SPC控制图法
第一节 SPC的基本要概念与模式
一、SPC的基本功能
SPC（Statistical Proccss Control）：是制程能力分析与制程观察分析的统计方法，它分为计数值控制图、计量值控制图。
二、数据的收集与整理
1、质量特性值
⑴计量值（变量）：如长度、厚度、重量、含量、光洁度、拉力等；
⑵计数值（属性、品质）：如不合格个数、缺陷个数等；
⑶排序数：如等级、名次等。
2、质量数据变异的原因
⑴5M1E：即人、机器（设备）、材料、方法、测量、环境等系统性（异常性、特殊性）原因；
⑵随机原因：随机性（偶然性、普通）原因，随机因素影响质量数据波动（变异）的统计规律性，用相应的概率分布如正态分布、二项分布、泊松分布、超几何分布等描述。
3、随机抽样
⑴总体、个体、样本：
总体是指全部个体或指生产过程，样本是指若干个体组成原集合；
⑵随机抽样方法：
从总体中随机抽取样本的方法骨简单随机抽样等方法。
4、正常数据：指在制程正常（受控）状态收集的数据，建立控制图，才能真正“分析现状，管理制程”的作用。
5、样本数学牲：
⑴平均值；
⑵标准差S与极差R。
三、随机变量的平均值与方差
总体数字特征用E（X）、D（X）表示，称为标准差。
正态分布：E（X）=y，D（X）=δ2 适用于计量值（连续变量）
二项分布：E（X）=np，D（X）=np（1-p） 适用于计数值（不合格数）
泊松分布：E（X）=λ，D（X）=λ 适用于计点值（缺陷数）
四、SPC流程图
1、数据收集总的要求是：明确目的，现志收集，准确可靠，随机抽取。数据的准确度及可靠性是数据收集的关键。
2、SPC步骤：
⑴研究对象：计量值、计数值；
⑵搜集数据：在同一时期搜集产品质量特性值（计量或计数）数据；
⑶计算样本数字特征：平均值与标准差、极差；不合格率；缺陷数；
⑷计算控制上限UCL和控制下限LCL；
⑸绘制控制图，标出样本点的位置；
⑹观察分析控制图，判断现状是否处在稳定受控状态
第二节 计量值控制图
一、正态分布及其应用
对于产品质量特性为尺寸（如宽度、长度、深度、间距等）、重量、含量、强度（硬度、压力等），这类随机变量都可假定为服从正态分布。正态分布曲线的形状用样本数据画直方图峰（中间高）两侧对称下降。
1、正态分布的特征：
正态分布有两个重要参数：均值μ，标准差δ．μ是产品质量数据分布的中心，δ是产品质量数据的波动程度。δ越小，质量数据波动越小，制造过程（工序）越稳定，分布的曲线越瘦高。
2、3δ原理： P{μ-3δ≤X≤μ+3δ}=%
用X表示产品质量特性值，当X服从正态分布时，则有%的产品数据在区间[y-3δ,μ+3δ]，很小或很大的产品质量数据不超过%，这就是人们常讲的3δ原理。
美国休哈特（）博士首创运用3δ原理，制定控制图以管理生产制程（工序）。后把按时间先后顺序抽样所得的质量特性值，计算样本数字特征，以点子的形式依次描在图上，从点子的动态分布来分析制程及其趋势的方法。其标本格式如下：
UCL=μ+3δ，CL=μ，LCL=μ-3δ。
二、制程能力指数
设产品质量特性值X的技术规格有下限TL及上限Tμ即产品的合格率q=p{TL≤X≤Tμ}不合格率P=1-q，记
称M与T分别为技术规格的中心与宽度。对照质量数据的μ及δ，计算相对值，描述过程（工序）能力的大小。
⑴当μ=M时，中心无偏移，计算：
⑵当μ> M时，中心向右偏移，计算：
⑶当μ< M时，中心向左偏移，计算：
当规定μ≤TL或μ≥Tμ时，CPK=0
表1 制程能力等级评定表
CP（或CPK）
制程能力
制程等级
不合格率P
以上
十分充裕
特级
%
～
充裕
一级
%～%
～
尚好
二级
%～%
～
不足
三级
%～%
以下
严重不足
四级
%
制程（过程、工序）能力是指过程的输出（成品或半成品）成果符合技术规格的能力。一般用CP值描述制程能力指数。生产过程越稳定，标准差S越小，制程能力指数CP值越大。所以CP值民S值成反比，CP值越大，制程能力越大，不合格率P越低。详见表1。
三、直方图法
1、直方图用于分析掌握现场生产过程是否处于稳定状态。
稳定状态又叫常态。按正态分布原理知识，制造过程（生产/工序）在没有系统性原因（人、机、料、法、环）影响产品品质情况下，直方图应是「单峰，两侧对称地下降」。瘦高比矮胖要好，直方圆具有正态布特点时，绘制控制图如-X-R图才有效。
2、制作直方圆步骤
第一步，搜集数据
