数理医药学杂志2010年第23卷第6期文章编号:1004-4337(2010)06-0649-03中图分类号:R311 文献标识码:A·基础医学研究·连续博弈论中的混合策略性质及均衡存在定理张金旺阎岩李林刘红华琳郑卫英张建李冬果(首都医科大学生物医学工程学院北京100069)摘要:在Fudenberg和Tirole0991，2002)相应的工作基础(技术性说明)上，提出并证明连续博弈混合策略集上相似于有限博弈中混合策略中的一些基本和重要性质，同样利用预备知识中的方法说明了混合策略纳什均衡的存在性。关键词:连续博弈;混合策略;均衡doi: 10. 3969/ j. i困且的是概率分布的变化。现在策略集S霄(iEN)是不可数的无限集，局中人ild.概率选择策略时，在维持隐蔽性下，这种随机1 序言选择可以看成是定义在概率空间。i二{Si，F"Pi}上的一个随博弈论可定义为是对有理性的局中人之间冲突和合作的机变量ε，其中Fi为Si上的o--{"t数，Fi的元素A，CSi是Borel数学模型的研究。个人理性强调局中人在博弈中会自始至终可测子集'Pi是Fi上的概率测度。且根据概率分布与分布函以追求个人(期望)支付(或效用)最大化为目标来决策。博弈数的关系，用ε的概率分布函数Fi(Si) (Si仨R)来表示。论主要研究局中人相互影响对方策略所形成或实现的策略组定义1概率空间。i={Si，Fi，Pi}，上任意分布函数Fi合，是决策理论对两个或两个以上局中人情形的推广，或者是(Si)组成的集合称为策略型博弈G={Si州}i刊中局中人z巨E决策论在本质上的逻辑完备。N的、混合策略集，记为Lld分布函数Fi仨Lli称为局中人z的一在博弈论的形成与发展过程中，混合策略或随机策略概个提合策略。即对I;fFiεLli，当且仅当AεFi时Fi(A，)=Pi念的引进和应用起到了重大的作用。因为在不确定环境或具(A，)=Pi(ξ(si)EA，)二fA，df(SI)注o，F(Si)=l且对Fi的i有风险的情况下，所假定的理性局中人总会追求他的支付的两两不相交的子集族{Ann，都有Fi( U l A~) = L:k~l Fi 数学期望最大，而数学期望又完全由随机变量分布所确定。(AD。用棍合策略来分析博弈是重要的手段，引人?昆合策略可以保我们在A上定义距离ρ:LliXLli→R为证纳什均衡的存在。根据贝叶斯决策理论，用策略集上的概ρ(F"F'/) = 11 F, -F; 11 率分布可定量表示局中人选择策略的信念，反映局中人的隐=supIFi(Si)-F;(Si) I , I;fFi,F;ELli’ iEN 密性。’=, 在实际经济活动中，局中人(经济人)的策略集通常是无用C(S，)表示Si上一切连续函数(这时的连续函数是有界限的，在对无限博弈中连续博弈的均衡存在性的研究中，最早的)的集合，它是坠皿h空间，其范数为11C 11二，~~p'I C(Si ) 1。的和注重理论与实效的也是泪合策略均衡存在性。关于现有定义2设{1'1}k'二1是Lli中一个混合策略序列，FiELli'如的连续博弈的均衡存在性的研究可概括为:在连续博弈中有果对I;fcεC(Si)关混合策略纳什均衡的存在性的纳什均衡存在定理(Glicks都有gerg, 1952)和连续博弈中有关纯策略纳什均衡存在定理;后者JEEjSPEcbg)dRU)=jszESzcbzM瓦(Si)(1) 是前者的特例。在求解连续博弈的均衡中几乎采用的都是反应函数法，尽可能避开用局中人的反应集去求集映的不动点则称{1'1}k二1弱收敛于丑，记为1'1~Fi或lim1'1=Fi(u心。即博弈的均衡o由定义1有1'1主善Fd反之若R丘"Fi，则对I;fcεC 因此，本研究在Fudenberg和Tirole(1991，2002)相应的(Si)有(1)式成立，即这两个条件是等价的。