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一般的定价方法
定价方法一般分为三大类：成本导向法、竞争导向法、顾客导向法。
1、 成本导向法通常是以成本加上一个标准的或固定的利润来决定产品的价格的方法，包括成本加成定价法、投资回报率定价法和损益平衡销售量与目标定价法三种方法。
2、 竞争导向法是一种根据竞争状况确定价格的定价方法，公司以市场主要竞争者的产品价格为其定价的基准，结合考虑公司与竞争者之间的产品特色，制订具有竞争力的产品价格并随时根据竞争者价格的变动而进行调整。竞争导向法包括现行价格定价法和投标定价法两种。
3、顾客导向法是以顾客本身的特性及顾客对产品的感受价值，而非产品的成本来决定产品价格的方法。
----摘自赵平《定价策略与技巧》;董维《简明市场营销学》；菲利普·科特勒《营销学原理》
顾客导向定价法
顾客导向法是按顾客本身的特性及顾客对产品的感受价值，而非产品的成本来决定产品价格的方法。
顾客导向定价法的特点是将定价的焦点集中于买者身上，减少公司定价的一厢情愿错误。原则上，它是以消费者心目中所认为值得付出的产品价值来定价，它要求确定消费者对于各种不同的产品感受的价值是多少，然而这很难衡量，而且费时费力。顾客对产品的感受价值主要是通过询问在不同时间、地点及场合的情况下消费者愿意为产品付出的最高价格，也就是通过人员访谈或问卷调查的方式来获取定价信息。
----摘自赵平《定价策略与技巧》;董维《简明市场营销学》；菲利普·科特勒《营销学原理》
竞争导向定价法
竞争导向法是一种根据竞争状况确定价格的定价方法，以市场上主要竞争者的产品价格作为公司定价的基准，结合公司与竞争者之间的产品特色，制订具有竞争力的产品价格，并随时根据竞争者价格的变动进行调整。竞争导向法包括现行价格定价法和投标定价法两种。
现行价格定价法（going-rating pricing）是指公司产品的价格与主要竞争者价格或一般市场价格相当，而不太考虑成本或市场需求状况。采用这种定价法的原因在于产品的需求弹性难以衡量，在保证相当利润的基础上，还可避免因恶性竞争破坏行业的和谐。
投标定价法（sealed-bid pricing）是大多数通过投标争取业务的公司通常采取的竞争导向定价法。竞标的目的在于争取合同，因此公司考虑的重点是竞争者会报出何种价格，公司制订的价格应比竞争者的低，而不局限于成本或需求状况。当然，公司必须事先确定一个最低的获利标准来投标：价格低于成本将有损利益；价格高于成本虽然增加了利润但不利于中标。
竞争导向法最大的优点在于考虑到了产品价格在市场上的竞争力。但其主要缺点有：
1、 过分关注在价格上的竞争，容易忽略其它营销组合可能造成产品差异化的竞争优势。
2、 容易引起竞争者报复，导致恶性地降价竞争，使公司毫无利润可言。
3、 实际上竞争者的价格变化并不能被精确的估算。
----摘自赵平《定价策略与技巧》;董维《简明市场营销学》；菲利普·科特勒《营销学原理》
撇脂定价法（market-skimming pricing）
撇脂定价法成功的条件是：
1、 有充足的市场需求量，顾客对该产品有很高的需求并愿出高价购买。
2、 市场价格敏感度低，需求弹性小。
3、 在小规模的生产成本下仍有充足利润。
4、 高价短期内不至于吸引更多竞争者。
5、 高价格可以树立高品质的产品形象。
公司还通过使用专利权、版权、优质名牌产品的声誉、稀缺资源的使用权、最佳分销渠道的优先权等保护形式，阻止提供低价产品的竞争对手的进攻，维持长期利润。
----摘自赵平《定价策略与技巧》;董维《简明市场营销学》；菲利普·科特勒《营销学原理》关键字：研发成本+价格敏感
生命周期定价策略
在产品市场生命周期的不同阶段，产品的相关成本、购买者的价格敏感性和竞争者的行为等因素都是不停变化的，因此定价策略要及时调整修正以保持有效。
