第一章 引 论
© College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua
⒈ 课程
名称： 经济数学模型
学分： 2
教师： 毛瑞华
电话： (028) 85413996
E-mail: maoruihua@
ruihuamao@(123456)
QQ： 459519390
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2. 参考书
1. 宏观经济数量分析方法与模型, 刘起运 主编,
高等教育出版社
2. 经济数学模型, 洪毅 等 编著
华南理工大学出版社
3. 经济学中的分析方法, 高山晟(美) 著, 刘振亚 译,
中国人民大学出版社
4. 经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特 著,
上海财经大学出版社
5. 经济学的结构---数量分析方法, Eugene Silberberg,
Wing Suen 著, 清华大学出版社
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第一部分
经济数学模型的概念
及建模方法简介
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§数学模型和模型的建立
一、模型和数学模型
1. 模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题
而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过
对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和
认识。
2. 数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言
对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人
们更加深入地认识所研究的对象。
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(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条
件，将实际问题中的一些指标进行量化；
(2) 给出描述问题的数学提法；
(3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论；
(4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.
3. 需要解决几个问题：
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4.数学模型建模的步骤
模型准备 模型假设 模型建立
模型求解模型分析模型检验
模型应用
模型
改进
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二、建立数学模型的一个实例
1、问题的提出
设市场上有n 种资产Si(i=1,2,…,n)可供投资者选择, 某公司
有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司
财务人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买
资产Si 的平均收益率为ri,且预测出购买资产Si 的风险损失为qi。
考虑到投资越分散,总的风险越小。公司决定在运用这批资
金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险
来度量。
购买资产Si的需要支付交易费,其费率为pi,并且当购买额不
超过ui时, 交易费按购买额 ui计算。
设同期银行存款利率是r0=5%, 且存取款时既无交易费也无
风险。
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2. 对问题的定位：最优化问题
需要确定购买资产Si 的具体投资额 xi ,即建立投资组合，实
现两个目标：
(1) 净收益最大化；
(2) 整体风险最小化；
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3. 建模准备：
(1)决策变量：
资产Si ( i =0,1,…,n)的投入量xi , i =0,1,…, n, 其中S0 表示将
资产存入银行。
(2)投资收益：
购买资产Si (i=0,1,2, …n)的收益率为 ri, 因此投资 xi 的收益
率为 rixi , 除去交易费用ci(xi),则投资 xi 的净收益为
Ri=rixi - ci(xi)。
从而，总投资的总收益为 R(x)=Ri(xi)。
用数学符号和公式表述决策变量,构造目标函数和确定约束条件
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(3)投资风险：
购买资产Si(i=0,1,2, …n)的风险损失为qi , 因此投资xi 的收益率为
qi xi, 其总体风险用Si的风险,即Qi(xi)= qi xi中最大的一个来度量.
从而总投资的风险损失为 Q (x)= max{Qi(xi)}。
(4) 约束条件：
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(II). 记
x=(x0, x1, x2, …, xn)T, 1=(1, 1, 1, …,1)T,
c=(c0, c1, c2, …, cn)T, r=(r0, r1, r2, …,rn )T,
总净收益R(x), 整体风险Q(x)和总资金F(x)各为
4. 两目标优化模型
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5. 单目标优化模型
求解模型令模型1 求最大化收益。给定风险水平
求解模型模型2 求最小化风险。给定盈利水平 令
模型3 给定投资者对风险-收益的相对偏好参数>0, 求解模型
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6. 简化交易费用下的模型
ui
piui
xi
ci
0
(1) 交易费用函数为
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(2) 由于固定费用pi ui 的存在在, 使得模型是非线性模型,难于
求解模型。
表示投资于Si 的资金比例。
在实际计算中，常假设M=1，则
当M 很大而 ui 相对较小时,可略去 pi ui 的作用,即ci(xi)=pixi,
则资金约束条件变为：
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(3) 简化交易费用下的模型：
LP1：
LP2：
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LP3：
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§ 优化模型的求解方
法
(1) 一元函数的无(有)条件极值；
(2) 多元函数的无(有)条件极值；
(3)* 线性(或非线性)规划方法；
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定理 1 (极值第一判别法)
且在空心邻域
内有导数,
(1) “左正右负
” ,(2) “左负右正
” ,
(1) 一元函数的极值与最大(小)
值
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定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
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二、最大值与最小值问题
求函数最值的方法:
(1) 求f(x)在(a,b)内的极值可疑点x1,x2,…,xm ;
若函数f(x)在[a,b]上连续,则其最值只能在极值点或端点处达到.
