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基于自适应尺度的类熵模型拟合估计方法#
蔡锦龙，王菡子**
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金博导类资助课题（20110121110033），厦门市科技计划杰青
项目（3502Z20116005）
作者简介：蔡锦龙，（1987-），男，硕士研究生，计算机视觉，鲁棒统计学。
通信联系人：王菡子，（1973-），男，教授，主要研究方向：计算机视觉，鲁棒统计学。
（厦门大学模式分析与机器智能研究中心，福建 厦门 361005）
摘要：本文提出了一种新的鲁棒估计方法：ASEE 自适应尺度的类熵估计子。该鲁棒方法通5
过最小化内点残差的熵来估计模型的参数。该估计子基于 IKOSE(循环第 K 个排序的尺度估
计子)和 LEL（最少类熵估计子）两种鲁棒估计方法。与 LEL 不同的是，ASEE 只考虑内点
的熵而排除离群点的干扰，这使得该估计子在参数模型估计方面非常鲁棒。与其他鲁棒估计
子相比，ASEE 估计子简单且计算效率高。基于人工产生的数据和真实数据的实验，ASEE
估计子比其他几个估计子更加鲁棒，特别是在处理极多离群数据的情况。 10
关键词：鲁棒统计学；模型拟合；尺度估计；熵
中图分类号：TP391
ASEE: Adaptive Scale based Entropy-like Estimator For
Model Fitting 15
Cai Jinlong, Wang Hanzi
(Center for Pattern Analysis & Machine Intelligence, Xiamen University, FuJian XiaMen 361005)
Abstract: In this paper, we propose a novel robust approach, called ASEE (Adaptive Scale based
Entropy-like Estimator) which estimates model parameters by minimizing the entropy of the
inliers' residuals. This estimator is based on IKOSE (Iterative Kth Ordered Scale Estimator) and 20
LEL (Least Entropy-like Estimator). Unlike LEL, ASEE only considers inliers' entropy and
excludes the influence of outliers, which makes it very robust in parametric model estimation.
Compared with other robust estimators, ASEE is simple and computationally efficient. From the
experiments on both the sythetic and real-image data, ASEE is more robust than several
state-of-the-art robust estimators, especially in handling extreme outliers. 25
Keywords: Robust statistics; Model fitting; Scale estimation; Entorpy
0 引言
鲁棒模型参数估计技术在计算机视觉领域具有广泛的应用。例如：运动分割[1]，深度图
像分割[2]，单应估计[3]，基本矩阵估计[4]等。这些鲁棒估计技术的关键在于能够抗拒测量噪30
声和离群点的不良影响。
为了能够不受测量噪声以及离群点的影响，近几年，人们提出了许多种鲁棒的模型拟合
方法。M-estimators[5]和 RANdom Sample Consensus (RANSAC)[6] 是两种广泛使用的鲁棒估
计子。然而，M-estimators 不能处理 50%以上的离群点；RANSAC 虽然能够处理 50%以上的
离群点，但它的鲁棒性很大程度上依赖于手工设定的阈值。M-estimator Sample Consensus 35
(MSAC)[7] 鲁棒估计子通过改进 RANSAC 的目标函数来提高其性能，但仍然需要手工设定
