第四章 动态数列
本章要求
1、动态数列的概念、种类；
2、序时平均数的计算方法；
3、定基发展速度、环比发展速度、定基增长速度、
环比增长速度的概念及其关系；
4、平均发展速度的计算（几何平均法）；
5、长期趋势直线方程的拟合及预测方法；
6、季节变动的测定及预测方法。
掌 握
1、逐期增长量、累计增长量及平均增长量；
2、动态数列变动的四种影响因素；
3、移动平均方法；
4、季节比率调整系数。
理 解
1、年距增长量、年距发展速度、年距增长速度；
2、方程法计算平均发展速度；
3、间距扩大法测定长期趋势。
了 解
第一节 动态数列的编制
第二节 水平分析指标
第三节 速度分析指标
第四节 长期趋势的测定与预测
第五节 季节变动的测定与预测
练 习 题
案例四
案例五
第一节 动态数列的编制
一、概述
1、概念：动态数列（时间数列）是指标数值按时间顺序排列而形成的数列。
例 ：我国国内生产总值（GDP）发展情况
两个要素：
时 间
统计指标数值
年 份 GDP（亿元）
2002 120333
2003 135823
2004 159878
2005 183085
2006 209407
2007 246619
绝对数数列
相对数数列（相对数）：
平均数数列（平均数）：
时期数列
时点数列
二、种类
时间长短应该相等 总体范围要一致
经济内容要一致 计算方法要一致
三、编制动态数列的原则
应结合时期指标和时点指标进行区分；各具有三个特点。
反映比例关系、速度、结构等变化发展关系。
反映一般水平的发展趋势。
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第二节 水平分析指标
一、发展水平
a5
a4
a3
a2
a1
a0
符号
7972
7543
7084
6547
6307
6054
人均GDP
2002
2001
2000
1999
1998
1997
年份
我国人均GDP发展情况 单位：元/人
中间各期水平
最初水平
最末水平
比如：
数列中的具体指标数值为发展水平，可以是绝对数、相对数或平均数。 可以分为：最初水平、最末水平、中间水平、基期水平、报告期水平等。
二、平均发展水平（序时平均数/动态平均数）
与一般平均数的异同：
相同点：都是将个别差异抽象化，概括反映一般水平。
不同点：
1）一般平均数静态说明一般水平，序时平均数动态说明某总体不同时期内发展的一般水平。
2）一般平均数对同一时间的某一数量标志差异抽象化，序时平均数则对不同时间的数量差异抽象化。
对不同时期的发展水平加以平均。
1、由绝对数动态数列计算序时平均数
1）由时期数列计算序时平均数
例
2）由时点数列计算序时平均数
① 由连续时点数列计算序时平均数
例
连续时点数列指的是总期数小于1个月，以天表示。
连续变动时点数列
非连续变动时点数列
例
② 由间断时点数列计算序时平均数
间断时点数列一般以月为期数单位。涉及概念：
期初：每期起始时点，如月初、季初、年初。
期末：每期结束时点，如月末、季末、年末。
显然某一期初数值等于上期期末数值，如4月初等于三月末1月初等于上年末。每期的平均数为:（期初+期末）/2。间断时点时点数列的序时平均数其实是各期平均数的平均。
由间隔相等的间断时点数列计算序时平均数
例
由间隔不等的间断时点数列计算序时平均数
“首末折半法”
例
2、由相对数或平均数动态数列计算序时平均数
① a、b都为时期数列
例
② a、b都为时点数列
例
③ a为时期数列， b为时点数列
例
当a未知时：
当b未知时：
实际计算时，只要先计算分子的序时平均值，再计算
分母的序时平均数，然后两者相除即得到结果。
例
三、增长量
增长量＝报告期水平－基期水平
逐期增长量：以上一期为基期。
累计增长量：以固定期为基期。
一定时期内增长的绝对数量，基本公式：
根据基期选择的不同，可以形成两种增长量：
1、逐期增长量之和等于相应时期的累计增长量，即
2、每两个相邻的累计增长量之差等于相应时期的逐
期增长量，即
逐期增长量和累计增长量的关系如下：
四、平均增长量
例
年距增长量=报告期发展水平—上年同期发展水平
平均每期增长的数量，是逐期增长量的序时平均数。
