敏捷供需链中的准时采购计划方法研究
王玮 柴跃廷 任守榘
摘自：清华大学学报
文 摘： 针对敏捷供需链的管理需求，在引入准时化(JIT)思想的基础上，就如何解决向供应
商采购，提出了敏捷供需链中的准时采购计划问题，并给出了问题的数学描述。利用数学推导，
将所建的原始优化模型转化成线性规划问题。计算结果表明，提出的准时采购计划方法，完全可
以做到在供应能力平衡的前提下，实现敏捷供需链面向客户准时供应的经营目标，使提前/拖期
惩罚费用总额极小化。
关键词： 敏捷供需链； 准时化(JIT)思想； 提前拖期惩罚； 采购计划
随着信息技术的快速发展，全球化市场竞争日益激烈。为了从根本上改变企业应变市场的能
力，敏捷供需链作为一种注重战略伙伴关系的新型管理模式，受到人们的普遍关注、研究和应用。
供需链是架接“供应”与“需求”之间的桥梁，它通过信息流、物料流将供应商、制造商、分销商、
零售商直到最终用户连成一个整体。获得高用户服务水平和低库存投资、低单位成本是敏捷供需
链管理追求的经营目标。在上述思想指导下，本文引入 JIT 思想，构建了敏捷供需链中的准时采
购计划模型，提出了准时采购计划方法，从而为敏捷供需链系统的实施打下了理论和应用基础。
1 问题描述
设某采购中心要在 n 个联盟合作企业中采购产品并转销给客户。已知采购中心在计划期［1，
T］内收到客户订购某产品的 l 份订单，其中第 k 号订单的交货期为 dk，需求量为 qk，k=1,2,…l。
根据联盟合作协议已知，企业 i 供应产品的价格为 pi，计划期内 t 时的供应能力为 si(t), i=1,2,…n,
t=1,2,…，T。
由于客户需求与联盟企业的供应能力不平衡，采购中心解决这种供需缺口的办法通常是提前
采购产品，或拖期客户交货。因为提前采购产品要占用流动资金，增加存储费用，而拖期交货又
要降低对用户的服务质量，并向客户支付违约附加费用，因此采购中心的经营目标是，在计划期
内充分利用有限的供应资源，合理地编制准时采购计划，使提前/拖期惩罚费用总额达到极小。
设单位产品单位时间提前或拖期的附加成本分别为 α 和 β，一般 α＜β。
2 模型建立
定义 1 δk(t)为脉冲函数，即
(1)
定义 2 Q(t)为计划期内第 t 时段的产品需求总量，即
. (2)
定义 3 zi(t)为企业 i 在 t 时完成的产品需求总量，即
(3)
定义 4 ri(t)为决策变量，即采购中心在 t 时段对企业 i 的计划采购量。
这样， t 时段的产品超采购量和欠采购量分别为
其中［x］+表示 max｛0,x｝.令： 提前/拖期惩罚费用总额为 F(r,z)。这样，准时采购计划问题用
数学模型(C0)可以描述如下：
(4)
. (5)
zi(t)≥zi(t-1)， (6)
ri(t)≤si(t)， (7)
ri(t)≥0, zi(t)≥0. (8)
由于模型的目标函数是非连续的，不能用普通的数学规划方法求解。下面研究上述问题的求
解方法。
设 xi(t)和 yi(t)分别为采购中心在 t 时段向企业 i 采购产品的超采购量和欠采购量，即：
(9)
(10)
所以，
ri(t)=zi(t)+xi(t)-yi(t)-zi(t-1)-xi(t-1)+yi(t-1). (11)
模型(C0)被转变为
(12)
. (13)
zi(t)≥zi(t-1)， (14)
zi(t)+xi(t)-yi(t)-zi(t-1)-xi(t-1)+
yi(t-1)≤si(t)， (15)
zi(t)+xi(t)-yi(t)-zi(t-1)-xi(t-1)+
yi(t-1)≥0， (16)
xi(t)≥0, yi(t)≥0, zi(t)≥0. (17)
虽然模型（C）比（C0）的变量数增加，但由于目标函数是线性的，可以用通用的线性规划
软件求解。下面证明（C）与（C0）等价。
引理 若(x*,y*,z*)为模型（C）的最优解，则有：
x*i(t)y*i(t)=0, i＝1，2，…，n, t=1，2，…，T.
