第一章 蒙特卡罗方法概述
1. 蒙特卡罗方法的基本思想
2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差
3. 蒙特卡罗方法的特点
4. 蒙特卡罗方法的主要应用范围
作 业
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第一章 蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。
半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机
的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并
首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗
方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大
区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于
蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理
实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而
该方法的应用领域日趋广泛。
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1. 蒙特卡罗方法的基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和
电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方
法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了
应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科
学试验中就已发现，并加以利用。
两个例子
例1. 蒲丰氏问题
例2. 射击问题（打靶游戏）
基本思想
计算机模拟试验过程
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例1. 蒲丰氏问题
为了求得圆π值，在十九世纪后期，有很多人作了
这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针
与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代
替概率P，再利用准确的关系式：
求出π值
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这
就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
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一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者 年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
斯密思(Smith) 1855 3204
福克斯(Fox) 1894 1120
拉查里尼
(Lazzarini)
1901 3408
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例2. 射击问题（打靶游戏）
设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ
(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动
员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水
平。该运动员的射击成绩为
用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期
望，即
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现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹
着点依次为r1，r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，
…，g(rN)的算术平均值
代表了该运动员的成绩。换言之，为积分<g>的估
计值，或近似值。
在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作
为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。
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基本思想
由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某
个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或
者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的
方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干
个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。
这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就
是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随
机变量（仅取值为1或0）的数学期望。
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因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试
验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某
种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概
率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2
，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，
g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
作为积分的估计值（近似值）。
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为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的
次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，
甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽
然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代
以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电
子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试
验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应
用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。
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计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过程（如投针，
射击）化为数学问题，在计算机上实现。以上述两个
问题为例，分别加以说明。
例1. 蒲丰氏问题
例2. 射击问题（打靶游戏）
由上面两个例题看出，蒙特卡罗方法常以一个“
概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使用由已
知分布抽样的方法，得到部分试验结果的观察值，求
得问题的近似解。
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例１．蒲丰氏问题
设针投到地面上的位置可
以用一组参数（x,θ）来描述，x
为针中心的坐标，θ为针与平行
线的夹角，如图所示。
任意投针，就是意味着x与
θ都是任意取的，但x的范围限
于［0，a］，夹角θ的范围限于
［0，π］。在此情况下，针与
平行线相交的数学条件是
针在平行线间的位置
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如何产生任意的（x,θ）？
x在［0，a］上任意取值，表示
x在［0，a］上是均匀分布的，
其分布密度函数为：
类似地，θ的分布密度函数
为：
因此，产生任意的（x,θ）
的过程就变成了由f1(x)抽样x
及由f2(θ)抽样θ的过程了。由
此得到：
其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀
分布的随机变量。
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每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均
匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述
针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为
如果投针Ｎ次，则
是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，
于是有
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例２．射击问题
设射击运动员的弹着点分布为
用计算机作随机试验（射击）
的方法为，选取一个随机数ξ，按
右边所列方法判断得到成绩。
这样，就进行了一次随机试
验（射击），得到了一次成绩
ｇ(r)，作Ｎ次试验后，得到该运
动员射击成绩的近似值
环数 7 8 9 10
概率
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2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差
蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误
差是普遍关心的一个重要问题。
收敛性
误差
减小方差的各种技巧
效率
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收敛性
由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的
简单子样X1，X2，…，XN的算术平均值：
作为所求解的近似值。由大数定律可知，
如X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望值
（E(X)<∞），则
即随机变量X的简单子样的算术平均值 ，当子
样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