工作基础(技术性说明)上，主要对连续博弈混合策略的性质，显然4中任一序列必有收敛子序列收敛到Lli中的一个连续博弈的混合策略纳什均衡存在定理的证明进行了讨论。混合策略，这时Lli是列紧的、闭集，从而它是一个紧集。2 连续博弈的混合策略性质、混合策略纳什均衡存在定理利用两个分布函数的加权平均是分布函数，即对I;fFi(si),F;(Si)ELl" I;fλE[O，l]，必有λF，(Si)十(1一λ)F;(Si) E 连续博弈中的混合策略及其性质在有限策略型博弈G={Si，均};EN中，、混合策略是用纯策Lld可知Lli是凸的。略集上的概率分布列来表示的，t昆合策略的变化本质上反映因此类似于性质1有:收稿日期:2010-06-10 649
Journal of Mathematical Medicine Vol. 23 No. 6 2010 命题1对每个zεN..1i是非空的紧凸集。称为局中人tεN对其他局中人混合局势-i的反应善令F=(FI....Fi•••.Fn) .Fi ε今.iEN.称为连续博弈G集，即V;:.1=>.1i是反应集映;而F=(Ft.…，Ft，….F:)称的一个泪合策略组合或混合局势;且所有提合局势全体是.11.为G的一个混合策略纳什均衡或提合均衡，如果对每个iEN…'~i'…..1n的直积，记为;(Ft .F"-i)=max{v;(丑.F二;):F; ;} .1=={F=(FI•…，Fi'….Fn):Fiε.1i.εN} 因此，由上述定义类似命题2.可知2称为G的混合策略组合集。F骨是连续博弈G的一个混合策略纳什均衡，当且仅当利用对每个iεN..1i是非空的紧凸集，类似类似于性质2F铃巨~VI(F骨)X…XV;(F骨)X…XV(F* ) = IIiEN V; n(F骨)有:命题是非空的紧凸集。即F择是(反应)集映V=VIXVX XV:.1=>.1的一个不动2 n 注意.Fiε.1i(iεN)是局中人t独立选择的随机策略，点。(SI S2 •…'Sn)ct5时，有Ui(SI .S2. .Sn)=O •所以局中人z巨E利用两个分布函数的加权平均是分布函数和命题4.得N的期望支付可定义为函数Vi:.1→R.即对VFε.到2Vi (F) = LI ESLES LnESn Ui (51,52’ .Sn)dFI (SI )dF2 命题5Vi(F)(iEN)以及IIiENV;(F篝)都是非空的凸I 2 2(S2 ) dFn(sn) (2) 集。同样，分布函数Fi(Si)ξ.1i表示局中人iξN的混合策从而G的?昆合均衡的凸组合都是由合均衡。略，局中人i的纯策略集5i可扩充为混合策略集.1i(局中人i命题7也类似于性质5.即Vi(p)(iεN)是非空的凸集的采用siE5i•即以概率1选定Si)。为方便，博弈G={牛，结果。Vi }，EN也称为连续博弈G={5i•均}，EN的混合扩充博弈。 连续博弈中混合策略纳什均衡存在定理类似，我们引人记号因为命题3至7和在预备知识中证明有限策略型博弈的(丑.F'l)=(丑，….'l F+j . .Fn) •其中F'" i纳什均衡存在定理时所应用的那些性质1至5是一致的，且F一I=(FI•….Fi一1，Fi+1，….Fn)ε.1-iIIj#。概念也基本相似，命题2类似在连续博弈中成立，因此同样的同样有(丑.F-i)=F.且vi(F)=Vi(瓦.F-i)0 证明得到了:利用{F"=(!'….P')}k二" . F1 ε牛.F=、混合策略纳什均衡存在定理() (F•….Fi'….Fn)ε.1 .Fiε.1Ii•则limF"=F. (w)件limF1=G={5i尚}，EN是连续博弈，贝tlG至少存在一个混合策略k-∞h→∞ F，，(w).i巨~N;且利用(4)式就有:纳什均衡。 