一个阈值。Adaptive Least Kth Order Squares (ALKS)[8], Residual Sample Consensus (RESC)[9],
Residual CONsensus (RECON)[4], Adaptive Scale Sample Consensus (ASSC)[10] 和 Adaptive
Scale Kernel Consensus (ASKC)[11] 等鲁棒估计子能够处理 50%以上的离群点。然而，当离群
点很多时，ALKS 将不能工作；RESC 需要使用者调整很多参数来压缩直方图；虽然 RECON40
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效率很高，但它难以处理含有结构化离群点的数据集。相比之下，当离群点非常多时，ASSC
仍然非常鲁棒。但由于该估计子在其目标函数中将所有的内点同等看待，所以在估计模型参
数时它的效率并不高。ASSC 和 ASKC 都运用了非参数核密度估计方法来估计内点的噪声尺
度，该方法在残差空间中找局部极值点时，计算复杂度较高。
在[12]中，一个鲁棒的 Iterative Kth Ordered Scale Estimator (IKOSE)尺度估计子被提出。 45
该估计子在估计内点的噪声尺度时，对噪声和离群点非常的鲁棒。通过运用 IKOSE 估计子，
内点与离群点将能够被区分开来。在[13]中，作者提出了 Least Entropy-Like (LEL) 估计子。
该估计子的主要目的在于最小化所有点的熵，但该估计子并没有对内点与离群点进行区分。
虽然 LEL 的计算效率非常高，可当离群点数目增加时，LEL 估计的参数将会产生偏差。
本文基于 IKOSE 与 LEL 两种估计子，提出了自适应的类熵鲁棒估计子 (Adaptive Scale 50
based Entropy-like Estimator)，简写为 ASEE。该估计子是使内点的熵最小化，并且排除离群
点对参数估计的干扰。与其他鲁棒估计子相比，所提出的 ASEE 的估计子计算效率非常高，
并且能够鲁棒地处理含有 90%以上离群点的数据。
1 模型拟合和噪声尺度估计
参数模型估计问题可以描述为: 给定一系列点， 55
(d+1)
1 1[( , ),..., ( , )] R
t N
N NX x y x y
×= ∈ (1)
（其中自变量 1( ,... ) R di i idx x x= ∈ ，因变量 1Riy = ），从点集 X 中，估计出模型的参
数：
1( ,..., ) R
t d
dθ θ θ= ∈� � � (2)
模型参数估计的方法有很多种，其中经典的线性回归模型拟合方法可以表示为： 60
1 1 ... ( 1,..., )i i id d iy x x e i Nθ θ= + + + = (3)
其中误差 ie 通常被认为服从正态分布 (0, )N σ 。给定一个模型参数的估计θ� ，第 i个点
的残差 ir可表示为：
1 1, ...i i id dir y x xθ θ θ= − − −� � � (4)
鲁棒模型拟合估计子的目的就是从一个包含大量离群点的数据集中，鲁棒地估计出模型65
的参数。
IKOSE 尺度估计子
噪声尺度估计在模型参数估计中具有重要地位。通过对内点噪声尺度的估计，可以区分
区内点与离群点，从而可以更加鲁棒地对模型的参数进行估计。给定一个估计的内点噪声尺
度 s�，可用下面的公式将内点与离群点区分开来： 70
ir
s
γ<� (5)
其中γ 是一个常量，通常设定为 ，这样当内点噪声满足正态分布的时候，就可以将
98%的内点正确的选出来。
在过去几十年里，学术界提出了很多鲁棒尺度估计子。例如，MEDian，MAD 和 KOSE[8]
是几种比较常用的鲁棒尺度估计子。然而，当存在大量的离群点时，这些尺度估计子将会发75
生严重的偏差，甚至于出现错误的估计。最近，在[12]中，作者提出了一个鲁棒的 IKOSE
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（Iterative Kth Ordered Scale Estimator）噪声尺度估计子，它利用迭代的方法来估计内点的
噪声尺度。IKOSE 可以表示为：
1[(1 ')]K Ks r κ−= Φ +� (6)
' / 'K nκ ≡ (7) 80
其中 Kr 是第 K 个按残差值的绝对值排序后的残差值，残差值是按照其绝对值从小到大
排列； 1[ ]−Φ i 是正态分布累积密度函数； 'n 是属于被拟合模型实例的内点个数；K 值取为