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第三节 速度分析指标
一、发展速度
根据基期的选择不同，形成两种发展速度：
基本公式：
定基发展速度（总速度）：以固定期为基期，
环比发展速度：以上一期为基期。
两种发展速度之间的关系：
1）定基发展速度是环比发展速度的连乘积，如：
2）相邻定基发展速度之比等于环比发展速度，如：
实际中，常用年距发展速度:
二、增长速度
基本公式：
根据基期的不同：
定基增长速度=定基发展速度—1（100%）
环比增长速度=环比发展速度—1（100%）
注：两种增长速度不存在直接推算的关系，但可间接推算。
年距增长速度=年距发展速度—1（100%）
例
三、平均发展速度
几何平均法
原理：按照平均发展速度，最后一年达到 的水平，即：
整理可得到：
例
四、平均增长速度：
平均增长速度=平均发展速度—1（100%）
定基发展速度
环比发展速度
定基发展速度与环比发展速度的关系
速度动态指标
1·发展速度
计算公式
说明
2·增长速度
环比相乘为定基
相邻定基相除为环比
水平法－－各环比发展速度的几何平均数
方程法－－可查《平均发展速度查对表》
平均增长速度＝平均发展速度－100％
平均速度指标
计算公式
说 明
3·平均发展速度
4·平均增长速度
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第四节 长期趋势的测定与预测
一、时间数列的构成与分解
1．社会经济指标的时间数列包含以下四种变动因素：
（1）长期趋势（T）
（2）季节变动（S）
（3）循环变动（C）
（4）随机变动（I）
可解释的变动
——不规则的不可解释的变动
2．时间数列的模型：
（1）加法模型： Y=T+S+C+I
（2）乘法模型： Y=T · S · C · I（一般使用的模型）
3．时间数列模型 的意义：
将时间数列实际值波动分解为四种因素，可以通过这些因素之间的关系，测定长期的变化方向、季节波动、周期变动等。
一般由于循环变动（周期性变动）理论上没有一个获得广泛认同的说法，所以一般不考虑循环变动，这时候模型变为：
Y=T · S · I
测定长期趋势，就是要消除随机波动和季节变动
同样季节变动和随机变动，可以类似地求得：
二、长期趋势（T）的测定
例
例
1）移动项数为奇数
1、间隔扩大法
2、移动平均法（ＭＡ）
2）移动项数为偶数
新数列项数＝原数列项数－（移动项数-1）
新数列项数＝原数列项数－移动项数
移动项数越多，修匀效果越好，趋势线越平滑。
移动的项数应根据数据资料的特点来确定。
3、最小平方法
1）直线趋势
当逐期增长量大致相等时，则可考虑配合直线趋势方程 ：
令
为了计算更简便，可以对时间t进行假设，令
当时间项数为奇数时t设置为:
∙∙∙,－3,－2,－1，0，1，2，3，∙∙∙
当时间项数为偶数时t设置为:
∙∙∙,－5,－3,－1，1，3，5，∙∙∙
此时：
例
2、抛物线趋势
当二级增长量（逐期增长量的增长量）大致相等时，
则可考虑配合抛物线趋势方程 ：
3、指数曲线趋势
当动态数列的环比发展速度大致相同时，则可考虑对
动态数列拟合指数曲线方程 ：
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第五节 季节变动的测定与预测
一、按月（或按季）平均法
（1）将各年同期的数据排成一列对齐，列成数据表；
（2）将各年同期数值加总，求各年同期平均数；
（3）将所有时期的数值加总，求出全期总平均数；
（4）求同期平均数对全期平均数的比率，称之为季节比率
或季节指数，记为.，其计算公式为：
按月（或按季）平均法不考虑长期趋势，或者认为长期趋势
呈水平。计算步骤如下：
（二）移动平均趋势剔除法
1．除法剔除趋势值求季节比率
2．减法剔除趋势值求季节比率
倘若季节比率之和不等于400%（按季）或1200%（按月），
则需要进行校正：求出校正系数，然后用校正系数去乘季节
比率。校正系数计算如下：
例
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例 题
