仅仅对效用函数满足最大化最小期望效用函数的极度风险厌恶的投资者才适合。这意味着Cont给出的是最保守的风险度量，并且该度量对定价的影响是很难评估的，因为最差情况方法甚至可能给予一个普通衍生品非常低的价格。Branger (Branger and Schlag, 2004)认为：用最差情况方法来分析衍生品价格无异于给股票价格加上一个大于零的约束，在大部分时候是毫无意义的。Branger还指出，由于无法得到所有的模型，最差情况方法所得到的风险度量仅仅是在某个备选集合中的最差情况的风险，而不是所有模型的最差情况；并且最差情况方法意味着决策者的风险厌恶系数为负无穷大。除了以上的理由，本文将给出另外两个原因，从理论上说明最差情况方法不适合用来研究衍生品。 首先，在不确定性能够被对冲的情况下模型的不确定性不要求溢价。这一点可以用Ellsberg的原始实验来说明。 Ellsberg实验如下： 罐子1中有50%的红球和50%的黑球 赌局A——若抽中罐子1中的红球，则得到100美元； 赌局B——若抽中罐子1中的黑球，则得到100美元。 罐子2中有x%的红球和1-x%的黑球,x为未知数 赌局C——若抽中罐子2中的红球，则得到100美元； 赌局D——若抽中罐子2中的黑球，则得到100美元。 Ellsberg发现，人们愿意为赌局A，B，C，D所支付的价格呈现如下排序： 赌局A 赌局 B > 赌局 C 赌局 D Gilboa et al(1989)认为这样的偏好暗示着赌博者更愿意为概率已知的赌局付费。但若这两个赌局都是可交易的，则 [赌局A+赌局B] 的价格必须等于赌局C加赌局D的价格。倘若这两者不同，比如按照Ellsberg实验的结果，[赌局A+赌局B] 更受到偏好，并且赌博者愿意付比[赌局C+赌局D]更多的钱。则市场上的套利者将买进 [赌局C+赌局D=m]并且卖出 [赌局A+赌局B=n]，这样这个套利者就能无风险的获得n-m美元。除此之外，只要赌局C和赌局D都是可交易的，并且不存在交易费用，那么它们价格之和就必须是100美元。如果Ellsberg的实验成立那么意味着套利者可以分别买入[赌局C+赌局D]<100美元，并立刻 8
模型风险及其对衍生品定价的影响 在两个赌局开始赌博获得100美元。因此在不确定性可以被对冲的时候（如用赌局D对冲赌局C），不确定性将不能够索取溢价。 同样的事情将发生在衍生品市场上。例如回报为现金的两值期权，对于看涨的两值期权来说，股票在行权时价格超过执行价格，则持有者将能够获得x，否则收益为零；对于看跌的两值期权，行权时价格低于执行价格的，则持有者将能够获得x，否则收益为零。这样一个看涨和一个看跌的两值期权相加，其价格就必须等于x。而在单独分析看涨或看跌两值期权的时候，由于股票的真实分布无法得知，因此它们的定价将同样存在着不确定性，但此时不确定性在无套利的假设下无法要求溢价。这样的分析也可以用于回报为资产的两值期权(asset or nothing)，而普通的香草期权(plain vanilla option)，无论是看涨还是看跌都可以由两值期权组成，这意味着普通的香草期权也不可能对不确定性支付溢价。以此类推，许多衍生品都不可能为不确定性支付溢价，否则就可能导致市场上的套利行为。 其次，衍生品市场是一个零和的市场。即有多头一定有空头，有人赚钱一定也有人亏钱。在不确定性问题上，如果买方要求不确定性的溢价，则卖方就要做出相应的让步；而同时，卖方也面临着不确定性，卖方同样也会要求不确定性的溢价。因此在一个OTC市场上，买卖双方的成交价格就完全取决于他们的议价能力。而最差情况方法显然在此刻是无意义的，如果买卖中的一方用最差情况方法定价并进行风险度量，那么他所能接受的报价一定是另一方所不能接受的。所以即使面临着未知的股票分布带来的严重的不确定性，我们也不可能对这样的不确定性要求过高的溢价，而最差情况方法无疑是一种仅考虑单方拥有最大化最小效用函数的方法，而非买卖方博弈的最终均衡价格。同时这也说明拥有这类效用函数的个人在实际中是无法接受市场上报价的；同样，衍生品的价格也不会受到这类人的影响。基于以上两点考虑本文将继续沿用模型风险而非模型不确定性的说法。 另外，除了最差情况方法本身的缺陷外，Cont的文章没有将复制误差纳入他的风险度量体系。Cont认为在最差情况方法下，复制误差的衡量仅需要做情景分析，如压力测试和VaR来评估。然而，本文认为复制误差所带来的风险甚 9
模型风险及其对衍生品定价的影响 至可能比初始定价所带来的风险更为重要。首先复制误差直接关系到交易员的损益；其次，复制误差可以作为判断模型好坏的重要标准。一个准确定价并且捕捉住大部分风险因子正确过程的模型，它的复制误差的期望值将接近0，复制误差的波动率也将减小。因此本文把复制误差与初始定价风险纳入同一个框架，研究它们的影响。 第二节 模型风险的来源以及相关研究 二十一世纪以来，对模型风险（包括模型不确定性）的研究得到了学术界的重视。除了上一节提到的Routledge and Zin（2001）和Cont(2006)外，不少学者研究了模型风险或者影响模型风险的某个因素(Derman, 1996, Green and Figlewski, 1999, Frey, 2000, Longstaff et al., 2001, Hull and Suo, 2002, Rebonato, 2003, Schoutens et al., 2005, Cont, 2006, Detlefsen and H?rdle, 2007)。本节将着重回顾这方面的文献。 （一）模型风险的来源 在金融领域，模型风险的研究从1996年开始（Derman,1996）。Derman指出在金融中，模型作为一种“高级玩具”只能描述现象而非问题的本质，一个模型它的错误可能来自多个方面： 1． 漏掉一些有解释力的因子 2． 将原本是随机的数假设成确定的数 3． 可能对某个因子假设了一个错误的动态过程 4． 做了错误的假设 5． 模型适用于某个时期，但不适用于其它时候 6． 在理想的世界适用，但是在现实有摩擦的世界不适用 7． 原理上正确，但在每个极短时间段内不可能和现实相符 8． 模型正确，但模型的输入变量估计错误 10
模型风险及其对衍生品定价的影响 9． 模型本身是理性的，但是真实世界是不理性的 这些都是模型风险的来源，虽然许多模型都在尽力放松模型的相关假设并且力图更加完美地刻画现实世界。但在金融领域，无论多复杂的模型也无法精确的预测未来，这和其它的学科，比如物理，对模型的使用差别很大。正是因为这个原因，模型以及模型风险的研究在金融中才显得尤其重要。 Cont(2006)更加全面地阐述了模型不确定性的性质、度量、及其对定价的影响。他列出了影响模型不确定性的相关因素以及管理模型不确定性的相应对策： a. 在一个流动性很好的期权市场上，模型不确定性几乎是不存在的。 b. 模型不确定性的测度需要一个和模型无关的对冲策略来衡量。如果某种金融工具可以通过与模型无关的方法进行复制，则这种金融工具就不会有模型不确定性；如果能够部分的由模型无关的方法进行复制，那么对这个金融工具进行定价的模型不确定性就可以减小。 c. 若某些衍生品在市场上具有较大的流动性，则它们可以被用来复制更复杂的衍生品。典型的例子是普通期权作为奇异期权的对冲工具。（如障碍期权的静态复制） d. 模型不确定性的度量必须通过对模型得出的价格和市场价格进行比较得出。 e. 流动性好的金融工具越多，对复杂的金融产品进行静态复制的可能性就越大，因此模型不确定性就越小。 以上各点比Derman的观点更加详细的论述了在市场上，模型不确定性的特点。其中c和e实际上意味着，我们能够找到一些静态复制策略来确定模型不确定性的边界，尤其是在给奇异期权定价时。然而d的说法还有待商榷，因为市场上模型不确定性最大的产品一般是流动性较差的产品或者是OTC产品，而这些产品的市场价格恰恰是最缺乏有效性的，这也是不能用这类产品进行模型的参数校准的原因之一。因此，通过与市场上的价格比较来得出流动性较差的衍生品的模型不确定性的做法本身就是一个悖论。本文将通过把初始价格与其后的复制成本相比较所得到的复制误差作为衡量模型风险的标准。对于一个风险中性的交易员来说，一个产品的初始价格就是他初始收取期权费的基准，对应着交易员账户的收 11
模型风险及其对衍生品定价的影响 入，而之后的复制成本正好是收入所对应的成本。二者相减就得到了复制误差，即交易员的净损益。 Derman和Cont的研究为模型风险以及复制过程中可能产生误差的原因提供了很好的直觉性描述。他们的研究表明模型风险和复制误差的来源大多是学术上过于严格的假设，或者是忽略具体市场微观结构方面的细节。学术上常常为了能够得到一个具有良好性质的解析解，而忽略对这类问题的研究。但在真实的交易中往往是这些市场摩擦以及严格的假设导致理论模型的实际效果大打折扣。 （二）其他与模型风险相关的研究 另外有不少学者在风险的框架上对模型风险进行了研究。他们的研究包括了模型设定误差带来的风险，参数估计错误带来的风险，以及模型本身的差异对奇异期权的影响等。 其中Green and Figlewski (1999)指出在用B-S模型给期权定价时，波动率的变动反映了BS模型的模型风险。他们研究了用历史波动率来预测BS的隐含波动率时，不同期限的历史波动率和不同的波动率模型的选择对各种金融衍生品定价带来的模型风险。Hull and Suo(2002) 指出为了描述市场上的模型风险，在对模型进行校准时就必须使用和交易员一样的连续校准(continual recalibration)的方式来对冲期权。他们检验了在股票的真实过程是随机波动率模型下时，运用IVF (Dupire, 1994)模型和运用BS模型对奇异期权进行定价，二者所产生的差别。他们发现在对复合期权和障碍期权的定价上，IVF模型都要优于BS模型。但在障碍期权的定价上，IVF模型的误差仍然很大，而在复合期权的定价上IVF模型的定价误差较小，这是由于IVF模型能够在一个时点上较为精确的定价，但是无法捕捉波动率的动态过程。Longstaff et al(2001)认为如果用的模型是错误的。那么即使市场上交易员用的是每日校准模型的方法来设定模型的参数，模型设定的偏误的同样会带来很大的定价误差。他们将多因子的利率市场模型（LMM）作为基准，模拟市场数据，然后运用单因子模型通过每日校准来进行动态复制并对美式互换期权（American style swaption）进行定价。结果表明，单因子模型的每日校准无法弥补动态利率模型的设定偏误。以上学者的研究都证明了，模型的 12