证明 设(x*,y*,z*)为模型（C）的最优解，但对某个 j 和 k 存在
x*j(t)y*j(t)>0.
不失一般性，设： x*j(t)>y*j(t)。令：
这样，对于任意的 i 和 t，有
i(t)>0, i(t)>0, i(t)>0，
且
i(t)- i(t)=x*i(t)-y*i(t).
故有( , , )满足模型（C）的约束条件(13)～（17）。将( , , )代入 F(x,y,z)，可推得
F( , , )=F(x*,y*,z*)-
（αpj+βpj）y*j(t)≤F(x*,y*,z*).
这与(x*,y*,z*)为模型（C）的最优解矛盾。因此当(x*,y*,z*)为模型（C）的最优解时，x*i(t)y*i(t)=0.
定理 如果(x*,y*,z*)是模型（C）的最优解，且
r*i(t)=z*i(t)+x*i(t)-y*i(t)-z*i(t-1)-
x*i(t-1)+y*i(t-1)， (18)
那么， r*也是模型（C0）的最优解。
证明 因为(x*,y*,z*)是模型（C）的最优解，所以在满足模型(C)的可行域内。比较模型(C)和
(C0)的约束条件，可以得到 r*也在模型（C0）的可行域内。
由式(18)，对于所有的 i 和 t，有
根据引理，上式可以推得如下：
(19)
比较模型（C）和（C0）的目标函数，可得出式(4)和(12)相等。因此， r*也是模型（C0）的
最优解。
3 求解算法
经过模型转换后， (C)已成为普通的线性规划模型，利用通用的线性规划软件就可以求解，
具体步骤如下。
步 1 根据已知的订货合同和各供应企业的供应能力约束条件，构造模型(C)。
步 2 调用通用线性规划程序，计算出 x*,y*,z*和 F(x*,y*,z*)。
步 3 由式(18)，计算出采购中心在各时段向各供应企业的计划采购量 r*i(t)。
对于不允许产品拖期交货到计划期［1，T］外的情况，可在计划期末的欠采购量 y*i(T)前，
加上一个足够大的拖期单位惩罚系数 γi。若 F(x*,y*,z*)>M，其中 M 为一个足够大惩罚费用，则
说明计划期内供应能力不足，采购中心拖期交货不可避免。
4 计算结果
设采购中心在计划期［1，10］内要向 3 家供应企业采购产品。已知这 3 家企业的产品价格
依次分别为 39，38，，提前/拖期惩罚系数为 和 ，各供应能力见表 1，订单汇总见
表 2。
表 1 各供应企业的供应能力
t
si(t)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s1(t) 12 14 14 14 12 12 12 15 15 15
s2(t) 14 14 13 13 12 11 12 10 10 10
s3(t) 10 10 9 9 10 10 10 10 10 10
si(t)
36 38 36 36 34 33 34 35 35 35
表 2 订单汇总
k 1 2 3 4 5 6
qk 30 35 75 45 50 30
dk 2 3 5 6 7 9
从表 2 可以得到采购中心在计划期内各时段的产品需求总量，如表 3 所示。
表 3 产品需求总量
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q(t) 0 30 65 65 140 185 235 235 265 265
从表 1 的3i=1si(t)和表 2 可以看到，由于订单集中在 5，6，7 交货，采购中心在这些时段
出现了供应能力短缺。因此，我们有必要按照本文提出的准时采购计划方法，在能力平衡的前提
下，制定出一个准时采购计划，如表 4 所示，极小化提前/拖期惩罚费用总额为 。
表 4 准时采购计划
t
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1(t) 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0
x2(t) 0 4 5 18 0 0 0 0 0 0
x3(t) 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0
y1(t) 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0
y2(t) 0 0 0 0 0 12 10 0 0 0
y3(t) 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0
z1(t) 0 10 24 24 50 62 89 89 104 104
z2(t) 0 10 22 22 52 75 85 85 95 95
z3(t) 0 10 19 19 38 48 61 61 66 66
r1(t) 0 10 14 14 12 12 12 15 15 0
r2(t) 0 14 13 13 12 11 12 10 10 0
r3(t) 0 10 9 9 10 10 10 3 5 0
ri(t)
0 34 36 36 34 33 34 28 30 0
ri(s)
0 34 70 106 140 173 207 235 265 265
比较表 3 和表 4 可以看到，客户订单被尽可能按其要求的交货期准时交货，从而极小化了提
前/拖期惩罚费用总额。
