第五章 期权：一个
套利定价的例子
Review&Preview
上一章我们介绍了无套利原理和资产定价
的基本原理，以及有关资产定价的一些基
本性质。然而我们所讲的只是这些性质的
一般形式。
本章我们将运用无套利原理为期权定价。
Structure
期权
期权价格的性质和界
美式期权以及提前执行
完全市场中的期权定价
期权和完全市场化
本章小结
练习
Option
按照金融资产是否与实物资产直接联系，
金融资产可以分为两类：原生金融资产和
衍生金融资产。
原生金融资产与实物资产直接联系。
衍生金融资产是指其价值依赖于原生金融
资产的金融工具。即衍生金融资产与实物
资产的联系是间接地通过原生金融资产实
现的。
记一只证券 期的支付为 ， 期的
价格为 。在本章的讨论当中，我们将它统
称为“股票”。
定义 欧式看涨（看跌）期权给与期权购
买者在未来某一给定日期、以某一确定价
格 从（向）期权出售者处买入（卖出）单
位股票的权利。
期权购买者可以执行其权利的日期叫做到
期日， 叫做执行价格。买入（卖出）的股
票叫做标的证券或者标的资产。
记 为欧式看涨期权 期的支付， 为欧
式看跌期权 期的支付。
，
（）
这里 。
（a）欧式看涨期权
（b）欧式看跌期权
定义 执行价为 、到期日为 的美式看
涨（看跌）期权赋予期权购买者在到期日
前任意日期（包括到期日）、以某一确定
价格 从（向）期权出售者处买入（卖出）
单位股票的权利。
因为美式期权给予所有者提前执行的权利，
所以相对于欧式期权来说，它们给予了所
有者更多的权利。也正因为美式期权可以
提前行权，使得美式期权变得更加复杂。
商务印书馆《英汉证券投资词典》解释：
亦作：期权合约。期权合约以金融衍生产
品作为行权品种的交易合约。指在特定时
间内以特定价格买卖一定数量交易品种的
权利。合约买入者或持有者(holder)以支付
保证金——期权费(option premium)的方式
拥有权利；合约卖出者或立权者(writer)收
取期权费，在买入者希望行权时，必须履
行义务。从其本质上讲，期权实质上是在
金融领域中将权利和义务分开进行定价，
使得权利的受让人在规定时间内对于是否
进行交易，行使其权利，而义务方必须履
行。
称 为看涨期权的内在价值，也就是今
天执行期权所带来的支付。那么，看跌期
权的内在价值是 。如果一份期权的内
在价值大于、等于或小于 的话，我们相应
的称之为实值、平值以及虚值期权。
期权是两个参与者之间订立的合约。期权
购买者获得了从（对）卖出者买入（卖出）
标的证券的权利。当期权购买者行权时，
期权购买者所得到的支付正是来自于期权
卖出者的支付。这就是说，期权是购买者
和卖出者之间的零和交易。从经济的总体
来看，期权的净头寸恒为 。
另外，期权的支付总是由标的资产的价格
或支付来决定。满足（1）净供给量为 ，
以及（2）支付由其他证券的价格或支付来
决定这两个条件的证券也叫做衍生证券。
记 为欧式看涨期权 期的价格，
而欧式看跌期权 的价格为 ；
记 ， 为相应的美式期权的价
格。
我们想要回答的问题是如何为这些期权定
价。依靠无套利原理，我们分两步来回答
这个问题。
第一步，我们分析期权价格的一些基本性
质并且导出期权价格的上界和下界。
第二步，在完全市场的假设下，我们导出
期权定价的精确公式。
期权价格的性质和界
期权的价格受多种因素的影响：
第一个也是最重要的是标的证券的价格和
支付。
第二个是期权的合同条款：到期日以及执
行价。
第三是利率。
定理 和 是非负的。
证明依据：期权的支付非负，无套利原理。
定理 对 非增， 对 非减。
证明： ， 。因此，
由无套利原理有 （定理
）。
定理 与 是
的凸函数。
证明： 以及 ，
不失一般性，设 。 和 同
