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基于灰色关联分析和熵的区间数多属性决策方法
卫贵武1,2
1.西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031）
2.川北医学院数学系，四川南充（637007）
摘 要：利用评价人员对决策方案给出的区间数属性值与理想区间数属性值之间的相对关联
度和属性权系数的随机性，给出了一种区间数多属性决策方法。利用优化方法建立数学模型，
以实际属性值与理想属性值之间关联度最大和权系数信息熵最大化为优化目标，用拉格朗日
乘子法给出模型的最优解，得到属性的权系数。该方法能够结合决策者的主观意志和客观事
实，精确确定各属性的权系数。
关键词：多属性决策，理想区间数，信息熵，属性权系数，灰色关联分析
中图分类号：C931 文献标识码：A
1. 引 言
近20年来，多属性决策问题的决策理论
与方法已成为决策科学、系统工程、管理与
运筹等领域研究的热点。在实际工作中，由
于测量误差，以及对研究对象认识不够深入
和客观情况的复杂性等因素，使得人们往往
不能确定各方案在评价属性下的精确取值，
但却能确定一个大致的变化范围。在现实生
活中，经常会遇到属性权重信息不完全且属
性值确定或者属性权重信息和属性值信息
都不完全的情形[1-4]，而针对这类具有不完
全信息的多属性决策问题的研究已经引起
了有关学者的重视。解决这些问题的一个重
要的因素是如何属性的权系数。目前关于权
系数的确定通常有两种方法：主观赋权法和
客观赋权法。前者是由评价人员根据主观上
对各指标的重视程度来决定权系数的一类
方法，常见的有专家调查法和AHP。后者则
是指利用指标值所反映的客观信息确定权
系数的一种方法，其原始数据由各指标在被
评价对象中的实际数据形成,常见的有主成
份分析法、离差最大化法、熵值法[5-6]。这
两类方法各有优缺点：主观赋权法解释性强,
但客观性较差；客观赋权法确定的权系数虽
然大多数情况下客观性较强，但有时会与各
指标的实际重要程度相悖，而且解释性较
差，对所得的结果难以给出明确的解释。
实际生活中在对某问题进行评价之前,
人们根据理论和实践能够构造一个同类问
题中综合评价值已被公认为最好的方案,称
之为正理想方案。利用理想方案研究多属性
决策,已经出现了许多很好的成果[7-9],并且
还有文献是对待评方案与理想方案进行比
较后得出属性权系数[4],具有一定的有效性。
但从数理统计的观点来看,在现实系统中,各
属性的真实权系数可认为是一个随机变量。
在上述区间数多属性决策的文献中都没有
考虑随机性带来的不确定性影响。本文结合
文献[10]的思想,对于区间数多属性决策问
题,综合考虑利用区间理想方案计算权系数
的优越性和权系数的随机性,引入Shannon熵
[11]来描述权系数的不确定性,给出一种新的
计算属性权系数的方法。该方法以优化理论
和Jaynes最大熵原理[11]为依据,建立了确定
指标权系数的教学模型,并给出了模型的精
确解。最后通过实例说明了此方法既保留了
理想方案的有效性,又具有更高的可靠性。
2. 区间数多属性决策模型
假设区间数多属性决策问题，有m个可
行方案 1 2, , , mA A AL ， n个评价属性
1 2, , , nG G GL ， ( )1 2, , , Tnw w w w W= ∈L
表示评价属性的权重向量，其中 jw 表示属
性 jG 的权重，满足 1
1
n
j
j
w
=
=∑
和 0jw ≥ ，
1,2, ,nL 。方案 iA在评价属性 jG 下的属性
-2-
值为区间数 ,
L R
ij ija a⎡ ⎤⎣ ⎦，属性区间数决策矩阵
A为：
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
, , ,
, , ,
, , ,
L R L R L R
n n
L R L R L R
n n
L R L R L R
m m m m mn mn
a a a a a a
a a a a a a
A
a a a a a a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
L
L
K L L L
L
用区间数运算规则，将决策矩阵进行规
范化处理[9]。
对于效益型属性有：
( )
( )
2
1
2
1
m
L L R
ij ij ij
i
m
R R L
ij ij ij
i
b a a
b a a
=
=
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
∑
∑
对 于 成 本 型 属 性 有 ：
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
1
1 1
1 1
m
L R L
ij ij ij
i
m
R L R
ij ij ij
i
b a a
b a a
=
=
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
∑
∑
1, 2, ,i m= L ， 1,2, ,j n= L 。 (1)
规 范 化 后 的 矩 阵 记 为 ：
