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非高斯随机分布系统的最小熵容错控制#
姚利娜，冯龙*
基金项目：国家自然科学基金(61104022)
作者简介：姚利娜（1977-），女，郑州大学副教授，研究方向为动态系统的故障诊断与容错控制、随机分
布控制、混沌控制与同步等
（郑州大学 电气工程学院，河南 郑州 450001）
摘要：针对有理平方根 B 样条逼近的非高斯随机分布系统，提出了一种基于非线性自适应5
观测器的故障诊断方法。不仅拓宽了自适应诊断观测器在随机分布控制中的应用范围，而且
能有效地诊断出随机分布系统的故障。对非高斯随机分布系统，当目标概率密度函数未知时，
采用具有均值约束的熵性能指标，将该性能指标极小化并利用故障诊断的结果对控制器进行
重组，使故障发生后系统输出的不确定性最小化，实现了非高斯随机分布系统的最小熵容错
控制。最后，计算机模拟结果表明所提出的方法的有效性. 10
关键词：控制理论与控制工程；有理平方根逼近；随机分布系统；观测器；熵；故障诊断；
容错控制
中图分类号：TP13
Minimum Entropy Fault Tolerant Control for 15
Non-Gaussian Stochastic Distribution Systems
YAO Lina, FENG Long
(School of Electricall Engineering，Zhengzhou university，Zhengzhou 450001，China)
Abstract: A nonlinear adaptive observer based fault diagnosis method is proposed for the stochastic
distribution system based on the rational square-root approximation, which not only can broad the 20
scope of applying the adaptive observer to the stochastic distribution system, but also can diagnose the
fault of the stochastic distribution. When the objective probability density function is not known in
advance, a performance index with regard to the entropy under mean constraint is presented. The
controller is reconfigured using the fault estimation information and minimizing such a performance
index to make the output uncertainty of the system be minimized. Then the mimimum entropy fault 25
tolerant control of the stochastic distribution system based on the rational square-root approximation is
realized.
Key words: Control Theory and Control Engineering; Rational Square-root Approximation; Stochastic
Distribution; Observer, Entropy; Fault Diagnosis; Fault Tolerant Control
30
0 引言
随着当前控制系统的发展，复杂系统的可靠性和安全性越来越多地引起了人们的重视，
成为设计和评价系统的重要指标[1-3]。在实际工业中，一些系统的输出为系统输出的概率密
度函数(PDF)，而不是实际的输出值，因此称这类系统为随机分布系统。王宏教授于 1996
年提出了随机分布控制的概念[4]-[5]，控制的目标是整个系统输出概率密度函数的形状跟踪给35
定概率密度函数，并建立了多种控制方法，克服了随机系统一般控制方法对不满足高斯输入
假设的随机系统将不再能控制输出概率密度函数形状的缺点。
在随机分布控制系统中，通常采用 B 样条函数逼近的方法来描述输出 PDF，随机系统
的输出可以表示成预先给定 B样条基函数的线性组合[5-9]。在建立随机系统模型之后，考虑
系统发生故障的情况，需进行容错控制控制器设计，选择合适的性能指标则尤为重要。在现40
存的文献中，大部分都是基于控制的目标概率密度函数事先已知，设计的控制器使系统输出
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概率密度函数形状跟踪给定的概率密度函数。然而，目标概率密度函数事先不一定能确定。
当跟踪目标概率密度函数不能预先确定时，将熵的概念引入到随机分布系统的容错控制中，
使系统的输出具有最小的不确定性。在高斯系统中，采用方差来体现系统输出的最小不确定
性，而在一般的非高斯系统中，最小不确定性采用熵来体现，最小熵准则可以作为最小方差45
准则的推广来设计容错控制器[10]。系统无故障时，假设输出的均值已知，选取合适的均值
约束下的性能指标，将该指标极小化后得到的非高斯随机分布系统的最小熵控制器[11-13]。
本文采用基于有理平方根 B 样条逼近的非高斯随机分布系统模型，给出了基于非线性
自适应观测器的故障诊断方法。为使故障发生后系统的输出具有最小的不确定性，根据故障
