面板数据模型
1．面板数据定义。
时间序列数据或截面数据都是一维数据。例如时间序列数据是变量按时间得到的数据；
截面数据是变量在截面空间上的数据。面板数据（panel data）也称时间序列截面数据（time
series and cross section data）或混合数据（pool data）。面板数据是同时在时间和截面空间上
取得的二维数据。面板数据示意图见图 1。面板数据从横截面（cross section）上看，是由若
干个体（entity, unit, individual）在某一时刻构成的截面观测值，从纵剖面（longitudinal section）
上看是一个时间序列。
面板数据用双下标变量表示。例如
yi t, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T
N 表示面板数据中含有 N 个个体。T 表示时间序列的最大长度。若固定 t 不变，yi ., ( i = 1,
2, …, N)是横截面上的 N 个随机变量；若固定 i 不变，y. t, (t = 1, 2, …, T)是纵剖面上的一个时
间序列（个体）。
图 1 N=7，T=50 的面板数据示意图
例如 1990-2000 年 30 个省份的农业总产值数据。固定在某一年份上，它是由 30 个农业
总产总值数字组成的截面数据；固定在某一省份上，它是由 11 年农业总产值数据组成的一
个时间序列。面板数据由 30 个个体组成。共有 330 个观测值。
对于面板数据 yi t, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 来说，如果从横截面上看，每个变量都有
观测值，从纵剖面上看，每一期都有观测值，则称此面板数据为平衡面板数据（balanced panel
data）。若在面板数据中丢失若干个观测值，则称此面板数据为非平衡面板数据（unbalanced
panel data）。
注意：EViwes 、、 既允许用平衡面板数据也允许用非平衡面板数据估计模型。
例 1（file:panel02）：1996-2002 年中国东北、华北、华东 15 个省级地区的居民家庭人
均消费（不变价格）和人均收入数据见表 1 和表 2。数据是 7 年的，每一年都有 15 个数据，
共 105 组观测值。
人均消费和收入两个面板数据都是平衡面板数据，各有 15 个个体。人均消费和收入的
面板数据从纵剖面观察分别见图 2 和图 3。从横截面观察分别见图 4 和图 5。横截面数据散
点图的表现与观测值顺序有关。图 4 和图 5 中人均消费和收入观测值顺序是按地区名的汉语
拼音字母顺序排序的。
表 1 1999-2002 年中国东北、华北、华东 15 个省级地区的居民家庭人均消费数据（不变价格）
地区人均消费 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
CP-AH（安徽）
CP-BJ（北京）
CP-FJ（福建）
CP-HB（河北）
CP-HLJ（黑龙江）
CP-JL（吉林）
CP-JS（江苏）
CP-JX（江西）
CP-LN（辽宁）
CP-NMG（内蒙古）
CP-SD（山东）
CP-SH（上海）
CP-SX（山西）
CP-TJ（天津）
CP-ZJ（浙江）
资料来源：《中国统计年鉴》1997-2003。
表 2 1999-2002 年中国东北、华北、华东 15 个省级地区的居民家庭人均收入数据（不变价格）
地区人均收入 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
IP-AH（安徽）
IP-BJ（北京）
IP-FJ（福建）
IP-HB（河北）
IP-HLJ（黑龙江）
IP-JL（吉林）
IP-JS（江苏）
IP-JX（江西）
IP-LN（辽宁）
IP-NMG（内蒙古）
IP-SD（山东）
IP-SH（上海）
IP-SX（山西）
IP-TJ（天津）
IP-ZJ（浙江）
资料来源：《中国统计年鉴》1997-2003。
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
CPAH
CPBJ
CPFJ
CPHB
CPHLJ
CPJL
CPJS
CPJX
CPLN
CPNMG
CPSD
CPSH
CPSX
CPTJ
CPZJ
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
IPAH
IPBJ
IPFJ
IPHB
IPHLJ
IPJL
IPJS
IPJX
IPLN
IPNMG
IPSD
IPSH
IPSX
IPTJ
IPZJ
图 2 15 个省级地区的人均消费序列（纵剖面） 图 3 15 个省级地区的人均收入序列（file:4panel02）
图 4 15 个省级地区的人均消费散点图 图 5 15 个省级地区的人均收入散点图（7 个横截面叠加）
(每条连线表示同一年度 15 个地区的消费值) (每条连线表示同一年度 15 个地区的收入值)