所有点个数的 10%。
当内点噪声尺度通过 IKOSE 计算得出后，通过公式(5)就可以将内点与离群点区分开来。
IKOSE 性能评估 85
本节将比较八种不同的内点噪声尺度估计子（MED，MAD，KOSE，ALKS，MSSE[14]，
EM[7]，TSSE[10]和 IKOSE[12]）的性能。实验中，我们生成一个“平行线”数据信号并用它来
测试各个估计子的性能。该数据信号共包含 1000 个数据点，如图 1（a）所示。假设模型参
数已知，这样就可以计算内点噪声尺度的估计值与内点噪声尺度真实值之间的误差。在本实
验中，内点噪声尺度设置为 。第一条线（由图中红色的点组成）的点数从 900 逐渐减少90
到 100，同时，第二条线（由图中蓝色的点组成）的点数固定为 100，而噪声点数逐渐增加。
这样，对第一条线来说，离群点的百分比将从 10%变化到 90%。
估计的内点噪声尺度与真实内点噪声尺度之间的误差可通过下面的公式[12]计算得出：
( , ) max( 1, 1)TT
T
s ss s
s s
ϒ = − −� �� � � （8）
其中 Ts 是真实的内点噪声尺度， s�是内点噪声尺度的估计值。 95
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
5
10
15
20
25
30
35
尺
度
估
计
误
差
离群点百分比
Median
MAD
KOSE
ALKS
MSSE
EM
TSSE
IKOSE
(a) (b)
图 1：噪声尺度估计的对比：(a)“平行线”信号实例，其中数据包含 90%的离群点；(b)八种不同鲁棒尺度
估计子估计尺度时获得的误差。
Fig. 1: Comparison in noise scale estimation: (a) a snapshot of the “parallel lines” signal with 90% outlier; (b) the 100
error plots obtained by the eight competing scale estimators.
表 1： 不同鲁棒尺度估计子在估计内点噪声尺度的定量对比。
Table 1: Quantitative comparision of the competing methods in estimating the inler scale.
尺度估计子 MED MAD KOSE ALKS MSSE EM TSSE IKOSE
误差均值
误差方差
最大误差值
105
实验重复 60 次，图 1(b)显示了各个估计子获得的尺度估计误差的均值。表 1 显示了内
点噪声尺度估计误差的均值、方差和最大值。从图 1(b)和表 1 中可以看出，IKOSE 在估计
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内点噪声尺度上具有最好的性能。因此，本文选取 IKOSE 作为估计内点噪声尺度的噪声尺度估
计子。
2 ASEE 算法 110
[13]中的作者提出了一个最小类熵估计子 LEL（Least Entropy-Like estimator）。LEL 与
RANSAC、M-estimator 和 ASSC 类似，也是通过计算其目标函数的极值来估计模型参数。
该方法的目的是利用一个损失函数来表示残差的分散度（例如：数据的熵）。LEL 是基于
Gibbs 熵[15]。LEL 的优点在于其计算效率高，并且在某些情况下非常实用。但该方法是通过
最小化所有点的熵来估计模型参数，而并没有对内点与离群点进行区分。此外，LEL 的惩115
罚函数也不是线性的，可能含有多个局部最小值[13]。所以 LEL 在处理某些数据信号时候并
不十分鲁棒。
基于 IKOSE 和 LEL，本文提出了一个新的鲁棒模型拟合估计子：ASEE（Adaptive Scale
based Entropy-like Estimator）。该方法利用 IKOSE，能够非常鲁棒的将内点与离群点区分开
来，然后只最小化内点的熵，而去掉离群点的影响。这样，ASEE 具有更好的鲁棒性。 120
如果获得一个参数估计，通过公式(4)计算出数据点对应于该参数估计的残差值。残差
值的平方和可表示为： 2
1
N
i
i
r
=
= ∑^ ，那么 ir的先验概率可以写为：
2
1
, [0,1] 1
N
i
i i i
i
rc c and c
=
= ∈ =∑^ （9）
在[13]中，LEL 的损失函数定义为：
LEL
1
0 if 0,
1 log otherwise.