号时，等式成立；异号时不等式严格成立。
也就是说， 是 的凸函数。
由 及 是线性算子可
知， 也是 的凸函数。
定理 记 为由 只证券组成的组合，
价格向量为 以及执行价格
向量为 。那么
因此，以组合资产为标的的期权价值要小
于以组合中的单个证券为标的资产的相应
期权的组合的价值。
证明：以组合为标的资产的期权的支付为
这里，不等式来自于支付函数的凸性。因
为不等式的右边恰好就是期权组合的支付，
由无套利原理得知定理成立。
定理 。
证明：首先， ，如下图所示。
而 ， 。由无
套利原理， 。
欧式看涨期权的价格上界
定理 如果存在无风险证券，其收益率也
就是利率为 ，那么
证明：考虑这样一个组合，买入一份股票
同时卖空 份无风险证券，其现值为
。它在 期的支付为 。因为
，如下图所示，所以
。并且我们知道 。综合这两个
结果可以得到
综合上面两个定理，我们得到了欧式看涨
期权价格的上界和下界：
（）
欧式看涨期权的价格下界
定理 （看涨—看跌期权的平价关系）
如果存在无风险证券且利率为 ，那么
（）
证明：考虑如下的两个组合：
1.买入 份执行价格为 的看涨期权和 份
无风险证券；
2.买入 份执行价格为 的看跌期权和 份
股票。
让我们来比较它们在 期的支付：
显然，组合1和组合2在 期的支付完全一样。
因此。他们在今天的成本也一定相等，即
（）式成立。
组合1
组合2
美式期权以及提前行权
对于美式期权来说，提前行权只是权利而
非义务。如果持有美式期权至到期日，那
么它的支付与相应的欧式期权完全一样。
正是因为美式期权持有者有权力提前行权，
而他只有在更优时才提前行权，所以美式
期权的价格永远不会低于相应的欧式期权
的价格。
（）
影响提前行权的一个重要因素是标的证券
支付的股利。股息、红利合称为股利。股
份公司通常在年终结算后，将盈利的一部
分作为股息按股额分配给股东。
前面的讨论中，我们假设证券只在 期才有
支付。实际上，证券在 期也可能有支付，
即股利。
例 假设在 期，价格为 元的股票支付
元的股利。这就象公司清算一样：变卖所
有的资产得到 元，并将之全部用来支付
股利。支付股利后，股票价格降为 ，因为
它变成了一份空的要求权。
现在让我们来考虑一份以此股票为标的证
券的欧式看涨期权，执行价为 元，期到期。
因为 期时股票价格降为 ，使得期权的支付
也为 。他现在的价格当然也只能是 。那
么相应的美式期权又如何呢？其持有者可
以在股利消息公布以后、发放以前就提
前行权。这样以 元买入股票，马上就可得
到 元的股利。净支付为 元。因此，在
这个例子中提前执行美式期权是最优的，
可以得到 元的收益。这显然要优于欧式看
涨期权。
因此，在分析是否提前行权时，我们必须
考虑标的证券发放股利的可能性。
无股利时提前行权
首先考虑看涨期权。没有股利时，美式看
涨期权将不会提前行权。
为了证明这一定，我们注意到提前行权得
到的支付为 。但是
也就是说，提前行权所得到的价值不会高
于把他当做欧式看涨期权卖出所得到的价
值。因为在某些状态下严格不等式成立，
因此提前行权是次优的。
有两个因素决定提前行权的成本。
第一个因素是货币的时间价值。如果提前
行权，我们就得立即支付执行价格而不是
等到以后。当利率大于零时，同样的付出
越晚越好。这就是上式中的第一个不等式
所反映的。为了看清这一点，考虑如下的
行权策略：到期日时无论股票价格如何都
行权。这样所得到的支付为 ，即付
出 而得到 ，它的现值是
。这显然优于立即行权所带来的价值，因
为执行价是在到期日支付而不是现在。
第二个因素是在到期日不行权的权利。前
面的行权策略没有考虑到期日是不行权的
情形。如果在到期日、当 低于 时我们可
以选择不行权，那么其所带来的支付
显然优于无论如何都执行所带来的支付
