书书书
! "#$$ 年 % 月 重庆师范大学学报（自然科学版） &’( "#$$
第 ") 卷 第 * 期 +,-./’0 ,1 23,/456/4 7,.8’0 9/6:;.<6=(（7’=-.’0 >?6;/?;） @,0A ") 7,A *
运筹学与控制论 BCD：27ED：%#F $$G% H 7A "#$$#%$GA $#$*A $I*
具有学习效应的间歇批生产的单机排序问题
!
杨明明，张淑娟，韩翔凌
（曲阜师范大学 管理学院，山东 日照 "IG)"G）
摘要：本文研究了目标函数为总完工时间，具有 B;J,/4 学习效应和遗忘效应的间歇批生产的单机排序问题。考虑了
批与批之间没有学习效应的传递、有部分学习效应的传递和有总的学习效应传递 * 种模型。首先，在批与批之间没
有学习效应传递的模型中，给出了复杂性为 !（"0,4 "）的最优算法。其次，在批与批之间有部分学习效应传递的情
形下，对批在机器上的加工次序问题，通过引入 #F$ 变量，把每一批看作一个工件，将其转化为指派问题。并进一步
给出了复杂性为 !（"0,4 " # $*）的多项式时间算法。最后，在批与批之间有总的学习效应传递的情形下，证明了每
一批中的工件按 %&’序排列可使每一批的完工时间达到最小，并对所有批中的工件个数都相等这一特殊情形，给出
了复杂性为 !（"0,4 " # $*）的多项式时间算法。
关键词：排序；学习效应；单机排序；间歇批生产
中图分类号：C""* 文献标识码：K! ! ! 文章编号：$GI"F GGL*（"#$$）#*F ###MF #G
! ! 在经典排序问题中，工件的加工时间通常被假设为一个常数，即工件的加工时间在整个生产过程中保持
不变。然而在现实生活中，由于员工不断地重复加工相同或类似的工件，使得他们能从中学习到如何更有效
地完成工作，提高了生产效率。因此，后续加工的工件的加工时间比前面加工的工件的加工时间要少，这就
是“学习效应”。
唐国春等［$］将现代排序问题分为可控排序、成组分批排序、在线排序、同时加工排序、准时排序和窗时
排序、机器不同时开工排序、资源受限排序、随机排序、模糊排序以及多目标排序 $# 个分支。随着排序的进
一步发展，近几年具有学习效应的排序问题受到国内外学者的广泛关注。N6<O-P［"］首先将学习效应引入到
排序领域，他提出了一个工件的加工时间与位置有关的学习效应模型：()* + ()*
,，)，* + $，"，⋯，"，其中 ,"
# 为一常数，并证明了当目标函数为极小化共同工期偏差和极小化总完工时间的具有学习效应的单机排序
问题是多项式可解的。&,<3;6,:［*FM］对具有 N6<O-P［"］提出的学习效应的单机排序问题以及平行机排序问题
进行了深入探讨。王吉波，王明征等［%］进一步推广了 N6<O-P［"］所提出的学习效应模型，提出 B;J,/4 学习效
应模型，并对目标函数分别为最大完工时间和总完工时间的具有 B;J,/4 学习效应的单机排序进行了探讨，
指出 >QR序是最优排序。S’/4和 E-,［G］针对 N6<O-P［"］提出的学习效应模型，研究了具有学习效应和遗忘效
应的间歇批生产的单机排序问题，对目标函数为极小化最大完工时间的问题给出了多项式时间算法。E-,
和 S’/4［IFL］提出了一类与时间有关的学习效应模型，并对具有这种学习效应的排序问题进行研究，给出了相
应的多项式时间算法。N6<O-P［$#］比较系统地总结了近些年来国内外专家学者对具有学习效应的排序问题
的研究成果。T’/4 等［$$F$*］对带学习效应的排序问题又进行了深入探讨，将安装时间、恶化效应等引入到具
有学习效应的排序问题中，给出了最优算法。
本文在 S’/4和 E-,［G］的基础上，将学习效应模型推广到 B;J,/4 学习效应模型，目标函数为极小化总完
工时间，指出了机器在批与批之间没有学习效应的传递和有部分学习效应传递的情形下是多项式可解的，
并分别给出了复杂性为!（" 0,4 "）和!（" 0,4 " # $*）多项式时间算法。针对机器在批与批之间有总的学习