log
i
N
i i
i
c
c c
N =
=⎧⎪Γ = ⎨−⎪⎩ ∑
（10） 125
通过上式可知，LEL 在其损失函数中考虑了全部的点（N），并通过最小化 LELΓ 来估计
模型的参数。然而，在 LEL 中，离群点可能会对结果产生非常消极的影响。从直觉上考虑，
假如在目标函数中将离群点排除在外，LEL 鲁棒估计子在模型参数估计的鲁棒性能将会有
很大的提高。因此，我们将 ASEE 的损失函数（或目标函数）表示为：
ASEE
1
0 if 0,
1 log , if 0.
log
k
i
N
i i i i
ik k
c
c c r inliers and c
N N =
=⎧⎪Γ = ⎨− ∈ ≠⎪⎩ ∑
（11） 130
其中 kN 表示数据中内点的数目。
比较（10）和（11），可以看出，ASEE 在其目标函数中只考虑了内点，从而排除了离
群点的影响。这样与 LEL 相比，ASEE 具有更好的鲁棒性。最后，ASEE 估计子可以表示为：
ASEE ASEEarg minθθ = Γ� （12）
与其他估计子一样，本文利用随机抽样的框架来选择最好的假设。最好的假设能够通过135
公式(12)获得。为了能得到正确的模型参数估计，须通过随机抽样产生大量的参数估计，以
便至少有一个正确的参数估计产生。设η是应该产生的模型假设的最少数目，这些假设是通
过随机选择的 p-subset（例如，对于直线来说，p=2；对于圆来说，p=3）经计算获得。假设
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ε 为数据中离群点数目的百分比，P是至少产生一个正确模型假设的概率，η可用下式计算得到：
log(1 )
log[1 (1 ) ]p
Pη ε
−= − − （13） 140
在算法 1 中描述了 ASEE 算法的详细步骤。
算法 1：ASEE 算法的详细步骤
输入：数据，K值和需要产生的模型假设数η
输出：模型参数 ASEEθ�
For 0i = to ηdo
随机的选择一个数据子集 p-subset（包含 p 个数据点），
估计模型的参数 iθ� ，
计算数据对 iθ� 的残差 'ℜ ，
通过 IKOSE 估计内点的噪声尺度，
通过公式(5)，区分出内点和离群点，
通过式(9)和(11)计算^ , 1...i Nc = 和 iΓ
If iΓ < minΓ then
minΓ = iΓ 和 ASEEθ� = iθ�
End
End
输出模型参数估计 ASEEθ�
3 实验结果
本节将评估 ASEE 估计子的性能。实验数据分为人工产生的数据和真实数据。首先比较
ASEE 与其他鲁棒估计子（包括 RANSAC，MSAC，ALKS，RESC，ASSC，LEL 等六种模
型拟合估计子）在直线拟合上的鲁棒性，实验数据为人工合成产生的数据。在分析 ASEE 在145
人工数据上的性能后，我们还将用真实数据来评估 ASEE 的性能。
针对人工合成数据的直线拟合
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ASSC
ASEE
LEL
RANSAC
MSAC
RESC
ALKS
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ASEE
MSAC
ALKS
ASSC
RESCRANSAC
LEL
(a) (b)
图 2：直线拟合结果：(a) 针对三台阶信号的直线拟合结果，其中数据包含 85%的离群点; (b) 针对含有聚集150
类离群点数据信号的拟合结果，其中数据包含 90%的离群点。
Fig. 2: Line fitting results: (a) fitting results on the three-step signal with 85% outliers, (b) fitting results on the
signal involving clustered outliers and with 90% outliers.