二人常和连续博弈G={51. 52 UI U2 } limvi(严)= lim f" ES, f '0白。…L_ES~~Ui (SI S2. . Sn) dF1 h→∞是→∞且缸虽然我们介绍了反应函数方程组、反应函数法来解元限(SI ) (S2) dP. (Sn) = LI ESL日…L卢Ui(SI S2 •…仇)2 22博弈、连续博弈，但是对二人常和连续博弈还是可以利用由鞍d!’1 (SI) (S2) dP. (Sn) =Vi (F) 点定理表明的最小最大原理来求其搞合均衡，即有如下命题其中在A上定义距离p:.→R为:(以下的证明约去，可参见武康平.2001): p(P .P) =~é\.~s~p 1F ! (sJ -Fr (sJ 1. V P .PεA iEN s ESi 命题6(Ft .F*)是二人常和连续博弈G={岛., 2再利用函数极限与点列极限关系，得到类似于性质3的U2 }的混合策略纳什均衡，当且仅当命题。VI (Ft .F;)= max min V! () I 2Fj芒djF，Ed，命题3Vi (F)是A上的连续函数F且v，cF"F→是F，仨= min maxV! () I 的连续函数.iEN。F芒dFEd22Il 从而结合命题1，可知连续博弈G={5i•凯}，EN的混合扩其中G的混合扩充是工充δ={.1i Vi }，EN是连续博弈。6{.11..12 V V} (F FI 2I 2 ) 此外，利用(5)式、命题3、积分的运算性质，对V8E[ (F F) = f ’1 ESf ’2 ESU; (SI S2 )dF(SI )dF2 (S2)。I 2I I 2 口，以及对jEN .F} .FJ 时，有:此外，也有如下命题zViθ(FI•….8FJ十Cl-8)FJ.….Fn)=8Vi (矶，….FJ.…，命题7博弈G是二人常和连续博弈，当且仅当它的"混F)+(l-8)(F .FJ. .Fn) nI合扩充'它是常和博弈;且混合扩充C保持G的支付总和不即Vi(F) (iεN)有如下特性2变。命题4对 .vi(F)(iEN)具有n重线性性。同时，期望支付函数VI(丑.F2)的鞍点也具有无差异性和定义3连续博弈G={5i•均}，刊的1昆合扩充G={马，可交换性。Vi }，EN中，对iε ε.1i称为局中人iEN在F下3 结语的最优混合策略，如果τvi(F， 本研究主要讨论连续博弈中的混合策略性质和它的均且V识";(凹F)={ptε.1，: v,(Ft ，F-;)=ma皿x{V叫;生(F'l，F-;)沁:F'lε衡，连续博弈G={S;州};EN是否存在纯策略纳什均衡的问.1i} 题，还在于要对它的局中人的支付函数作出其在策略集上是 650
数理医药学杂志2010年第23卷第6期文章编号:1004-4337(2010)06-0651-02申图分类号: 文献标识码:A·临床科研分析·复方氢氯唾嗦对高血压患者心血管事件预后影响的临床研究熊世熙并姚红梅(荆楚理工学院医学院荆门448000)摘要:目的z探讨加用复方氢氯嚓嗦制剂(厄贝沙坦与氢氯喔嚓合剂)治疗高血压患者后对心血管事件预后的影响。方法:选取我院门诊及住院高血压患者67例，随机分为传统高血压药物治疗组(n=33)和传统药物治疗组加复方氢氯噬嚓治疗组(n=34), 分别按药品说明书给予常规剂量和加用复方氢氯噬嚓80mg/d(剂量可调范围为40mg/d~ 160mg/d ) ，随访4个月后比较各组血压及心血管事件的发生情况。结果z与传统药物治疗相比，加用复方氢氯嚓嚓组的终点血压明导降低(P<)，心血管事件发生率也明显减少(P<)，其中脑卒中、心力衰竭及心绞痛的发生率都减少(P<)。