模型风险及其对衍生品定价的影响 错误设定对定价的影响是不可忽略的；即使模型使用的参数随着信息量的增加而不断更新，错误模型的定价效果也无法很好的逼近真实模型。 Schoutens et al.(2005)比较了标的资产服从随机波动率模型，随机波动率跳跃模型,BNS, VG(Variance Gamma), NIG(normal inverse gaussian)这几种过程时，收益与标的资产的k阶矩相关的（n生品定价。他们((log(S/S 1 ))kiiK) i ƒ）的衍 1发现假设标的资产的不同过程，将导致收益为标的资产高阶矩的衍生品定价的极大差异。Schoutens et al.认为这揭示了为什么很多期权模型刻画出的普通期权(vanilla option)的价格都很相近，但是在为奇异期权定价的时候却产生了极大的差异。他的研究为不同模型之间的定价差异提供了最直接的证据，并且发现模型风险是和产品本身的属性有极大关系的，简单的产品使用不同的模型进行定价差异较小，而复杂的产品使用不同模型进行定价差异则较大。产生这种现象的原因在于：1．简单产品常常在市场上的流动性较大，因此可以作为校准的对象，而校准的目标函数本身就要求模型的定价误差较小。2．简单产品的回报常常仅与标的资产到期时刻的分布相关。这意味着一个模型即使无法很好的刻画标的资产在不同时点边缘分布之间的相关关系或者标的高阶矩的特点，但只要它能够近似描述出到期时点的标的分布，就能够较为准确的定价；但这样的模型显然无法精确的给复杂衍生品，如路径依赖或高阶矩衍生品定价。3．复杂的产品的价格对未来信息的冲击更加敏感，这意味着模型的参数变化将可能过于频繁；并且路径依赖产品的价格受市场噪音的影响将更严重，这同样意味着模型风险对复杂产品的影响要比对简单产品的影响更大。 Frey(2000)认为在对衍生品进行复制的时候，流动性导致的复制偏差是导致模型风险的一个重要原因。因此Frey在假设了对冲行为会对标的价格产生影响后，在BS模型的基础上发展出了考虑流动性因素后的期权定价模型。在考虑了流动性的影响后，期权的价格满足一个非线性偏微分方程。Frey的研究表明，真实市场和理想市场的差异将导致模型的差异。同样市场上不可忽略的交易费用(Leland, 1985)，以及无法实现的时间无限可分和交易带来的时滞等都有可能导致理想市场中的理论模型在真实市场中不适用从而带来模型风险。 13
模型风险及其对衍生品定价的影响 Detlefsen and Härdle(2007)通过对期权校准的不同最小化校准函数的比较，发现不同校准函数会对定价产生较大的影响。最小化相对隐含波动率误差所得到的价格在其他的指标下(最小化绝对价格误差，最小化相对价格误差，最小化绝对隐含波动率误差)表现都相对良好并且比较稳定，因此他们认为最小化相对隐含波动率误差具有较小的校准风险(calibration risk)。但是，最小化相对隐含波动率误差将导致不同模型间的定价差别加大，具有较大的模型风险。而最小化绝对价格误差具有最小的模型风险，但是有最大的校准风险，因此市场上的交易员必须在模型风险和校准风险之间进行抉择来选择校准函数。Detlefsen (2007)的研究表明了，在面对同样的市场数据时，优化目标函数的不同，误差函数的权重的差别等都可能会导致同样的模型在实际复制时出现较大差异。 这些研究大都从某个细节入手，间接地证明了与模型风险以及复制误差相关的要素。在下一章中，本文将归纳这些影响因素并通过讨论它们对复制误差的影响将其纳入衍生品定价的框架中。 第三节 模型风险的度量方法 风险度量指标包括方差、离差、期望损失、在险价值等。在对模型风险的度量上以往的学者曾经使用贝耶斯方法，包括期望价值来度量模型的风险。本节主要介绍贝耶斯模型平均的方法，并指出它的缺陷。 （一）贝耶斯模型平均 传统的贝耶斯方法经常用在对模型的选择上，通过贝耶斯公式得出的概率加权模型，这就是所谓的贝耶斯模型平均的方法。它经常被用在在各个领域来判断模型风险，其基本思想是建立在贝耶斯公式的基础上的： PM p (I|M)P(M)(|I)iiinp(I|Mk)P(M 1 ƒk)k上述式子的左边P(M代表在信息集（数据）I下，模型M是真实模型的概i|I)i率（模型成立的后验概率）可以通过贝耶斯法则得出，其中M的边际似然率即i 14
模型风险及其对衍生品定价的影响 式子右边的p即在模型M成立时产生数据符合信息集I的概率）为 (I|M（i)ip(I|Mi) p (≥I| i,ΤMi)p(i| MΤi)di Τ其中 iΤ 为模型M的参数。 i在得到P品的价格就可以用该权重对(M后，衍生不同模型所得到的衍生品价i|I)格的期望进行加权得到 Eˆ(Xn|I) Eƒ (X|I,Mi)P(Mi|I)i1其中Eˆ(X|I)即表示在信息集I下，衍生品价格的期望值，E(X|I,M则表示在i)用模型M时计算出衍生品价格。除了衍生品价格的期望外，模型风险也可以由i不同模型的离散程度即方差表示出来 D ˆ(XnI ƒEXI,Mi) E(X2|){(||I)}P(Mi|I ) i1其中Dˆ(X|I)即为在信息集I下，衍生品价格的方差。 然而，以上的贝耶斯模型平均存在一个缺点，即它完全从统计学原理上考虑各个模型的权重和离散程度，并没有考虑在整个衍生品存续期内，模型所建议的对冲策略能否在理论上复制衍生品。因此它脱离了金融衍生品定价的基本思路，即无套利思想。并且，这种方法所计算出的权重对于不同市场环境的稳定性值得怀疑。然而，贝耶斯模型平均的方法在直觉上为我们提供了一些避免模型风险的思路，即利用现有模型的某种加权，来逼近真实模型。 （二）贝耶斯模型平均与期望损失 Branger(2004)在贝耶斯模型平均的框架下把对模型风险的衡量纳入风险管理的框架下。他的复制策略和风险度量指标表明，考虑了模型风险后复制策略效果要比不考虑模型风险的复制策略更加稳健，其风险指标为期望损失(expected shortfall)。但其仅给出了简单的单期离散的复制策略，并且用期望损失来测量单 15
模型风险及其对衍生品定价的影响 期复制策略的优劣，却没有讨论复制策略是否合理的问题。而一个在存续期内各个模型的权重以及参数完全由贝耶斯方法所得到的复制策略在金融理论上无法完全复制衍生品，则无套利原理无法实现，那么它无法为衍生品进行定价。 16
模型风险及其对衍生品定价的影响 第三章 模型风险与复制误差 在这一章内，本文通过假设真实模型未知情况下的衍生品定价来探讨模型风险以及由其导致的复制误差对衍生品定价的影响。 第一节 模型风险对复制误差以及衍生品定价的影响 本节将提出一个能够包含初始定价误差和复制误差的框架，并以此探讨这两个因素对衍生品定价的影响。 这个框架的假设前提有两个： 1． 对于某个资产存在一个真实的模型，但是没有人能够在给其衍生品定价时得到这个模型。 2． 交易员用一个近似的模型对衍生品进行定价和相应的套期保值。 在第一个假设中，一个真实的模型表示，用这个模型对衍生品进行复制将不存在复制误差。这样的假设并不会特别严格。因为对于历史数据，只要模型设定足够复杂，我们常常能够得到非常精确的模型。但是这样的模型在事前是无法得到的。另外，对于第二个假设，本文将在下一节给出具体的复制策略。 根据以上假设，在真实模型下复制误差总是为零；而在一个近似的模型下，复制误差将为一个随机数。我们把实际定价和复制过程用两个等式来表示： Pt(T,S, ,ΦX ) () f TMttt(S,X,T,t |)Φ ΤP0(T,S0, t0Φ () ,X)ft0i(S,X,T|t)Mtt0 Ιt0i [ ()中Pt(T,St, t,ΦX代表在任一时刻t（以角标表示）衍生品的真实价值，它)由到期时间T，状态变量 tΦ，以及回报X所决定。而fTM在一t(S,X,T, 代表t|Φ) Τ个真实的模型下，通过真实模型所得出的衍生品价格，它等于衍生品的真实价值， Τ为模型的参数。则表示在使用M这个近似模fMti(S,X,T| 型时的衍生品的t)Ιi价格。在初始定价时刻，近似模型和真实模型之间的差异为 Mt0[。式子()仅i 17
