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补充内容:拉普拉斯变换
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拉普拉斯变换
1 拉氏变换的定义
2 典型函数的拉氏变换
3 拉氏变换的性质
4 有理分式函数的拉氏反变换
5 拉氏变换求解微分方程
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微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形
式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系
统在给定输入信号作用下的输出响应。拉普拉
斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常
用方法。
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线
性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将
时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这
不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。
拉普拉斯变换
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在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的:
拉普拉斯变换
用它来研究系统动态特性。
因为描述系统动态特性的传递函数和频率
特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。
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一、拉氏变换定义
原函数象函数
时间域 拉普拉斯变换 复频域
f(t)为实变量t的函数，（t<0时,f(t)=0）称为原函数
F(s)为复变量s的函数，称为f(t)的象函数
和 都为实数
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二、 典型函数的拉氏变换
加于控制系统的外作用一般事先是不完全知
道的,而且常常随着时间任意变化.为了便于
对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以
下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,
即单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速
度函数、指数函数、正弦函数、以及单位脉
冲函数等。
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在自动控制原理中，单位阶跃函数
是一个突加作用信号，相当一个开
关的闭合(或断开)。在求它的象函
数前，首先应给出单位阶跃函数的
定义式
t<0
t≥ 0
图1-1 单位阶跃函数
1
0 t
其拉氏变换
1、单位阶跃函数
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在自动控制原理中，斜坡函
数是一个对时间作均匀变化
的信号。在研究随动系统时，
常以斜坡信号作为典型的输
入信号。
t<0
t ≥0
图1-2 单位斜坡函数
其拉氏变换
2、单位斜坡函数
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3、单位加速度函数
t<0
t ≥0
其拉氏变换
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4、指数函数
t<0
t ≥0
其拉氏变换
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t <0
t ≥0
其拉氏变换
5、正弦函数
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注:欧拉公式
5、正弦函数
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求正弦函数（Sinusoidal Function）
的象函数。
5、正弦函数
解:
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t<0
t ≥0
其拉氏变换
6、余弦函数
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在自动控制系统中，单位脉
冲函数相当一个瞬时的扰动
信号。 1
性质
其拉氏变换
且 图1-3 单位脉冲函数
7、单位脉冲函数
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设
则
三、拉氏变换的性质
1、线性性质－－齐次性和叠加性
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2、微分性质
三、拉氏变换的性质
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三、拉氏变换的性质
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3、 积分性质
三、拉氏变换的性质
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三、拉氏变换的性质
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4、终值定理
且 , 存在，则
三、拉氏变换的性质
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5、初值定理
三、拉氏变换的性质
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时域位移定理
复数域位移定理
6、位移定理
三、拉氏变换的性质
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7、卷积定理
则
若 卷积符号
上式表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间
函数的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可
以简化计算。
三、拉氏变换的性质
※ 卷积
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四、有理分式函数的拉氏反变换
从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。
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求拉氏反变换的方法有：
(1)查表法
(2)部分分式法
四、有理分式函数的拉氏反变换
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四、有理分式函数的拉氏反变换
常用拉氏反变换★
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一般象函数可以表示成如下的有理分式
分母进行因式分解，得:
四、有理分式函数的拉氏反变换
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1、当A(s)=0无重极点(n个不等根)时，
四、有理分式函数的拉氏反变换
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例 已知 ,试求原函数。
解： 写成部分分式形式
求待定系数
四、有理分式函数的拉氏反变换
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四、有理分式函数的拉氏反变换
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2、当A(s)=0有r重根p1时，F(s)可表示为
四、有理分式函数的拉氏反变换
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因此，原函数为
四、有理分式函数的拉氏反变换
系数:
计算方法按照无重根系数求解方法。
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例 已知 ，试求原函数f(t)。
解：
四、有理分式函数的拉氏反变换
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四、有理分式函数的拉氏反变换
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五、拉氏变换解微分方程
利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：
1．方程两边进行拉普拉斯变换并代入初始条件
及输入。
2．求出表达式Y(s)。
3．用部分分式法展开求出y(t).
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解：
将初始条件代入得
例 求微分方程
满足初始条件 的解。
五、拉氏变换解微分方程
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五、拉氏变换解微分方程
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▲ 课后作业
P37:
2-2 ①②
2-3 ①②
2-4
拉普拉斯变换