效应传递的一种特殊情形给出了多项式时间算法。
! 收稿日期："#$#F #LF *#! ! 修回日期："#$$F #$F $"! ! 网络出版时间："#$$F #%F $G! $#U $*U ##
资助项目：国家自然科学基金（7,A $#GI$$#)）；山东省自然科学基金（7,A S"##%K#M）
作者简介：杨明明，女，硕士研究生，研究方向为组合优化。
! 符号与假设
本文所考虑的极小化总完工时间的具有学习效应和遗忘效应的间歇批生产的单机排序问题，将用到下
列符号。!为批的个数（!# "），即共有 !批；"# 为第 #批；$# 为第 #批中工件的个数；$为工件总数，即共有 $
个工件（$! % $" % ⋯ % $! & $）；’#( 为 "# 中第 ( 个工件（ ( & !，"，⋯，$#）；)# 为在 "# 中的工件的学习因子
（)# " #）；*#为 "#的学习因子（*#" #）；+#(为 ’#(的标准加工时间；+
,
#(为 ’#(在 "#中的第 ,个位置加工的实际加
工时间；+#［-］为在 "#中的第 -个位置加工的工件 ’#［-］的标准加工时间；+
-
#［-］为在 "#中的第 -个位置加工的工
件 ’#［-］的实际加工时间；.#(为 ’#(的完工时间；.#［-］为安排在 "#中的第 -个位置加工的工件 ’#［-］的完工时间；
$$.#( 为所有工件的总完工时间。
$个工件分成 !批放在一台机器上加工，所有工件在 # 时刻准备就绪，当工件被安排在第一个生产批中
的第一个位置上加工时，工件的加工时间即为它的标准加工时间。由于学习效应的存在，后续加工的工件的
实际加工时间要比它们的标准加工时间要小。假设工件具有$%&’() 学习效应。$%&’()学习效应可以作如下
描述。
假定 /,#( 表示工件 ’#( 被安排在 "# 中的第 ,个位置上加工的实际加工时间，则 +
,
#( & +#(（0 %（! 1 0）,
)#）。
其中 )#"#为学习因子，是一个常数；#"0"!，是一个常数。当0 & !时，就是经典排序问题；当0 & #时，
就是 *+,-./［"］提出的学习效应模型。可见，$%&’()学习效应更具一般性，更符合现实生产。
然而，如果在生产线之间中断的时间较长，就会出现遗忘效应，即可能出现批与批之间没有学习效应的
传递、有部分学习效应传递和有总的学习效应传递这 0 种情形。这将在下一部分对目标函数为总完工时间的
情形进行探讨。
" 目标函数为总完工时间的情形
模型 !1 批与批之间没有学习效应的传递
为方便描述排序问题，令 234表示 23% $%&’()4, 5%67(+() %88%92；"表示间歇的批加工问题；5(’ 表示批与
批之间没有学习效应的传递。则此问题用三参数表示法可表示为：! "，234，5(’ $$.#(。
引理 !1 对于问题 !%$.( 可通过 :;<规则得到最优排序。
引理 "1 对于问题 ! 234 $.( 可通过标准加工时间的 :;<规则得到最优排序。
下面给出求解问题 ! "，234，5(’ $$.#( 的最优算法 =。
算法 =1 !"#$ %1 对于每一批中的工件，按标准加工时间非减的次序排列，即
+#! " +#" " ⋯" +#$#，# & !，"，⋯，!
!"#$ &’ 记 /#为 "#按 :;<规则加工时的完工时间，/# &$
$#
- & !
+#［-］（0 %（! 1 0）-
)#），按 /#非减的次序安
排在机器上加工。
:2%/ !中，对于 "# 中的工件的最优排序可通过 :;<规则得到，复杂性为 6（$# 5’) $#），对于所有的批内部
的工件的排序将花费$
!
# & !
6（$# 5’) $#）的时间。
令 $7 & >6?｛$!，$"，⋯，$!｝，由于$
!
# & !
$# & $，$# " $，因此
$
!
# & !
$# 5’) $# "$
!
# & !
$# 5’) $7 "（ 5’) $7）$
!