模型风险及其对衍生品定价的影响 在初始定价时成立，随着时间的推移，()左边所代表的衍生品价值将发生变化；此时等式右边代表交易员用近似模型进行复制所带来的复制误差再加上初始定价，即 M[i { fTM () 0()fξM0 Mttti ()}HEtiξ 其中HEM代表时间ti时刻模型Mi的复制误差，tiiHEM可以通过复制成本减去初ti始价格到，即 HEMi H CMif M() ttt 0i () ξ 此处HCM为ti时刻模型Mi的复制成本，包括当前持有资产的价值加上在复制过ti程中所买卖资产的价值总和，其复制方法的详细讨论见本章第二节。由于我们无法知道真实模型，所以我们必须通过复制误差来衡量模型的好坏。而一个真实模型将使得复制误差在任何时刻总是为零。因此如果一个近似模型所隐含的复制策略的复制误差的波动越小，那么说明这个模型所隐含的复制策略越接近真实模型。但复制策略接近真实模型并不意味着模型本身就越接近真实模型，这点同样将在本章第二节详细说明 。 同时值得注意的是()实际上就是交易员交易账户的净盈亏。从()中我们可以发现HCM是交易员为了复制衍生品而付出的资金，tifMt0i( )ξ是交易员作为衍生品空头而收取的费用。在我们无法获得真实模型的情况下，fMt0i( )ξ并不能作为初始定价的所有依据，因为fMt0i( )ξ本身可能是由一个错误的模型所得到的，甚至没人能够判断它的错误程度有多大。因此，在fMt0i( )ξ下对复制误差的估计将是交易员所不可避免的。这点表明了在现实中，衍生品市场尤其是OTC市场的定价很大程度上和双方的预期有关，并且下文将从理论上证明标的资产的漂移率 Π将能够影响复制误差，从而将成为真实世界中定价所必须考虑的参数之一。第四章的模拟也证明了这一点，对风险中性定价在现实世界的应用提出了质疑。 18
模型风险及其对衍生品定价的影响 第二节 复制策略 本节将详细介绍在真实模型未知的假设下，使用近似模型进行复制的复制策略，以及不同模型下该复制可能带来的问题。本节的复制策略除了传统的参数不变的复制策略外，主要讨论了对冲参数变动的复制策略。这种复制策略保证了在真实模型未知情况下，近似模型与市场之间的无套利。 （一）参数的重复校准 在金融衍生品定价中，往往假设标的资产以及其它相关的状态变量服从某个过程，在此基础上构建自融资组合，对衍生品进行复制，从而获得衍生品的无套利价格。但是在真实世界中标的资产和状态变量的过程往往和模型的假设有较大的差异，资产收益率常常呈现出短暂记忆性、尖峰厚尾、跳跃、长期周期性等一系列的特征。虽然学者们在不断完善模型来尽可能的刻画资产的运动过程，但任何模型和真实模型都会有一定的差距。在真实模型无法得到的情况下，用近似模型来对衍生品进行定价就必须使模型的参数与市场保持无套利。因此，对于市场上的套期保值者，他们的复制策略所采用的模型，其参数必须是时变的，以保证在当前信息下复制策略满足市场的无套利要求。 由于参数必须随着信息而时变，因此我们必须经常对参数进行重复校准（Hull et al(2002)），校准函数一般可以表示为(Li, 1999)： ( 1,Τ2, ...Τ,) nna rgΤm Τin( Τ wƒig(li(Mi) li(Market))) ( 1, (,..1.)., n)ii1其中( 1,Τ2, ...,Τn) 为Τ待估参数，w为每个产品误差的权重，ig为非负凸函数并且g(0) 0 ，为某一单调函数。实质上参数的校准就是获得使模型所得的价格和li市场上产品的价格以某种方式加权最小化的一组参数。 在参数的校准中权重w的选择(Cont and Tankov, 2004)、函数的选择ili(Detlefsen and Härdle,2007)、以及g函数的选择都将影响参数的数值。对于不同 19
模型风险及其对衍生品定价的影响 产品，校准的标准可能不同。w经常为相关的流动性指标，比如买卖价差，交易i量等。流动性越好的产品其所包含的信息含量越可靠，因此常常给流动性好的产品较高的权重。除了校准函数的选择外，在校准过程中模型的性质也将影响校准的好坏。 (He et al., 2006)证明了加跳跃的随机波动率模型的部分参数对期权价格非常不敏感，从而导致校准的目标函数在一个较大范围内几乎相等，这样的模型在复制中将严重影响复制策略的稳定性。 由以上的研究我们可以看出，校准的精确度和校准函数的选择，参数的稳定程度等细节都会引起复制误差大小的差异。 （二）参数复制策略 在实际中，模型的参数需要进行每日校准来满足市场的无套利要求，但参数的变动导致通常的复制策略无法对冲参数变动所带来风险。在一个真实模型未知的情况下，如果近似模型没有很好的刻画真实模型的各个状态变量，则近似模型的参数将是这些状态变量的函数，也是一个随机过程。因此，我们将考虑对参数变动的风险也进行对冲的复制策略。 Buhler(Buhler et al., 2005)给出了对参数进行对冲的方法，实际上就是用不同的衍生品来对冲被复制产品对于参数的敏感性。在BS模型中，对冲参数敏感性的方法是用一个衍生品来对冲波动率变动的风险(vega risk)。以下将简要的描述参数对冲的方法。 假设需要被复制的衍生品F价格由M模型近似计算得出： iFM 0ifMtt0i(S,X,T|t0) Pt0(T,St0,Ιt0,X) |Φ其中 向量，令列向量tΙ为M的参数列iDe为被复制衍生品对M中各个参数ltati ktΙ的敏感度 DeM F ωMω iΙ f Mi(ωS,X , TωΙ|)f Mi( S,ωX,T |ωΙ)ΙfMitttttt(S,X,T|lta Ι ωi[ t)1,...,ω]ΙT Ιtktttt由于M中包含了k个参数，因此需要k种衍生品来进行对冲。并且由于真实模i 20
模型风险及其对衍生品定价的影响 型未知，所以我们在实际操作时无法得到真实敏感度而只能得到针对某个模型的参数敏感度（实际上根据假设真实模型的参数不变因此也不存在敏感度问题）。 另外在市场上的用来作为复制工具的衍生品有k个，用k个衍生品C组成kt的行向量C来表示，即 tCt [ c 1t,c2t,...,ckt]这些衍生品关于某个模型M参数的敏感 度同样ω可M以通过对参数求偏导得到，即M iωMCiCii(S,X,T|)C (Sω,X,T|)Ιttttt[Y]'[ ,...,]t C ωMωiΙ CωΙ Miω(S ,X , Tω ΙωΙωΙ| )ΙCMi (Sω,X,T |ωΙ) ΙCMittt[ttt(S ,Xω,T| t)ωΙ Ιttt1,...,k]tttt令矩阵Y（k行，k列）代表复制工具对参数的敏感度1 c(S,X,T|)c(S,X,T|Ι) [ tttt,...,1ωk kcω(S,X,T|) cω(S,X,T|)Ιtttt ,...,]1Ιk ω要使得被复制的衍生品对于参数的瞬时敏感度为零则必须构建一个衍生品的组合来对冲被复制产品对于参数的敏感性，组合中各种衍生品的权重W必须满足： tY De ltaMtWtti 0 其中W tW [ w1 t,...,wktt]'wi为i个衍生品在组合中所占的权重，由上式可得 W Y 1 DeltaMttt i () 因此WTtC即为使得被复制的衍生品在t时刻的瞬时参数敏感度为0的组合。在对冲了对参数的敏感度后，还需要用标的资产对冲剩余的关于标的资产的敏感度。为了使得对冲组合关于资产的瞬时敏感度也为零，我们要求在t时刻所拥有的标 21
模型风险及其对衍生品定价的影响 的资产数量 t∋满足： ∋ Miω MitttSCFtW ωt'SS ()上式的右边代表一份被复制产品的空头头寸，左边代表复制工具的组合，包括标的资产和其他衍生品。综合()和()两个式子我们可以发现要解出标的资产和复制工具的权重，我们必须解方程组： M CiFMi ↑°→S∋W ωtt ω'tttSS W°↓ Y 1 DetltattMi 由于 t∋和W分别为t时刻所持有的标的资产和复制工具的总量。将 对tt∋和tWt求偏导，我们就可以得出资产与复制工具的瞬时变化，这和复制策略所导致的头寸净变动的交易行为相对应。在复制策略已经由 t∋和W给出后，我们就可以计t算出在T时刻用该复制策略购买资产所需要借来的资金（或债券空头）为： TTHCcash r(Tt) ∋r≥ (T t)TeSde CdW ≥ tttt00T r(≥T t) eSd C∋dW tttt0 ()而此时我们所拥有的资产头寸的价值为： HCTasset T S T∋ W () TCTFT T时刻的总复制成本为 HCca ()T HC Tsh HCTasset 根据式子，此时用Mi模型所隐含的复制策略进行对冲的复制误差就为 HET HCT F t 0 ()由于现实中复制无法做到时间的无限可分，因此我们在实际中可以把等式()离散化分成n个复制区间得到 22
模型风险及其对衍生品定价的影响 THCcash r(T t) Te≥Sd C∋dW ) tttt0 T eƒr(T t) [( 1∋) S (W∋ 1W )C ] tttttt t 0 ()在每个小区间内，标的资产与复制工具的头寸分别增加 t ∋1 t ∋和Wt 1 W ；借t来的资金（或债券空头）为( t ∋1 t)S t 。(∋W按照这样t W的离t 散复制策略)Ct 我们就可以得到实际中复制误差的大小。 由于T时刻的复制误差又代表了交易员在T时刻的交易账户的损益，因此研究复制误差究竟受到什么因素的影响对真实模型未知时的衍生品定价有非常重要的意义。 （三）参数复制的必要性 假设真实模型是一个包含许多状态变量的模型，而我们在建模时总是无法很好的捕捉真实状态变量，或者即使能够考虑到真实状态变量也无法完美的刻画出其运动的过程。此时我们会发现，近似模型中的参数实际上是各个状态变量的函数，只要状态变量是随机的，那么模型的参数也是一个随机过程。 下面将以BS模型为例子，说明参数的变动情况。在真实模型下，如()： Pt(T,S, ,ΦX ) f TMttt(S,X,T,t |)Φ Τ我们用几何布朗运动来对衍生品进行定价： P(t,T,St,t,K ) G B ( )(St,K,r,t,T|t) ς此时模型中唯一的参数 tς可以与衍生品价格一一对应，并且 tς的变动对单个产品来说实际上包含了所有的模型错误所导致的误差，因此： tς ( St,ςK,r, t , T , t ) Φ ( )()表明了由于BS模型本身没有考虑到其他状态变量的过程，因此其他状态变量对衍生品价格的影响将全部包含在对波动率 tς的影响中。对()式使用伊藤引理我们可以得到： 23