( ),L Rij ij m nB b b ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦
设第 i种方案的综合评价值为 ( )iz w% ，
则
( )
1
,
n
L R
i j ij ij
j
z w w b b
=
⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦∑%
(2)
其中 ( )iz w% 是一个区间数，区间数之间的比
较可根据下述定义的可能度来进行。
定义 1 设 ,
L Ua a a⎡ ⎤= ⎣ ⎦% ， ,
L Ub b b⎡ ⎤= ⎣ ⎦% ，记
( ) U Ll a a a= −% ， ( ) U Ll b b b= −% ，则称
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
max 0, max 0, U Ll a l b b a
a b
l a l b
ρ + − −≥ = +
%%
%% %%
(3)
为 a b≥ %% 的可能度[12]。
根据上述定义，可以得到 ( )iz w% 之间的
可 能 度
( ) ( )( ), , , , 1, 2, ,ij i jp p z w z w i j mν ν= ≥ =% % L
， 并 建 立 可 能 度 互 补 判 断 矩 阵
( )ij m mP p ×= ，利用式[12]
( ) 1
1 1 , 1, 2, ,
1 2
m
i ij
j
mc p i m
m m =
⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑ L
. (4)
可以得到可能度矩阵P的排序向量
( )1 2, , , mC c c c= L 。
3. 确定指标权重向量
依据传统灰色关联分析方法的基本思
想[13]，给出解决区间数多属性决策的灰色关
联分析方法。
首先，确定正理想点。
正理想点为：
, max ,maxL R L Rj j ij iji iy y y b b
⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
其次，计算各可行方案对于正理想点的灰色
关联系数。
1 1 1 1
1 1
minmin , , maxmax , ,
, , maxmax , ,
L R L R L R L R
j j ij ij j j ij iji m j n i m j n
ij L R L R L R L R
j j ij ij j j ij iji m j n
y y b b y y b b
V
y y b b y y b b
ρ
ρ
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
其中，区间数间距离计算公式为[4]
( ) ( )2 2, ,L R L R L L R Rj j ij ij j ij j ijy y b b y b y b⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1, 2, ,i m= L ， 1,2, ,j n= L 。式中, ρ 为分
辨系数， [ ]0,1ρ ∈ ，一般取 ρ = 。
最后，计算各可行方案对于正理想点的关联
度。
1
n
i ij j
j
V V w
=
= ∑
， 1,2, ,i m= L .
为了得到 iV ，需要事先确定属性权重
-3-
jw 。多属性决策的一个目的，就是要确定
一个合理的属性权重系数，对所有属性来
说，使所有待评方案对于正理想点的关联度
最大。为此，可建立下列多目标最优化模型。
1
max
n
i ij j
j
V V w
=
=∑
， 1,2, ,i m= L . (5)
1
. . 1, 0, 1, 2, , .
n
j j
j
s t w w j n
=
= ≥ =∑ L
由于各个方案是公平竞争的，不存在任
何偏好关系，可将上面的多目标优化问题转
化为如下单目标最优化问题。
1 1
max
m n
ij j
i j
D V w
= =
= ∑∑
(6)
1
. . 1, 0, 1, 2, , .
n
j j
j
s t w w j n
=
= ≥ =∑ L
同时由于各属性的真实权实数是一个
随机变量，具有不确定性。由于属性权重满
足 1
1, 0, 1,2, ,
n
j j
j
w w j n
=
= ≥ =∑ L
。因此可
将权系数 jw 理解为第 j 个属性 jG 在属性
集中所占比重（“概率”），这样就可以用
Shannon信息熵[11]
1
ln
n
j j
j
H w w
=
= −∑
(7)
来表示属性权系数的不确定性。
多属性决策的另一个目的就是尽量消
除各指标权系数的不确定性，根据 Jaynes
最大熵原理 [11]，确定的属性权系数应使
Shannon熵取极大，
1
max ln
n
j j
j
H w w
=
= −∑
(8)
1
. . 1, 0, 1, 2, , .
n
j j
j
s t w w j n
=
= ≥ =∑ L
为达到上述两个目的，求解权向量w就
等价于求解如下最优化问题。
( )
1 1 1
max 1 ln
m n n
ij j j j
i j j
u V w u w w
= = =
− −∑∑ ∑
(9)
1
. . 1, 0, 1, 2, , .