用 CP 表示消费，IP 表示收入。AH, BJ, FJ, HB, HLJ, JL, JS, JX, LN, NMG, SD, SH, SX, TJ,
ZJ 分别表示安徽省、北京市、福建省、河北省、黑龙江省、吉林省、江苏省、江西省、辽
宁省、内蒙古自治区、山东省、上海市、山西省、天津市、浙江省。
15 个地区 7 年人均消费对收入的面板数据散点图见图 6 和图 7。图 6 中每一种符号代表
一个省级地区的 7 个观测点组成的时间序列。相当于观察 15 个时间序列。图 7 中每一种符
号代表一个年度的截面散点图（共 7 个截面）。相当于观察 7 个截面散点图的叠加。
图 6 用 15 个时间序列表示的人均消费对收入的面板数据
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
2 4 6 8 10 12 14
CP1996
CP1997
CP1998
CP1999
CP2000
CP2001
CP2002
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
2 4 6 8 10 12 14
IP1996
IP1997
IP1998
IP1999
IP2000
IP2001
IP2002
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
0 4000 8000 12000 16000
IP(1996-2002)
CPAH
CPBJ
CPFJ
CPHB
CPHLJ
CPJL
CPJS
CPJX
CPLN
CPNMG
CPSD
CPSH
CPSX
CPTJ
CPZJ
图 7 用 7 个截面表示的人均消费对收入的面板数据（7 个截面叠加）
为了观察得更清楚一些，图 8 给出北京和内蒙古 1996-2002 年消费对收入散点图。从图
中可以看出，无论是从收入还是从消费看内蒙古的水平都低于北京市。内蒙古 2002 年的收
入与消费规模还不如北京市 1996 年的大。图 9 给出该 15 个省级地区 1996 和 2002 年的消费
对收入散点图。可见 6 年之后 15 个地区的消费和收入都有了相应的提高。
图 8 北京和内蒙古 1996-2002 年消费对收入时序图 图 9 1996 和 2002 年 15 个地区的消费对收入散点图
2．面板数据的估计。
用面板数据建立的模型通常有 3 种。即混合估计模型、固定效应模型和随机效应模型。
混合估计模型。
如果从时间上看，不同个体之间不存在显著性差异；从截面上看，不同截面之间也不
存在显著性差异，那么就可以直接把面板数据混合在一起用普通最小二乘法（OLS）估计参
数。
如果从时间和截面看模型截距都不为零，且是一个相同的常数，以二变量模型为例，
则建立如下模型，
yit = +1 xit +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (1)
和1 不随 i，t 变化。称模型(1)为混合估计模型。
以例 1 中 15 个地区 1996 和 2002 年数据建立关于消费的混合估计模型，得结果如下：
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
IP(1996-2002)
CP1996
CP1997
CP1998
CP1999
CP2000
CP2001
CP2002
图 10
EViwes 估计方法：在打开工作文件窗口的基础上，点击主功能菜单中的 Objects 键，
选 New Object 功能，从而打开 New Object（新对象）选择窗。在 Type of Object 选择区选
择 Pool（混合数据库），点击 OK 键，从而打开 Pool（混合数据）窗口。在窗口中输入 15
个地区标识 AH（安徽）、BJ（北京）、…、ZJ（浙江）。工具栏中点击 Sheet 键，从而打
开 Series List（列写序列名）窗口，定义变量 CP?和 IP?，点击 OK 键，Pool（混合或合并数
据库）窗口显示面板数据。在 Pool 窗口的工具栏中点击 Estimate 键，打开 Pooled Estimation
（混合估计）窗口如下图。
图 11
在 Dependent Variable（相依变量）选择窗填入 CP?；在 Common coefficients（系数相
同）选择窗填入 IP?；Cross section specific coefficients（截面系数不同）选择窗保持空白；
在 Intercept（截距项）选择窗点击 Common；在 Weighting（权数）选择窗点击 No weighting。
点击 Pooled Estimation（混合估计）窗口中的 OK 键。得输出结果如图 10。相应表达式是
= + IPit
() () R2 = , SSEr = 4824588, (103) =
15 个省级地区的人均支出平均占收入的 76%。
如果从时间和截面上看模型截距都为零，就可以建立不含截距项的（ = 0）的混合估
计模型。以二变量模型为例，建立混合估计模型如下，
