第 3卷第 4期 北京理工大学学报(社会科学版) V。1．3N。．4
2001年 11月 JOURNAL OF BEHING INSTITUTE OF TE CHNOLOGY fSOCIAL SCIENCES EDITION) Nov．2001
拟线性效用的福利变动
李先柏
(北京理 工大学，北京 ：100081)
摘 要：本文首先从效用最大化和支出最小化两个模型导出各有关参数之间的函数关系，并导
出等价变动 EV、补偿变动 CV、间接效用的变动 △u这三者之间的关系。然后定义并导出货 币
测度效用函数 (q，P，m)，最后说明 EV和CV能够代替△u来衡量消费者福利的变动，并利用
(q，P，m)进一步地分析了 EV、c 同消费者剩余 c5这一古典概念之间的联 系。文中的结论
对分析消费者的福利等有着广泛而重要的应用。
关键词：货币测度效用函数；等价变动；补偿变动；消费者剩余
中图分类号 ：F22 文献标识码 ：A 文章编号 ：1009—3370(2001)04—0042—05
一
、最大化与最小化模型各参数问的联系 (2)式两边对 Pi(i=0，1，⋯，，1)求偏导得
拟线性效用 R( 0， 一， )= 0+u( 一，
)，消费者在约束条件∑p =m下追求 R的最
大化。为此构造拉格朗日函数 L = 0+u( 一，
)+A。(m一∑pix )，目标函数 R最大化的一阶条
件为O． L1
： 0( ：0，l，⋯ ，n)。这 是一 方程 组，其 解
rdT~i
的形式为 X1"(P)，⋯， ：(P)，其中 P表示向量(P0，
P 一，p )，代人约束条件可得 (P，m)= 一
叠 0
∑PY ，因此所实现的最大效用为
n J} I
u(P，，n)= +“( ，⋯， ：)
另外 ，最优消费束也一定满足约束条件
∑plx ：m
(1)式两边对 P (i=0，1，⋯，11,)求偏导得
= 鼍+毒 鼍 ，一 ．刍 ．1’一
(I)式两边对 m求偏导数得
au a
O—m
“
，
鼍10( 'l'⋯ (5)
(2)式两边对 m求偏导得
p。 ： · (6) p0 o
因为 是方程组 ：且 ( ：1， ⋯ ， )的解 ，因此
． Po 。
= ( Il'⋯．n) (7)
(7)式代人(3)式得
p。 =高n鼍 ，⋯ ㈦ ， n _¨U’l'⋯’n) 【8)
= 一 o'l，⋯ 一 ～ ⋯ I J l’一 n-
t p0
由(4)(6)两式得
(2) au a c- l 0U u l， I
(9)
(10)
消费者面对 的价格向量为 q=(q0，q。，⋯，
‘
，n)(3) g )
，为实现一定 的效用 U，即在约束条件 。+“
( ．．， )=U下，应如何选择消费束以使支出
(4)善g 最小。同样构造拉格朗日函数￡2=善g
收稿 日期 ：20o1—07—11
作者简介：李先柏，北京理工大学管理与经济学院，副教授。
· 42 ·
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▲
拟线性效用 的福利变动
A2[U— 0一u(z 一， )]，支出∑qix。最小化的必
要条件为O L2
： 0( ：o，l，⋯， )，经化简变为 ：
a l
( =1，⋯，n)，此方程组的解为 (q)，⋯， ：
(q)，代人约束条件得 0的解 h0(q， )应满足
h0(q，U)+u( ，⋯， ：)：U (11)
实现效用 U的最小支出为
e(q，u)：q。h0+∑qix：
i = l
由(14)(17)得
： qo (23)U a 一 一
有了上述这些关系式，我们才可进一步导出衡
量福利变化的几种函数表达式。
二 、从可观测的需求函数导出货币测度效用函数
以上讨论了拟线性效用的效用最大化和支出
(12) 最小化两个模型，这里需指出的是，当P q并且m
=e(q，u)时 ，有 xo：h0，即有
(11)式两边对 qi(i=O，1，⋯ ，n)求偏导得 (q
，e(q，u))： ho(q，u) (24)
+ ： 吣 ：o，l，⋯ (13) aq aq ¨ ’
(11)式两 边对 U求偏导得
： 1 (14)U a 一 ⋯
将(12)式 两边对 q (i=0，1，⋯ ，n)求偏导得
意：^。+ 。 Dho+奎qJ aaqx： ( s) 。+ ． aq ¨