从生产制程中随机抽取N=100个产品，检测其质量值：X1、X2、X3……，XN，然后由小到大重新排序，X⑴≤X⑵……≤X(N)。
第二步，统计分组
用X⑴表示最小值，X(N)为最大值，称R=X(N)- X⑴为极差。用K表示组数，h表示组距（间距，区间长度），则R=，选取a≤X⑴，b≥X(N)，K个区间分别为：
（a，y1），（y1，y2），（y2，y3），……，（yk-1，b）
每个区间的长度都为h，规定左闭右开。每个区间包含的数据个数用fi表示，称之频数，而且
第三步，画直方圆
横坐标是各组的区间，纵坐标是该组的步数。
统计分组参数表
样本容量n
适当的分组数k
一般使用的组数k
50-100
6-10
8
100-250
7-12
10
250以上
10-20
12
[例1] 包装材最大包装长度的直方圆，N=100，K=11，h=50；
表1 包装材最大包装箱长度
NO
实 测
NO
实 测
NO
实 测
NO
实 测
NO
实 测
1
1338
21
1572
41
1479
61
1350
81
1635
2
1671
22
1683
42
1740
62
1599
82
1518
3
1443
23
1479
43
1478
63
1284
83
1374
4
1530
24
1314
44
1377
64
1512
84
1419
5
1314
25
1578
45
1428
65
1425
85
1401
6
1437
26
1587
46
1665
66
1533
86
1485
7
1458
27
1626
47
1506
67
1521
87
1641
8
1478
28
1772
48
1449
68
1593
88
1383
9
1401
29
1587
49
1563
69
1761
89
1518
10
1422
30
1524
50
1362
70
1364
90
1438
11
1470
31
1485
51
1635
71
1359
91
1506
12
1383
32
1566
52
1527
72
1503
92
1457
13
1365
33
1644
53
1470
73
1533
93
1339
14
1479
34
1647
54
1461
74
1620
94
1410
15
1428
35
1524
55
1482
75
1524
95
1285
16
1518
36
1716
56
1557
76
1605
96
1517
17
1674
37
1515
57
1479
77
1467
97
1430
18
1569
38
1455
58
1263
78
1668
98
1273
19
1434
39
1485
59
1449
79
1668
99
1660
20
1380
40
1362
60
1314
80
1641
100
1706
1、找出最大值（MAX）及最小值（MIN），并计算全距即极差R。
R=MAX-MIN，本例：R=1773-1263=510
2、计算组距：h=全距/组数，本例：K=11，h=50
3、设定组界及组中值：C=1/2（上限+下限）
第一组的下限=
第一组的上限=第一组的下限+组距=
第一组的频数f1=4，组中值C1=
第二组及各组的界限与组中值，详见表3。
4、绘出直方图
横坐标为组距界限值，纵坐标为该组的频数f。
5、计算平均值与标准值差S
6、计算CP值或CPk值
本例：TL=1253，Tμ=1783，则M=1/2[1253+1783]=，T=Tμ-TL=530
表3 频数分布数
组号
组距界线值
频数f
中间值X
1
～
4
1
～
9
3
～
10
4
～
16
5
～
16
6
～
15
7
～
10
8
～
9
9
～
7
10
～
3
11
～
1
四、
[例2] 某种线圈的阴抗值X可认为服从正态分布，工序能力等级达到二级以上，试绘制计量值控制图。
第一步：随机抽样，搜集数据
从生产过程中随机抽取n个产品检测其质量特性值，按时间顺序等间隔抽样，每次抽样个数相等。
本例：每日定点抽样一次，每次抽取n=5个产品，得到5个数据，详见表4，共抽取N=20个样本。
表4 样本数据表
样本数
抽样时间
测 定 值
Rt
St
X1
X2
X3
X4
X5
1
1日9点
2
2日9点
3
3日9点
4
4日9点
5
5日9点
6
6日9点
7
7日9点
8
8日9点
9
9日9点
15.