首先，我们产生一个三台阶信号，该信号包含 1000 个数据点，这些数据点分布在[0 100]155
范围区间中。属于第一条直线的点（即图 2(a)中红颜色的点）的数目由 700 逐渐减少到 100，
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而其他三条直线上的点的数目固定为 100，但噪声和离群点的数目逐渐地增加。因此，对于
第一条直线来说，离群点的百分比从 30%逐步增加到 90%。七种拟合方法在数据包含 85%
离群数据时获得的结果在图 2(a)中显示。另外，我们重复实验 60 次，并在图 3 中显示在不
同离群数据百分比的情况下，估计参数 A 和 B 时（这里使用了 Y=AX+B 的直线模型）的平160
均误差。表 2 显示了估计参数 A 和 B 时获得误差的平均值、方差和最大值。
30 40 50 60 70 80 90
0
离群点的百分比
估
计
参
数
A
时
的
误
差
RANSAC
MSAC
ALKS
RESC
ASSC
LEL
ASEE
30 40 50 60 70 80 90
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
离群点的百分比
估
计
参
数
B
时
的
误
差
RANSAC
MSAC
ALKS
RESC
ASSC
LEL
ASEE
(a) (b)
图 3：针对三台阶信号的估计误差：(a)和(b)表示在不同离群数据百分比时，估计 A 和 B 的平均误差。
Fig. 3: The error plot for the three-step signal: (a) and (b) are the estimation errors in A and B vs. outlier percentage. 165
表 2 针对三台阶信号的直线拟合时，七种不同鲁棒估计子性能的评价。
Tab. 2 Evaluation of the seven robust estimators for line fitting on the three-step signal.
估计 A 的误差 估计 B 的误差
误差均值 误差方差 最大误差 误差均值 误差方差 最大误差
RANSAC
MSAC
ALKS
RESC
ASSC
LEL
ASEE
由于聚集的离群点对于模型拟合来说会产生更大的影响，第二类产生的信号既包含了聚170
集的离群点又包含了均匀分布的离群点。该信号总共包含 1000 个数据点，属于要拟合直线
（即，图 2(b)中红颜色的点）的数据点的数目从 800 逐渐减少到 100。聚集的离群点数目固
定为 200，同时，均匀分布的离群点数目逐渐地增加。因此，对要拟合的直线来说，离群点
的百分比从 20%逐渐增加到 90%。七种估计子在数据包含 90%离群数据时获得的拟合结果
如图 2(b)所示。我们重复了 60 次实验，并在图 4 中显示出在不同离群点百分比情况下，不175
同估计子在估计模型参数 A 和 B 时获得的平均误差。表 3 显示了在估计参数 A 和 B 时获得
的误差的均值、方差和最大值。
从以上结果（图 2 到 4 和表 2 到 3）可以看出，在七种不同的鲁棒估计子中，ASEE 取
得了最好的效果，并且它能够处理含有 90%以上离群点的信号。相比之下，在三台阶信号
实验中，当离群点占数据中的百分比达到 30%时，LEL 开始失效。而在含有聚集类离群点180
信号的实验中，当离群点占数据的百分比达到 60%时，LEL 开始失效。其他鲁棒估计子，
也随着离群点的数目增加而相继失效。
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20 30 40 50 60 70 80 90
0
1
2
3
离群点的百分比
估
计
参
数
A
时
的
误
差
RANSAC
MSAC
ALKS
RESC
ASSC
LEL
ASEE
20 30 40 50 60 70 80 90
0
50
100
150
200
250
离群点的百分比
估
计
参
数
B
时
的
误
差
RANSAC
MSAC
ALKS
RESC
ASSC
LEL
ASEE
(a) (b)
图 4：包含聚集类离群点的信号中参数估计的误差: (a)和(b)表示在数据包含不同离群点百分比时，估计参数185
A 和 B 的平均误差。
Fig. 4: The error plot for the signal with clustered outliers: (a) and (b) are the estimation errors in A and B vs.
outlier percentage.
表 3 在包含聚集离群点的信号上直线拟合时，七种不同鲁棒估计子性能比较。 190
Tab. 3 Evaluation of the seven robust estimators for line fitting on the signal with cluster outliers.