生命周期定价法包括市场开发期创新产品的定价、市场成长期新产品的定价、市场成熟期产品的定价和市场衰退期产品的定价四部分内容。
1、 市场开发期创新产品的定价：有撇脂定价策略和市场渗透定价策略两种。在市场开发期，顾客对产品缺乏了解，企业的主要目标是培养潜在顾客，促使他们关注创新产品的价值。企业可通过让利试用来推销新产品，还可通过直销、分销渠道促销新产品。
2、 市场成长期新产品的定价：在成长期，顾客的注意力不再单纯停留在产品效用上，而是开始比较不同品牌的成本和特性。此时，企业可根据自己的发展目标采用产品差异化战略（differentiated product strategy）或成本领先战略（cost leadership strategy）来制定新产品的价格。产品差异化战略是指企业必须迅速在研究、生产领域以及顾客心目中确立自己的地位，成为具有这种属性产品的主要供应商；成本领先战略是指企业必须集中力量开发生产成本最低的产品，通常是减少产品差异性，期望能凭借成本优势在价格竞争中获利。
3、 市场成熟期产品的定价：企业可以通过1）将相关的组合产品和服务拆开出售而不是捆绑销售；2）改进对价格敏感度的量度；3）改进成本控制；4）利用、扩展产品线；5）重新评价分销渠道等方法尽可能地创造竞争优势，以便在竞争日趋激烈的成熟期中保持获利的机会。
4、 市场衰退期产品的定价：一般有三种战略可供选择。紧缩战略意味着全部或部分地放弃一些细分市场，将资源重新集中于企业更有优势的市场上，其实质是把资金从公司薄弱的市场上撤出来，用于加强在公司具有优势的市场。收割战略意味着逐步退出行业，最开始也是放弃一些薄弱的市场，但收割战略的目标不是占领较小的、更具防御性的市场，而是最终从行业退出。其定价的目标不是保存住剩下来的市场份额，而是获得最大的收入。巩固战略是试图在衰退期加强竞争优势以从中获益，这种战略仅适用于那些财力雄厚的企业。
----摘自赵平《定价策略与技巧》
市场渗透定价法（market-penetration pricing）
市场渗透定价策略是以一个较低的产品价格打入市场，目的是在短期内加速市场成长，牺牲高毛利以期获得较高的销售量及市场占有率，进而产生显著的成本经济效益，使成本和价格得以不断降低。渗透价格并不意味着绝对的便宜，而是相对于价值来讲比较低。
市场渗透定价法成功的条件是：
1、 有足够大的市场需求
2、 消费者对价格高度敏感而不是具有强烈的品牌偏好
3、 大量生产能产生显著的成本经济效益
4、 低价策略能有效打击现存及潜在的竞争者。
成本导向定价法
成本导向定价法通常是指以成本加上一个标准的或固定的利润来决定产品的价格的方法，具体包括成本加成定价法、投资回报率定价法和损益平衡销售量与目标定价法三种方法。
1、成本加成定价法是指产品的价格由产品的成本加上某一标准比例（或成数）构成。其计算公式为：
单位成本=单位变动成本+单位固定成本
=单位变动成本+总固定成本/预计销售量
成本加成价格=单位成本/（1-期望的销售利润率）
2、投资回报率定价法是指公司首先确定某一比例为公司的投资回报率，然后据此制订目标价格，其计算公式为：
目标定价=单位成本+投资回报率*资本投资/单位销售
3、损益平衡销售量与目标定价法是指厂商考虑在某一特定的目标定价下，万一出现不能完成预期目标的销售量的情况，以不赔本为前提计算损益平衡销售量进而反推产品定价是否合理的定价方法。其计算公式为：
损益平衡销售量=固定成本/（价格-变动成本）
成本导向法简单易用，因而被广泛采用。其缺点在于：一是不考虑市场价格及需求变动的关系；二是不考虑市场的竞争问题。成本导向定价法是通过一个个假想的期望销售数字计算出的定价，如果销售数字没达到预期要求，则必然无法达到预期利润。
----摘自赵平《定价策略与技巧》;董维《简明市场营销学》；菲利普·科特勒《营销学原理》
销售定价管理
一、 影响商品定价因素
1. 价值规律因素
（1） 供求关系：
当商品价格提高时，市场需求量下降、供应数量上升。