yit = 1 xit +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (2)
对于本例，因为上式中的截距项有显著性（t = > (103) = ），所以建立截距项为
零的混合估计模型是不合适的。
EViwes 估计方法：在 Pooled Estimation（混合估计）对话框中 Intercept（截距项）选择
窗中选 None，其余选项同上。
固定效应模型。
在面板数据散点图中，如果对于不同的截面或不同的时间序列，模型的截距是不同的，
则可以采用在模型中加虚拟变量的方法估计回归参数，称此种模型为固定效应模型（fixed
effects regression model）。
固定效应模型分为 3 种类型，即个体固定效应模型（entity fixed effects regression
model）、时刻固定效应模型（time fixed effects regression model）和时刻个体固定效应模型
（time and entity fixed effects regression model）。下面分别介绍。
（1）个体固定效应模型。
个体固定效应模型就是对于不同的个体有不同截距的模型。如果对于不同的时间序列
（个体）截距是不同的，但是对于不同的横截面，模型的截距没有显著性变化，那么就应该
建立个体固定效应模型，表示如下，
yit = 1 xit +1 W1 + 2 W2 + … +N WN +it, t = 1, 2, …, T
(3)
其中
Wi =
it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T，表示随机误差项。yit, xit, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 分别表
示被解释变量和解释变量。
模型（3）或者表示为
y1t = 1 +1 x1t +1t, i = 1（对于第 1 个个体，或时间序列），t = 1, 2, …, T
y2t = 2 +1 x2t +2 t, i = 2（对于第 2 个个体，或时间序列），t = 1, 2, …, T
…
yN t = N +1 xN t + N t, i = N（对于第 N 个个体，或时间序列），t = 1, 2, …, T
写成矩阵形式，
y1 = (1 x1) +1 = 1 + x1 +1
…
itCP
其他
个个体如果属于第 。，
,0
,...,2,1,1 Nii
1
yN = (1 xN) +N = N + xN +N
上式中 yi，i，i，xi 都是 N1 阶列向量。为标量。当模型中含有 k 个解释变量时，
为 k1 阶列向量。进一步写成矩阵形式，
= + +
上式中的元素 1，0 都是 T1 阶列向量。
面板数据模型用 OLS 方法估计时应满足如下 5 个假定条件：
（1）E(it|xi1, xi2, …, xiT, i) = 0。以 xi1, xi2, …, xiT, i 为条件的it 的期望等于零。
（2）(xi1, xi2, …, xiT), ( yi1, yi2, …, yiT), i = 1, 2, …, N 分别来自于同一个联合分布总体，并
相互独立。
（3）(xit, it)具有非零的有限值 4 阶矩。
（4）解释变量之间不存在完全共线性。
（5）Cov(it is|xit,xis, i) = 0, t s。在固定效应模型中随机误差项it 在时间上是非自
相关的。其中 xit 代表一个或多个解释变量。
对模型（1）进行 OLS 估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的。模型的自由度是 N
T –1–N。
当模型含有 k 个解释变量，且 N 很大，相对较小时，因为模型中含有 k + N 个被估参数，
一般软件执行 OLS 运算很困难。在计量经济学软件中是采用一种特殊处理方式进行 OLS 估
计。
估计原理是，先用每个变量减其组内均值，把数据中心化（entity-demeaned），然后用
变换的数据先估计个体固定效应模型的回归系数（不包括截距项），然后利用组内均值等式
计算截距项。这种方法计算起来速度快。具体分 3 步如下。
（1）首先把变量中心化（entity-demeaned）。
仍以单解释变量模型（3）为例，则有
= i + 1 + , i = 1, 2, …, N (4)
其中 = ， = ， = , i = 1, 2, …, N。公式(1)、(4)相减得，
(yit - ) = 1(xit - ) + (it - ) (5)
令(yit - ) = ，(xit - ) = ，(it - ) = ，上式写为
= 1 + (6)
用 OLS 法估计（1）、（6）式中的1，结果是一样的，但是用（6）式估计，可以减少被估参
数个数。
（2）用 OLS 法估计回归参数（不包括截距项，即固定效应）。
在 k 个解释变量条件下，把 用向量形式 表示，则利用中心化数据，按 OLS 法估计
N
1
2
1
NN
y
y
y
NN
100
010
001
