第2章 电路的过渡过程
电容元件与电感元件
动态电路的过渡过程和初始条件
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应
一阶电路的全响应
第一节 电容元件与电感元件
•一、电容：
•线性电容元件：C（为常数）与U
•无关的电容元件。
伏安关系U直流→则i=0→相当于开路
电容元件储存能量：
当C充电：u从0→u时：C获得的能量：
这些能量储存于C中，只与u有关与建立过程无关
二、电感元件：
L线性电感：伏安关系：
积分形式
第二节 动态电路的过渡过程和初始条件
换路：电路的接通和断开，电源或电路元件参数的突然变化
电路的激励：作用于电路中的电源或信号
源
电路的响应：电路在电源，信号源或储能元件作用
下所产生的电压、电流或引起电流电压的变化
动态元件：储能元件L、C
动态电路：含有储能元件的电路
一阶电路：储能元件电压u与i之间是微分关系→用
微分方程分析含有一个储能元件的电路→用一
阶线性微分方程求解
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
一、初始条件
求解微分方程要用初始条件来确定常数
换路前的瞬间记为t=0-（可从数学上理解）
换路后的瞬间记为t=0+（左趋近，右趋近）
换路前电容电压为uC（0-）换路后瞬间电压为uC（0+）
同理：
S未动作前
S接通电源后进入另一稳态
i = 0, uC = 0
i = 0, uC= US
二、 什么是电路的过渡过程？
稳定状态(稳态)
过渡状态(动态)
S
+
–
uCUS
R
C
i
S
+
–
uCUS
R
C
i
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
三、换路定律：
uC（0+）=uC（0-） 换路前后 ：电容电压不跃变
iL(0+)= iL(0-) 电感电流不跃变
第三节 一阶电路的零输入响应
• 一阶电路:电路中只有一个储能元件L(或C)
• 零输入响应:换路后,无外加输入激励作用.只由储 能元
件的储能使电路产生响应
一、RC电路的零输入响应
如图充放电RC电路:
分析: 过渡过程. 换路前C已充电u
C
（0
-
）=U
O
换路后: U
C
（0
+
）=u
C
（0
-
）=U
O
根据基尔霍夫定律:
根据一阶线性齐次微分方程的解的形式：
令U
C
=Aept代入微分方程①中得：
特征方程为： 其解为
从已知初始条件U
C
（0
+
）=U
O
代入上式得：A=U
O
微分方程的解为：u
C
= U
O
(V)
电路中的电流i：
讨论
• τ=RC具有时间量纲 基本单位是秒，大小取决于电
路结构和元件参数与激励无关
•τ值大小反应放电大速度快慢
τ大→放电速度慢
τ小→放电大速度快
•理论上t→∞动态过程（放电过程）才结束
但实际上时间经过3~5τ的时间，放电过程就结束
电感电流原来等于电流I
0
，电感中储存一定的
磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的
电路如图(b)所示。
RL电路的零输入响应
我们以图(a)电路为例来说明RL电路零输入响
应的计算过程。
(a) (b)
RL电路的零输入响应
在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即
iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻R时引起
能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直
到电流变为零为止。
综上所述，图(b)所示RL
电路是电感中的初始储能逐
渐释放出来消耗在电阻中的
过程。与能量变化过程相应
的是各电压电流从初始值，
逐渐减小到零的过程。
(b)
换路后，由KVL得
代入电感VCR方程
得到以下微分方程
(b)
这个微分方程与式(2－16)相似，其通解为
代入初始条件iL(0+)=I0求得
最后得到电感电流和电感电压的表达式为
令 ，则上式改写为
其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指
数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数 。且时
间常数 =L/R．
RL电路零输入响应的波形
uL
iL
①
②
24V
4Ω
2Ω
3Ω
6Ω4Ω
9H
K
i1
图2-12 例2-4图
[例2-4] 电路如图2－12所示，换路前K合于①，
电路处于稳态。 t=0 时Ｋ由① 合向②，求换路后的
解: 换路前电路已稳定
uL
iL
①
②
24V
4Ω
2Ω
3Ω
6Ω4Ω
9H
K
i1
图2-12 例2-4图
由换路定律可得
换路后电路为零输入
响应．从Ｌ两端视入的等
效电阻为
时间常数为
电感电流的零输入响应为
电感电压为
uL
iL
①
②
24V
4Ω
2Ω
3Ω
6Ω4Ω
9H
K
i1
图2-12 例2-4图
或者
第四节 一阶电路的零状态响应
• 零状态响应：电路初始状态为0即UC（0+）=0（或iL(0+)=0）由
外加激励产生的响应。
一、 RC电路的零状态响应
电路如图：
换路前：t=0- UC（0-）=0
换路后：t=0+ 列KVL方程
Ri+ uC- Us =0
方程解：uc=uc’+uc’’ uc’-------齐次方程的通解 瞬态响应
uc’’------齐次方程的特解 稳态响应
讨论：（1）换路后瞬间uC（0+）=0→C相当短路iC(0+)= Us/R为最大
（2）换路后Us给C充电uc↑，ic↓（3）t→∞时，ic(∞)=0 uC（∞）=us 动态过
程结束电路达新的稳态
RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相
似。图2-15(a)所示电路在开关闭合前，电感电流
为零，即iL(0-)=0。当t=0时开关K闭合。
图2-15 （a) RL充电电路
根据KVL,有
由于
所以
RL电路的零状态响应
这是一阶常系数非齐次微分方程，其解答为
式中 =L/R是该电路的时间常数。常数A由初
始条件确定，即
由此求得
最后得到一阶RL电路的零状态响应为
其响应曲线如图所示。
RL电路零状态响应曲线
第五节 一阶电路的全响应
• 全响应：初始状态和输入都不为零的一
阶电路的响应。
• 解决方法：求解微分方程→工程上利用
三要素法。
• 重点：全响应分析、三要素法
一、RC电路的全响应
如图所示电路
电路
换路后：根据换路定律uc(0+)=uc(0-)=Uo
当t→∞电路进入新的稳态uc(∞)=Us
换路后
二、RL电路的全响应
如图所示电路，其分析与RC电路相似
电路前
换路后：根据换路定律iL(0+)=iL(0-)=Us/(R+R0)=I0
当t→∞电路进入新的稳态iL(∞)=Us/R
换路后
当t>0时：根据基尔霍夫定律列电路的微分方程：
uL+uR=Us
当t>0时：根据基尔霍夫定律列电路的微分方程：
uL+uR=Us
稳态 暂态
零输入
零状态
三要素法
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