# & !
$( )# & $5’) $7 " $5’) $
故对于所有批中的工件的排序将花费 6（$5’) $）的时间。
@第 0 期 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 杨明明，等：具有学习效应的间歇批生产的单机排序问题
!"#$% 中对于批在机器上的加工次序的问题需花费 !（"&’( "）的时间。由于 # $ "，故算法 )的复杂性
为 !（#&’( #）。
定理 *+ 算法 %能最优地解决 * &，’()，*,’ $$+,-。
证明 + 对于每一批中的工件的最优排序问题等价于* ’() $+-，由引理%可知，每一批的工件按标准
加工时间的 !-.序进行排列，即可得到最优排序。
把每一批看作一个工件，., 看作是 &, 批的加工时间，由于批与批之间没有学习效应的传递，则问题
* &，’()，*,’ $$+,- 等价于 *%$+-，由引理 * 知，按 ., 的非减序排列即可得最优排序。 证毕
模型 %+ 批与批之间有部分学习效应的传递
假设：*）每一批中的工件都具有 /#0’,(学习效应；%）&, 被安排在第 / 批加工的实际加工时间为 .,/ 0
.,（1 2（* 3 1）/
4,），其中 .,为 &,中的工件按 !-.序加工的完工时间，., 0$
#,
5 0 *
6,［5］（1 2（* 3 1）5
7,），.,不
受批所在次序中的位置的影响。
令 .$12" 表示批与批之间有部分学习效应的传递，则此问题用三参数表示法可表示成：
* &，’()，*$12" $$+,-。
记在批与批之间没有学习效应传递的情况下，每一批中的所有工件的总完工时间为 +,，则 +, 0
$
#,
5 0 *
6,［5］（1 2（* 3 1）5
7,）8（#, 3 5 2 *）。
则问题 * &，’()，*$12" $$+,- 中批的加工次序问题可转化成下面的指派问题。
34,$
"
, 0 *
$
"
/ 0
(
*
+,（1 2（* 3 1）/
4,）2 #,$
/3*
9 0 *
.9（1 2（* 3 1）9
4, )） :,/
56 "6
$
"
, 0 *
:,/ 0 *，/ 0 *，%，⋯，"
$
"
/ 0 *
:,/ 0 *，, 0 *，%，⋯，"
:,/ 0 7 或 *，,，/ 0 *，%，⋯，
"
（*）
给出求解 * &，’()，*$12" $$+,- 问题的多项式时间的最优算法 8。
算法 8+ !"#$ %& 对于每一批中的工件，按标准加工时间非减的次序排列，即
6,* " 6,% "⋯" 6,#,，, 0 *，%，⋯，"
!"#$ ’& 按指派问题（*）式来安排批的加工次序。
!"#$* 的时间复杂性为 !（#&’( #），!"#$%中指派问题的最优算法的时间复杂性为 !（"9），则算法 8的时
间复杂性为 !（#&’( # 2 "9）。
定理 %+ 算法 8能最优地解决问题 * &，’()，*$12" $$+,-。
推论 *+ 如果所有批的学习因子都相等，即 4, 0 4（ , 0 *，%，⋯，"），则算法 ) 能最优地解决
* &，’()，*$12" $$+,-。
证明 + 对于每一批中的工件的最优排序问题，由引理%知，!-.序是最优排序；对于批的加工次序问题，
由于 4, 0 4，.,/ 0 .,（1 2（* 3 1）/
4），将每一批看作一个工件，., 看作是 &, 的加工时间，则
* &，’()，*$12" $$+,-&* ’() $+-。
由引理 % 知，按 ., 非减的次序安排在机器上加工能得到最优排序。 证毕
模型 9+ 批与批之间有总的学习效应的传递
假设：*）&, 被安排在第 ,批进行加工；
: 重庆师范大学学报（自然科学版）+ ;""$：< < ===6 >?,@06 >,+ + + + + + + + + + 第 %A 卷
!）!"# 在 $" 中第 %个位置上的实际加工时间为 &
%
"# ’ &"# ( )（" * (） % )$
" *"
+ ’ "
,( )+ -( )" 。
令 .#$#%& 表示批与批之间有总的有学习效应的传递，则此问题可用三参数表示法表示成：
" $，/01，.#$#%& $$2"#。
定理 ’( 对于问题 " $，/01，.#$#%& $$2"# 的任一批，每一批中的工件的总完工时间的最优值可通过
)*+规则达到。
证明 ( 证明过程利用“相邻交换”的思想。
假设 !为一最优排序，对于 $"，!中存在满足下列条件的工件 !"+ 和 !"#：&"# " &"+，!"+ 在 !"# 之前加工且 !"+
在第 %个位置上加工。
令 $和 3分别表示在 !"+ 和 !"# 之前和之后加工的工件的总完工时间，4表示在 $" 中第 % * " 个位置上加
工的工件的完工时间。