1
2
1
NN
Nx
x
x
2
1
1
2
1
NN
iy ix i
iy
T
t
ityT 1
1
ix
T
t
itxT 1
1
i
T
t
itT 1
1
iy ix i
iy ity
~
ix itx
~
i it
~
ity
~
itx
~
it
~
itx
~ X
~
公式计算个体固定效应模型中回归参数估计量的方差协方差矩阵估计式如下，
( ) = ( ' )-1 (7)
其中 = ， 是相对于 的残差向量。
（3）计算回归模型截距项，即固定效应参数i。
= - (8)
以例 1（file:panel02）为例得到的个体固定效应模型估计结果如下：
注意：个体固定效应模型的 EViwes 输出结果中没有公共截距项。
图 12
EViwes 估计方法：在 EViwes 的 Pooled Estimation 对话框中 Intercept 选项中选 Fixed
effects。其余选项同上。
注意：
（1）个体固定效应模型的 EViwes 输出结果中没有公共截距项。
（2）EViwes 输出结果中没有给出描述个体效应的截距项相应的标准差和 t 值。不认为
截距项是模型中的重要参数。
Var ̂ 2̂ X
~
X
~
2̂
kΝΝΤ
~̂~̂
̂~ ~
î iY iX ̂
（3）当对个体固定效应模型选择加权估计时，输出结果将给出加权估计和非加权估计
两种统计量评价结果。
（4）输出结果的联立方程组形式可以通过点击 View 选 Representations 功能获得。
（5）点击 View 选 Wald Coefficient Tests…功能可以对模型的斜率进行 Wald 检验。
（6）点击 View 选 Residuals/Table, Graphs, Covariance Matrix, Correlation Matrix 功能可
以分别得到按个体计算的残差序列表，残差序列图，残差序列的方差协方差矩阵，残差序列
的相关系数矩阵。
（7）点击 Procs 选 Make Model 功能，将会出现估计结果的联立方程形式，进一步点
击 Solve 键，在随后出现的对话框中可以进行动态和静态预测。
输出结果的方程形式是
= 安徽+ x1t = + x1t
()
= 北京+ x2t = + x2t
… ()
= 浙江+ x15t = + x15t
()
R2 = , SSEr = 2270386, (88) =
从结果看，北京、上海、浙江是消费函数截距（自发消费）最大的 3 个地区。
相对于混合估计模型来说，是否有必要建立个体固定效应模型可以通过 F 检验来完成。
原假设 H0：不同个体的模型截距项相同（建立混合估计模型）。
备择假设 H1：不同个体的模型截距项不同（建立个体固定效应模型）。
F 统计量定义为：
F= = (9)
其中 SSEr，SSEu 分别表示约束模型（混合估计模型）和非约束模型（个体固定效应模型）
的残差平方和。非约束模型比约束模型多了 N-1 个被估参数。（混合估计模型给出公共截距
项。）
注意：当模型中含有 k 个解释变量时，F 统计量的分母自由度是 NT-N-k。
用上例计算，已知 SSEr = 4824588，SSEu = 2270386，
F= = = =
(14, 89) =
因为 F= > (14, 89) = ，所以，拒绝原假设。结论是应该建立个体固定效应模型。
（2）时刻固定效应模型。
时刻固定效应模型就是对于不同的截面（时刻点）有不同截距的模型。如果确知对于不
同的截面，模型的截距显著不同，但是对于不同的时间序列（个体）截距是相同的，那么应
该建立时刻固定效应模型，表示如下，
yit = 1 xit +1 + 2 D2 + … +T DT +it, i = 1, 2, …, N (10)
其中
ty1ˆ ̂ 1̂
ty2ˆ ̂ 1̂
ty15ˆ ̂ 1̂
)1/(
)]1()2/[()(
NNTSSE
NNTNTSSESSE
u
ur
)1/(
)1/()(
NNTSSE
NSSESSE
u
ur
)1/(
)1/()(
NNTSSE
NSSESSE
u
ur
)115105/(2270386
)115/()22703864824588(
25510
182443
Dt =
it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T，表示随机误差项。yi t, xit, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 分别表
示被解释变量和解释变量。模型（10）也可表示为
yi1 = 1 +1 xi1 + i1, t = 1，（对于第 1 个截面），i = 1, 2, …, N
yi2 = (1 +2) +1 xi2 + i2, t = 2，（对于第 2 个截面），i = 1, 2, …, N
…
yiT = (1 +T) +1 xiT + iT, t = T，（对于第 T 个截面），i = 1, 2, …, N
如果满足上述模型假定条件，对模型（2）进行 OLS 估计，全部参数估计量都具有无偏