诊断的结果，利用具有均值约束的熵性能指标，将该性能指标极小化并考虑故障的影响，对50
控制器进行重组。在重组控制律的作用下，系统的输出仍有最小的不确定性，实现有理平方
根逼近的非高斯随机分布系统的最小熵容错控制。
1 系统模型描述
记 ( ) [ , ]t a bη ∈ 为一致有界随机过程并假定其为随机系统在 t时刻的输出，并记 ( )u t 为
具有合适维数的控制 ( )tη 的控制输入向量。在任意时刻， ( )tη 的分布可以用它的条件概率55
密度函数 ( , ( ))y u tγ 来表示，其定义式如下：
( ( ) | ( )) ( , ( ))
b
a
P a t u t y u t dyη ε γ≤ < = ∫
其中 ( ( ) | ( ))P a t u tη ε≤ < 表示系统在 ( )u t 作用下输出 ( )y t 落在区间 [ , )a ε 内的概率；即
( )tη 的概率密度函数 ( , ( ))y u tγ 的形状可由 ( )u t 控制。假设区间 [ , ]a b 确定，输出概率密
度函数 ( , ( ))y u tγ 连续且有界，由 B 样条逼近原理可知，可以用有理平方根 B 样条模型60
逼近概率密度函数 ( , ( ))y u tγ ，其表示如下：
1 , 1
( )( , ( )) ( ) ( ) ( ) , [ , ]
n n b
i i i j i j Ta
i i j
C y Vy u t B y B y B y dy y a b
V EV
γ ω ωω
= =
= = ∀ ∈∑ ∑ ∫ (1)
其中： ( )( 1,2, , , 2)iB y i n n= ≥" 是预先指定的基函数， ( 1,2, , )i i nω = " 是仅和控制输入
( )u t 相关的逼近权值， n是基函数的个数， ( ), ,C y E V 表示如下：
[ ] 11 2( ) ( ), ( ),... ( ) nnC y B y B y B y R ×= ∈ 65
1 2
( ) ( )
[ , , , ] 0
b T
a
T
n
E C y C y dy
V Vω ω ω
=
= ≠
∫
"
考虑权值与控制输入的非线性动态关系，可表示为如下的非高斯非线性随机分布系统：
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
( )( , ( ))
T
x t Ax t Hg x t Bu t Gf t
V t Dx t
C y Vy u t
V EV
γ
= + + +
=
=
�
(2)
其中， nx R∈ 表示状态向量， ( ) nV t R∈ 表示输出权值向量， ( ) mu t R∈ 表示控制输入向量，
1lf R ×∈ 表示故障向量。 m mA R ×∈ , m pB R ×∈ , n mD R ×∈ , m mH R ×∈ 和 m lG R ×∈ 分别代表系70
统的参数矩阵。对于非线性部分，给出如下假设：
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假设 1非线性函数 ( ( ))g x t 关于其自变量满足全局 Lipshitz条件，即：
( ) ( )i j x i jg x g x m x x− ≤ −
其中， xm 是 Lipshitz常数。
2 故障检测 75
故障检测的目的是利用系统的输入向量 ( )u t 和输出概率密度函数 ( , ( ))y u tγ 来检测
故障 F ，为此，构造如下故障检测观测器：
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )x t Ax t Hg x t Bu t K tε= + + +� (3)
( )ˆ( ) ( , ( )) ( , ( ))bat y u t y u t dyε γ γ= −∫
ˆ( ) ( )ˆ( , ( ))
ˆ ˆT
C y V ty u t
V EV
γ = (4) 80
其中， ˆ( ) mx t R∈ 是估计的系统状态， ( )tε 为观测器的残差信号， 是观测器的增益矩阵。
记误差状态向量为：
ˆ( ) ( )e x t x t= −
残差信号可以计算如下：
ˆ( ) ( )
b
a
t dyε γ γ= −∫ 85
ˆ( ) ( )
ˆ ˆ
b
Ta T
C y V C y V dy
V EVV EV
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫
ˆ ˆ ˆ ˆ TT T
De V V
V EVV EV V EV
Σ Σ Σ= + − (5)
其中， ( )
b
a
C y dyΣ = ∫ 。由式(2)和(3)可得如下误差动态系统：
ˆ ˆ( ) ( ) [ ( ( )) ( ( ))] ( )
ˆ [ ( ( )) ( ( ))] ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ TT T
e x t x t Ae H g x t g x t K Gf t
K De V VAe H g x t g x t K Gf t
V EVV EV V EV
ε= − = + − + −
⎛ ⎞Σ Σ Σ= + − + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �
(6)
假定选择基函数 ( )iB y 使 ( , )A Σ 是可观测的。选择合适的增益矩阵 使矩阵M A L D= + Σ 是90
Hurwitz的。
引理 1[9] 存在一个 1 2{ | }T Tλ λ λ= ≤ ≤ 使得下面等式成立：
ˆ ˆ ˆ ˆ( )T T T TV EV V EV V V V Vλ− = −
其中
1 min max
2 max min
( ) / ( )