n
j j
j
s t w w j n
=
= ≥ =∑ L
其中u为正参数，满足0 1u< < ，用来表示
上述两个目标之间的平衡系数，可根据实际
问题给出。下面求解优化问题。先构造
Lagrange函数
( )
1 1
,
m n
ij j
i j
L w u V wλ
= =
= −∑∑
( )
1 1
1 ln 1
n n
j j j
j j
u w w wλ
= =
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (10)
根据极值存在的必要条件，有
( )( )
1
1 ln 1 0
m
ij j
ij
L u V u w
w
λ
=
∂ = − − + − =∂ ∑
1
1 0
n
j
j
L wλ =
∂ = − =∂ ∑
从而解得权重向量w：
( )
( )
1
1 1
exp 1 1
exp 1 1
m
ij
i
j n m
ij
j i
u V u
w
u V u
=
= =
⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑ ∑
，
1, 2, ,j n= L . (11)
综上所述可以得到基于区间数属性值
和信息熵的多属性决策方法的计算步骤如
下：
第一步，建立属性区间数决策矩阵 A，并利
用(1)式求出规范化决策矩阵B；
第二步，利用(11)式求出各属性的权重向量
w；
第三步，利用(2)式求出各方案的综合评价值
为 ( )iz w% ；
第四步，利用(3)式求出 ( )iz w% 之间的可能
度，并建立可能度矩阵P。
第五步，利用(4)式求出可能度矩阵 P的排
-4-
序向量 ( )1 2, , , mC c c c= L ；
第六步，按C的分量的大小对方案进行排
序，即得到最优方案。
4. 算 例
现用文献[14]的算例来说明本文提出的
方法。考虑一个大学的学院评估问题。某大
学将采用教学(G1)，科研(G2)和服务(G3)3个
属性作为评估属性，对其 5个学院（Ai,
i=1,2,…,5）进行评估。
规范化决策矩阵 B为：
[,][,][,]
[,][,][,]
[,][,][,]
[,][,][,]
[,][,][,]
B
⎛⎜
=
⎝
⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎠
(1) 由第二步，求各属性的权重向量w
先确定正理想点。
( )[,][,][,]y =
计算各方案对正理想点的区间数灰色关联
系数。
( )
5 3
ijV V ×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
由式(11)，解得权重向量(其中 = )：
( ),, =
(2) 由第三步，求出各方案的综合评价值为
( )iz w%
( ) [ ] ( ) [ ]1 , , , w z w= =% %
( ) [ ] ( ) [ ]3 , , , w z w= =% %
( ) [ ]5 , w =%
(2) 利用式(3)求出 ( )iz w% 之间的可能度，并
建立可能度矩阵P。
P
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
（4）利用(4)式求出可能度矩阵P的排序向
量
[ ],,,, =
可见在这 5个学院中，排序结果为：
2 3 1 5 4A A A A Af f f f . 因此 2A 学院
最优。
5. 结 语
本文利用评价人员对决策方案给出的
区间数属性值与理想区间数属性值之间的
关联度为最大和属性权系数的随机性，给出
了一种新的区间数多属性决策的赋权方法。
该方法以优化理论和Jaynes最大熵原理为依
据，以待评方案对于理想方案的关联度和权
系数信息熵为优化目标，建立了数学模型，
并给出了精确解。从实例可以看出本文给出
的方法求解简单，易于编程实现，可信度高。
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The Method for Interval multi-attribute decision-making
based on the Grey Relational Analysis Method and Entropy
Wei Guiwu 1,2
of Economics and Management,Southwest Jiaotong University, Chengdu,
China (610031)
of Mathematics, North Sichuan Medical College, Nanchong,China (637007）
Abstract
A new method of interval multi-attribute decision-making is presented. Applying the relative relational
degree between real attribute interval and ideal interval of decision projects and the randomicity of
attribute weight coefficients, a new mathematical programming model is established. The objective is
to maximize the relational degree of real attribute value and ideal attribute value and to maximize the
entropy of weights of each attribute. The optimal solution is the best attribute weight coefficients,
which is solved by the Lagrange multiple method. And the exact and reliable decision results
combining the subjectivity and the facts are obtained. Finally, an example demonstrates the validity of
this method.
Keywords: multiple attribute decision-making; ideal interval number; entropy; attribute weight
coefficients; Grey Relational Analysis