性和一致性。模型的自由度是 N T –T-1。
图 13
EViwes 估计方法：在 Pooled Estimation（混合估计）窗口中的 Dependent Variable（相
依变量）选择窗填入 CP?；在 Common coefficients（系数相同）选择窗填入 IP? 和虚拟变
量 D1997, D1998, D1999, D2000, D2001, D2002；在 Cross section specific coefficients（截面
系数不同）选择窗保持空白；在 Intercept（截距项）选择窗点击 Common；在 Weighting（权
数）选择窗点击 No weighting。点击 Pooled Estimation（混合估计）窗口中的 OK 键。
以例 1 为例得到的时刻固定效应模型估计结果如下：
= 1996 + xi1 = + xi1
() ()
= 1997 + xi2 = + + xi2
() () ()
)(,0
,...,2,1
个截面其他
个截面 。，
t
t Tt
不属于第
如果属于第
1ˆ iy ̂ 1̂
2ˆ iy ̂ 1̂
…
= 2002 + xi7 = + xi7
() () ()
R2 = , SSEr = 4028843, (97) =
相对于混合估计模型来说，是否有必要建立时刻固定效应模型可以通过 F 检验来完成。
H0：对于不同横截面模型截距项相同（建立混合估计模型）。
H1：对于不同横截面模型的截距项不同（建立时刻固定效应模型）。
F 统计量定义为：
F= = (11)
其中 SSEr，SSEu 分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻固定效应模型
的）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了 T-1 个被估参数。
注意：当模型中含有 k 个解释变量时，F 统计量的分母自由度是 NT-T- k。
用上例计算，已知 SSEr= 4824588，SSEu= 4028843，
F= = = =
(6, 87) =
因为 F= > (14, 89) = ，拒绝原假设，结论是应该建立时刻固定效应模型。
（3）时刻个体固定效应模型。
时刻个体固定效应模型就是对于不同的截面（时刻点）、不同的时间序列（个体）都有
不同截距的模型。如果确知对于不同的截面、不同的时间序列（个体）模型的截距都显著地
不相同，那么应该建立时刻个体效应模型，表示如下，
yit = 1 xit +1+2D2 +…+T DT +1W1+2W2 +…+N WN+it, i=1,2,…,N，t = 1, 2, …,
T
(12)
其中虚拟变量
Dt = （注意不是从 1 开始）
Wi = （注意是从 1 开始）
it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T，表示随机误差项。yi t, xit, (i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T)分别表
示被解释变量和解释变量。模型也可表示为
y11 = 1 +1 +1 x11 + 11, t = 1，i = 1（对于第 1 个截面、第 1 个个体）
y21 = 1 +2 +1 x21 + 21, t = 1，i = 2（对于第 1 个截面、第 2 个个体）
…
yN1 = 1 +N +1 xN1 + N1, t = 1，i = N（对于第 1 个截面、第 N 个个体）
y12 = (1 +2) +1 +1 x12 + 12, t = 2，i = 1（对于第 2 个截面、第 1 个个体）
y22 = (1 +2) +2 +1 x22 + 22, t = 2，i = 2（对于第 2 个截面、第 2 个个体）
7ˆ iy ̂ 1̂
)1/(
)]1()2/[()(
TNTSSE
TNTNTSSESSE
u
ur
)1/(
)1/()(
TNTSSE
TSSESSE
u
ur
)1/(
)1/()(
TNTSSE
TSSESSE
u
ur
)17105/(4028843
)17/()40288434824588(
41534
132624
其他
个截面如果属于第 。，
,0
,...,2,1 Ttt
其他
个个体如果属于第 。，
,0
,...,2,1,1 Nii
…
yN2 = (1 +2) +N +1 xN2 + N2, t = 2，i = N（对于第 2 个截面、第 N 个个体）
…
y1T = (1 +T) +1 +1 x12 + 1T, t = T，i = 1（对于第 T 个截面、第 1 个个体）
y2T = (1 +T) +2 +1 x22 + 2T, t = T，i = 2（对于第 T 个截面、第 2 个个体）
…
yNT = (1 +T) +N +1 xNT + NT, t = T，i = N（对于第 T 个截面、第 N 个个体）
如果满足上述模型假定条件，对模型（12）进行 OLS 估计，全部参数估计量都是无偏