模型风险及其对衍生品定价的影响 ω 2d ς ωtςdt t ωXςXt ωςttt'2XtXX t (3ω.)ω其中 X (S ,d 1 , ...,dΦntdttt)' Φ理论上在有些模型的假设下，如局部波动率或SABR等， BS隐含波动率可以求出解析解(SABR下为近似解析解)。求出的这个解析解就可以理解为真实模型是局部波动率或SABR时，BS的隐含波动率和其他状态变量以及参数之间的关系。 由()我们可以得出BS波动率与状态变量的关系，当状态变量存在跳跃的时候，()式的积分形式将变为： tt ς ≥ω ς ς ωςss(t,X(t))0dsXXs≥0st12 X≥ ωςs () 'ωX (ƒ ( X(s))(X(s )) ςsX2sss20s0 s t 由()可以看出，BS模型的隐含波动率所服从的过程和未被BS模型描述的状态变量过程1，以及状态变量对隐含波动率的影响程度2有关。 以上对BS模型的参数隐含波动率的分析完全可以适用于其他模型，但由于其他模型的参数不止一个，因此各个参数可能受到同样的几个状态变量的影响，也可能受到不同的状态变量的影响。无论参数如何受到状态变量的影响，在各个参数都为随机过程的情况下，对参数的复制就是合理的。并且这种复制在期权价格的回报是路径依赖的或是受到某些参数的直接（比如Variance Swap option）影响时将更为有效。 （四）参数复制策略的缺陷 参数复制策略复制了参数的一阶敏感性，但这种复制策略假设了不同产品的参数是水平变动的。而实际上在真实模型未知的情况下，在用一个近似模型的定价时不同产品的参数变动可能是不一致的。由()我们可以看出模型参数的 1 在()中即状态向量 X 的过程 s2 在()中即 ωsςsω与 t(ςX(t的形式 )) 24
模型风险及其对衍生品定价的影响 变化过程是由产品本身与状态变量之间的真实关系所决定的。对于不同产品而言，状态变量对其影响可能不同，这将导致被复制产品与复制工具的近似模型的参数在真实模型下的变化幅度不同。所以即使我们用重复校准的方法来保证使用某个模型时该模型的参数时刻与市场保持无套利，我们也无法无限的逼近真实模型的效果，这点在之前就曾经有学者提出（Longstaff,2002）。 比如在BS模型下，对冲参数的方法实际上是试图把被复制产品的vega1，用其他产品的vega对冲。但这种对冲方法只有在被复制产品的 ∋和用来复制tς的衍生产品的 ∋tς平行移动时才能完全对冲掉状态变量的风险。在真实模型下波动率服从()，此时不同产品的隐含波动率对状态变量的敏感度不同，而状态变量的变动将可能导致被复制产品与复制工具的隐含波动率的变化出现差异。因此即使暂时对冲了对隐含波动率的敏感性，但由于无法知道隐含波动率对状态变量的敏感度，我们仍然没有办法对冲掉真实状态变量的风险。所以复制误差的大小还和实际中选取的复制工具有关：用来对冲某个衍生产品的好的复制工具必须是能够使得参数对真实状态变量的敏感度与被复制产品相似的衍生工具。这点将在第四章由模拟详细说明。 由于市场上状态变量的变化加剧的时候，参数的变化也将加剧。而参数敏感度复制策略只复制参数的一阶敏感性，这种复制思想只在参数变化很小时有效。如对近似模型做泰勒展开： F∋ Fω F ∋ω 12F ∋ω2(,,,) F StT ωt Sω SωΤtSS Τ ω ω∋ ∋ Τ22 22 2 F ω ∋ ω ω ∋ ∋2ΤSΤ SΤΤ由于前面已经推导过参数也是一个随机过程，因此当参数的变化幅度较大时，根据泰勒展开式，参数变化的高阶项将不可忽略。这点在不完全市场中尤为重要，跳跃项将导致参数经常有较大幅度的变动。为了解决参数的敏感性问题，我们往往牺牲部分的校准精确度来获得参数的稳定性，具体做法是在校准函数后加上表 1 即 f ω GωBςMimp 25
模型风险及其对衍生品定价的影响 示距离的惩罚项(Cont and Tankov, 2004)1，这种方法又被称为Tikhonov正交(Tikhonov Regularization)。 除了同一模型的参数对不同产品可能不是平行变动外，参数复制的策略还存在对微小的计算误差十分敏感的特点。它并不区分参数敏感度对衍生品价格影响程度的大小，()式展示了权重计算的方式 W Y 1 DeltaMttt i我们假设一组数据，比如真实数据为： Y ，♠ ↔←el0 .≡taM7it ，♠↔← 1♠↔← ≡≈… ≈…≡t1≈…但如果在计算过程中Xt的数值由于计算误差或离散化，求偏导的误差变为 13♠ ≡ ♠it ，W 8↔↔ ≈↔← ↔ ≈≡03≈ ↔≈…4← ≈…但是倘若误差使得 7♠ ≡Del ♠ i，W 8↔↔← ↔ ≈≈t≡5 ≈ ↔↔ ≈…4← ≈…由以上两个例子可以发现，当基数很小时被复制产品参数敏感度的微小变化将导致计算出的权重出现很大的差异，但实际上这样的计算误差对复制并没有很大的影响，因为其参数的敏感度很小。相反当基数较大时，被复制产品参数敏感度的变化对最终的对冲权重的影响将降低，但是实际上此时的计算误差对复制的影响要大得多。正是基于这个原因，本文并未将关于资产Gamma复制和参数的二阶项复制作为比较的复制策略之一2；因为Gamma以及其他参数的二阶项常常具有很小的值但却有非常剧烈的变化率。 1 详细请参照”Financial modeling with Jump process” Chapter 13 2 经模拟检验，若加入Gamma和参数的二阶项作为待解方程时，累积复制误差的大都呈现扩散的现象。 26
模型风险及其对衍生品定价的影响 （五）模型风险对标的资产Delta复制策略1的影响 一个完全市场中，在真实模型未知的情况下，仅用标的资产进行Delta复制策略由一个近似模型给出。由于模型的差异，每次进行Delta复制都将产生细小的误差，而这样的误差使得传统的风险中性定价在实际运用时由于模型风险的影响无法得到准确的结果。如果假设真实模型下衍生品价格对标的资产的敏感度为 PtStωω，在近似模型下衍生品价格对标的资产的敏感度为 fMitωSω，二者之差意味着每t一步Delta对冲策略的误差： DePfMiltaError ( t ωt ωtSS)dSt ω ()因此在Delta复制策略中，只要 P fωωMi不为零tt ωStStω，则Delta策略就无法完全对冲标的资产的风险源。同时这还意味着标的资产的漂移率将会影响到复制误差，这些复制误差完全由模型风险导致，即使加上Gamma对冲和参数对冲的策略也无法避免。 对于不同模型而言， fωMi的值不同，因此相应的Delta复制误差也不同。由tSωt于在一段时间内Delta复制的误差项为 t P≥ ωM，那么要检验模型好坏的tfi(t)d 0SSSωtω其中一个办法就是检验在不同的时间段内 P fωωMitt 的性ω质StStω，包括其期望以及离散程度等等。由于真实的模型无法得知，因此无法直接算出 P fωωMi望和tt 的期ωStStω方差等统计特征。但 Delta误差会造成复制误差中含有标的资产的风险源，所以在模拟或实际世界中，标的资产的真实漂移项 Π的变动对Delta复制的复制误差 1 也有学者把隐含状态变量的一阶复制统称为Delta复制策略BAKSHI, G., CAO, C. & CHEN, Z. (1997) .。但为了与参数复制策略区分，本文全文将最传统的仅用标的资产进行一阶复制的复制策略称为Delta复制策略。 27
模型风险及其对衍生品定价的影响 的影响可以在一定程度上反映模型对模拟的数据或者真实的数据的拟合程度。 值得注意的是，除了标的资产以外，其他状态变量也可能和标的资产在现实测度中的过程相关，因此进行Delta复制后的复制误差与标的资产的相关性不能认为是完全由模型风险造成的，还可能是与标的资产相关的其他状态变量所导致。特殊情况下，如在状态变量相同的两个模型中，Delta复制后的复制误差与标的资产的相关程度的差异就可以被看作是两个模型模型风险的差异。 除了Delta误差之外，真实世界中漂移的变化还将确定性1地影响模型未知时Delta复制策略的复制误差。这种确定性的误差来自复制的策略的高阶残余项，如Gamma，具体说明将在第四章的模拟部分给出。 在市场存在跳跃的情况下，跳跃风险是Delta复制无法对冲的风险。即使用来计算Delta复制策略的模型是正确的，其复制策略也将导致一定的复制误差。所以在不完全市场的情况下，就应当综合其他的复制策略一起考虑。 （六）不完全市场中模型风险对复制策略的影响 在不完全市场中，不存在完全复制策略。此时就必须寻找其他的复制策略。首先，在不完全市场下，对衍生品的定价思路有默顿方法、效用无差异定价等。复制思路主要有三种(Cont and Tankov, 2004)2：1．默顿方法；2．超复制；3．误差最小化复制。 默顿的方法认为，跳跃风险不是系统性风险，是不需要被定价的。因此默顿方法在不完全市场下的复制策略和完全市场下的复制策略一样，只对冲连续的扩散过程，而不对冲跳跃所带来的风险。但实证证明，即使是指数也有明显的跳跃现象，这表明跳跃风险并不能被资产组合很好的对冲，因此这种复制策略将面临着系统性的跳跃风险。超复制对一个看涨期权的最优复制策略被证明是一直持有一份标的资产多头，因此超复制策略所花费的成本太大，无法给出一个合理的市场价格。 效用无差异方法的思想是基于期望效用最大化的定价方法，它对投资者的主 1 Delta误差本身是不确定的，因为我们无法知道某个模型的Delta策略是不是高于或低于真实模型的Delta策略。 2详细请参照”Financial modeling with Jump process” 28