当商品价格降低时，市场需求量上升、供应数量下降。
当市场需求量一定时，供应数量下降，则商品价格上升。
当供应数量一定时，市场需求量上升，则商品价格上升。
当商品需求变动幅度小于相应的价格变动幅度时，该商品富有弹性。
当商品需求变动幅度小于相应的价格变动幅度时，该商品缺乏弹性。
A、 替代产品价格：
如果商品价格过高，则消费者转向购买动能相似的替代产品。
B、 互补产品价格：
互补产品是须与某产品同时使用的产品。如手机与充电器、电脑与稳压电源（UPS）。
互补产品价格与销售的主导商品价格相互影响。 如：
● 主商品少赚钱或亏损，靠互补产品赚钱● 销售主商品时，赠送或低价销售互补产品
2．非价值规律因素
（1） 国家价格政策。
我国目前价格主要有：
●指令性价格 ●指导怀价格 ●自主定价
企业应确定定价权限，现一般企业都是自主定价。
按照有关价格法律法规，一些商品价格应到当地政府价格主管部门核备。
按照公平竞争准则，企业应防止出现暴利、低价倾销而被投诉或调查。
（2） 心理因素。
主要是顾客对商品的品牌声誉和便宜的心理价位不同，对真实价格高低接受程度不同。
（3） 销售策略因素：
●商品品种搭配 ●营销渠道不同 ●营销方法的变化
●营销费用的高低 ●营销服务的好环
二、 定价策略
1． 新产品定价策略
策略 1：高价回收（撇油定价，Skimming Pricing）
新产品刚进入市场时，高价投放，以在短期内获高利。
优点：
●能尽快回收投资 ●方便今后降价销售
缺点：
●不利于迅速打开市场 ●容易吸引跟风的竞争者
适用场合：生产能力较小，技术难度较高，与竞争商品差异大，价格弹性小。
策略2：低价渗透（Pricing）新产品刚进入市场时，低价大量投放，以获长期厚利。
优点：
●有利于 ●不容易吸引竞争者
缺点：●较难尽快回收投资 ●不利于今后提价销售
适用场合：生产能力较大，技术难度较低，与竞争商品差异小，价格弹性大。
2． 价格差别化策略对同一商品，其价格因购买数量、支付方式、顾客层、地区、时间、用途的不同而有差。
策略1：折扣价格（1） 按购买量大小的数量折扣；（2）批发商的批量折扣；（3）按早期支付物款的现金折扣
策略2：
用途折扣 （1） 作最终消费品的价格；（2）作中间原料的价格。
策略3：
季节价格（1） 当令旺季价格；（2）淡季价格；（3）换季清仓价格。
策略4：
地区价格（1） 考虑不同地区运输费用的价格；（2）考虑不同地区收入水平的价格 。
3． 心理价格策略
策略1：尾数价格
定价时置有尾数，使消费者产生便宜感觉或认为订价真实可靠。如拟订5元的商品定为、5元；100元的定为元；1000元的定为999元。
策略2：吉祥数字价格
用吉祥数字确定价格，如：8，18，28，58，66，88，98，128，168，198，888，998，1,088，1,288，1,298， 1,588， 1,688……
策略3：声望价格
一般是著名厂商、品牌，强调商品与众不同或优价格。
（1） 习惯价格策略
对长期消费习惯形成的极少变动的固定价格，仍然遵守习惯价格。
（2） 市场统一价格策略
策略1：不同商品同一价。如八元店、十元店。
策略2：不同顾客、地区同一价。
一般是全国统一零售价，这是通过给级批发商、零售商不同折扣实现的，有利于广告宣传和价格管理。目前大型企业和连锁商业运用较多。
策略3：市场组合统一价。支付同一总价后，可以自由选择消费组合，如自助快餐业。
三、 定价方法
方法1：总成本另成法
售价=（总成本+预期利润）/产销量或 售价=单位总成本×（1+预期利润率（如10%））
方法2：边际利润法
售价=（生产总变动费用+预期边际利润）/产销量
方法3：最大利润法
根据销售价格（s）、销售量（Q）、销售收入（S）、总固定费用（F）、单位产品变动费用（v、销售利润（P）之间函数关系：（1）s=b-a×Q;(2)S=s×Q;(3)P=S-(F+vQ)