另外需要强调的是，效用理论本质上是序数性的。
因此如果一个函数是效用的单调变换，那么该函数
一 定是一个效用函数。因为 q。>0，(23)式表明支
出函数 e(q，U)是关于 U的单调变换 ，所以支出函
数也是一种效用函数，只不过是用货币来度量的一
种效用函数。既然支出函数是一种效用函数，因此
我们就可以用支出函数来研究消费者福利的变化，
并定 义
赛： c + 。 Dho+
，毫 鼍c = 一 式两 ： ? ( 2 5；
(16) (23)-fl5~
，化简过程中注意(9)式与(22)式中所含
(12)式两边对 U求偏导得 变量的区别
，并用 u(p， )去代换(21)(23)式中的
=q。丽Dho (17) 于是可
因为 是方程组 ：里 一 的解
，所 以
(q’ ‘ 6
有 屯 赛：耄： (q ： 一 (27) 有 t L八 l，⋯，
毒 (』：1，⋯，n) (18) 却9_z。： De Ov=q。(一 ) (p，m)(28)
由(13)(18)两式得 9。D
aq
ho
+未 鼍：。( ：o’l， 塞： 素： 一去) (pⅢ= 一
⋯
， )，即 (29)
q。
D ho
+壹 Dqo：。 (19) = De Ov=q。 1 (3。)
以及 上述五式实际上已描述出在拟线性情况下支
。赛+毒 鼍 ⋯，⋯ )' ．
由( )( 9)两式得 知 可表 示为
一 西(p)+B(q，p。， )，B中不含
ap ， ， 0
O—q
o
^。 【 ¨
p 一，p ；由(30)知 可表 示为 m+c(q，p)，c
由‘ 6 ‘ 0 式得
中不含参数 ；由上述对(27)(29
P
)
O
(30)的分析可知
磊 (q)( ： ，⋯，n) ( ) 可表示为如下形式
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，
p，m)=，(q)一 (p) q0 m+ 。
，
=
1
p。
E 1
口。
c (39)
(31) 上述三种度量福利变化的方式均涉及函数f，因此
(31)式两边对 P0求偏导得 有必要对此作进一步的研究。
O
巫
po 一
qo[
Po
p)+ 。。爝
m)
+
旦
一
丝 旦 !! ] ap。
． ．
p。 口。 印。
： 一 [ 一
．
厂(p)+1 m] (∞)
P P 3
。
1 Po
㈤ ， (
0，口0)=口0 (0)，将此式代人( )式，从而 可 印0 p0⋯ ⋯
以写成 如下形式 由(33)式得
m)=f(q)一 _mqo +q0 。) 一 ( ” (42)
(32) 将(42)式与(29)式相 比较知
(25)中当 口 p时有 (p；p，m) e(p，u(p，m))=
： (p) ( ： 1，⋯ ，，1) (43)
m，因此(32)式中当 q=p时有m=，(p)一v
P
o
。
w(p) (33)式对 口
f( 1，⋯，，1)求偏导并与(27)相比较之
+
P
P
。
~m+po cp。，，即 cp，=，cp，+p。 cp。，，将军 羹 ；萎 言 霉 ：
此式代人(32)式得 式即 (p，m)，实 际上这 就是 (24)式 所表达 的涵
(口，p，m)：，(口)一 ，(p)+q_ qm (33) 义。总之我们只须解(41)(43)两式共(，l+1)个偏
(33)式两边对 口。求偏导得 齐次偏微分方程
，解 之可得
= 一
厂(p)+1p。m (34)，(p)
： (p ．．，p )唧『 dp。+[。印『 dp。]
将(34)5~与(26)式 比较可知间接效用函数 ， ，U ，u
(p，m)：上 m
一 ，(p) (35) j ‘p，m’一 expJ‘一 ’dp。 dp。
因此当价格从p变为口，且预算支出从m变为 pok(p “，p )一p。J亩 一 (p，m)]dp。
时，该消费者的福利变化可用下述三种方式表示。 ：p0 (p ”
，p )一p0F(p) (44)
△u：u(口，m，)一u(p，m) 因为旦Po— (p，m) 玄聋p (p)，与参数m无
=
1 [p。 一口。m+qof(P)一Pof(q)] 关，因此积分 』
Po
[旦Po— (p，m)]却。可记为 F
(36) (p)，从而
二是用等价变动 EV来表示福利的变化： F(po，ql，⋯，口 )一F(qo，口 ”，口^)