估计 A 的误差 估计 B 的误差
误差均值 误差方差 最大误差 误差均值 误差方差 最大误差
RANSAC
MSAC
ALKS
RESC
ASSC
LEL
ASEE
针对真实数据的直线拟合
本节将用一些具有挑战性的真实数据来评估 ASEE 以及其它对比估计子的性能。
第一：硬币边缘拟合。如图 5(b)中显示的 4 个硬币，其边缘图像 (如图 5(a)所示) 是利195
用 Canny 边缘提取算法获得的，共产生了 3645 个数据点。利用七种不同的鲁棒估计子对硬
币的圆形边缘进行拟合，拟合结果如图 5(b)所示。从实验结果可以看出，ASEE 能够精确地
拟合硬币的边缘。与之相比，RESC 和 ASSC 产生了一些偏差，而其他的估计子未能正确地
拟合硬币的边缘。
第二：人行道中的直线拟合。对于图 6(b)所示的图像，利用 Canny 算法得到人行道图像200
的边缘图像 (如图 6(a) 所示)，共包含 41783 个数据点。七种对比估计子所拟合的结果如图
6(b)所示。从结果中可以看出，只有 ASEE 能够正确地拟合人行道中的直线，并且得到了最
好的效果。相比之下，ASSC 估计产生了一些偏差，而其他的估计子均未能正确地拟合人行
道中的任何一条直线。
第三：金字塔边缘拟合。利用 Canny 算法对图 7(b)所示的图像提取边界后得到的金字塔205
边缘图像，共包含 2644 个点。七种不同的鲁棒估计子对其边缘进行拟合，拟合的结果在图
7(b)中显示。从结果中可以看出，只有 ASEE 能够正确的拟合金字塔的一个边缘。相比之下，
其他估计子没能正确拟合金字塔图像边缘的任一直线。
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ASSC
LEL
MSAC
RANSAC
RESC
ASEE
ALKS
(a) (b) 210
图 5：硬币边缘拟合结果：(a) 由 Canny算法获得的硬币边缘图像；(b) 七种估计子获得的拟合结果。
Fig. 5: Fitting the edge of a coin: (a) the edge image obtained by using the Canny operator; (b) the fitting results
obtained by seven estimators.
RANSAC
MSAC
ALKS
RESC
ASSC
LEL
ASEE
215
(a) (b)
图 6：人行道的直线拟合结果：(a) 由 Canny算法获得的边缘图像；(b) 七种估计子获得的直线拟合结果。
Fig. 6: Fitting a line in the pavement image: (a) the edge image obtained by using the Canny operator; (b) the line
fitting results by the seven estimators.
220
Others
ASEE
(a) (b)
图 7：金字塔边缘的直线拟合结果：(a) 由 Canny算法获得的边缘图像；(b) 七种估计子获得的拟合结果。
Fig. 7: Fitting a line of a Pyramid: (a) the edge image obtained by using the Canny operator; (b) the fitting results
obtained by the seven estimators. 225
基于单应矩阵的分割
本节将测试 ASEE 在基于单应矩阵的分割上的性能。并利用“拟合—移除”框架来检测
多个单应平面。实验中使用的一对图像对并用特征检测算法获得兴趣点，再通过特征匹配算
法进行两幅图像兴趣点之间的匹配。另外，我们随机加入 100 个匹配点作为离群数据。在分230
割时，本实验使用随机抽样方法。我们采取 Direct Linear Transformation（DLT）[16] 算法
来获得单应矩阵假设估计，实验中产生了 5000 个假设，并利用 Sampon Distance[17]度量来
计算残差值。计算的结果如图 8 所示。从图 8 可以看出，ASEE 能够正确的估计多平面的单
应矩阵并分割多个平面，同时也成功地检测到了离群点。
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235
图 8：ASEE 获得的基于单应矩阵的分割结果，2 个平面被正确估计和分割出。不同的平面用不同的颜色表
示，其中黄色的点表示被检测的离群点。
Fig. 8: Homograph based segmentation results obtained by ASEE. The two planar surfaces are correctly estimated
(shown in different colors) and the yellow points are the detected outliers.