求得：最大利润Pmax=(b-v) ×Q/2-F,最大利润下单价s=(b+v)/2
方法4：试销定价法
将商品分别在若干相似市场以不同价格试销一段后，再正式定价。
方法5：竞争定价法
具体方法有：
（1） 与竞争对手价格保持相近或一致；
（2） 高于市场价格或竞争对手价格；
（3） 低于市场价格或竞争对手价格；
（4） 亏本定价（低于成本）；
（5） 垄断定价（远高于平均利润）。
四、 简要综述
以上各种定价方法各有其特点和适用场合，适用不同的企业场景下的使用。
一个企业可以运用多种定价策略和方法的组合。
当市场需求很大时，企业定价可高于市场价格。
对质量较差的产品或淘汰商品，企业定价可低于市场价格。
一般消费者认为商品质量与价格成正比，价格越高质量越好。因此适当提高价格有可能销售效果更好。
目前，我国市场竞争主要（甚至唯一地）在价格竞争，低价竞争的后果出乎预期。市场没有赢家，都 是输家。启蒙地而来的“跳楼价”、“出血价”、“清仓价”、“反季节价”、“抵债商品”、“走 私罚没品”等，并没在引得消费者心动继而行动，反而持币观望。因此，企业应尽快走出大打价格战的竞争误区，运用包括价格在内的多元组合营销策略。
络营销中的十种定价策略
如今，随着互联网的普及，有越来越多的网站做起了电子商务，大家都想到网络营销中火一把。然而网络营销毕竟和传统营销有所不同，那么如何在这个电子商务大潮中站稳脚跟？我们究竟应该采取怎样的营销策略？
我们知道，企业营销策略有很多种。但无论是传统营销还是网络营销，价格策略是最富有灵活性和艺术性的策略，是企业营销组合策略中的重要组成。它在营销决策中得到越来越多的重视，是企业的一种非常重要的竞争手段。在进行网络营销时，企业应在传统营销定价模式的基础上，利用互联网的特点，特别重视价格策略的运用，以巩固企业在市场中的地位，增强企业的竞争能力。
网络营销价格是指企业在网络营销过程中买卖双方成交的价格。网络营销价格的形成是极其复杂的，它受到多种因素的影响和制约。一般来说，影响企业产品网上定价的因素包括传统营销因素和网络本身对价格的影响因素。其中，传统因素有内部的（成本和利润等）和外部的（消费者需求和市场竞争等）因素，由于网络及时性和互动性等特点，网络营销会节省一定的经营成本，这必然会对价格产生一定的影响。
企业在进行网络营销决策时必须对各种因素进行综合考虑，从而采用相应的定价策略。很多传统营销的定价策略在网络营销中得到应用同时也得到了创新。根据影响营销价格因素的不同，网络定价策略分可为如下几种：
* 个性化定价策略
消费者往往对产品外观、颜色、样式等方面有具体的内在个性化需求，个性化定价策略就是利用网络互动性和消费者的需求特征，来确定商品价格的一种策略。网络的互动性能即时获得消费者的需求，使个性化营销成为可能，也将使个性化定价策略有可能成为网络营销的一个重要策略。这种个性化服务是网络产生后营销方式的一种创新。
* 自动调价、议价策略
根据季节变动、市场供求状况、竞争状况及其他因素，在计算收益的基础上，设立自动调价系统，自动进行价格调整。同时，建立与消费者直接在网上协商价格的集体议价系统，使价格具有灵活性和多样性，从而形成创新的价格。这种集体议价策略已在现在的一些中外网站中采用。
* 竞争定价策略
通过顾客跟踪系统（Customer Tracking）经常关注顾客的需求，时刻注意潜在顾客的需求变化，才能保持网站向顾客需要的方向发展。在大多网上购物网站上，经常会将网站的服务体系和价格等信息公开申明，这就为了解竞争对手的价格策略提供方便。随时掌握竞争者的价格变动，调整自己的竞争策略，时刻保持同类产品的相对价格优势。 * 特有产品特殊价格策略