( ) / ( )
T E E
T E E
λ λ
λ λ
=
= 95
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max ( )Eλ 和 min ( )Eλ 分别是 E的最大特征值和最小特征值。
定理 1 如果存在两个正定对称矩阵 P和Q满足下列等式
, 0, 0T T TM P PM Q P P Q Q+ = − = > = > (7)
则观测误差系统是渐近稳定的。
证明：当无故障发生时， 0F = 取
ˆ ˆT
KL
V EV
= ，误差动态系统可进一步表示为 100
1
ˆ( )
ˆ( ) [ ( ( )) ( ( ))]
T
V V
e A L D e H g x t g x t L V
V EV
λ −= + Σ + − + Σ�
取如下 Lyapunov函数
1
2
Te Peπ =
对该 Lyapunov函数求一阶导数可得到
1
2
22
min
1 1
2 2
ˆ( )1 ˆ [ ( ( )) ( ( ))]
2
1
2
21 ( ) 2
2
T T
T T T
T
T T
x
x
e Pe e Pe
V V
e Qe e PH g x t g x t e PL V
V EV
T e PL V D e
e Qe e PHm e
V E
T PL D
Q PH m e
E
π
λ
λ
= +
−= − + − + Σ
Σ≤ − + +
⎛ ⎞Σ⎜ ⎟≤ − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
� � �
105
当如下条件满足时
2
min
2
( ) 2 x
T PL D
Q PH m
E
λ Σ≥ +
并且系统不发生故障时， 0π <� ，这表明当系统无故障时，误差系统是渐近稳定的。证
毕。
因此 ε τ> 时，表明故障已经发生( 0F ≠ )，这里τ 是一预先指定的阈值。 110
3 故障诊断
一旦系统故障被检测出来，就需要对系统进行故障诊断以估计故障的大小。为此，构造
诊断观测器形式如下：
ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ( ) ( )
( ) ( )
m m m d m
m m
b
m ma
x t Ax t Hg x t Bu t K t t Gf t
V t Dx t
t dy
ε
ε γ γ
= + + + +
=
= −∫
�
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( )( , ( )) mm T
m m
C y Vy u t
V EV
γ = (9) 115
这里， fˆ 是故障的估计值，设系统状态误差 ˆmx x x= −� ，取 ˆf f f= −� ，残差信号可以表
示为：
( ) ( )
b
m m T T Ta
m m m m
Dx V Vt dy
V EV V EV V EV
ε γ γ Σ Σ Σ= − = + −∫ � (10)
取 d
T
m m
KL
V EV
= ，则动态误差系统可以进一步表示为：
2
ˆ ˆ[ ( ( )) ( ( ))] ( ) ( ) ( )
( )
ˆ ( ) [ ( ( )) ( ( ))] ( )
m m d
m
m T
x x x Ax H g x t g x t Gf t K t t
V V
A L D x H g x t g x t Gf t L V
V EV
ε
λ
= − = + − + +
−= + Σ + − + + Σ
��� � �
�� (11) 120
其中，选择合适的增益矩阵 L使 A L D+ Σ 为 Hurwitz矩阵。
定理 2 对于观测误差系统(11)，如果存在两个正定矩阵 P和Q满足下式
1 1( ) ( )
TA L D P P A L D Q+ Σ + + Σ = −
假设故障的上界为
2
M （即
2
Mf ≤� ），并取如下的 f�的自适应调节率：
ˆ ˆ( )
2
ˆ ˆ0
2
T
m m m
df MV EV t f
dx
df Mf
dx
ε ⎛ ⎞= −Γ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
125
则上述观测误差系统是稳定的。
证明：选择如下的 Lyapunov函数
1
1 1
2 2
T Tx Px f fπ = + � �� �
对该 Lyapunov函数求一阶导数
1 1 1
2
1 1
2
1 1 1 1
2
1 ˆ[( ) ( )] ( ( ( )) ( ( )))
2
( )
( )1 ˆ[ ( ( )) ( ( ))]
2
( )
T T T T
mT T T T
T
mT T T T T T
m T
mT T
T
x A L D P P A L D x g x t g x t H Px
V V
f G Px x PL V f f
V EV
V V
x Q x g x t g x t H Px f G Px x P V
V EV
V V
f Dx f V
V EV
π
λ
λ
λ
= + Σ + + Σ + −
−+ + Σ +
−= − + − + + Σ
−− ΓΣ − ΓΣ
≤ −
� � � �
�� � �� �
�� � � � �
� ��
21 2 2
min 1 1 1
21 ( ) 2
2
T
x
PL D T D T
Q PH m x f G P D x
E E
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ ΓΣ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + −ΓΣ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�� �
130
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2
1 2x xδ δ= − +� �
其中
1 2
1 min 1 1
2
2 1
21 ( ) 2
2 x
T
PL D T
Q PH m
E
D T
G P D
E
δ λ
δ
⎛ ⎞Σ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
ΓΣ= −ΓΣ +
假设故障的上界为已知的
2
M ，通过自适应率可使
2
Mf ≤� ，则有
2 2 2
2 2
1
1 2
0
2 4m
M Me δ δπ δ δ δ
⎛ ⎞≤ − − + <⎜ ⎟⎝ ⎠
� 135
因此，当 2 1 1
1
( )
2m
M
e
δ δ δ
δ
+≥ 时， 0π <� 。这表明当系统无故障时，上述诊断观测误差系
统是稳定的。
4 最小熵容错控制
当故障诊断出后，需要调整无故障时的控制器来补偿由故障引起的系统性能损失，即实
现容错控制。对系统(2)，采用如下的性能评价指标： 140
( )
( )
2
2 2
2
1( ( )) ( , ( ))ln ( , ( )) ( ) ( )
2
( ) ( ) 1 ln ( ) ( )
2
b T
g a
b T
g T Ta
J u t y u t y u t dy u t Ru t
C y V C y V dy u t Ru t
V EV V EV
μ μ γ γ
μ μ
= − − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
∫
式中，第一项表示输出变量均值 μ和目标均值 gμ 的差；第二项为输出变量的香农熵；最
后一项是对系统的输入能量限制，且 0TR R= > 。
为使性能指标函数最小化，可以选择控制u使得 J 单调不增，即保持 0dJ dt < ，可计
算得性能指标的一阶导数如下： 145
2( ) ( , ( ))( ) ( ) [ln ( , ( )) 1]
bg T
a
dJ y u tV u t Ru t V y u t dy
dt V V
μ μ γ γ∂ − ∂= + − +∂ ∂∫� ��
选择如下的控制：
2( )( , ( ))( ) ( )= [ln ( , ( )) 1]
b gT
g a
y u tu t Ru t y u t dy V
V V
μ μγλ μ μ γ⎛ ⎞∂ −∂− − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ��
式中 0λ > ，故有：
0g
dJ
dt
λ μ μ= − − < 150
因此，闭环系统的稳定性得到保证。其中，
[ ( ) ] [ ( ) ]( , ( ))
T T
T
V C y C y Vy u t
V EV
γ ⋅=
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2
( , ( )) 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
( )
T T T T
T
y u t V EV V C y C y V V E
V V EV
γ∂ ⋅ ⋅ ⋅=∂
( , ( ))
[ ( ) ] [ ( ) ]
( ) ( )
b
a
T Tb
Ta
bT T
a
T
y y u t dy
V C y C y Vy dy
V EV
V yC y C y dyV
V EV
μ γ=
⋅=
=
∫
∫
∫
2
2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
( )
b bT T T T T T
a a
T
V EV V yC y C y dy V yC y C y dyV V E
V V EV
μ ⋅ − ⋅∂ =∂
∫ ∫ 155
综上可得：
2
2
( ) ( ) ( , ( ))
2( ) [ ( ) ] ( ) 2[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) (ln ( , ( )) 1)
( )
2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2( )
( )
bT
ga
T T T T T Tb
Ta
b bT T T T T T
a a
g T
u t Ru t y y u t dy
V EV V C y C y V C y C y V V E y u t dy V
V EV
V EV V yC y C y dy V yC y C y dyV V E
V
V EV
λ γ μ
γ
μ μ
= − −
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅+ + ⋅
⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟− − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
∫ ∫
�
�
�
其中，当系统无故障时，取
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )V t Dx t DAx t DHg x t DBu t= = + +� �
当系统发生故障时， 160
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )V t Dx t DAx t DHg x t DBu t DGf t= = + + +� �
得到重构控制器如下：
2
( ) ( ) ( , ( ))
