应用数学系
王海军
排队论模型及应用
一、背景
例子 顾客在超市排队付款，汽车过收费站
a. 增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲浪费；
b. 减少收银台，顾客排队时间太长。
选择最优收银台数
二、随机服务系统
顾客等待服务接受服务顾客离开
三、M/M/s模型假设
(1) 顾客到达规律： Possion过程
定义1 时间段t内到达的顾客数 ，即
定义2 时刻t顾客数 满足：
顾客到达的时间间隔 独立同指数分布 ，即
(2) 服务时间：指数分布
服务时间
(3) 排队规则：先到先服务
四、M/M/s模型
1. M/M/1系统 1个服务台
(1) 建模
：时刻t系统内有n个顾客的概率
事件 包含三种情况：
且 内到达一人；
且 内离开一人；
且 内无人到达或离开。
舍掉 高阶项 ，根据全概率公式
动态模型：
稳定状态： 与时间t无关
解此方程组得稳定状态解为：
令 为服务强度，则由
知
(2) 稳态解
因而
●系统平均队长
●排队等待的平均队长
●顾客排队逗留时间
顾客到达时间间隔 ，服务时间 ，
顾客排队逗留时间
顾客平均逗留时间
●顾客平均等待时间
例1. 某医院某科室有一位医生值班，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可诊治5个病人。如果要满足99％以上的病人有座位，至少应设多少个座位？如果每小时可诊治6个病人，可减少多少个座位？病人平均等待时间是多少？
解：设病人来到服从Possion分布，医生诊断时间服从指数分布，则该系统是M/M/1系统，且
为满足99％以上的人有座位，设应设m个座位，则
(3) M/M/1系统的最优服务率
设进入系统的顾客单位时间带来的损失为 ,单位时间服务 台每服务一位顾客的服务成本为 ,则单位时间总费用的期望值为
由 解得
最优服务率为
由
及
最优服务率 随着进入系统的顾客数 和损失费 的增加而增加,随着服务成本 的增加而减小.
例2 某生产厂家有多台机器,每台机器连续运转的时间服从指数分布,平均为1小时,每台故障机器的损失费为3200元/小时.有1个维修工人,每次维修时间服从指数分布, 每台故障机器的修理费用为100元/小时,求最优的每台机器维修时间.
解: 由题意知
最优服务率为
即最优的机器维修时间为
2. M/M/s系统n s个服务台
（1）模型
（2）稳态解
记 ，系统稳定的条件：
系统中有 个顾客的概率
排队等待平均队长
系统平均队长
顾客在队列中平均等待时间
顾客在系统中平均逗留时间
以s＝2为例，设两个服务员的平均服务时间均为 ，有两种服务方式
(A)M/M/2系统
(B)两个M/M/1系统
设置多个服务台的随机服务系统，仅从等待时间考虑，
应该让顾客只排一个队
(3) M/M/s系统的最优服务台数
设顾客等待单位时间带来的损失为 ,单位时间每个服务台的服务成本为 ,则单位时间总费用的期望值为
是等待顾客平均队长.最优服务台数目满足:
当 取最小值时应满足:
对于 依次计算 及
当已知 满足
时即可确定最优值
将 的表达式代入得
例3 某商场的顾客按possion流到达收银台，平均每小时到达45人。顾客结算时间服从指数分布，平均结算时间为1分钟。顾客每等待一小时,商场就损失5元的利润，每设置1个收银台成本为10元/小时，试问设置多少个收银台最合理？
解： 由题意，
系统内等待的顾客平均数为
① 若建设一个收银台，则为M/M/1系统，服务强度
最优收银台数满足:
即
② 若设置2个收银台，则为M/M/2系统，其服务强度为
系统内等待的顾客平均数为
③若设置3个收银台，则为M/M/3系统，其服务强度为
即最优的收银台数为2.
