统计与决策2008年第4期(总第256期)
在得到各问题得分后,对Ei进行简单算术平均或加权平
均求出综合得分。这一综合得分就是估计的消费者情绪的
值,即消费者信心指数。
目前各国的消费者信心指数有不同的表示方式。密歇根
大学 SRC编制的指数是以 1966年第一季度为基期的综合
得分比值,即是一个定基的、以综合得分变动百分比形式表
示的指数。其他国家的指数形式,则多为直接以综合得分表
示。还有一种常见的形式是用综合得分的变动差表示,例如,
人们常常在媒体上看到类似于“某地区某月消费者信心指数
为-8⋯”。这种形式意为:以该月的指数值(综合得分)减去上
个月的指数值是-8。这种表示形式简单明了,且与GDP等指
标的增长率形式相似。但在使用时需注意特点。由于这种形
式是两个月份指数的绝对差额,因此如果该指标从-12变动
到-8,可以被认为是消费者信心在提高,预示着一种积极的
变化;而指标从+15变动到+10就可能被认为是消费者信心
在下降,预示着向消极的转化。了解消费者信心指数的计算
方法和表示形式,才有可能正确的解读和运用它。
参考文献:
[1]沙莲香.社会心理学(第二版)[M].北京:中国人民大学出版社,2006.
[2]:Theory,Methods,andIn-
terpretation[C].BrookingPapersonEconomicActivity,2001,Issue,
175-207.
[3]:TheIntersectionof
PsychologyandMacroecnomics [M].UniversityofMichiganPress
2001.
[4](美)罗伯特.F.德威利斯.量表编制—理论与应用[M].魏勇刚,龙长
权,宋武译.重庆:重庆大学出版社,2004.
(责任编辑/易永生)
0 引言
在统计分析和预测工作中,对统计数据有着较高的依赖
性,要求数据结果真实可靠、利用率高。而在实际统计过程中
的操作或测量中难免会出现误差,要使得数据得到最大效率
的利用,就要对数据的精度进行鉴定和修正。本文用 Bayes
方法剔除数据中的大误差,来进行统计数据与其真实数据的
一致性评定。为此,首先选取一组统计数据,对其进行抽样调
查试验,将先验信息和子样相结合,运用 Bayes方法对统计
数据的精度进行测定。从理论上解决了抽样测定统计数据的
精度不高的问题。
设 X为统计测量数据的误差,它是正态随机变量 [1],记
X～N(!,"2),其中 ! 为系统误差。设f(x,")为总体的密度函数,
数据的精度以其标准差 "2表示,现进行 n次抽样试验,记试
验所得子样为(X=X1,X2,⋯,Xn),考虑统计假设:
H0:"≤"0 H1:"="1>"0
对于 " 的检验问题可以采取两个方案:采纳 H0或采纳
H1,这两个方案构成了由两个元素组成的决策空间A={a0,a1},
其中ai为采纳Hi(i=0,1)的方案。
1 损失函数
为了讨论问题的方便,一般情况下,损失函数常被定义
为最简单的“0-1”常值损失函数,即采取正确的决策损失为
0,采取错误的决策损失为1。这种定义方法给讨论问题带来
了方便,却忽视了操作中抽样试验的费用损失和为获取先验
信息的试验费用损失。为此本文将这两种费用损失和未知参
数的性能损失相结合,定义损失函数为:
L(",ai)=
#01Cii+#02C,"∈$
#11Cij+#12C,"∈$
# (i,j=0,1) (1)
其中,Cii(i=0,1)为采取正确决策时的性能损失,Cij(i,j=0,1;
i≠j)为采取错误决策时的性能损失;C为两种试验总费用损
失;#ij(i=0,1;j=1,2,)分别表示采取正确决策(i=0)时和错误决策
摘 要:文章利用Bayes统计决策方法对统计数据的误差进行检验,在鉴定统计数据精度的过程中,
引入了试验费用损失与参数性能损失相结合的损失函数,得到了先验分布公式,Bayes决策不等式及
Bayes风险的计算,理论上给出了一种测定数据精度的可靠方法。为实际中的统计数据处理提供了一个
更为科学、合理的理论依据。
关键词:误差;损失函数;先验分布;Bayes风险
中图分类号: 文献标识码:A 文章编号:1002-6487(2008)04-0143-02
基于Bayes统计决策的误差测定方法
王珊珊,蔡永生
(重庆大学 数理学院,重庆 400044)
知 识 丛 林
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统计与决策2008年第4期(总第256期)
(i=1)时的损失权系数,此权系数将根据操作实际的具体情况
来定,且有
2
j=1
!!ij=1(i=0,1)。这种定义损失函数的优点在于决
策的损失是通过“性能损失”和“费用损失”的加权系数无量
纲相加来实现的,增强了信息的全面性和利用的可靠性。
2 先验分布
由 Bayes决策理论,分布的未知参数都可被看为是随机
变量,分布参数的先验信息由其先验分布来描述。先验信息