模型风险及其对衍生品定价的影响 观效用函数较为敏感，并且大部分效用函数都不满足线性定价法则，因此并不能很好的应用在实际市场上。在效用无差异的框架下设定具体的效用函数将使得问题被简化，如当效用函数为指数效用函数时，投资者将选择众多风险中性测度中的最小熵测度1。另一个更为直观的效用函数是，当效用函数为U(x) x2 时，效用无差异定价将满足线性定价法则。此时，效用无差异定价就简化为最小化二次变差定价，其基本思想就是使得不完全市场下复制策略的复制误差的平方的期望最小。在纯跳跃的过程中，对冲跳跃风险必须持有一份标的资产，而在纯扩散过程中对冲标的连续变动只需要持有部分资产，二者的复制策略是不相容的。因此在最小化复制误差平方的期望的复制策略下，为了对冲标的资产的连续变动与跳跃的风险，我们必须在连续变动和跳跃风险之间进行权衡，以获得最优的复制比例。 2C(t,S)1 ∋ ω ω ς≥ ΘSZ(dy)z[C(t,S(1z)C(t,S))](t,S ) 2 z2ςZdy)Θ ()≥然而这个复制比例同样是在模型参数不变的情况下用标的资产对衍生品进行复制。若要求模型参数时刻与市场保持无套利状态，则需要考虑到模型参数变动的风险。 在有跳跃情况下，跳跃本身的参数变动是不可对冲的。但从实际中离散的复制策略来看，即使是扩散过程，其模型参数也总是表现出小幅跳跃，在参数变动很小的时候，参数对冲的方法能够对冲掉部分的参数敏感度。唯一的不同在于当市场上真正的跳跃发生的时候，扩散过程的模型参数将发生较大的跳跃，此时在前一时刻进行的参数对冲不能很好的对冲掉参数大幅变动，从而产生较大的复制误差。 本文后面的模拟中并不考虑用近似的不完全市场模型来进行检验模型风险，这样做的原因在于：运用不完全市场模型所隐含的最小复制误差策略本身由于市场不完全所导致的复制误差与模型风险所导致的复制误差无法分辨，因此无法判断模型风险对复制误差的影响。但这并不意味着这方面的研究是无意义的，相反 1详细请参照”Financial modeling with Jump process” ,Chapter 10 29
模型风险及其对衍生品定价的影响 这方面的深入研究将进一步扩展复制策略并更加贴近市场。 30
模型风险及其对衍生品定价的影响 第三节 真实模型未知情况下影响复制误差的因素 根据以上几节的论述，我们可以发现影响复制误差的因素众多，本节将影响复制误差的各个因素放入定价和复制的流程图中： 选择模型 新信息到达 模型的拟合 程度 模型校准 校准误差 校准目标函数的设定 t∋校准的基准产品 的价格准确程度 不完全市场下离散复 离散复制所带来的误差 对冲制的误差更为严重 经Delta误差 过模型错误带来的误差 高阶项误差（Gamma,Vanna等） Tt∋ 次重复参数复制误差 总复制误差高阶复差项制 误工 差具选 择差 异 31
模型风险及其对衍生品定价的影响 图：衍生品复制流程与复制误差的影响因素 由上图我们可以发现，影响复制误差的因素可能出现在复制的任何一个部分，并且这些因素对总复制误差的影响大都是非线性的，还有不少是以隐函数形式来影响复制误差。因此，在第四章我们将运用模拟来获得这些影响因素对复制误差的敏感度。 32
模型风险及其对衍生品定价的影响 第四章 数值模拟 对于模型风险的研究来说，使用真实数据的好处在于得到的结论可以直接揭示在市场上各种模型的好坏，亦可以比较不同的复制方法对真实数据的实用性。然而使用真实数据也会带来一些无法弥补的缺点，比如数据的不可控性，这导致我们很难一一对应的研究何种因素将导致复制误差的变动。并且真实世界中状态变量只有一条路径，这将使得模型风险的研究结果的稳定性受到样本偏差的质疑。因此在这章，我们将用模拟的数据来研究模型风险和复制误差。 第一节 模拟所使用的模型 在本节中，我们将先介绍本文模拟所使用的模型。本文假设随机波动率跳跃模型为真实模型，用几何布朗运动、Heston-Nandi模型、局部波动率模型以及SABR模型作为定价和复制所使用的模型。 （一）BS模型 几何布朗运动是BS框架中用来描述股票价格运动最简单的过程之一，在风险中性定价中几何布朗运动的未知参数仅有波动率一个，这使得它在参数校准上非常方便。在风险中性世界，该模型可表示为： dSt rStdt SςtdW t 在几何布朗运动的框架下，看涨期权的价格为： C S0N(d1)Ke r(T t) N (4(.) 2) 其中 d SK)(r 2ln(/ς/ 2)T 1 ςTd2 d1 ςT 33
模型风险及其对衍生品定价的影响 （二）局部波动率模型dS rSdt (ςS,t) SdW ttttt CDupire(1994)推导出局部波动率模型，在 风险 中性世Cω界下，该模型可表示为：ωrK 2ς TKω ωloc 212CωK Kω22 T 22T ς≥(t)dt ςimploc0 ()该模型的好处在于可以较好的拟合整个波动率曲面，并且可以较为自由的选择所需的局部波动率函数。大部分研究认为局部波动率是时间和相对价值(moneyness)的函数。 （三）Heston-Nandi模型 Heston-Nandi模型(Heston and Nandi, 2000)是Heston模型的简化，因此我们先来回顾Heston模型。Heston(Heston, 1993, Heston and Nandi, 2000))提出了随机波动率模型，在风险中性世界中，该模型可表示为： dSrSd1tVSd W tttttdV Ν V Τ d 2()t V d WΖttttdW1dW2 dΥttt在随机波动率模型下，波动率服从CIR过程，具有均值回复的特性。标的资产和波动率之间的相关性为 Υ。在风险中性世界中，假设Heston模型波动率的价格为零时，香草期权的价格必须通过傅立叶变换得到： C e r [Ω12(FK ) 1 Σ φ (F ≥f1Kf2)du ] ()其中 e iu lnK Μu i f1Re()()iuF iu lnK2Re (Μu)f()iu上式中 (Μu)为lnST的特征函数，F为标的资产的远期： 34
iulnSC( ,u) D(Ω,u)Viu lnF Ω ΜT0(u)E(e)ed(u) Ω Ν Τc(u)e 1 ↑ C( ,uΩ) ( Ν ui dΥ (u )Ζ) 2ln( Ω)→2 Ζc(u) 1 ↓↵d(u) Ω Ν uiΥ d Ζ(u )e1 ↑ D( ,uΩ) 模型风险及其对衍生品定价的影响→2d(u) Ω Ζc(u)e 1 ↓↵ Ν uiΥ dΖ(u) 2222c(u) ,d(u) ( Υu iΖ) i uΝ uΖ Ζ Ν uiΥ d(Ζu) ΩT t r(T t) F S et在随机波动率模型下，波动率服从CIR过程，具有均值回复的特性。标的资产和波动率之间的相关性为 Υ。而Heston-Nandi模型为 Υ 1 的Heston模型，这样假设的好处在于减少了风险源的个数，并且可以获得隐含波动率的近似解析解。 （四）SABR模型 Hagan(Hagan et al., 2002)提出了SABR1模型，并且指出由于市场上存在的普通香草期权可以用于对冲波动率风险，因此随机波动率模型是一个完全市场模型。在风险中性世界下，该模型可表示为： dF F∆ dΕW1tttd ∆ dWΘ 2 ∆dW1dW2 dΥttt该模型中Frtt S e。和随机波动率模型不同之处在于其股票价格服从一个CEV过程，而其波动率是一个维纳过程。通过奇异摄动(Singular perturbation)的方法，Hagan获得了普通看涨期权隐含波动率的解： CD( ) ΩfN⊥(d1)KN(d2) K1ln2(f/) ρ ς (4 .) Ωd 2imp1,2 ς Ωimp 1 SABR是”Stochastic-AlphaBetaRho”的缩写 35
ς模型 风险及其对衍生 品定价的影响 ∆z ()imp22 Ε(Ε↑x (z) Ε(11)(1))/224(fK)1ln(f/K)ln(f/K)... → 241920↓↵222 (1 )Ε ∆1232 1[ Υ Ε Θ ∆Ε ]Θ.. .Ω Υ1(1)/2Ε 24(fK)4(fK)24 其中 (1)/2z Θ Ε (∆fK)ln(f/K) 1 2 2zz z Υ ↑° Υ°x(z)ln 1 Υ→↓↵（五）随机波动率跳跃模型 Bates(Bates, 1996)在随机波动率模型基础上发展了随机波动率跳跃模型： dS r Sdt V SdWsdZ ttttttdV Ν V Τ d v()tV dWΖttttdWsdWv dΥttt其中Z是一个密度为 Ο的复合泊松过程，其每次跳跃J是各自独立的，并且服t从是随机波动率跳跃ln(1 J 的分布。由 于假设 真实)~N(ln(1k)1 过 程2 Γ22,) Γ模型，因此我们实际上做了不完全市场的假设，这比较符合现实情况。在随机波动率跳跃模型下，欧式看涨期权的价格同样可以通过对其特征函数做傅立叶逆变换得到。由于跳跃过程和扩散过程之间相互独立，因此在随机波动率跳跃模型中，股票价格对数的特征函数等于扩散过程的特征函数乘以跳跃过程的特征函数。 C e r [Ω1 1 2(FK) Σ φ (F ≥f1Kf2)du ] ()其中 ln1 R eeiuK (Μu i) f()iuF iu lnK 2 R e(Μu)f()iu 36