结论:加用复方氢氯喽嗦治疗后，高血压患者的终点血压控制更好，心血管事件发生率明显降低，说明合用ARB类药物复方氢氯喔嗦能明显减少高血压患者心血管事件的发生。关键词:高血压病;复方氢氯喔嚓;心血管事件doi: 10. 3969/ j. iss且血管紧张素E受体拮抗JfJJ(ARB)与AngII竞争性争夺 方法AT1•阻止AngII和AT1结合。复方氢氯嚓嚓(为厄贝沙坦与两组高血压患者入组时记录患者的基本情况、症状、体征氢氯喔嚓复方帘j剂)作为ARB具有独特的降压作用，同时对及心血管危险因素，每半年复查一次心电图、心脏超声、尿常心、脑、肾等多个器官具有保护作用。本研究探讨在传统治疗规、生化检查。分别按照降压药物说明书给予降压治疗，加用的基础上加用复方氢氯喽嚓对心血管疾病患者预后的影响。复方氢氯喽嚓治疗组给予80mg/d.剂量可调毡围40~160 mg/do随访1年后，观察两组患者发生任何心血管事件(包括1 研究对象和方法脑卒中、TIA、心肌梗死、心力衰竭、心绞痛、主动脉瘤破裂等) 对象的概率。选取我院2006~ 2007年门诊及住院的高血压患者 统计学分析例，高血压的诊断及分级严格按照国际高血压的诊断标准，随各指标均采用均数±标准差(立了土05)•采用统机分为传统药物治疗组(n=33)及加用复方氢氯喽嚓治疗组计学软件，组间比较采用t检验.P<表示差异有统计学(n=34)。意义。.-←--←--←..-←..-←--←--←--←..-←..-←"呵←--←--←-←"斗---←--←..-←·一←--←-一←--←..-←-一←--←..-←-…←--←..-←--←..-←--←..-←--←--←--←--←..-←..-←"→---←回『←-←--←..-←--←-一←-1947. 拟凹的规定。也指出连续博弈G={Si州);EN的混合扩充C2 Weirich P.均衡与理性(1998).黄涛，译.北京:经济科学出版= {,1i. Vi );EN是一个连续博弈，从而完全信息博弈策略型博弈丰土，2000.的混合扩充博弈都是连续博弈。这样一来，完全信息博弈策3 谢识予.经济博弈论.第2版.上海:复旦大学出版社，2002.略型博弈至少存在一个纳什均衡(或更准确的是混合策略纳4 张维迎.博弈论与信息经济学.上海2上海三联书店、上海人民出什均).那么，对完全信息博弈策略型博弈的混合扩充博弈本版社，1996.身来说，它就至少存在一个纯策略纳什均衡。此外，完全信息5 Binmore K G.博弈论基础，1991;经济理论的进展.[法JH拉丰的有限策略型博弈和连续博弈中混合策略上的性质实际上它编，王国成，等译，北京:中国社会科学出版社，2001.们棍合扩充博弈中关于策略集和(期望)支付函数的性质。6 Fan K Fixed-point and Minimax Theorem in Locally Convex To pological Linear Space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A 1952,38: 参考文献121~126. 7 Fudenberg D, Tirole J.博弈论.姚洋，校，黄涛、郭凯等，译.北京:中国人民大学出版社， Neumann J, Morgenstern o. Theory of Games and Economic 8 武康平.高级微观经济学.北京z清华大学出版社，. Princeton: Princeton University Press, Second Ed, 收稿日期:2010-05-02作者简介:姚红梅，荆楚理工学院医学院，硕士研究生，主要从事心肌保护的研究。赘武汉大学中南医院心内科 651
