经济数学模型
第三章 金融应用模型
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第一节 利率模型
资金是有时间价值的，无论进行了什么样的经济
活动，都必须认真考虑资金时间价值，千方百计缩
短资金使用周期，加速资金周转，节省资金占用数
量和时间，提高资金的经济效益。
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一、单利模型
设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn
若年利率和本金都是常数，n年后的本利和为
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二、复利模型（利滚利）
1、离散型复利模型
每年结算一次，n年后的本利和为冠
每年结算m次，n年后的本利和为
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2、连续型复利模型
连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为
已知初始资金S0，用单利或复利计算n年后资
金Sn的计算式称为终值模型终值模型；反之，已知n年后的终
值Sn，求按年利率r折算到现在时间段的资金S0的模
型称为现值模型现值模型。
三、现值模型
在现值模型中，将年利率r也称为折现率
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1、单利现值模型
若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
2、复利现值模型
每年折现一次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
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每年折现m次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
连续折现,若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
经济数学模型
流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入，
现金流入与现金流出之差称净现金流量。
在财务分析中，把研究的项目视为一个系统，投入的资金、
花费的成本、获得的收益，可以看成是以资金形式体现的该系
统的资金流出或流入。在项目整个寿命期内各时点上实际发生
的资金流出或流入称为现金流量。
四、资金流的现值与终值模型
现金流量图
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若在相同时间段资金量不是固定值，而是随时间段变化，
用Ai表示第i阶段末的资金量(i=1,2,…n),r表示阶段的利率，
则n个阶段全部资金量的终值S为
资金终值公式现金流量图
An-1A3A2A1 An
s
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若Ai表示净现金流,称S0为净现值，记为NPV
则n个阶段全部资金量的现值S为
若考虑现值，第i阶段资金的现值为 Ai(1+r)
-i
A1 A2 A3
An-1 An
S0
资金现值公式现金流量图
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若每个相同时间段资金数额相同都为A，即Ai=A，称A为年
金。根据资金产生时间分为
普通年金：从第一期开始每期
期末收款、付款的年金。
Ａ Ａ Ａ Ａ
０ １ ２ ３ ４
先付年金：从第一期开始每期
期初收款、付款的年金。
Ａ Ａ Ａ Ａ
０ １ ２ ３ ４
五、年金五、年金
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Ａ Ａ Ａ Ａ …… A
０ １ ２ ３ ４ …… ∞
递延年金：在若干期以后收付的年金。
永续年金：无限期的普通年金。
Ａ Ａ Ａ Ａ A
０ １ ２ ３ ４ 5 6 7
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普通年金现值为
普通年金终值（复利）为
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例 假设以8%的利率借款500万元，投资于某个寿命期为12
年的新技术，每年至少要收回多少现金才是有利的？
解得A为
因此，每年至少要收回663500元，才能还清贷款本利。
A=5000000×=663500（元）
设每年回收A元，据普通年金现值计算公式
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先付年金终值（复利）为
先付年金的现值为
永续年金无终值（∞），其现值为
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连续资金流的终值与现值
若各阶段资金量是时间t的连续函数f(t)，也称为连
续资金流，若f(t)在（0，T)连续，则在时间段
（t,t+△t)内资金的近似值为f(t)△t,若按连续复利
计算，这些资金在期末的终值为
由定积分思想，总收入的终值为
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若求现值，设连续折现,记其对应的现值为S0, T年资
金流量的总现值S0是
特别，当f(t)=A时，有
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例 某企业想购买某种设备，设备成本为5000元，t年
后该设备的报废价值为
使用该设备在t年时可使企业收入850－40t元，若年利
率为5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台
设备？此时，总利润的现值是多少？
解 T年后增加收入的现值为
T年后设备残值的现值为
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T年后总利润的现值为
为求最大值，对T求导得
令 得T=10
当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后
报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为
T=10为唯一极大值点，就是最大值点。又
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简单的投资决策模型
投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力
及长远发展都有重要影响，投资决策方法非常多，简单
的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类,它们的区别
在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则考
虑货币的时间价值，更科学、合理。非贴现法主要有回
收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值法、
内部收益率法和获利能力指数法三种。
以贴现法为例分析。
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式中 PT——动态投资回收期；
CI——第t年的现金流入量；