240
4 结论
本文提出了一种新的鲁棒模型估计子 ASEE 来估计模型参。该估计子是基于 IKOSE 噪
声尺度估计子和 LEL 模型参数估计子。ASEE 首先通过 IKOSE 来估计内点噪声尺度，从而
区分内点与离群点；然后，通过最小化内点的熵，来计算出模型的参数。与 LEL 不同的是，
LEL 的目标函数是最小化所有点的熵，并没有将内点与离群点区分开来，而 ASEE 的目标245
函数中排除了离群点的影响。通过实验可以看出，相对于 LEL 来说，ASEE 的性能有了很
大的提高。同时与其他的鲁棒估计子相比，ASEE 的计算效率高，鲁棒性更好，特别是在处
理含有大量离群点的数据时，表现出了非常好的鲁棒性。
[参考文献] (References)
[1] S. Mittal, S. Anand, and P. Meer. Generalized projection-based m-estimator[J]. IEEE Anal. Mach. 250
Intell., 2012, 34(12): 2351-2364.
[2] R. Hoseinnezhad and A. Bab-Hadiashar. An m-estimator for high breakdown robust estimation in computer
vision[J]. Computer vision and Image Understanding, 2011, 115(8): 1145-1156.
[3] H. Liu and S. Yan. Efficient structure detection via random consensus graph[A], IEEE Conference on
Computer Vision and Pattern Recognition[C], 2012: 574-581 255
[4] R. Raguram and J.-M. Frahm. RECON: Scale-adaptive robust estimation via residual consensus[A], IEEE
International Conference on Computer Vision[C], 2011: 1299-1306.
[5] . Huber. Robust Statistics[M], New York: Wiley, 1981.
[6] . Fishler and . Bolles. Random sample sonsensus: a paradigm for model fitting with application to
image analysis and automated cartography[J]. Commun. ACM, 1981, 24(6); 381-395. 260
[7] . Torr and . Murray. The development and comparision of robust methods for estimating the
fundamental matrix[J]. Int. J. Comput. Vision, 1997, 24(3): 271-300.
[8] K.-M. Lee, P. Meer, and R.-H. Park. Robust adaptive segmentation for range images[J]. IEEE Trans. Pattern
Anal. Mach. Intell., 1998, 20(2): 200-205.
[9] X. Yu, . Bui, and A. Krzyzak. Robust estimation for range image segmentation and reconstruction[J]. IEEE 265
Trans. Pattern Anal. Intell., 1994, 16(5): 530-538.
[10] H. Wang and D. Suter. Robust adaptive-scale parametric model estimation for computer vision[J]. IEEE
Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 2004, 26(11): 1459-1474.
[11] H. Wang, D. Mirota, and . Hager. A generalized kernel consensus-based robust estimator[J]. IEEE Trans.
Pattern Anal. Math. Intell., 2010, 32(1): 178-184. 270
[12] H. Wang, T.-J. Chin, and D. Suter. Simultaneously fitting and segmentating multiple-structure data with
outliers[J]. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 2012, 34(6): 1117-1192.
[13] G. Indiveri. An entropy-like estimator for robust parameter identification[J]. Entropy, 2009, 11(4): 560-585.
[14] A. Bab-Hadiashar and D. Suter. Robust segmentation of visual data using ranked unbiased scale estimate[J].
Robotica, 1999, 17(6): 649-660. 275
[15] . Chakrabarti and K. De. Boltzmann-gibbs entropy: Axiomatic characterization and application[J].
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2000, 23(4): 243-251.
[16] . Hartly, A. Zisserman. Multiple View Geometry in Computer Vision[M]. Cambridge Univ. Press, 2004.
[17] . Torr and . The development and comparison of robust methods for estimating the
fundamental matrix[J]. International Journal of Computer Vision, 1981, 24(6): 381-395. 280