是决策问题的一个重要因素,利用先验信息合理的确定先验
分布直接影响决策。先验分布的确定有很多成功的方法[2],此
处运用共轭先验分布的理论,"2的先验分布可取倒 Gamma
分布[3]。记 "2=D>0,则D的先验密度函数为:
#(D)= $0
%0
&(%0)
D
-%0+1
e
-
$0
D"g(D;$0 %0) (2)
其中 $0,%0为常量,由先验信息确定。例如,有 X的历史
数据X1(0),X2(0),⋯X
(0)
n0
且X(0)=1
n0
n0
i=1
!X(0)i,则 $0,%0即为:
$0=12
n0
i=1
!(Xi(0)-X(0))2,%0=12(n0-1)
记 P(H0)和 P(H1)为 H0和 H1的先验分布,计算出 P(H0)、P
(H1)为:
P(H0)=
D0
0#g(D;$0,%0)=1-K2%0(2$0D0 ),P(H1)=1-P(H0) (3)
其中 K2%0(·)是具有 2%0个自由度的 x
2分布的概率密度
函数。
3 Bayes决策不等式
按 Bayes决策的思想,使 E[L(",ai(X))|X]最小化的决策 ai
为最优的决策(i=0,1)。
E[L(",ai(X))|X]=(’01Cii+’02C)P(Hi|X)+(’11Cij+’12C)P(Hj|X)
其中,i,j=0,1,且i≠j,P(Hi|X)为给定子样X时Hi为真的概率,
为不失一般性,设正确决策的损失为0,即Cii=0(i=0,1),则有:
E[L(",a0(X))|X]=’02CP(H0|X)+(’11C01+’12C)P(H0|X)
E[L(",a1(X))|X]=’02CP(H1|X)+(’11C10+’12C)P(H1|X
%
)
对此方程组中的两式进行比较整理有:
P(H1|X)
P(H0|X)
≤
或 ≥
+(r12-r02)C
r11C01+(r12-r02)C
"( (4)
其中:即为采取Hi(i=0,1)。
由于:
P(H1|X)
P(H0|X)
=1
A
L(X|"1)P(H1)
L(X|"0)P(H0)
∝
L(X|"1)P(H1)
L(X|"0)P(H0)
(5)
其中 P(H0),P(H1)为先验分布由(3)式给出,L(X|"i)为 "i下
子样X出现的概率,即:
L(X|"i)=
n
j=1
)f(xj,"i)=(2#"i2)
-n
2
exp{-1
2"i
2
n
j=1
*(Xj-))2} (6)
把(5)、(6)式与(4)式联立整理得Bayes决策不等式:
n
i=1
*(Xi-))2≤
或 ≥
*
2
"
2
0
*
2
-1
ln(+*
n
)"J
*
(7)
其中,*="1"0
>1,+=,AP(H0)
P(H1)
。
若此处用)&=X+=1
n
n
i=1
*xi代替 ),令 S2=
n
i=1
*(Xi-X)2,则得
Bayes决策的临界区域如下:
Z1={X:S2<J*},为拒绝H0的区域;
Z0={X:S2<J*},为采纳H0的区域。
4 Bayes风险
由以上的临界区域,根据Bayes风险理论得到 Bayes风
险的计算公式为:
R-(")=p(H0)∫
Z0+Z1
L("0,a(X))f(X|"0)dX+p(H1)∫
Z0+Z1
L("1,a(X))f(X|
"1)dX=I1+I2
其中,
I1=P(H0)[’02C
Z0
#f(X|"0)dX+(’11C01+’12C)
Z1
#f(X|"0)dX]
=P(H0)[’02C
J
*
0#1"20kn(
x
2
"
2
0
)dx+(’11C01+’12C)
+∞
J
*# 1
"
2
0
kn(
x
2
"
2
0
)dx]
=’02CP(H0)Kn(J
*
"
2
0
)+(’11C01+’12C)P(H0)(1-Kn(J
*
"
2
0
))
同理可算得I2,最后整理为:
R-(")=’02CP(H0)Kn(J
*
"
2
0
)+(’11C01+’12C)P(H0)(1-Kn(J
*
"
2
0
))
+(’11C10+’12C)P(H1)Kn(J
*
"
2
1
)+’02CP(H1)(1-Kn(J
*
"
2
1
))
把(3)式中的P(H0),P(H1)代入即可算得Bayes风险。
其中,在此检验中可能犯弃真错误和采伪错误的概率为:
$=
+∞
J# 1"20Kn(
x
2
"
2
0
)dx
2
=
+∞
J
"
2
# kn(x2)dx2
%=
J
"
2
0# kn(x2)dx2
,
.
.
.
.
.
.
-
.
.
.
.
.
.
/
参考文献:
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版社;海德堡:施普格林出版社,1998.
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(责任编辑/李友平)
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