。这就是上式中第二个不等式的来源。
上述两个因素给出来提前行权的代价。因
此，如果没有股利，美式看涨期权将不会
提前行权， 。
接着考虑美式看跌期权。没有股利时，提
前行权可能是最优的。
这里，提前行权的成本是放弃了对支付有
了更多了解后可能选择不执行的权力；而
提前行权的收益是执行价格的时间价值。
如果提前行权，持有者现在就可以得到执
行价格而不是在将来。
如果 ，则提前行权是
最优的。也就是说，当 时
应提前行权。当 时，上述不等式成立。
有股利时提前行权
假设 股票在 期时还支付股利 ，记
为发放股利后的股价。
美式看涨期权持有者在 期有两个选择：
（1）支付 行权，获得股利后马上抛出股
票，得到总额为 的支付
（2）持有期权直至到期日 期。
在最有执行策略下：
其中， 是发放股利前美式看涨期权
的价值。相应地，对于看跌期权有：
由（）式，有 和
。因此，对于美式期权来说，股利促使持
有者提前执行看涨期权、推迟执行看跌期
权。
在有股利时，看涨期权和看跌期权之间的
平价关系也会受到影响。考虑如下组合：
1.买入 份执行价为 的看涨期权和现值
为 的无风险证券；
2.买入 份执行价为 的看跌期权和 份股
票。
比较它们在 期的支付：
显然，组合1和组合2在 期的支付完全相同。
因此，它们在今天的成本也一定相等，即
如果有股利，欧式看涨期权和看跌期权之
间的平价关系变为
组合1
组合2
完全市场中的期权定价
如果证券市场是完全的，那么存在唯一的
状态价格向量： 。记 为标的证
券在状态 时的支付。那么
这里， 是风险中性测度。为了得到更为具
体的结果，我们必须对股票价格在 期的可
能取值做进一步的假设，也就是说，我们
必须对股票价格的过程作更具体的描述。
作为一个经典例子，我们考虑股票价格的
二叉树过程模型。
记 为股票现在的价格。二叉树过程假设下
其股价有两个可能：有 的概率上升到
，有 的概率下降到 。不失一般性，
假设 。我们用下面的二叉树来表示这
样的股价过程：
假设 证券市场中存在无风险证券，利率是
。令它在 期的支付为 ，并记它的价格为
。则
无风险证券的价格也可用二叉树过程来表
示
首先，我们要求上面给出的股票和无风险
证券的价格过程不存在套利机会。即
证明：反证法
设 ，考虑下面的套利组合：买入一
份股票，支付为 ，同时卖出 份无
风险证券，收入恰好为 ，因此在 期的净
支付为 。该组合在股票价格上升时，在
期得到的支付是 ，在股票价格
下降时得到的支付是 。这显然
是一个套利机会。因此有 ；同理可
得 。
因为 期有两个可能状态，由资产定价基本
定理，存在状态价格向量 ，其中
和 分别为对应于“上”和“下”，或 和
的状态价格，使得
由此立即得到
这里，因为只有两个状态，两只支付是线
性独立的证券—股票和证券—从而使得
市场是完全的，并且它们的价格唯一地确
定了状态价格。
给定状态价格，得到期权价格为
（）
也就是说，从股票和债券的价格出发，可
以确定期权或者其他任一证券的价格。
在二叉树模型中，由于只有两个状态，股
票和债券使得证券市场完全化，其他证券
都成了冗余证券。根据无套利原理，他们
的价格完全由复制组合的价格决定，而
复制组合的价格又有组合中股票与债券的
持有量以及他们的价格决定。
接下来，我们就是用上述方法来给执行价
为 的欧式看涨期权定价。
在到期日期权的支付为 ，它取决于
最终的股价。到期日期权的价值为
现在考虑一个组合有股票和债券的组合：
份股票和 份债券。它在两个可能状态下的
支付将是
选择 使得 且 。
因此，这个组合与所考虑的期权具有完全
相同的支付。而这个复制组合在 的价
值为 。无套利原理要求期权
的价格 必须等于 ：
这恰恰就是()式。复制组合中所包含股
票的股数 也称为对冲比或期权的 。