的和一致的。模型的自由度是 N T– N–T。注意：当模型中含有 k 个解释变量时，F 统计量的
分母自由度是 NT– N -T- k+1。
以例 1 为例得到的截面、时刻固定效应模型估计结果如下：
图 14
EViwes 估计方法：在 Pooled Estimation（混合估计）窗口中的 Dependent Variable（相
依变量）选择窗填入 CP?；在 Common coefficients（系数相同）选择窗填入 IP? 和虚拟变
量 D1997, D1998, D1999, D2000, D2001, D2002；在 Cross section specific coefficients（截面
系数不同）选择窗保持空白；在 Intercept（截距项）选择窗中选 Fixed effects；在 Weighting
（权数）选择窗点击 No weighting。点击 Pooled Estimation（混合估计）窗口中的 OK 键。
注意：
（1）对于第 1 个截面（t=1）EViwes 输出结果中把(1 +i), (i = 1, 2, …, N)估计在一起。
（2）对于第 2, …, T 个截面（t=1）EViwes 输出结果中分别把(1 +t), (t = 2, …, T)估计
在一起。
输出结果如下：
= 1996 + x11 = + x11， （1996 年安徽省）
= 1996 + x21 = + ， （1996 年北京市）
…
= 1997 + x11 = + x11， （1997 年安徽省）
= 1997 + x21 = + + ， （1997 年北京市）
…
= 2002 + + x15,7 = ( +) + x15,1，（2002 年浙江省）
R2 = , SSEr = 2045670, (83) =
相对于混合估计模型来说，是否有必要建立时刻个体固定效应模型可以通过 F 检验来
完成。
H0：对于不同横截面，不同序列，模型截距项都相同（建立混合估计模型）。
H1：不同横截面，不同序列，模型截距项各不相同（建立时刻个体固定效应模
型）。
F 统计量定义为：
F= =
(13)
其中 SSEr，SSEu 分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻个体固定效应
模型的）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了 N+T 个被估参数。
注意：当模型中含有 k 个解释变量时，F 统计量的分母自由度是 NT-N-T- k-1。
用上例计算，已知 SSEr= 4824588，SSEu= 2045670，
F= = = =
(20, 81) =
因为 F= > (14, 89) = ，拒绝原假设，结论是应该建立时刻个体固定效应模型。
（4）随机效应模型
11ŷ ̂ 1̂
21ŷ ̂ 1̂
11ŷ ̂ 1̂
21ŷ ̂ 1̂
7,15ŷ ̂ 15̂ 1̂
)/(
)]()2/[()(
TNNTSSE
TNNTNTSSESSE
u
ur
)/(
)2/()(
TNNTSSE
TNSSESSE
u
ur
)/(
)2/()(
TNNTSSE
TNSSESSE
u
ur
)715105/(2045670
)2715/()20456704824588(
24647
138946
在固定效应模型中采用虚拟变量的原因是解释被解释变量的信息不够完整。也可以通过
对误差项的分解来描述这种信息的缺失。
yit = + 1 xit + it (14)
其中误差项在时间上和截面上都是相关的，用 3 个分量表示如下。
it = ui + vt + wit (15)
其中 ui N(0, u2)表示截面随机误差分量；vt N(0, v2)表示时间随机误差分量；wit N(0,
w2)表示混和随机误差分量。同时还假定 ui，vt，wit 之间互不相关，各自分别不存在截面自
相关、时间自相关和混和自相关。上述模型称为随机效应模型。
随机效应模型和固定效应模型比较，相当于把固定效应模型中的截距项看成两个随机
变量。一个是截面随机误差项（ui），一个是时间随机误差项（vt）。如果这两个随机误差项
都服从正态分布，对模型估计时就能够节省自由度，因为此条件下只需要估计两个随机误差
项的均值和方差。
假定固定效应模型中的截距项包括了截面随机误差项和时间随机误差项的平均效应，
而且对均值的离差分别是 ui 和 vt，固定效应模型就变成了随机效应模型。
为了容易理解，先假定模型中只存在截面随机误差项 ui，不存在时间随机误差分量
（vt），
yit = + 1 xit + (wit+ ui) = + 1 xit +it (16)
截面随机误差项 ui 是属于第个个体的随机波动分量，并在整个时间范围(t = 1,2, …, T)保
持不变。随机误差项 ui, wit 应满足如下条件：
E(ui) =0,
E(wit) = 0
E(wit 2) = w2,
E(ui 2)= u2,
E(wit uj) =0, 包括所有的 i, t, j。
E(wit wjs) =0, i j, t s
E(ui uj) =0, i j