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误差
蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论
的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机
变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非
零的方差σ2 ，即
f(X)是X的分布密度函数。则
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当N充分大时，有如下的近似式
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
这表明，不等式 近似地以概率
1－α成立，且误差收敛速度的阶为 。
通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要
求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确
定出 。
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下面给出几个常用的α与的数值：
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特
卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法
是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须
使用其估计值
来代替，在计算所求量的同时，可计算出 。
α
5
3
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减小方差的各种技巧
显然，当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定。要
减小ε，或者是增大N，或者是减小方差σ2。在σ固定的
情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N需增加
两个数量级。因此，单纯增大N不是一个有效的办法。
另一方面，如能减小估计的均方差σ，比如降低一
半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果。
因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。
后面课程将会介绍一些降低方差的技巧。
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效率
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个
子样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减
少。所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个
子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量。这就
是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为 ，其中c
是观察一个子样的平均费用。显然 越小，方法越
有效。
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3. 蒙特卡罗方法的特点
优点
1) 能够比较逼真地描述具有随
机性质的事物的特点及物理
实验过程。
2) 受几何条件限制小。
3) 收敛速度与问题的维数无关。
4) 具有同时计算多个方案与多
个未知量的能力。
5) 误差容。
6) 程序结构简单，现。
缺点
1) 收敛速度慢。
2) 误差具有概率性。
3) 在粒子输运问题中，
计算结果与系统大
小有关。
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1) 能够比较逼真地描述具有随机性质
的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物
理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用
蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本
身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、
形象的特点。
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2) 受几何条件限制小
在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分
时，无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述Ds
的几何特征的条件，就可以从Ds中均匀产生N个点
，得到积分的近似值。
其中Ds为区域Ds的体积。这是数值方法难以作到的。
另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统
形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特
卡罗方法，不会有原则上的困难。
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3) 收敛速度与问题的维数无关
由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特
卡罗方法的收敛速度为 ，与问题本身的维数
无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时
间的变化，不影响误差。也就是说，使用蒙特卡罗方
法时，抽取的子样总数N与维数s无关。维数的增加，
除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。这一
特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。而
一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数
的幂次方而增加，而且，由于分点数与维数的幂次方
成正比，需占用相当数量的计算机内存，这些都是一
般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。
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4) 具有同时计算多个方案与多个未知
量的能力
对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡
罗方法有时不需要像常规方法那样逐个计算，而可以
同时计算所有的方案，其全部计算量几乎与计算一个
方案的计算量相当。例如，对于屏蔽层为均匀介质的
平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时，只需计
算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概率在计算最厚
一种情况时稍加处理便可同时得到。
另外，使用蒙特卡罗方法还可以同时得到若干个
所求量。例如，在模拟粒子过程中，可以同时得到不
同区域的通量、能谱、角分布等，而不像常规方法那
样，需要逐一计算所求量。
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5) 误差容
对于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误
差并不是一件容情，而蒙特卡罗方法则不然。根据蒙
特卡罗方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计
算出误差。对干很复杂的蒙特卡罗方法计算问题，也
是容的。
一般计算方法常存在着有效位数损失问题，而要
解决这一问题有时相当困难，蒙特卡罗方法则不存在
这一问题。
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6) 程序结构简单，现
在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构
简单，分块性强，现。
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1) 收敛速度慢
如前所述，蒙特卡罗方法的收敛速度为
，一般不容精确度较高的近似结果。对于维数少（三
维以下）的问题，不如其他方法好。
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2) 误差具有概率性
由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估
计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下
的误差。
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3) 在粒子输运问题中，计算结果与系
统大小有关
经验表明，只有当系统的大小与粒子的平均自由
程可以相比较时（一般在十个平均自由程左右），蒙
特卡罗方法计算的结果较为满意。但对于大系统或小
概率事件的计算问题，计算结果往往比真值偏低。而
对于大系统，数值方法则是适用的。
因此，在使用蒙特卡罗方法时，可以考虑把蒙特
卡罗方法与解析（或数值）方法相结合，取长补短，
既能解决解析（或数值）方法难以解决的问题，也可
以解决单纯使用蒙特卡罗方法难以解决的问题。这样，
可以发挥蒙特卡罗方法的特长，使其应用范围更加广
泛。
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4. 蒙特卡罗方法的主要应用范围
蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围
越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，
统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及
医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发展，其
应用范围将更加广泛。
蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要
包括：实验核物理，反应堆物理，高能物理等方面。
蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包
括：通量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，
光子能量沉积谱及响应函数，气体正比计数管反冲质
子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。
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作 业
1) 用蒲丰投针法在计算机上计算π值，取a=4、l=3。
2) 分别用理论计算和计算机模拟计算，求连续掷两颗骰
子，点数之和大于6且第一次掷出的点数大于第二次
掷出点数的概率。
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