这种价格策略需要根据产品在网上的需求来确定产品的价格。当某种产品有它很特殊的需求时，不用更多的考虑其他竞争者，只要去制定自己最满意的价格就可以。这种策略往往分为两种类型，一种是创意独特的新产品（“炒新”），它是利用网络沟通的广泛性、便利性，满足了那些品味独特、需求特殊的顾客的“先睹为快”的心理。另一种是纪念物等有特殊收藏价值的商品（“炒旧”）如古董、纪念物或是其他有收藏价值的商品，在网络上，世界各地的人都能有幸在网上一睹其“芳容”，这无形中增加了许多商机。
* 折扣定价策略
在实际营销过程中，网上商品可采用传统的折扣价格策略，主要有如下几种形式：
（1）数量折扣策略
企业在网上确定商品价格时，可根据消费者购买商品所达到的数量标准，给与不同的折扣。购买量越多，折扣可越多。在实际应用中，其折扣可采取累积和非累积数量折扣策略。
（2）现金折扣策略
在B2B方式的电子商务中，由于目前网上支付的缺欠，为了鼓励买主用现金购买或提前付款，常常在定价时给予一定的现金折扣。例如，某项商品的成交价为360元，交易条款注明“3／20净价30”意思是：如果在成交后20天内付款可享受3％的现金折扣，但最后应在30日内付清全部货款。随着，网上支付体系和安全体系的健全，这种定价策略将逐步消失。
此外，还包括同业折扣、季节折扣等技巧。如为了鼓励中间商淡季进货，或激励消费者淡季购买，也可采取季节折扣策略。
* 捆绑销售的策略
捆绑销售这一概念在很早以前就已经出现，但是引起人们关注的原因是由于1980年代美国快餐业的广泛应用。麦当劳通过这种销售形式促进了食品的购买量。这种传统策略已经被许多精明的网上企业所应用。网上购物完全可以通过Shopping Cart或者其他形式巧妙运用捆绑手段，使顾客对所购买的产品价格感觉更满意。采用这种方式，企业会突破网上产品的最低价格限制，利用合理、有效的手段，去减小顾客对价格的敏感程度。
* 声誉定价策略
企业的形象、声誉成为网络营销发展初期影响价格的重要因素。消费者对网上购物和订货往往会存在着许多疑虑，比如在网上所订购的商品，质量能否得到保证，货物能否及时送到等。如果网上商店的店号在消费者心中享有声望，则它出售的网络商品价格可比一般商店高些。反之，价格则低一些。
* 产品循环周期阶段定价策略
这种网上定价是沿袭了传统的营销理论：每一产品在某一市场上通常会经历介绍、成长、成熟和衰退四个阶段，产品的价格在各个阶段通常要有相应反映。网上进行销售的产品也可以参照经济学关于产品价格的基本规律。并且由于对于产品价格的统一管理，能够对产品的循环周期进行及时的反映，可以更好伴随循环周期进行变动。根据阶段的不同，寻求投资回收、利润、市场占有的平衡。
* 品牌定价策略
产品的品牌和质量会成为影响价格的主要因素，它能够对顾客产生很大的影响。如果产品具有良好的品牌形象，那么产品的价格将会产生很大的品牌增值效应。名牌商品采用“优质高价”策略，既增加了盈利，又让消费者在心理上感到满足。对于这种本身具有很大的品牌效应的产品，由于得到人们的认可，在网站产品的定价中，完全可以对品牌效应进行扩展和延伸，利用网络宣传与传统销售的结合，产生整合效应。
* 撇脂定价和渗透定价
在产品刚介入市场时，采用高价位策略，以便在短期内尽快收回投资，这种方法称为撇脂定价。相反，价格定于较低水平，以求迅速开拓市场，抑制竞争者的渗入，称为渗透定价。在网络营销中，往往为了宣传网站，占领市场，采用低价销售策略。另外，不同类别的产品应采取不同的定价策略。如日常生活用品，对于这种购买率高、周转快的产品，适合采用薄利多销、宣传网站、占领市场的定价策略。而对于周转慢、销售与储运成本较高的特殊商品、耐用品，网络价格可定高些，以保证盈利。
衍生产品定价的三个基本原理
资本市场中的定价是建立在市场均衡为基础上，在金融工程的研究中则把均衡市场的定价更具体的体现在非套利的条件。非套利条件比市场均衡的要求更容易理解，而且它是完全市场假设的直接结论，是资本市场均衡的必要条件，进而利用非套利条件就可推导出均衡的资产价格。