(2) 最大值
最小值
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1. 当f (x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时,
2. 若在此点取极大(小)值 , 则也是最大(小)值 .
3. 当f(x)在[a,b]上单调时,最值必在端点处达到.
4. 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑
点是否为最大 值点或最小值点 .
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20
例1. 铁路 AB 段的距离为100 km,工厂C 距A处20 km , AC⊥ AB ,
要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路,已知铁路与公路每
公里货运价之比为 3:5 ,为使货物从B 运到工厂C 的运费最省,问D
点应如何选取?
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( k 为某一常数 )
解: 设 则
令 得 又
所以 为唯一的极小点 ,
故 AD =15 km 时运费最省 .
总运费
从而为最小点 ,
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例2. 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B
点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1
和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确
定光线的路径。
O
Q
h2
h1
P
A
B
1
2
x
空气
水
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解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距
离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q,, OQ = l。
根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传
播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P, 其路径为折线
APB,所需时间为：
当 x[0, l] 时,
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T(x)在[0, l]上连续,T(x)在 x(0, l )上有唯一的零点x0,且x0是
T(x)在(0,l )内唯一的极小值点, 从而x0也是T(x)在(0,l )内的极小
值点, 设 x0满足 T (x)=0, 即
与 1 联系 与 2 联系
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因此，
即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。
记
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多元函数极值的判断
定理 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连续偏导
数，且在点X=(a1, a2,…, an)T处邻域内有定义，
|H|0,则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点X=(a1, a2,…, an)T处
达到极大值的充分必要条件是
且
是负定矩阵(海森矩阵)。
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矩阵H 的正定性的判断方法
(1)矩阵对应的二次型大于0；
(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；
(3) 矩阵H 的特征值全大于0。
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定理 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连续偏导数, 且在
点X = (a1, a2,…, an)T处邻域内有定义, |H|0,则函数 f (x1, x2,…,
xn) 在点X=(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条件是
且 是正定矩阵(海森矩阵)。
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§ 二次多项式函数的极值
函数 f (x1, x2,…, xn)是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记
注: 当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代数中的二次型。
推论 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式,且AT=A,
则函数f (X)在点(a1, a2,…, an)T 处达到极大值的充分必要条件是
且矩阵A是负定矩阵。
推论 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式, 且AT=A。
则函数 f (X) 在点(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条件是
且矩阵A是正定矩阵。
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多元函数的条件极值 Lagrange multiplier
设函数u = f (x1, x2,…,xn)具有3阶连续偏导数,且有m个约束条件:
(一)约束条件问题
(1) 函数 u = f (x1, x2,…, xn) 的自变量的变化范围受到限制,必须
满足m个约束条件。
(2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数u = f (x1, x2,…, xn)的极大
值或极小值函数 u 的条件极值。
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(二) Lagrange multiplier 函数
引入m个拉格朗日乘数 1, 2, …,m ,构造新的函数— 拉格朗日
乘子函数：
(三) 条件极值存在的必要条件
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(四)应用实例
设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价
格为 p, 销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机
的生产量等于销售量。根据市场预测, 销售量 x与销售价格 p 之
间有如下关系：
其中M 为市场最大需求量,a 是价格系数。同时生产部门根据对
生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c有如下测算:
其中c0是只生产一台电视机的成本,k是规模系数.根据上述条件,
应该如何确定电视机的销售价格 p,才能使该厂获得最大利润?
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分析：在生产和销售商品过程中,商品销售量、生产成本与销售
价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格,
才能获得最大利润。
解：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本为c,
销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为
u = (p - c) x (3)
问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。
构造拉格朗日函数
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令
由(8)(9)可得
由(8)(6)可得
由(7)可得
从而,有
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最优销售价格为
说明：
在最优销售价格p*的表达式中含有规模参数k、价格系数a。
为了确定电视机的最优销售价格,必须预先给出这些参数。
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复习：微积分的相关内容
1. 多元函数的偏导数的求法；
2. 多元函数的无条件极值的求法；
3. 多元函数的条件极值的求法；