～ ? m =』==o 出
p。m 一口。m+qof(P)一pof(q)](37)
f
7o
1 m ．， 、
三是用补偿变动CV来表示福利的变化 j 了l了一 。‘ ' ’⋯，g^’m)J出
c 一 ，p，m’
、 、Y 、
= 一
m
+j． q
。
o 1 ．(t， 。，⋯， ，m)dt(4s)
= P0m 一qom+qof(p)一p (口)](38) 。
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_上
▲ 拟线性效用的福利变动
p。 (p)即 p0————— _———一一p0— · p
= 1 p)+
印 。 p0 ’ ‘ 印 ·
(i= 1，⋯ ，n) (46)
偏微分方程组(46)若满足可积性条件，其解则应满
足
k(ql，⋯ ，q )一 (pl，⋯ ，P )
去 p)+
去 (Po,ql,P2，⋯
+
业 ]dp：
a p2 J 2
+．． + [ (p0，ql,"",qn-l,P．)
+ ap ap
+ nxq
n (p。，gl，⋯，g 一l，p )dp ]
P
+g0[，(p0’g1，⋯，gn)一，(g)+ ]
= (p)咖
+f 2 (p。，g】，p2，⋯，p )dp2+⋯
+fqn *(p。，g ，⋯，g 一 ，p )dp ]
+g。f
，
l
。
o 1 (t
，g ，⋯ ，g ，m)dt+m (48)
这就是所求的拟线性效用的货币测度效用函
数 ．基千 此我们来讨论拟线性效 用的福利变动 。
三、度量拟线性效用福利变动的
各种方法间的联系与区别
： ÷ (p)dp +，(p0，g ，p2⋯，p ) 因为 (i：0，l，⋯，n)是可观测的，或者说是
一 ，(p)+士I“ (p0，g ，p2，⋯， )dp2 效用函数 (q，p，m)，进而很容易知道等价变动
： p。： ：： ：：： ” ； J．．． =m，一m+p。j' 。j— o(tPo q P2 P q
o
t ，p ，⋯，p ，m ，d
一 ，( ，1， ，⋯ ， )+⋯ 一 J ⋯ ⋯
+ ( ⋯ 一 pn)dpn + [
+F(p
．
o’g1，⋯’gn 一，‘p0，gl，⋯ ’gn-l’p
+ ( ⋯，‰)咖2+．．．
李 ： (p)dpl +J『：： ： 。，p ，⋯，p 一 ， d
+
上 ：(p。，g ．．，g n_l，p )dp c =m 一 (g，p， ’
po 3p
~
、 、 ， 、 ： m，一 m — g。『 (t，gl，⋯， ，m)出F( +p0，ql，⋯ ，q )一F(p) (47) J po t ⋯ “
拥 ㈨ 4 代人 是得
一 p)dp + (Po,ql,P2,"',Pn
q P P
)dp2
l P2 ’ ’m 0
q。[ ‘gl，⋯，gn 一 ‘pl，⋯’pn
+ ⋯ + f n (p。，ql，⋯，g 一l，p )dp ]
+，(p)一，(g)+旦
Po
]
至于
J
E
Pn
和
"
c 的关系，从(39)式可知 ，只有当
： [r (p)dp g。=p。即“商品零”的价格不变时，这二者才是相
+l“ (p。，g ，p2，⋯，p )dp2+⋯ 负符号总是相同的，正因为如此，E 和c 都可以
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单 位 来 衡 量 的，而 △u却 不 是，但 是 因 为
：1，即多消费 1个单位的“商品
O X0
零”所增加的效用为“1个单位”，而“商品零”的旧
价为 P0，新价为 q0，所以将 △u乘以P0或 q0后 ，便
转化为以货币来衡量 的福利变动 ，这一点也正是
(39)式 所 表 明 的。因 此 我们 用 EV和 CV而 不是
△u，来衡量福利的变动。
最后需要提及的是消费者剩余 cs，这一对福
利的古典度量。消费者剩余可用来研究 m不变即
m =m 而某一种(而不是几 种 )消费 品价格 P．=(i
=0，1，⋯，n)变化所引起的福利变化。对于拟线性
效用，只有 P (i=1，⋯，n)一种价格变化时，EV=
CV=ACS，例如 只有 Pl变化 至 ql，而 和0=咖2=
⋯=咖 =dm=0时消费者剩余的变化为 f：
(P)咖，；根据 EV和 CV的函数式很容易知道此时
EV=CV=ACS= 』P
．