10
10日9点
11
11日9点
12
12日9点
13
13日9点
14
14日9点
15
15日9点
16
16日9点
17
17日9点
1501
18
18日9点
19
19日9点
20
20日9点
合计
平均
第二步：计算样本数字特征
对于每个样本，计算平均值、极差Rt、标准差St，t=1，2，…20。
Rt=max{Xt1，Xt2，Xt3，Xt4，Xt5}-min{ Xt1，Xt2，Xt3，Xt4，Xt5}
如t=1，
详见表4，为中位数，省略，当样本容量n不超过30时，称为小样本，此时计算样本方差S2，要用n-1除，作用是保证样本方差S2估计总体方差S2具有无偏性。
计算样本各数字特征的平均值：
第3步：计算管制图的上下限
本例：n=5，由表查得A1=，B1=，A2=，D1=
第4步：控制图的使用
1)今后每次抽样，一定要坚持同取n=5个产品，计算、R、S；
2)在相应控制图上标出、R、S的位置（描点）。
表5 控制图的系数值表
N
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A1
B1
C2
D1
五、控制图的观察与分析
控制图用于对生产现状的分析，对于工序状态是否处于控制状态的判断，是根据控制图上的样本点子分布的规律作出。一般来说，控制图上的点子分布就反映出生产过程的稳定程度。工序处于控制状态时，控制图上的点子随机地分散在中心线的两侧，离开中心线而接近上、下控制界限的点子少，越出界限的点子更小。
若控制图满足下列两个条件，则可判断工序基本处于控制状态
⑴点子未越出控制界限；
⑵点子在控制界限内排列没有缺陷。
如果点子落在控制界限外，或者是点子虽然没能越出控制界外，但其排列存在下面一川缺陷情况，则认为生产过程发生了异常变化，或者说工序已处于异常状态。需找原因，加以消除，恢复正常。点子在控制界限内的缺陷分下述4种情况。
1、下列情况，称为链状：
⑴在中心线一侧连续出现7点的排列；
⑵点子在中心线一侧出现的比例较大，如：
*连续11个点子中至少有10个点子在同一侧排列；
*连续14个点上至少有12个点子在同一侧排列；
*连续17个点子中至少有14个点子在同一侧排列；
*连续20个点子中至少有16个点子在同一侧排列。
有链状的控制图
2、点子靠近控制线
若点子在中心线上侧的[μ+2σ，μ+3σ]范围内或者在中心线下侧的[μ+3σ，μ-2σ]范围内排列，则称点子靠近控制线排列，如：
⑴连续3个点子中有2个点落在控制界限附近；
⑵连续7个点子中3个点子落在控制界限附近；
⑶连续10个点子中有4个点子在控制界限附近。
点靠近控制线的控制图
3、点子排列形成趋势倾向
如当连续有7个点子上升或下降时，则判断工序发生异常。
有趋势倾向的控制图
4、点子排列具有周期性
为什么对于上述点子排列出现缺陷情况时，可以判断出工序处于异常呢？因为在正常状态下，计算出各种缺陷排列发生的概率很小，千分之五左右。倘若在一次试验中某种缺陷排列真的发生了，则认为这是不正常的现象。
计数值控制图
计数值制图用于对以计数数据为管理对象的控制：纺织品疵点数、铸件气孔数、单位喷漆面积上的班点数、不合格品件数、不合格率等。可将计数值控制图分为运用二项分布制订的计数值控制图：运用泊松分布制订的计点值控制图，其宽度党政军是6倍标准差。由数理统计学中的切比雪夫不等式知，不论X服从什么概率分布，都有：
E(X)表示随机变数X的均值（总体均值），D(X)表示方差（总体方差）， 为标准差。(1)式中区间长度为 。由(1)式告知，当X服从正态分布时，X的取值落在区间 之外的概率为；若X不服从正态分布，则X的取值落在这个区间之个的概率为[1-8/9=1/9]，也不算很大。于是，对于计数值的管制图，还是运用3σ原理制定。
人们都有这个常识：“零缺陷”。“无不良品”是最佳状态，缺陷数越小越好。于是对于计数值控制图，不必设置控制下限LCL，只需设置控制上限UCL。[在计量值控制图中，标准差S越小越好，极差R越小越好，也无需控制下限LCL]。
一、Pn图与P图
对于不合格数（不良品数）X的控制图，称为计数值控制图，又称Pn图。P是生产过程的不合格率或一整批产品的不合格率。N是从中随时机抽取的产品个数，X为n件产品中不合格品个数，X服从二项分布。
Y的控制图称为不合格率控制图，又称P图。
P作为生产过程的不合格率，又称作总体不合格率，通常是未知参数。怎样估计P呢？在生产状况良好的情况下，抽取K个样本，每个样本都是从生产过程中随机抽取。设第t个样本为nt个产品，经检测发现有dt个不合格品，则P的估计值为
(6)式是国家统计方法技术标准委员会推荐用算法。
