四川西南航空职业学院
《高等数学Ⅱ》2025-----2026 学年期末试卷（A 卷）
专业班级 姓名 学号
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 成绩
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说明：本试卷共 100 分；答题要求： 按要求答题
考生须知:
1.姓名、学号、系、专业、年级、班级必须写在密封线内指定位置。
2.答案必须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷上，字迹要清晰，卷面要整洁，写在草稿
纸上的一律无效。
第 I 卷（选择题）
评卷人 得分
一、选择题（每题 2 分，共 20 分）
1. 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则下列结论正确的是（ ）。
A. f(x,y)在点(x0,y0)处一定连续且偏导数存在
B. f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数一定存在，但不一定连续
C. f(x,y)在点(x0,y0)处连续，但偏导数不一定存在
D. f(x,y)在点(x0,y0)处既不一定连续，偏导数也不一定存在
2. 已知向量a = (1, - 2,3)，b = ( - 2,4, - 6)，则向量a与b的关系是（ ）。
A. 垂直 B. 平行 C. 夹角为
π
4 D. 无法确定
3. 曲线x = t,y = t2,z = t3在点(1,1,1)处的切线方程为（ ）。
A.
x - 1
1 =
y - 1
2 =
z - 1
3
B.
x - 1
1 =
y - 1
1 =
z - 1
1
C.
x - 1
3 =
y - 1
2 =
z - 1
1
D.
x - 1
-1 =
y - 1
-2 =
z - 1
-3
4. 设D是由x = 0,y = 0,x + y = 1所围成的区域，则∬D f(x,y)dxdy化为二次积分是
（ ）。
A. ∫
1
0
dx∫
1-x
0
f(x,y)dy
B. ∫
1-x
0
dx∫
1
0
f(x,y)dy
C. ∫
1
0
dy∫
1+y
0
f(x,y)dx
D. ∫
1
0
dy∫
1-y
0
f(x,y)dx
5. 级数∑∞n=1
( - 1)n-1
n
是（ ）。
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 无法判断
6. 设z = ln(x + y2)，则
∂z
∂x在点(1,1)处的值为（ ）。
A.
1
2 B. 1 C. 2 D.
1
3
7. 已知平面π的方程为2x - 3y + z - 6 = 0，则平面π在z轴上的截距为（ ）。
A. 6 B. -6 C. 2 D. -2
8. 函数f(x,y) = x2 + y2 - 2x + 4y的驻点为（ ）。
A. (1, - 2) B. ( - 1,2) C. (1,2) D. ( - 1, - 2)
9. 设L是从点A(0,0)到点B(1,1)的直线段，则曲线积分∫L(x + y)ds的值为（ ）。
A. 2 B. 2 2 C.
2
2 D. 1
10. 幂级数∑∞n=0
xn
n!
的和函数为（ ）。
A. ex B. e-x C. sinx D. cosx
第 II 卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题（每题 2 分，共 20 分）
2. 设a = (2, - 1,3)，b = ( - 1,4, - 2)，则a Ⅱ b=______。
3. 已知z = exy，则
∂2z
∂x∂y=______。
4. 曲线y = lnx在点(e,1)处的切线方程为______。
5. 设D是由x2 + y2 ≤ 4所围成的区域，则∬D dxdy=______。
6. 级数∑∞n=1
1
n(n + 1)
的和为______。
7. 平面3x - 2y + z - 5 = 0与平面x + y - 2z + 1 = 0的夹角的余弦值为______。
8. 函数z = x3 - 3x + y2的极小值点为______。
9. 设L为单位圆x2 + y2 = 1，取逆时针方向，则曲线积分∮L xdy - ydx=______。
10. 幂级数∑∞n=1
(x - 1)n
n
的收敛半径为______。
11. 已知u = xyz，则gradu=______。
三、计算题（每题 10 分，共 50 分）
12. 求过点(1, - 1,2)且与平面2x - 3y + z - 1 = 0平行的平面方程。
13. 设z = f(x2 - y2,exy)，其中f具有连续的一阶偏导数，求
∂z
∂x和
∂z
∂y。
14. 计算二重积分∬D(x
2 + y)dxdy，其中D是由y = x2，y = x所围成的区域。
15. 求曲线x = tcost,y = tsint,z = t在t =
π
2处的切线与法平面方程。
16. 求幂级数∑∞n=1
x2n-1
2n - 1
的收敛域及和函数。
四、证明题（10 分）
证明：函数f(x,y) = x2 + y2在点(0,0)处连续，但偏导数不存在。