2212 u/2i( ln (1k) Γ) z Γ ΩΟ2iulnSC( ,u)D(Ω,u)ViulnFt(e 1) ΜT0(u)E(e)eed(u) Ω Ν Τc(u)e 1 ↑ C( ,uΩ) ( Ν ui dΥ (u )Ζ) 2ln( Ω)→2 Ζc(u) 1 ↓↵d(u) Ω Ν uiΥ d Ζ(u )e1 ↑ D( ,uΩ) 2d(u) Ω→ 模型风险及其对衍生品定价的影响 Ζc(u)e 1 ↓↵ Ν uiΥ dΖ(u) 2222c(u) ,d(u) ( Υu iΖ ) iuΝ uΖ Ζ Ν uiΥ dΖ(u) ΩT t (r kΟ)(T t) F S et 37
模型风险及其对衍生品定价的影响 第二节 离散化模拟 本节将详细介绍模拟的方法以及相应的需检验的假设等。首先本文假设的真实模型是随机波动率跳跃模型，采用该假设是由于随机波动率跳跃模型含有跳跃，这可能能够部分模拟市场上的跳跃现象。离散化方法采用随机波动率模型与跳跃过程分别模拟然后相加，这样做是因为本文假设跳跃过程是独立于扩散过程的。 随机波动率的V离散化 方法 本文 用IJ∋K-IVMM 方法(Lord et al., 200Ν8)， 即 ∋v12v2t( V )∋ Τ V ΖW (∋W Ζ t) ∋ ∋tttttttt4 1lnl ∋ ∋ vS ∋nStt(VV) ∋ΠVW ∋Υtttttttt4 1 () (V VS ∋v ∋v )∋(W ΥW) (ΖW 2Υ t) ∋ ∋tttttt()中的参数与()中的参数涵义一致。 模拟跳跃过程的时候，由于本文假设跳跃的到来服从泊松分布，因此可以推导出跳跃时间的间隔服从指数分布。所以本文先用指数分布模拟出每次跳跃的间隔，累加即可得跳跃到达的时间，跳跃的幅度服从对数正态分布。将每次跳跃的幅度加到随机波动率模型的股票价格上，我们就得到了随机波动率跳跃模型假设下的股票价格序列。在此基础上，用随机波动率跳跃的期权定价模型给不同期限以及不同价值程度(moneyness)的普通欧式看涨期权进行定价，并以此假设为期权的真实价格作为校准的基准。 在模拟中本文选用的参数如下：无风险利率r 0 .02，随机波动率跳跃模型中的波动率与标的资产的相关性 Υ 0. 3 ，标的资产初始价格为12元，执行价格K为12元，初始波动率为，波动率的均值回复速度 Ν5 ，波动率的波动率 Ζ0 .25动，长期均值为 Τ0 .0625。跳跃过程的参数为，跳跃幅度服从ln(1 J )~N((1的对数k 正)态分 布其2中, k Γ) 0. 1 ， Γ0 .1Γ，跳跃到达的泊松过程服从密度 Ο0 .5。 在有了市场的股票数据和期权数据后，我们分别用BS模型、局部波动率模 38
模型风险及其对衍生品定价的影响 型、Heston-Nandi随机波动率模型以及SABR模型来进行参数校准。参数校准后，我们分别运用Delta复制、参数敏感度复制以及修正的参数敏感度复制来对一个普通的欧式看涨期权进行复制。这样做的最重要的原因在于：普通的欧式期权在各个模型下有解析解。首先，我们通过解析解来求解期权能够避免数值算法本身所带来的误差干扰对模型风险大小的判断。其次，在模型进行参数敏感度复制时，数值方法算出的敏感度将极其不稳定，这种不稳定性会导致对数值敏感的参数复制策略完全失效。以上的两个因素都会造成复制误差中含有大量的数值计算所带来的偏误，这样我们就无法判断模型风险对复制误差的影响程度。但采用欧式期权作为被复制工具也存在着一定的问题：就是我们无法判断模型风险对奇异期权的影响，而这种影响往往是期权定价过程中最难被解释的。想要判断出模型风险对奇异期权的影响，我们必须找到一个非常稳定的数值算法，以保证其在计算价格和敏感度时候的误差和模型风险所带来的误差相比能够小到被忽略不计。然而从第三章参数复制策略的所受到的影响来看，使用符合这种要求的数值方法本身就是一个挑战。 39
模型风险及其对衍生品定价的影响 第三节 参数敏感度复制与Delta复制 本节中，我们将用随机波动率跳跃模型模拟真实股票路径，并用前一章所给的公式得出衍生品的真实价格。然后用几何布朗运动、局部波动率模型、随机波动率模型以及SABR对模拟出的“真实”数据进行重复校准。在校准参数的基础上对一个普通的平价欧式期权进行参数敏感度复制和Delta复制，并分析两种复制方法复制后的复制误差。本节和第四节所用的模拟中的差异分析，全部都控制了其他可能影响复制的相关变量。1 （一）两种策略的复制误差的统计比较 为了能够更好的比较参数敏感度复制策略和Delta复制策略，下文将参数敏感度复制策略的复制误差的相关统计指标（见附录：表）与Delta复制的相关统计指标（见附录表：）进行了比较。下图展示了不同模型下，两种复制策略的统计图。 图:BS模型参数敏感度复制与Delta复制标准差 1 包括随机数本身，即比较的几条路径的随机数序列是相同的 40
模型风险及其对衍生品定价的影响 图:局部波动率模型参数敏感度复制策略与Delta复制标准差 图:Heston-Nandi模型参数敏感度复制策略与Delta复制标准差 图：SABR模型参数敏感度复制策略与Delta复制标准差 由上图可以看出，在不同的模型下参数敏感度复制策略和Delta复制策略各有优劣。参数敏感度复制策略在BS模型下表现最为稳定；在局部波动率模型下， 41
模型风险及其对衍生品定价的影响 二者的稳定性差别不大；在Heston-Nandi模型下，参数敏感度复制策略表现得略优于Delta复制策略；但在SABR模型下却表现出很大的波动。 表与表中存在一个比较特别的现象，即各个模型的复制误差的均值都为正数，并且随着到期时间的增加而减小。这个数据现象主要是由随机波动率跳跃模型本身相对于其他模型的短期高估引起的，并且这个高估程度随着期权到期时间的增加而减小(Bakshi et al., 1997)。由于随机波动率跳跃模型对期权价格的短期高估，则用其他模型对其生成的期权价格序列进行校准就会使得用其他策略所购买的用于对冲被复制产品的头寸多于应该购买的数量。而模拟中股票本身存在向上的漂移，对冲看涨期权空头的头寸组合价格一定与标的资产价格是正相关的，因此多购买的那部分头寸就会复制误差均值为正。在表与表中的均值随着期限的增加而降低的现象也与高估程度的变化相吻合。 需要指出的是，由于假设的真实模型引起的相对高估或低估对本文的研究并没有影响。因为本文的研究目的并不在衡量绝对的模型风险1，而在于比较各个模型之间的相对模型风险；即不同的状态变量特征如何影响各个模型的模型风险的情况，以及复制误差稳定性的变动。这一切都是假设真实模型未知时，从各个模型复制误差的比较中得到的相对变化。 （二）参数敏感度复制策略对不同复制工具的敏感度 第三章中曾经提到参数敏感度复制策略有对复制工具较为敏感的特点，因此我们用不同期限的看涨和看跌期权来进行参数敏感度复制，来分析复制工具不同时，复制参数敏感度的差别。 我们将复制工具分为三组，在其中每组分别选择了四个不同期限的平价看涨和看跌期权，其期限如下表： 表复制工具及其期限 Call1 Call2 Put1 Put2 复制组合1 复制组合2 1 1 绝对模型风险在实际中真实过程不知道的情况下是无法得到的。 42
模型风险及其对衍生品定价的影响 复制组合3 1 表 复制误差均值 使用模型 组合1 组合2 组合3 Delta复制 BS模型 局部波动率模型 Heston-Nandi模型 SABR模型 表 复制误差标准差 使用模型 组合1 组合2 组合3 Delta复制 BS模型 局部波动率模型 Heston-Nandi模型 SABR模型 由表到表，我们可以发现，随着复制工具的期限与被复制工具的期限差距越来越大，Heston-Nandi模型和SABR模型的参数复制策略都反映出他们不收敛的特点，而BS模型和局部波动率模型的参数敏感度复制策略则与复制工具的差异无太大关系。其原因可能在于本文使用BS模型和局部波动率模型做参数复制时都只引入一个衍生工具来对冲波动率的风险，但在使用Heston-Nandi和SABR模型时都引入了四个衍生工具来对冲参数风险。此时由于模型参数的真实过程难以判断，并且复杂模型的校准容易造成参数的跳动，因此参数复制策略将极不稳定。如表与所示，Heston-Nandi和SABR在使用期限与被复制差异很大的组合作为复制工具时，它们的均值和方差出现了不收敛的特性。在实际使用参数复制策略的时候，交易员必须对某个所需工具的系数大于1的复制组合给予特别大的关注，模拟显示当所需对冲的头寸大于1的时候，复制策略很可能陷入一个正反馈的循环。 解决参数复制策略不稳定的办法除了尽量减少参数个数外，直觉上还可以通 43