[例3] 某工序加工某种零件，从生产过程或加工出的零件中，抽取K=25个样本，每次随机抽取样本大小都为n=100个零件，经检测记录了样本中不合格个数dt，t=1，2，3，…，25，详见表6，请制定Rn图。
[解]
表6 不合格品数值表
样本号
日时
dt
样本号
日时
dt
1
1日10点
3
14
16日10点
2
2
2日10点
4
15
17日10点
0
3
3日10点
0
16
18日10点
3
4
4日10点
4
17
20日10点
0
5
5日10点
3
18
21日10点
6
6
6日10点
3
19
22日10点
0
7
7日10点
2
20
23日10点
4
8
8日10点
2
21
24日10点
4
9
9日10点
2
22
25日10点
1
10
10日10点
5
23
27日10点
0
11
13日10点
4
24
28日10点
6
12
14日10点
1
25
29日10点
4
13
15日10点
1
合 计
65
从表6中看到每次抽样的不合格数d，都没有超过UCL，不用修改UCL。
Pnl图制定之后怎样使用？今后每次抽样坚持抽取100个产品，检测记录不合格个数d，若d〈UCL，则判生产过程处于稳定状况。
[例4] 某工序加工某种零件，从生产过程或加工出的零件中，抽取K=25个样本，每次随机抽取样本大小不相等。设第t次的样本大小为nt，nt中不合格个数为dt个， t=1，2，3，…，25，详见表7，请制定P图。
[解]
表7 P控制图样本数据表
样本号
nt
dt
Pt%
样本号
nt
dt
Pt%
1
835
8
14
250
8
2
8078
12
15
830
14
3
780
6
16
798
7
4
252
6
17
813
9
5
430
7
18
818
7
6
600
5
19
581
8
7
822
11
20
464
4
8
814
8
21
807
11
9
206
6
22
595
7
10
703
8
23
500
12
11
850
19
24
760
7
12
709
11
25
420
8
13
350
5
合 计
157955
214
因为每次抽取的产品n不同，于UCL也不同。
如第1样本号，n1=835，则UCL=+
=+=
又如第2样本号，n=808，则UCL=+
=+=
对照表7，表8看到，各个样本的P都没有超过UCL
表8 P图各个样本的控制上限表
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
UCL(%)
13
14
16
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
二、C图与U图
对于铸件表面砂眼、喷漆表面的伤痕、电镀表面的麻点、纺织品上的疵点数等，它们的单位面积（m2）可以固定相同，则用缺陷数控制图，样本中的缺陷数用C表示，称C控制图又称计点控制图。
样本中的缺陷数与样本中不合格个数是不同概率模型的问题，缺陷数X服从泊松分布，而且E(X)=1，D(X)=1，即总体均值与总体方差相等。
[例5] 某工厂生产某种零件铸件，随机抽取K=25个铸件，经检测，记录了每个样中单位面积内的缺陷数Ct，t=1，2，3……25，详见表9，试制定缺陷数C图。
表9 单位面积的缺陷数
样本号
Ct
样本号
Ct
样本号
Ct
1
4
10
6
19
3
2
6
11
2
20
7
3
5
12
4
21
5
4
8
13
8
22
4
5
2
14
5
23
5
6
4
15
6
24
4
7
4
16
3
25
3
8
5
17
4
合计
115
9
3
18
5
[解]
从表9看到，每个Ct都小于UCL，不用修改UCL。
[例6] 对于某种产品喷漆表面的质量考核，抽取了K=20个样本，第t个样本的面积为mt，其中缺陷数用Ct表示，详见表10，试制定U图。
表10 U管制图数据表
样本号
mt
Ct
Ut
样本号
mt
Ct
Ut
1
4
12
2
2
5
13
4
3
3
14
2
4
3
15
6
5
5
16
4
6
2
17
0
7
5
18
8
8
3
19
3
9
2
20
8
10
1
合计
75
11
5
[解]
Ut=Ct/mt为第t个样本中单位面积上的缺陷数。对U的控制与对C的控制不一样，因为分母mt，m2，……，不相等。
PAGE 20
图表1
1253
4
8
10
16
16
15
10
9
7
3
1
1783
Sheet1
A B C D E F
40 60 45 80 70 20
Sheet1
0
0
0
0
0
0
Sheet2
1253 1783
4 8 10 16 16 15 10 9 7 3 1
Sheet2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Sheet3