该企业上半年月平均销售额为万元。
返回
27
35
28
20
36
24
销售额（万元）
6月
5月
4月
3月
2月
1月
月 份
例1 某企业2003年上半年的销售额资料如下：
求该企业上半年月平均销售额。
例2 某企业原材料库存记录显示某原料5月4日至5月10日的库存量分别为30、32、29、28、31、36、25（公斤），计算5月4日至10日的平均库存量。
返回
例3 某企业4月1日有职工300人，4月11日新招进9人，4月16日辞去4人，则该企业4月份平均职工人数为：
该企业4月份平均职工人数为304人
返回
例4 某企业2002年第二季度商品库存额 单位：万元
28
16
20
12
月末库存额
6月
5月
4月
3月
月份
计算第二季度平均商品库存额。
第二季度平均库存额＝
可概括为一般公式：
该企业第二季度平均商品库存额为万元。
返回
209
205
200
208
职工人数
12月31日
11月30日
9月30日
9月1日
日期
例5 某局某年9－12月份职工人数资料
求该局9－12月平均职工人数。
该局9－12月平均职工人数为204人
返回
600
400
150
360
300
120
250
200
125
实际收入（万元）a
计划收入（万元）b
收入计划完成（%）c
三月份
二月份
一月份
月 份
例6 某企业第一季度收入计划完成情况
试计算第一季度平均计划完成程度。
(1)如果b、c项数据已知，而缺少数据a ，则
(2)如果a、c项数据已知，而缺少数据b，则
返回
236
3340
220
2800
164
2460
120
2000
月初管理人员数 a
月初职工总数 b
四月
三月
二月
一月
月 份
例7 某企业管理人员数及职工总数
计算第一季度管理人员占职工总数的平均比重。
返回
1370
1200
1170
1150
总产值（万元） a
月末职工人数（千人） b
六月
五月
四月
三月
月 份
例8 某企业总产值和职工人数
试计算该企业第二季度月平均劳动生产率,第二季度的劳动生产率。
返回
第二季度月平均劳动生产率:
第二季度的劳动生产率:
例9 某企业劳动生产率和工人数，计算第二季度月平均劳动生产率。
2
102
104
2
110
1
100
劳动生产率（万元/人）
月末职工人数（百人）
六月
五月
四月
三月
月 份
b
c
第二季度月平均劳动生产率为万元/人。
返回
企业数
1999
1998
1997
1996
1995
年 份
例10我国外商及港澳台商投资企业数 单位：万个
－
－
累计增长量
逐期增长量
或
外商及港澳台商投资企业数平均每年增加2075个。
返回
2127
1480
1250
832
540
530
产值（万元）
2002
2001
2000
1999
1998
1997
年份
例11 已知某企业1997－2002年的产值，计算该企业产值的（定基和环比）发展速度和（定基和环比）增长速度
返回
101. 9
－
101. 9
100
环比
定基
发展速度（％）
－
环比
－
定基
增长速度（％）
－
环比
100
定基
发展速度（％）
2127
1480
1250
832
540
530
产值（万元）
2002
2001
2000
1999
1998
1997
年份
例12 计算平均发展速度和平均增长速度
（1）若已知最初水平和最末水平
（2）若已知各期环比发展速度
（3）若已知总发展速度
返回
平均增长速度为％
平均发展速度为％
－
－
－
－
－
－
22
2003
22
2002
24
2001
22
2000
20
1999
17
1998
17
1997
MA（5）
MA（3）
产量（万元）
年份
例13 移动项数为奇数的移动平均法：
返回
－
－
－
－
－
－
22
2002
22
2001
24
2000
22
1999
20
1998
17
1997
17
1996
19
1995
移正平均
MA（4）
产量（万元）
年份
例14 移动项数为偶数的移动平均法：
返回
要求：（1）用最小平方法配合适当的直线方程。
（2）预测2008年该大队的粮食产量。
例15 某村2003年－2007年粮食产量如下：单位：万吨