金融工程的定价原理经过Black, Scholes, Merton, Cox, Ross等人的发展，以非套利条件为基础，建立了三个基本的定价原理，即无风险套期保值原理（Risirolos-Hedging Principle）；风险中性定价原理（Risk-Neutrality-Principle）与动态自筹原理（Dynamic Self-Financing）。
1：无风险套期保值原理（Riskless hedging Principle）
套期保值采略是资本市场中的一个传统的策略，在Black-Scholes（1973）那里，把这个套期保值策略发展成一个动态的无风险套期保值原理。这个原理指出：
在一个不存在套利机会有有效市场中，任何有空市场风险的资产组合，它的期望收益率于无风险利率。即投资者可以建立起一个无风险套期保值的资产组合，只要在这个资产组合中持续地高速基础证券与衍生证券的投资比例，那么或者基础证券保护衍生证券，或者衍生证券保护基础证券，以对搞任何的亏损可能，从而消除全部的市场风险。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益率，基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均衡条件。
作为例子，这里叙述如何应用套期保值原理推导欧式Call价格的偏微分方程。假定基础资产是一个股票S，一个Call Option的价格为C。假定S满足几何Brocon运动，而C（s. t）是随机变量，因而满足Ito引理，因此我们有以下两个方程：
（1）
（2）
其中，ρ、γ分别为股票的期望收益率与波动性，ρ、γ是常数，dz是标准的Wiener过程。现在构造一个资产组合Π，它由如下组成：
ι个单位 Call的空头部位
Δ个单位 股票的多头部位
显然这个资产组合是一个套期保值组合，而且这个资产组合的价值Π为：
Π=－C+Δ·S （3）
而这个资产组合价值上的微小变动，我们假定它完全是由两个价格的微小变动所产生：
dΠ=－dC+Δ·ds （4）
这样由方程（1）、（2）可知：
（5）
我们注意到（5）式中的第一项是一个确定型的变量，而第二项是这个资产组合的随机项，即这个资产组合价值微小变动量的风险项。如果选择，方程从数学上简化为
（6）
并且我们引出了两个结论：
这个资产组合是无风险的，因为它的价值仅满足一个确定型的微分方程。
在非套利条件下，这个资产组合只能获得无风险收益率的收益，因为如果它获得高于无风险收益率的收益，那么套利者可以无风险率利率借款，尽可能多的购买这个资产组合，从而实现套利。所以成立下式：
（7）
这样，由（4）、（6）、（7）三式可知：
最后，经整理我们得到了熟识的Black-Scholes的偏微分方程：
（8）
2：风险中性原理
.基本概念
风险中性定理表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。
风险中性价原理是Cox. Ross（1976）推导期权定价公式时建立的。由于这种定价原理与投资者的风险制度无关，从而推广到对任何衍生证券都适用，所以在以后的衍生证券的定价推导中，都接受了这样的前提条件，就是所有投资者都是风险中性的，或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格，并且这个价格的决定，又是适用于任何一种风险志度的投资者。
关于这个原理，有着一些不同的解释，从而更清淅了衍生证券定价的分析过程。首先，在风险中性的经济环境中，投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；其次，正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴理率也恰好等于无风险利率，所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（Martingle）。或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法（Martingale Pricing Technique）。