模型风险及其对衍生品定价的影响 过用仅含有单一参数风险的衍生品来进行对冲1，比如用方差互换（variance swap）来专门规避波动率风险等。单一风险的衍生品作为对冲的工具稳定性比多参数风险的衍生品效果要好的多。但是并非所有的参数在市场上都能够找到专门针对参数的衍生品，因此如何用各种不同产品来对冲参数风险将是另一个值得研究的问题。 第四节 两种复制策略对模型风险的敏感度 在第三章我们从理论上分析了模型风险，以及外来的信息冲击对重复校准并在新的参数下进行复制的影响，本节就主要将模拟的结果用来表明状态变量的参数不同将如何影响复制结果。 （一）现实测度对复制误差的影响 在错误的模型假定下，进行重复校准并且复制，并无法消除真实世界测度的影响。为了表明这一点，在模拟中我们用同样的随机数来生成真实的标的过程，但把标的漂移 Π设置为不同的参数，以此来判断 Π的变化即真实测度对错误模型假定下复制误差的影响。 表现实测度改变对复制的影响（期限50天，模拟20条路径） 5分钟参数敏感度复制策略 u==r GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 u= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 1 本文的结果与BAKSHI, G., CAO, C. & CHEN, Z. (1997) Empirical Performance of Alternative Option Pricing Models. JOURNAL OF FINANCE-NEW YORK-, 52, 2003-2050.的结果相对比大致可得出这样的结论 44
模型风险及其对衍生品定价的影响 误差标准差 u= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 5分钟Delta复制策略 u==r GBM local Henton nandi SABR 误差均值 误差标准差 u= GBM local Heston -Nandi SABR 误差均值 误差标准差 u= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 显然由上表可以看出，不同的漂移对复制结果有一定的影响，Delta复制的误差随着u的上升有略微的下降。这主要是由两方面原因引起，首先从本章第三节的结论可以得知，我们复制所用模型的Delta值实际上都过多的复制了标的资产，从而标的资产的一个正漂移将导致最后的复制误差为正，而这种误差将随着期限的增加而减小；此处我们用50天的短期期权作为被复制工具，将很明显的发生过多复制现象。但此处随着u的增大，Delta复制策略的均值反而有所下降 45
模型风险及其对衍生品定价的影响 和第一个原因相矛盾。这主要是因为第二个原因：Gamma1并没有被复制。对于一个看涨期权来说，它的Gamma是一个正数，并且Gamma值较大。当u较小的时候，由于每次复制的频率很短，所以股票的价格变动很小，Gamma本身的作用也很小。但是当u增大的时候，如表中达到与时，股票本身就有了一个很大的确定性变动，这个变动在经常比随机项带来的变动更大2。所以，漂移项u的变动实际上导致了Gamma的影响不可忽略，此处的看涨期权空头将导致复制者持有负Gamma，从使得收益降低；而两个影响相互抵消后，使得最后对复制误差的影响变得很小，但可以看出第二个影响仍然更大一些。 在本文中，我们必须将由于真实模型设定的所导致的数值变化的原因分离。即在真实中，由于模型错误所导致的Delta误差的大小我们不能够确定。但是真实测度中漂移的变化导致单位时间内股价变动幅度的变化会使得风险中性世界的Delta复制策略有一个确定性的偏误3。 （二）波动率的变化对复制误差的影响 由第三章状态变量的波动将导致参数的波动加大，从而影响复制的效果。因此我们通过在模拟中提高波动率的波动的办法来测试状态变量的波动增大对复制误差的影响 表状态变量波动率改变对复制的影响（期限50天，模拟20条路径） 5分钟参数敏感度复制策略 omega= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 1 还可能包括其他的高阶项 2 尤其是当u=时，波动率仅为，而标准正态所产生的随机数超过2的概率很小；标的的变化有N(2)-N(-2)≈%的可能随机变动没有确定性变动的影响大。当u=时，这个概率大约为%。而漂移为r kΟ 时，这 个概率仅为%。因此可以看出这里u的变化将导致Gamma的影响增大。 3 这种偏误会由于被复制产品的属性不同而不同，如复制看涨期权的空头，那么由真实测度的变化导致的偏误将使得复制者亏钱；而复制看跌期权的空头正好相反，将使得复制者赚钱。 46
模型风险及其对衍生品定价的影响 omega= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 omega= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 5分钟Delta复制策略 omega= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 omega= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 omega= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 由表中可以看出除了SABR模型外，5分钟Delta复制策略复制误差的标准差随着状态变量波动率的增大而增大，这表明状态变量的波动程度对错误模型下的Delta复制策略有明显的影响作用。但参数复制策略波动率的敏感性并不明显，这在某种程度上反映了参数复制策略对模型风险的敏感要小一些。SABR模型的表现在两种复制策略下所呈现出极为不稳定的行为可能是来源于SABR模型与随机波动率跳跃模型的差异较大，导致其拟合效果出现明显偏误。而BS模型与局部波动率模型虽然拟合效果可能也不好，但其只有一个被复制参数，因此具有较好的稳定性。Heston-Nandi模型的参数个数与SABR模型相同，但其过程更加接近随机波动率跳跃模型，因此它的效果也较为稳定。 （三）跳跃频率的变化对不同复制策略复制误差的影响 除了波动率代表了状态变量的变化程度外，跳跃频率的不同也将影响复制误 47
模型风险及其对衍生品定价的影响 差的变化的： 表跳跃频率的改变对复制的影响（期限50天，模拟20条路径） 5分钟参数敏感度复制策略 lamda= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 lamda=1 GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 lamda=2 GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 5分钟Delta复制策略 lamda= GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 lamda=1 GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 lamda=2 GBM local Heston-Nandi SABR 误差均值 误差标准差 在跳跃频率不同的情况下，Delta复制策略和参数复制策略的复制误差都呈现出比较混乱的统计规律，即使是在其他表现中稳定的BS模型也不例外；这表明跳跃频率的变化对连续的扩散过程的复制是非常重要的，而没有捕捉住跳跃因 48
模型风险及其对衍生品定价的影响 子将导致复制的结果很不稳定。跳跃频率的变化将导致模拟的漂移项增加1，并且将使得出现跳跃的概率加大，造成连续扩散模型复制的参数和标的变化都更加不稳定。 （四）不同模型与复制策略复制误差的路径 以上结果都为期权到期时候的复制误差，它直接关系到交易员的最后损益，所以尤其重要。但是基于流动性的考虑，复制误差的在存续期内是否稳定也必须作为衡量模型好坏的因素之一。下面将给出模拟的一条路径下，两种复制策略的累积复制误差在存续期内的均值和方差： 表存续期内不同模型复制误差的均值方差 参数复制策略 Delta复制策略 模型 误差均值 误差方差 误差均值 误差方差 GBM -05 local -04 Heston-Nandi SABR 图 BS模型复制误差的路径 图 局部波动率模型复制误差的路径 1 本文模拟跳跃时在漂移除去了跳跃的均值作为补偿(compensated poisson process) 49
模型风险及其对衍生品定价的影响 图 Heston-Nandi模型复制误差的路径 图 SABR模型复制误差的路径 由表中的数据，以及图到图可以发现，BS模型的参数复制策略，在存续期内的表现要远远好于其他模型；局部波动率的参数复制策略的波动率其次。Delta复制策略虽然不如BS模型和局部波动率的参数复制策略，但是却比参数复制策略整体要稳健。Heston-Nandi参数复制策略在均值上表现出和其他模型的差异，这由图也可以得出，它在开始的时候就存在一个较大的正复制误差，造成这个误差原因很有可能是因为Heston-Nandi模型下的近似解析解系统性的偏误。而SABR模型的参数复制策略的表现是最差的，它极为不稳定，存续期内的复制误差达到10以上。这种现象很有可能是因为第三章所描述的参数敏感度的细小变动造成了复制参数策略系数的严重不稳定。 50