1 (P)咖l，另一种特例是当
g0≠p0，而其余价格和 m郡不变时 的情形 ，这时
EV=p。』p o!
￡
(￡，pl，⋯，p ，m)dt，
CV=一g。 ÷ (￡， ⋯， m)dt
ACS= (￡，P 。。，P ，rn)dt，从而
EV—ACS= ( ．- ，re)at
= ( 一 ，m)dt>0
而 ACS—CV= ( ．-， m)
= ：旦旦 (￡，p 一，p ，re)at>0，对于拟线
性效用有 ≠0，否则就成为一般的效用函数，大
于号之所以成立是因为 始终大于零，所以 EV
>ACS>CV，这就是在这第二种特例时，ACS与 EV
和CV的关系。总之，只有在第一种特殊的情形下，
消 费者剩余 的变化 ACS才与 EV和 CV相等
参考文献 ：
[1] 哈 尔·瓦里安．微观经济学[M]．经济科学出版社 ，1997年版．
[2] 埃德温·曼斯菲尔德．应用微观经济学[M]．经济科学出版社，1999年版 ．
[3] 保罗·安东尼·萨缪尔逊．经济分析基础[M]．北京经济学院出版社，1990年版．
The W elfare Variations of lmaginative Linear Effi ciency
LI Xian—bai
(Beijing Institute of Technology，Beijing：10008 1)
Abstract：This article starts with an introduction to the various functional relations of the parameters formulated by the
utility—maximum model and the expense—minimum mode1．and then discusses the relations of the three vailati0ns— —
EV(the equal variation)，cv(the complementary variation)and AV(the indirect efficiency variation)；the third
step is to define and formulate U(q，P，m)，the efficiency function of the cu~ency measurement，and last step is to
explain that EV and cv can replace cv for measuring the variation of the consumer’S welfare an d further an alyzes the
relations between EV，cv and CS(consumer’S surplusage)．
Keywords：Efficiency function of cu~ency system， Equal variation， Complementary variation， Consumer’S sur—
plusage．
(上接第37页) A Comparative Study of
Direct．Investment Zones in China and in Mexico
DONG 一lin DONG Jin
(Beijing Institute of Technology，Beijing：100081)
Abstract：Th is paper discusses the present location advantages and disadvantage of China’S absorption of American
investment through a comparative study of the location advantage of China and Mexico in absorbing American invest—
m ent．
Keywords：Advan tage of location，Direct investm ent，Comparative study．
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