为了更清晰的了解风险中性定价原理和上述解释的意义，这里回到Black-Scholes公式的推导，当然这个推导是Cox. Ross（1976）的工作。
假定基础证券为股票，衍生证券为股票期权，它们的价格分别为S与C，作为两个随机变量，同时遵循下述随机动态方程：
（9）
（10）
这里 与表示期权的期望收益率以及它的方差。而且C（）是s与t的函数，同样由I+O引理可知：
（11）
比较（10）与（11）式，我们得到：
（12）
（13）
改写（12）式，可知：
（14）
注意这个（14）式，它和Black-Scholes推导的微偏分方程非常相似，但它却包含了两个参数与。为了求解方程（14），或者设法先解出与，或者设法使==回归到方程（8）的形式。
为此，重新使用一下无风险套期保值的方法，即同样构造一个资产组合π，它如下组成：
s个单位 Call的空头部位
c·c个单位 股票的多头部位
这个资产组合π的价值为：
π=·c·s－·s·c=（－）sc （15）
同样，这个资产组合价值上的微小变动，都是由瞬间的价格变动所引起的，因此：
dπ=（－）·cs·dt （16）
现在在dπ中，所有的随机微分项都消除了，所以π是特征为无风险，在非套利条件下，它必定获取的是无风险收益率，或无风险利率，我们有：
dπ=πdt （17）
－=（－）
（18）
方程（18）具有很清晰的意义，我们把－与－看成是期权以及它的基础证券（股票）的超额收益，在除以各自的方差（即波动性）之后恰好为单位风险的市场价格。因为在无风险套期保值的资产组合π中，期权及股票都是市场上可交易的证券，所以它们为单位风险的价格应当是相等的。
最后，我们将（18）改写为：
（19）
这样，把（12）与（13）代入（19）式，又回到了我们所熟悉为Black-Scholes的偏微分方程：
（20）
如果我们现在对照（14）与（20），这个推导过程就如同我们在方程（14）直接令==。寻样，但我们不能这样做，因为==只是风险中性定价原理的结果，或者说是风险中性定价原理的解释。
风险中性定价原理在数学上可以表示为：
（21）
（22）
这里ST与CT都是随机变量，分别表示到期日的股票价格与期权价格，因为到期日Call的收益为CT=max（ST－X、O），所以方程（22）可写为：
（23）
在方程（21）与（23）中，E是同一个期望算符。这是关于经过风险中性调整的概率分布的期望值，而且这个调不整的概率分布是对数正整的，它的漂移率刚好也是无风险利率。所以（23）也指出了，Call的价值等于风险中性条件下到期收益的贴现期望值，贴现率也刚好是无风险利率。
这样通过类似于Cox与Ross的推导，完全的给出了风险中性定价原理的解释。
.风险中性是价原理的推广（Genaral-Risk-Neutrality Principle）
风险中性定价原理中有一个重要的假设，那就是衍生证券与基础证券都是可交易证券。一旦这两者之一（一般是基础证券）是不可交易证券，这时某些风险无法回避，因为无法进行现货基础资产与衍生证券之间的套利组合，使得衍生证券难以定价。这导致风险中性定价原理的适用性产生问题，因为方程（18）的成立E是依赖于这一假设。因而也就无法断定投资者的风险志度是否地衍生证券的价格产生影响。所以，在这里将把风险中性定价原理推广到更为一般的情况中去，而当基础证券不是可交易证券的情况（Hull. 1997）。
现在假定S不是可交易证券的价格，C仅由s. t决定的期权价格，仍然假定S与C都遵循随机动态方程（9）与（10）。这样方程（13）、（14）依赖成立。
（13）
（14）
同时方程（18）在形式上也是成立的，我们令（18）的右端寻于λ，那么
（24）
注意到这里的λ只与有关，而与C是无关的。我们继续称λ为风险的市场价格。
同时有：