$2"#（!） (’ $ ) 4 ) & ("+ ( )（" * ( (） % )$" *"
+ ’ "
, )+ - ) )"
(
)
4 ) & ("+ ( )（" * ( (） % )$" *"
+ ’ "
, )+ - )" ) & ("# ( )（" * ( (） % ) " )$" *"
+ ’ "
, )+ - ) )" ) 3
交换 !"# 与 !"+，得到新的排序 !5。
$2"#（!5）" ($ ) 4 ) & ("# ( )（" * ( (） % )$" *"
+ ’ "
, )+ - ) )"
(
)
4 ) & ("# ( )（" * ( (） % )$" *"
+ ’ "
, )+ - )" ) & ("+ ( )（" * ( (） % ) " )$" *"
+ ’ "
, )+ - ) )" ) 3
(因为 % )$" *"
+ ’ "
, )+ -" (6 % ) " )$" *"
+ ’ "
, )+ -" 6 ,，-" " ,，&"# " &"+
所以有 (! % )$" *"
+ ’ "
, )+ -" (* % ) " )$" *"
+ ’ "
, )+ -" 6 ,，&"+ * &"# # ,
则 $2"#（!）*$2"#（!5）# !& ("+ ( )（" * ( (） % )$" *"
+ ’ "
, )+ - )" ) & ("# ( )（" * ( (） % ) " )$" *"
+ ’ "
, )+ - )" *
!& ("# ( )（" * ( (） % )$" *"
+ ’ "
, )+ - )" * & ("+ ( )（" * ( (） % ) " )$" *"
+ ’ "
, )+ - )" ’
（&"+ * &"# (） ( )（" * ( (） (! % )$" *"
+ ’ "
, )+ -" (* % ) " )$" *"
+ ’ "
, )+ - ) )" # ,
可知 !5也为最优排序。
对 !中不满足 )*+序的所有工件重复上述调整过程，直到满足 )*+序为止。 证毕
推论 !( 对于问题 " $，/01，.#$#%& $$2"#，存在一个最优排序，对于每一批中工件按标准加工时间的
)*+规则进行排序。
下面对问题 " $，/01，.#$#%& $$2"# 的一种特殊情形进行探讨。
如果所有批中的工件数目相等，即 ," ’ ,! ’ ⋯ ’ ,7 ’
,
7 ’ ’,。令 8"% ’
"，$" 作为第 %批进行加工
,，{ 否则 ，则
-第 ’ 期 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 杨明明，等：具有学习效应的间歇批生产的单机排序问题
当 !! " !" " ⋯ " !# "
!
# " ’!时，! $，%&’，(#$#%& $$)*+中的批在机器上的加工次序问题可转化为下面
的指派问题。
’()$
#
* " !
$
#
, "
(
!
$
’!
+ " !
-*［ +］（. /（! 0 .）（（ , 0 !）’! / +）
1*）（’! 0 + / !）/ ’!$
,0!
2 " !
$
’!
3 " !
-2［ 3］（. /（! 0 .）（（2 0 !）’! / 3）
1*））4 )*,
*+ #+
$
#
* " !
4*, " !，, " !，"，⋯，#
$
#
, " !
4*, " !，* " !，"，⋯，#
4*, " , 或 !，*，, " !，"，⋯，
#
（"）
算法 !" #$%&’" 在每一批中，工件按标准加工时间的 -./规则进行加工；
#$%&(" 根据指派问题!式来安排批的加工次序。
算法 0的复杂性为 5（!&$1 ! / #2）。
定理 34 当所有批中工件的个数相等，即 !! " !" " ⋯ " !# "
!
# " ’! 时，算法 0 能最优地解决
! $，%&’，(#$#%& $$)*+。
2 结论
本文研究了目标函数为总完工时间的具有 567$)1学习效应和遗忘效应的间歇批生产的单机排序问题。
对批与批间没有学习效应传递和有部分学习效应传递的情形，分别给出了时间复杂性为 5（!&$1 !）和
5（!&$1 ! / #2）的多项式时间算法，并针对批与批间有总的学习效应传递的一种特殊情形给出了复杂性为
5（!&$1 ! / #2）的多项式时间算法。对于其他的学习效应模型也可引入到间歇批生产的研究中，例如同时考
虑与加工位置和加工时间有关的学习效应模型或者同时具有学习效应和恶化效应的排序问题，都是值得继
续深入探讨的。
参考文献：
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（责任编辑U 黄U 颖）
V第 S 期 U U U U U U U U U U U U 杨明明，等：具有学习效应的间歇批生产的单机排序问题