65
10
0
80
4
2
35
1
1
0
0
0
-20
1
-1
-30
4
-2
t
138
合计
40
2007
35
2006
28
2005
20
2004
15
2003
y
年份
2008年时t＝3，粮食产量为：
返回
例16 某厂羊毛衫销售量季节比率计算表 单位：万件
2084
1032
66
237
749
合计
552
720
812
255
378
399
18
22
26
63
75
99
216
245
288
2001年
2002年
2003年
合计
第四
季度
第三
季度
第二
季度
第一
季度
季度
年份
假设已知2004年第二季度的羊毛衫销售量为120万件，预测2004年第四季度羊毛衫的销售量。
344
22
79
.（%）
季平均数
返回
练 习
250
272
270
320
380
360
400
1850
2050
1950
2150
2210
2180
2250
1
2
3
4
5
6
7
产值（万元）
月初职工人数（人）
月份
要求：（1）分别计算一季度月平均劳动生产率
和二季度月平均劳动生产率。
（2）分别计算一季度和二季度的劳动生产率。
（3）计算上半年的月平均劳动生产率。
（4）计算上半年的季平均劳动生产率。
（5）计算上半年平均劳动生产率。
1、 某工厂2003年上半年工人数和产值资料如下：
（2）一季度劳动生产率
二季度劳动生产率
（1）一季度月平均劳动生产率
二季度月平均劳动生产率
（3）上半年月平均劳动生产率
（4）上半年季平均劳动生产率
（5）上半年平均劳动生产率
5
－
逐期
增长量
（万件）
10
－
累计
－
环比
125
－
定基
增长速度（％）
150
－
环比
180
100
定基
发展速度（％）
20
产量（万件）
2003
2002
2001
2000
1999
1998
年份
2、根据已知数据，将所缺空格填齐。
25
36
30
54
45
5
125
125
25
25
5
150
120
50
20
6
16
120
80
20
18
34
270
170
50
-9
25
225
3、已知某社区人口数99年比98年增长20％，00年比98年增长30％，01年比99年增长25％，02年比01年增长10％，03年比00年增长50％，根据以上资料编制1998－2003年的发展速度数列（定基和环比）和增长速度数列（定基和环比） ，并求平均增长速度。
10
20
－
95
65
50
30
20
－
110
120
－
195
165
150
130
120
100
环比
定基
增长速度（％）
环比
定基
发展速度（％）
2003
2002
2001
2000
1999
1998
年份
平均增长速度为：
平均发展速度为：
解：
直线方程为：
4、试拟合直线方程并预测2004年的产值。
2004年t =9，代入直线方程：
2101
286
281
276
262
257
252
246
241
Y
∑
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
年份
567
2002
1405
828
262
-257
-756
-1230
-1687
168
49
25
9
1
1
9
25
49
0
7
5
3
1
-1
-3
-5
-7
t
5、某商场三年空调销售额资料如下（万元）
140
600
110
190
2003
120
550
100
180
2002
100
500
120
200
2001
四
三
二
一
季度
年份
1）计算各季度的季节比率；
2）已知2004一季度销售额为210万元，预测2004年空
调的总销售额；
季节比率%
400
校正后的季节比率%
同季平均
同期合计
140
600
110
190
2003
120
550
100
180
2002
100
500
120
200
2001
年合计
四
三
二
一
季度
年份
570
330
1650
360
920
950
1040
2910
190
110
550
120
1）
将四个季节比率相加，之和为%，不等于400%，因此进行调整
2）
2004年平均每季度的销售额预测为：