－=λ （25）
现在将（14）与（25）代入（13）式，可以得到：
（26）
此时令q=－（－λ），那么（26）变为：
（27）
方程（27）恰好是带有仁利收益q的期权的定价方程，因此，方程（27）不仅存在解，而且这个解也同样与投资者的风险态度无关的。
这样，即使基础证券不是可交易证券，风险中性定价原理仍然是适用的，但需要作一个变动，这个变动，不仅体现定价方程（27）成为有红利利率q的期权定价方程，而且实际上我们是把方程（9）中的漂移率减少了λ，变为－λ，这样λz的造就了一个风险中性环境。方程（10）中的漂移率也变为－λ，这时新的漂移率恰为无风险利率：
－λ=－λ与基础证券收益率设定于无风险利率从推导的结果上看是等价的。
3：动态自等资原理（Dynamic Self-Financing）
Merton（1973）在推导Black-Scholes的期权定价公式时发展了一个动态自筹资原理。这个原理起源于一个这样的资产组合，它没有初始的投资，也没有中间过程资金的注入和抽出，这个组合中一个证券所增加的单位费用，完全来自于出售这个组合中其他证券的单位收益。而且这个资产组合是动态的，因为它的内部组合比例以及各种证券的价格都随时间在变化。这个资产组合称为自筹资产组合。
同样，为了说明自筹资原理的应和，我们仍然回到Black-Scholes的期权定价方式上去。假定有一个自筹资资产组合M，它包括了基础证券（股票）、衍生证券（期权）和无风险债券。设Qs与Qc表示在这个组合中股票与期权的单位个数，令M s(t)与Mc(t)为相应于Qs与Qc的货币量，B(t)为无风险债券的价值，那么在时刻t净投资为零的条件可以表示为：
M(t)=Ms(t)+Mc(t)+B(t)=Qs(t) ·s+Qc(t) ·c+B(t)=0 （29）
这里M(t)是这个资产组合的价值。现在假定股票价格s、期权价格c满足方程（9）、（10），因此，由Ito定理，它们也应当满足方程（12）、（13）。并且由于B(t)是无风险债券，它的收益率等于无风险利率，所以我们有：
（12）
（13）
dB(t)=B(t)dt （30）
Merton（1969）就需指出，满足（29）式的资产组合也可以称为套利资产组合，这个套利资产组合的瞬间货币收益dM(t)应当等于下式：
（31）
将方程（9）、（10）代入（31），同时由（29）式知B(t)=－Ms－Mc也代入（31），可以得到：
dM(t)=[(－)Ms+(－)Mc]dt+[Ms+Mc]dz （32）
我们在M资产组合中，选择股票与期权的适当比例，使得：
即
（33）
现在可以得出两个结果：
由于持续的调整股票与期权的比例，因此（32）式右端的第二项为零。因此自筹资资产组合也是一个动态的无风险资产组合。如果它有收益的话，那么是确定性的，而非随机型的。
因为这是无风险的，并且是自筹资的，它没有任何的资金流入与流出，也没有任何净投资，所以非随机收益dM(t)一定义为零。
dM(t)=[(－)Ms+(－)Mc]dt=0 （34）
将（33）代入（34）得：
最后得要的解释动态替代的概念，它是自筹资产资组合的一个变化，或者是（33）式所造择此例的特殊情况。假定我们选择Qc=-1，那么由（33）式与（29）式可知：
c=Qs·s+B(t) （36）
（37）
方程（36）指出了，期权掊位完全可以由在动态自筹资资产组合中的股票与债券代替。这只要根据（37）当固定了Qc=-1后，连续的调整，而这种调整是建立在自筹资基础上的。那么根据非套条件，这个股票与债券资产组合的初始成本应寻于所替代的期权价值。所以这个自筹资资产组合的替代价值就是期权价格。
*本文系国家留学基金（CSC）资助项目“资本市场理论与金融工程”的部分工作（编号97318018）。
－－东北财经大学研究生部 陈廷斌 沈珊珊
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