因为根据上式有
it = wit+ ui
所以这种随机效应模型又称为误差分量模型（error component model）。有结论，
E(it ) = E(wit +uj) = 0,
(16)式，yit = + 1 xit + (wit+ ui)，也可以写成 yit = ( + ui) + 1 xit + wit。服从正态分布的截
距项的均值效应u 被包含在回归函数的常数项中。
E(it 2) = E(wit +uj)2 = w2 +u2,
E(it is) = E[(wit+ ui)(wis+ ui)] = E[(wit wis + ui wis + wit ui + ui2)] =u2, t s
令
i = (i1, i2, …iT)'
则
= E(ii') =
=w2 I(TT) +u2 1(T1) 1(T1) '
其中 I(TT)是(TT)阶单位阵，1(T1)是(T1)阶列向量。因为第 i 期与 j 期观测值是相互独立
)(
)(
)(
2222
2222
2222
uwuu
uuwu
uuuw
的，所以 NT 个观测值所对应的随机误差项的方差与协方差矩阵 V 是
V = = = INN
其中 INN 表示由(T1)阶列向量为元素构成的单位阵，其中每一个元素 1 或 0 都是(T1)阶
列向量。表示科罗内克积（Kronecker product）。其运算规则是
ANKB =
检验个体随机效应的原假设与检验统计量是
H0：u2 = 0。（混合估计模型）
H1：u2 0。（个体随机效应模型）
LM= =
=
其中 表示由个体随机效应模型计算的残差平方和。 表示由混合估计模型计算的残
差平方和。统计量 LM 服从 1 个自由度的2 分布。
可以对随机效应模型进行广义最小二乘估计。以观测值方差的倒数为权。为了求权数，
必须采用两阶段最小二乘法估计。因为各随机误差分量的方差一般是未知的，第一阶段用普
通最小二乘估计法对混合数据进行估计（采用固定效应模型）。用估计的残差计算随机误差
分量的方差。第二步用这些估计的方差计算参数的广义最小二乘估计值。如果随机误差分量
服从的是正态分布，模型的参数还可以用极大似然法估计。
仍以例 1 为例给出随机效应模型估计结果如下：
00
00
00
100
010
001
BBB
BBB
BBB
NKNN
K
K
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
)1(2 T
NT
2
1 1
2
1
2
1 1
ˆ
ˆ
N
i
T
t
it
N
i
T
t
it
u
u
)1(2 T
NT
2
1 1
2
1
2
1
ˆ
ˆ
N
i
T
t
it
N
i
i
u
uT
)1(2 T
NT
22
1
ˆˆ
ˆˆ
uu
uuT
uu ˆˆ uu ˆˆ
图 15
注意：随机效应模型 EViwes 输出结果中含有公共截距项。
图 16
以例 1 为例，用个体随机效应模型和混合模型计算的统计量的值是
LM = = =()2 = 5209
(1) =
因为 F= 5209 > (1) = ，所以拒绝原假设，结论是应该建立个体随机效应模型。
假定截面截距和时间截距都是随机的。分别服从均值为u 和v，方差为u2 和v2 的正
态分布。随机误差项将由 3 部分组成，并有方差。
Var(it) = Var(ui) + Var(vt) + Var(wit) =u2 +v2+w2
当u2 和v 2 都等于零，随机效应模型退化为固定效应模型。
随机效应模型和固定效应模型哪一个更好些？实际是各有优缺点。随机效应模型的好处
是节省自由度。对于从时间序列和截面两方面上看都存在较大变化的数据，随机效应模型能
明确地描述出误差来源的特征。固定效应模型的好处是很容易分析任意截面数据所对应的因
变量与全部截面数据对应的因变量均值的差异程度。此外，固定效应模型不要求误差项中的
个体效应分量与模型中的解释变量不相关。当然，这一假定不成立时，可能会引起模型参数
估计的不一致性。
（5）回归系数不同的面板数据模型
当认为对于不同个体，解释变量的回归系数存在显著性差异时，还可以建立回归系数不
同的面板数据模型。
EViwes 估计方法：在 Pooled Estimation（混合估计）窗口中的 Dependent Variable（相
依变量）选择窗填入 CP?；在 Common coefficients（系数相同）选择窗保持空白（如果需要
估计时刻固定效应也可输入虚拟变量 D1997, D1998, D1999, D2000, D2001, D2002）；在
Cross section specific coefficients（截面系数不同）选择窗填入 IP?；在 Intercept（截距项）选
择 窗 中 选 Fixed effects （也 可 以 做 其 他 选择 ）； 在 Weighting （ 权 数） 选 择 窗 点 击 No
weighting（也可以做其他选择）。点击 Pooled Estimation（混合估计）窗口中的 OK 键。
)1(2 T
NT
22
1
ˆˆ
ˆˆ
uu
uuT
62
715
22
1
4824588