模型风险及其对衍生品定价的影响 第五章 结论 （一）本文的贡献 本文的主要贡献在于，提出了在随机过程框架下，真实模型未知时如何对模型风险进行评估，并且通过模拟进一步论证了模型风险对定价和复制误差的影响，为市场上的真实交易提供了不同于以往定价模型的理论借鉴。同时本文还系统的回顾了模型风险以及模型不确定性的相关研究。 首先，本文从概念上区别了模型不确定性和模型风险对衍生品定价的影响；从理论上推导了在真实模型无法得到的现实世界中，我们所用的模型的本质；并且在更加贴近现实的假设下通过模拟，描述了在真实模型未知的情况下，使用一个近似模型进行重复校准并进行复制所导致的复制误差，比较了模型风险对参数敏感度复制策略以及Delta复制策略的影响。 在模拟中，本文通过每次改变一个可能导致金似模型定价和复制偏误的变量1，来检验这些变量对模型未知时真实世界中复制误差的影响。从模拟中本文得到了和理论推导相符的结论： 1．现实测度将会影响模型未知时的风险中性定价的复制策略。 2．复制误差的在期权到期日的数据来看，在模型需要复制的参数较少时，参数敏感度复制策略优于Delta复制策略；但在参数较多时呈现出显著的不稳定性。 3．参数敏感度复制策略在含参数较多的模型假设下还对不同属性的复制工具有很强的敏感性。 4．状态变量的变化幅度对两种复制策略都会有明显的影响，尤其是跳跃频率的增加。 5．从复制误差在期权存续期间的路径上看，对需复制的参数数量较少的模型来说，参数敏感度复制策略在期权存续期内的表现明显优于Delta复制策略；但是对需要复制的参数数量较多的模型来说，参数敏感度复制策略同样不如Delta复 1 控制其他所有可能的影响，包括随机数本身 51
模型风险及其对衍生品定价的影响 制策略。 本文的结论证明参数敏感度复制策略能够在一定程度上削减模型错误的风险，但它的缺点在于本身较为不稳定，尤其是当需要复制的参数个数很多而需要引进其他包含各种风险的衍生工具时。Delta复制由于只关注标的资产，并不考虑参数的变化，因此会明显的随着状态变量的变化而变化，比较容易受到模型未捕捉到的状态变量变化的影响。值得注意的是本文中SABR模型的拟合效果不好，只能说明SABR对随机波动率跳跃模型拟合的效果不好，但在现实中其拟合效果必须用现实数据来判断。 本文的研究表明，在衍生品市场上，交易员不仅仅要能够时刻更新自己模型的参数并进行复制，还必须在事前就对市场的状态变量有一定预测。从而使初始出价能够尽量包含对复制误差预测的信息。在复制衍生品的过程中，交易员必须尽量选择简单并且只含有单一风险因素的产品来复制衍生品。使用风险中性定价并且不断的改进模型的复杂程度和拟合效果的做法并不一定能够获得更好的复制效果。 （二）本文的缺陷以及未来的发展 由于本文的研究目的并不在于研究模型对市场的拟合程度，因此本文并未使用市场数据进行研究，这也导致了本文结论中的某些结果可能是由于真实过程的假设所带来的。其次，由于衍生产品解析解的限制，本文仅将简单的欧式看涨期权作为被复制产品，对奇异期权的研究并没有进行分析，而奇异期权的价值对于参数的变动更加敏感，因此本文的研究方法用在奇异期权上的研究将更有价值。另外，本文也仅考虑了扩散模型在不完全市场下的表现。跳跃频率差异的模拟结果证明扩散过程的确对未能捕捉到的跳跃十分敏感，因此在不完全市场模型假设下的复制策略和复制误差的研究是十分必要的。未来的研究可以更加贴近市场，并且在此基础上对不完全市场的模型用相应的复制策略对奇异期权进行模型风险的研究。在此，本文仅给出更好地研究上述问题所需要攻克的难题和相应的思考以供其他学者进一步研究时做参考。 在真实数据的基础上，研究各种模型的模型风险对奇异期权的影响所面临的 52
模型风险及其对衍生品定价的影响 问题主要有三个： 1． 不完全市场模型的复制策略与参数敏感度复制的结合。如何分离不完全市场模型自身的复制误差和模型风险所带来的复制误差，以便于衡量模型风险的影响？ 2． 如何选取合适的数值方法或者近似解析解，来解决不同模型下的不存在闭式解的奇异期权的定价和复制策略所受到模型风险的影响。如何把握数值方法本身的稳定性和准确性对模型风险的影响。 3． 市场数据中哪些是可以使用的定价基准，哪些工具是用来对冲参数的最好产品？是否有更好的复制策略能够消除模型风险的影响？ 53
模型风险及其对衍生品定价的影响 附录 表 参数敏感度复制策略的复制误差（50次模拟） 50个交易日复制频率（日） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 100个交易日复制频率（日） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 150个交易日复制频率（日） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 50个交易日复制频率（5分钟） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 100个交易日复制频率（5分钟） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 150个交易日复制频率5分钟） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 54
模型风险及其对衍生品定价的影响 最大值 最小值 标准差 表 Delta复制策略的复制误差（50次模拟） 50个交易日复制频率（日） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 100个交易日复制频率（日） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 150个交易日复制频率（日） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 50个交易日复制频率（5分钟） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 100个交易日复制频率（5分钟） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 最小值 标准差 150个交易日复制频率5分钟） GBM Local Heston-Nandi SABR 均值 中值 最大值 55
模型风险及其对衍生品定价的影响 最小值 标准差 56
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模型风险及其对衍生品定价的影响 致 谢 硕士研究生的三年仅仅是我在厦门大学度过的所有时光中的一部分，但是这三年的经历将是我一生中都难以忘怀的。非常感谢厦门大学为学子们提供了一个清幽、淡雅的学术环境，感谢金融系的众多老师和同学们在我本科和硕士阶段所给予的关怀和照顾。在经历了将近半年的构思和五个月的编程和写作后，我终于完成了自己的硕士毕业论文，虽然还存在很多不足之处，但对我来说已经是很大的进步。在此我希望能够一一感谢在学习和生活上帮助过我的人。 首先，我要感谢我的导师郑振龙教授。郑老师犀利的金融直觉让我深深折服，他幽默的谈吐和比喻让我更加热爱金融工程这个专业，他严谨治学的态度让我受益颇多。研二讨论课时对我不负责任工作的长达半个多小时的教育更让我深刻了解了一个学者做学术时所需要的态度。此外，郑老师对我的培养和鼓励让我树立了自信心，并且更加积极地投入到相关的学术研究中。还要感谢郑老师在此次的论文写作中对文章的修改提出了大量建议。 其次，要感谢林海副教授、陈蓉副教授和陈淼鑫老师。林海老师在学术上的见解与成就一直是我心中敬仰和追求的目标；他一针见血的评价和充满启发的建议总是能够让我认识到自己的缺陷和不足，他对本文的建议也让一度陷入困境的我重新找到了突破的方向。陈蓉老师对细节的苛求让我对自己的粗枝大叶深感惭愧，她让我深刻地了解到“一屋不扫何以扫天下”这句话的内涵；另外陈老师乐观、开朗的性格给我和其他同学带来了很多欢乐，为我们的硕士生活增添了多样的色彩。第一次参加在长沙召开的金融工程会议时，陈淼鑫老师的帮助让我的紧张情绪消弭无踪，可以更加自信地面对众多未曾谋面的听众。 再者，还要感谢大洋彼岸的Yuan Yuhua前辈。从两年前人大经济论坛的初识到后来的交流，他在理论上扎实的功底以及实务上的经验让我对衍生品定价的了解更上一个台阶。这篇文章的初始动机也是在这两年间的无数次交流中萌生的；再次感谢Yuan Yuhua前辈能够在百忙之中抽出时间来解答我的疑惑，以及让我们初识的人大经济论坛和为金融工程交流提供平台的金融工程之家。 59
模型风险及其对衍生品定价的影响 另外，我还要感谢硕士阶段的几位同窗好友，吕恺、方昆明、柯鸿、金正皓以及其他厦门大学06级金融工程硕士的同学。有了你们我的硕士生活才能如此精彩。每一次的科研以及项目的成果，都离不开大家的讨论以及相互间默契的配合。还有06级金融系的其他好友，你们的陪伴给我的生活带来了更多的欢乐和笑声。感谢邓弋威同学在最后阶段熬夜帮我找出文中的各处的行文错误。 最后，我还要感谢我的家人，是你们默默地支持让我能够在美丽的厦门大学无忧无虑的学习。感谢我善解人意的女友，在七年中对我的支持和鼓励，能够与你在厦门大学相遇是我人生中最重要的际遇。 刘杨树 2009年4月4日晚于海韵 60