2( ) [ ( ) ] ( ) 2[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) (ln ( , ( )) 1)
( )
[ ( ) ( ( )) ( ) ( )
2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (
2( )
bT
ga
T T T T T Tb
Ta
b bT T T T T T
a a
g
u t Ru t y y u t dy
V EV V C y C y V C y C y V V E y u t dy
V EV
DAx t DHg x t DBu t DGf t
V EV V yC y C y dy V yC y C y dyV V E
λ γ μ
γ
μ μ
= − −
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅+ +
⋅ + + +
⋅ − ⋅− − ⋅
∫
∫
∫ ∫
�
2
)
( )
[ ( ) ( ( )) ( ) ( )]
TV EV
DAx t DHg x t DBu t DGf t
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅ + + +
(12)
5 计算机仿真举例
为了进一步说明上述方法，考虑一个随机系统，其输出概率密度函数可以由如下的 B165
样条函数 ( )( 1,2,3)iB y i = 来逼近。
3 2 3 23 9 9 5 7 51 1
1 1 26 2 2 2 2 2 2 6
3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1
3 42 2 2 6 6 2 2 6
( ) ( ) ( )
( ) ( )
y y y y I y y y I
y y y I y y y I
φ = + + + + − − − −
+ + − + + − + − +
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3 2 3 21 4 1 2
2 2 36 3 2 3
3 2 3 21 2 1 4
4 52 3 6 3
( ) ( 2 ) ( )
( ) ( 2 )
y y y y I y y I
y y I y y y I
φ = + + + + − − +
+ − + + − + − +
3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1
3 3 46 2 2 6 2 2 2 6
3 2 3 25 7 5 3 9 91 1
5 62 2 2 6 6 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
y y y y I y y y I
y y y I y y y I
φ = + + + + − + + +
+ − + − + − + − +
其中 ( 1,2,3,4,5,6)iI i = 是分段函数，定义如下： 170
1 [ 4, 3]
( ) 1, 2,3,4,5,6
0 otherwise i
y i i
I y i
∈ − −⎧= =⎨⎩
假定系统参数如下：
1 1 0
, , , ,
5 1 0
1
A B G D H
⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
F 代表系统的故障， 0F = 表示系统正常工作。假设构造系统的故障为
0 5s
1 5s
t
F
t
<⎧= ⎨ ≥⎩ 175
采样步长设为 。取 为[;]，使 A L D− Σ 为 Hurwitz矩阵。
故障诊断的结果如图 1所示，可以看出，故障估计能够跟踪实际故障值，表明故障诊断
算法是有效的。
当系统正常工作时，输出概率密度函数和输出熵的结果如图 2 和图 4 所示；当系统在
5s后发生故障时，根据式(12)进行控制器重构。在重构控制器的作用下，系统输出熵的变化180
曲线如图 5所示，可以看出重构控制器能使系统输出的不确定性越来越小；从图 3可以看出
故障发生后的输出概率密度函数仍然能够跟踪不存在故障时的概率密度函数，从而得到较好
的容错控制。
图 1 故障与故障估计值 185
Fig. 1 Fault and fault estimation
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图 2 无故障时的输出 PDF
Fig. 2 Output PDF when no fault occurs
190
图 3 容错控制时的输出 PDF
Fig. 3 Output PDF when fault-tolerant control
图 4 无故障时熵的输出曲线
Fig. 4 Response of Entropy when no fault occurs 195
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图 5 容错控制时熵的输出曲线
Fig. 5 Response of Entropy when fault-tolerant control
6 结论
本文对基于有理平方根 B 样条逼近的非高斯随机分布系统，构造了非线性自适应故障200
诊断观测器，能有效地诊断出该随机分布系统的非期望故障变化。当系统故障发生后，采用
具有均值约束下关于熵的性能指标，对控制器进行重组，使得故障发生后的系统输出的不确
定性仍能极小化，实现了随机分布系统的最小熵容错控制。计算机仿真验证了所提出的最小
熵容错控制算法的有效性。
205
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