系统内等待的顾客平均数为
五、大型超市购物者付款排队系统优化模型
模型设置
顾客等待损失: 顾客能够接受的平均等待时间
变量： 顾客i时段的平均到达率
服务员的服务率
系统的服务强度
开放s台收银机时系统中有n个顾客
的概率
2. 最优收银台数
系统达到稳定状态时，一个顾客在收费系统
中的平均等待时间不超过顾客能接受的平均
等待时间，求此时的最小收费台开放数 。
设 表示时段i开放的 个收费台中正在
工作的台数， 的分布为：
收银台有效工作效率为
3. 应用
上海某大型超市客流调查数据：
开放台数的期望值：
756
1014
平均到达率
22:00-23:00
21:00-22:00
20:00-21:00
19:00-20:00
18:00-19:00
17:00-18:00
16:00-17:00
时段/时
平均到达率
15:00-16:00
14:00-15:00
13:00-14:00
12:00-13:00
11:00-12:00
10:00-11:00
9:00-10:00
时段/时
顾客缴费时间v服从参数为 的指数分布
9：00-19：00顾客白天可接受的等待时间均值:
19:00-23:00顾客晚上可接受的等待时间均值:
计算出各时段顾客等待时间不超过 的 值，
再算出 和 ，列表如下：
20
8
12
4
21:00-22:00
22:00-23:00
23
23
30
30
19:00-20:00
20:00-21:00
27
21
30
30
17:00-18:00
18:00-19:00
25
28
12
12
15:00-16:00
16:00-17:00
15
17
12
12
13:00-14:00
14:00-15:00
21
16
12
12
11:00-12:00
12:00-13:00
22
23
30
30
9:00-10:00
10:00-11:00
收银台工作效率
开放台数期望值
优化后的收费台数
实际开放的收银台数
时段/时
结论：
(1) 时段9:00-11:00和17:00-21:00优化的台数
小于实际开放的台数，这些时段实际开放的台数过多；
时段11:00-17:00和21:00-23:00实际开放的台数太少，
尤其22:00-23:00时段，顾客的等待时间将超过他们能
接受的等待时间，顾客将不满意；
(2) 优化后各时段收费系统的工作效率 均在95％
以上，说明收银员的工作量比较饱和，避免了由于收
银台开放过多造成的人员浪费。
建议:设置少数辅助人员，客流量大时作收银员，客流量
小时整理货物，可优化排队系统，降低成本。
六、排队论与博弈论的结合
－产品定价的排队博弈模型
1.背景
汽车、轮船、飞机等大型设备制造企业大致按订单生产，从发出订单到最终产品交货存在一定的时间周期，形成排队现象，由此产生的等待成本会减少顾客对该品牌产品的认同购买价值，从而降低对该品牌产品的选择概率，因此企业进行产品定价时应该考虑客户的等待成本。
2. 模型
市场上生产某产品的企业有n家，不同企业在品牌、质量和包装方面有所不同，考虑一家企业对其产品的最优定价，n家企业的平均看成虚拟企业2。这是双寡头竞争条件下企业产品的最优定价。
企业1：单位产品成本
质量参数
是生产汽车的最大成本
产品价格
策略空间
是企业1能卖出产品的最高价格
企业2：单位生产成本
质量参数
产品价格
策略空间
是企业2能卖出产品的最高价格
企业订单到达过程服从Poisson分布，企业按订单要求生产单位产品的时间看成企业的服务时间，服务时间服从指数分布，而企业就是服务台，采用先到先服务的原则，则按订单进行企业生产的排队系统是一个M/M/1系统。
企业1：订单到达 Poisson过程 参数
生产时间 指数分布 参数
客户在企业1平均逗留时间
客户在企业1处定购产品的等待成本
企业2：订单到达 Poisson过程 参数
生产时间 指数分布 参数
客户在企业1平均逗留时间
客户在企业2处定购产品的等待成本
是客户单位时间的等待成本
顾客满意价值 与产品的品牌效应、质量水
平和产品的售后服务有关
总订单到达 Poisson过程 参数
为品牌效应价值
为质量系数，根据顾客对质量的重视程度
不同取值。
客户在企业1处订购产品的消费者剩余
客户在企业2处订购产品的消费者剩余
纳什均衡：顾客在企业1处和企业2处定购产品无差异
均衡时顾客在企业2处定购产品的平均定购率
均衡时顾客在企业1处定购产品的平均定购率
企业1的利润：
企业2的利润：
企业1的决策：市场均价 给定，确定最优价
企业2的决策：企业1定价 已知，确定最优价
企业2的利润：
由 得
纳什均衡点：
结论：企业产品的最优定价与产品的成本、
质量、产品交易的服务速度和竞争对手单位
产品成本、质量、交易成本等因素有关。
3. 应用实例
某汽车集团在沿海某城市推出一款新型家庭轿车。
令该集团为企业1，该款车型的竞争对手主要有桑
塔纳、赛欧、捷达、神龙富康等，它们的平均力量
视为企业2。
轿车的平均生产成本
最大生产成本
企业1生产周期
顾客在企业2处的平均等待时间
轿车按质量分为3类：A等（高质量）
B等（中等质量）
C等（低质量）
质量和成本的关系：
企业2产品质量
企业1产品质量
企业2成本
企业1成本
高成本低质量
中成本高质量
中成本中质量
低成本中质量
低成本低质量
企业1打入市场策略：①低成本低质量②低成本中质量
③中成本中质量④中成本高质量⑤高成本高质量
该城市汽车经销商最低盈利水平6万元/月，顾客单位
等待成本h=万元/天，该城汽车需求量
该汽车集团为新生民营企业，品牌效应低于桑塔纳、
捷达等传统品牌，因而设
顾客对汽车质量极为关注，设质量系数
％
％
％
％
％
企业1产品市场份额
顾客在企业2处等待成本
顾客在企业1处等待成本
企业2产品定价
企业1产品定价
高成本高质量
中成本高质量
中成本中质量
低成本中质量
低成本低质量
最优定价使得产品市场占有率最大，应采取中
成本高质量定价策略此时产品的市场占有率最
高为％。