25016537
图 17
= 安徽+ x1t = + x1t
()
= 北京+ x2t = + x2t
()
…
ty1ˆ ̂ 1̂
ty2ˆ ̂ 1̂
= 浙江+ x15t = + x15t
()
R2 = , SSEr = 1409247
用 EViwes 建立面板数据估计模型步骤。
利用 1996~2002 年 15 个省级地区城镇居民家庭年人均消费性支出和年人均收入数据
（不变价格数据）介绍面板数据模型估计步骤。
（1）建立混合数据库（Pool）对象。
首先建立工作文件。在打开工作文件窗口的基础上，点击EViwes主功能菜单上的Objects
键，选New Object功能（如图18），从而打开New Object（新对象）选择窗。在Type of Object
选择区选择Pool（合并数据库），并在Name of Object选择区为混合数据库起名Pool01（初始
显示为Untitled）。如图19，点击OK键，从而打开混合数据库（Pool）窗口。在窗口中输入15
个地区的标识AH（安徽）、BJ（北京）、…、ZJ（浙江），如图20。
图 18 图 19
ty15ˆ ̂ 1̂
图 20
（2）定义序列名并输入数据。
在新建的混合数据库（Pool）窗口的工具栏中点击 Sheet 键（第 2 种路径是，点击 View
键，选 Spreadsheet (stacked data)功能），从而打开 Series List（列写序列名）窗口，定义时间
序列变量 CP?和 IP?（？符号表示与 CP 和 IP 相连的 15 个地区标识名）如图 21。点击 OK
键，从而打开混合数据库（Pool）窗口，（点击 Edit+-键，使 EViwes 处于可编辑状态）输入
数据。输入完成后的情形见图 22。
图 22 所示为以截面为序的阵列式排列（stacked data）。点击 Order+-键，还可以变换为
以时间为序的阵列式排列。
工作文件也可以以合并数据（Pool data）和非合并数据的形式用复制和粘贴的方法建立。
图 21 图 22
（3）估计模型
图 23
点击 Estimation 键，随后弹出 Pooled Estimation（混合估计）对话窗（见图 23）。先对
Pooled Estimation（混合估计）对话窗中各选项功能给以解释。
Dependent Variable（相依变量）选择窗：用于填写被解释变量。
Sample（样本范围）选择窗：用于填写样本区间。
Balanced Sample（平衡样本）选择块：点击挑勾后表示用平衡数据估计。
Common coefficients（系数相同）选择窗：用于填写对于不同横截面斜率（回归系数）
相同的解释变量和虚拟变量。
Cross section specific coefficients（截面系数不同）选择窗：用于填写对于不同横截面斜
率（回归系数）不同的解释变量。
Intercept（截距项）选择窗：从中可以选 None（不要截距项）、Common（同一截距
项）、Fixed effects（个体不同截距项不同）、Random effects（随机效应截距项）。
Weighting（权数）选择窗：从中可以选 No weighting（等权估计）、Cross section weights
（按截面取权数）、SUR（似不相关回归）、iterate to convergence（迭代至收敛）。“等权估计”
的方法是所有的观测值都给以相等的权数；“按截面取权数”的方法是以横截面模型残差的方
差为权数，属于广义最小二乘法估计。“似不相关回归”的方法是利用横截面模型残差的协方
差进行广义最小二乘法估计，该法将自动修正横截面中出现的异方差和短期自相关；“迭代
至收敛”方法当选择广义最小二乘法估计时，点击此键将保证参数估计一直到收敛为止。在
Options 对话框中可以给出收敛准则和最大迭代次数。
用 EViwes 可以估计固定效应模型（包括个体固定效应模型、时刻固定效应模型和时刻
个体固定效应模型 3 种）、随机效应模型、带有 AR(1)参数的模型、截面不同回归系数也不
同的面板数据模型。
用 EViwes 可以选择普通最小二乘法、加权最小二乘法（以截面模型的方差为权）、似
不相关回归法估计模型参数。
可以在 Common coefficients 选择窗和 Cross section specific coefficients 选择窗中填入
AR(1)项。如果把 AR(1)项填在 Common coefficients 选择窗中相当于假设模型有相同的自回
归误差项，如果把 AR(1)项填在 Cross section specific coefficients 选择窗中相当于假设模型有
不同的自回归误差项。注意：如果把解释变量填入 Cross section specific coefficients 选择窗
中，将会得到很多的回归参数。
估计过程中的缺省方法是等权（No weighting）估计。还可以选择 Cross section weights
（按截面取权数）和 SUR（似不相关回归）。解释 3 种方法如下：