给定状态价格，我们可以定义等价鞅测度：
并把期权定价公式重新写成
定义 和 。那么，我们有
这里 。所以， 和 在等价鞅测度 下
是鞅。
在二叉树股价过程假设下，证券市场是完
全的。因此我们可以使用无套利原理，根
据股票和债券的价格为期权定价。这就是
著名的二叉树期权定价模型。它是无套利
原理在衍生证券定价中的一个重要应用。
期权与市场完全化
如果证券市场是完全的而期权是冗余证券
时，根据无套利原理，我们可以用标的证
券和债券的价格为期权定价。本节，我们
考虑期权不是冗余证券的情况。
简单期权策略
“蝴蝶头寸”是由同一标的证券上的、到
期日相同但执行价格不同的欧式看涨期权
构成的组合：
买入 份执行价为 的看涨期权
卖出 份执行价为 的看涨期权
买入 份执行价为 的看涨期权
这个组合在 期的支付是
显然,只有当 是组合的支付才不
为 。从这个意义上讲，蝴蝶头寸和状态或
有证券的支付形式类似。
利用期权使市场完全化
假设 存在一只证券，其支付为 。
如果 及 ，则我们称之为
具有状态分离的支付，并把这种证券叫做
状态指数证券。不失一般性，假设如果
，则 。
引入以状态指数证券为标的证券的欧式看
涨期权。执行价为 的欧式看涨期权具有
如下的支付：
现在考虑如下 只证券组成的集合：
（1）买入 份状态指数证券；
（2）买入以状态指数证券为标的资产、执
行价格分别为 的欧式看涨期权。
这 只证券的支付矩阵为
显然， 满秩。因此，有状态指数证券和以
其为标的证券、执行价分别为
的 只欧式看涨期权所组成的证券市场是
完全的。以上讨论说明，引入期权有助于
市场的完全化。
接下来我们将证明以状态指数证券为标的
资产的期权组合可以复制状态或有证券。
简单起见，假设在状态 时状态
分离证券的支付分别为 。考虑
以状态分离证券为标的资产、执行价分别
为 的看涨期权组合。
记 执行价为 的看涨期权的支付向量为
。所有这些期权的支付矩阵为：
考虑如下看涨期权组合的支付向量：
买入 份执行价为 的看涨期权
卖出 份执行价为 的看涨期权
买入 份执行价为 的看涨期权
这是一个“蝴蝶头寸”，它的支付为：
这是 份状态 或有证券，因为只有状态 时
支付才为 而其他状态的支付为 。
类似的，由 个执行价为 和
组成的“蝴蝶头寸”在状态 时的支付为
而在其他状态的支付为 。因此，使用这个
期权集合我们可以复制任一的状态或有要
求权。
记 为状态 的状态价格。那么，
其中， 。任意支付为 的资产，其
价格应为
由于 和 一一对应，因此也可以用 描
述状态，所以证券的支付可以表示为 的函
数，我们以 来表示证券的支付，当指数
证券是连续分布的，即可取 大于 的任一
实数值，并且 二阶可导时，我们取
，显然
于是就可以将证券定价的离散形式转换成
连续形式，即
我们可以用密度函数来定义风险中性概率：
无风险债券的价格是
因此
我们再次得到了证券价格的鞅性质。
本章小结
1.欧式看涨（看跌）期权给与其购买者在未
来某一给定日期、以某一确定价格 从（向）
期权出售者处买入（卖出）单位股票的权
利。美式期权允许购买者在到期日以及之
前的任意日期行权。
2.根据无风险原理，欧式看涨期权价格具有
一个上界和下界：
3.看涨--看跌期权的平价关系：如果存在无
风险证券且利率为，那么我们有
4.美式期权的价格不会低于相应的欧式期权
的价格，即
5.（a）如果没有股利，美式看涨期权不会
提前行权，
（b）对于美式期权来说，股利促使持有者
提前执行看涨期权、推迟执行看跌期权。
6.有股利时的看涨看跌期权平价关系：
7.当证券市场是完全的因而期权是冗余证券
时，利用无套利原理，可以用原生证券
（即标的证券和债券）的价格为期权定价
（二叉树期权定价模型）；当期权不是冗
余证券时，期权可以增进证券市场的完全
性。