CO——第t年的现金流出量；
ic——基准收益率。
一、投资回收期一、投资回收期((动态动态))
动态投资回收期是指在给定的基准收益率ic
下，用方案各年资金净流量的现值来回收全部投资的现值所
需的时间。公式：
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年 0 1 2 3 4
项目A的现金流量 -1000 400 400 400 400
现值系数（10%） 1
折现的现金流量 -1000
累计折现现金流量 -1000
例 项目A的现金流量为
项目A的动态投资回收期=
累计净现金流量
折现值开始出现
正值的年份
-1+
= 4-1+
年 0 1 2 3 4
项目A的现金流量 -1000 400 400 400 400
折现现金流量为(折现率为10%)
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项目投资回收期在一定程度上显示了资本的周转速度。
资本周转速度愈快，回收期愈短，风险愈小，盈利愈多
。 不足的是，投资回收期没有全面地考虑投资方案整个
计算期内的现金流量，即忽略在投资回收期以后发生的数
据,对总收入没有做考虑。只考虑回收之前的效果，不能反
映投资回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个计算期
内的经济效果。
投资回收期作为方案选择和项目排队的评价准则是不可
靠的，它只能作为辅助评价指标。
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二、净现值（二、净现值（NPVNPV））
净现值是指方案在寿命期内各年的净现金流量按照设定的折
现率折现到期初时的现值之和，反映了方案获利能力。其表
达式为：
式中： NPV——净现值；
CI——第t年的现金流入量；
CO——第t年的现金流出量；
n——该方案的计算期；
ic——设定的折现率。
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对单一方案而言，若NPV≥0，则认为项目可行，若
NPV < 0，则予以拒绝。对多方案比选时，净现值越
大，方案越优。
净现值的大小既取决于资金流量，也取决于所用的
贴现率。对于同一项投资方案来讲，贴现率越小，净
现值越大；反之，净现值越小。
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• 原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量(年金的现
值)或不规则的资金流量，充分考虑了投资方案发生资
金流量的先后时间以及整个寿命期间内的收益，体现了
货币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投
资决策方法。
• 主要缺点是在投资额不相等的若干方案之间进行比较
时，单纯看净现值的绝对额并不能做出正确的评价。因
为在这种情况下，不同方案的净现值是不可比的。
净现值的优缺点
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例
年 现金流量① 现值系数（10%）② 现值=①×②
0 -1000 1 -1000
1 500
2 400
3 300
4 100
NPV
项目的净现值
单位：万元
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三、获利能力指数
获利能力指数是项目投产后现金流量的现值之和与初
始投资现值之和的比，表明项目单位投资的获利能力
，记为PI。表达式为：
获利能力指数显然和净现值很相似，但它反映了单位投资
额的效益。与净现值指标相比，更便于投资额不等的多个
项目之间的比较和排序。
PI=投产后现金流量的总现值/初始投资总现值
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如果投资方案获利指数大于或等于1，为可行方案；
如果获利指数小于1，则方案不可行；
如果几个方案的获利指数均大于1，那么获利指数越大，
投资方案越好。
PIPI决策的标准是决策的标准是
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内部收益率（IRR）指使项目的净现值等于零时的折现率。
（四）内部收益率（四）内部收益率
IRR的决策标准：
1、将方案的内部收益率与行业基准收益率对比，如果
方案的IRR大于等于行业基准收益率，则方案可行，否
则不可行；
2、在可行的方案中，IRR最大的方案为最优方案；
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直接反映投资项目的实际收益水平，可以直接与行业
基准收益率比较。计算过程不受基准收益率高低的影
响，比较客观。
IRR优点：
例 某公司有一完整工业项目。各年的现金净流量如图所示，
假设该项目的基准折现率为10%.
-300
1 2 3 4 5
82
0
-100
82 82 82 82
202
1211
建设期
用matlab计算得
净现值 NPV=（万元），获利指数 PI=
内部收益率 IRR=%
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马科维茨投资组合模型
美国经济学家马科维茨是现代投资组合理论的创始
人。他于1952年3月在《金融杂志》上发表了题为
《证券组合选择》的论文，并于1959年出版了同名
专著，详细论述了证券收益和风险的主要原理和分
析方法，建立了均值－方差证券组合模型的基本框
架。马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组
合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间
的相互关系的影响。马柯维茨根据风险分散原理，
应用二维规划的数学方法，揭示了如何建立投资组
合的有效前沿，使有效前沿上的每一个组合在给定
的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的
情况下风险最小。
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设市场有n种风险资产，其收益率为随机变量，用向
量表示为
其数学期望向量为
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n种资产组合权重向量为
权重向量约束条件为
写成向量的形式为
其中1 表示分量全为1的列向量。
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资产组合期望收益的向量表达式为
资产组合方差的向量表达式为
其中∑是n种资产收益率的协方差矩阵
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注：协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于
任何非0的向量a，都有
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给定一个证券投资组合 ，它的预期
收益率 和标准差 确定了一个点对 ：
将其称为组合线。组合线上的每一点，表示
一个权数不同的证券组合。因此组合线告诉我
们预期收益率与风险怎样随着证券组合权重的
变化而变化。
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对于一个理智的投资者来说，如果给定预期收
益率水平，他喜欢风险低的投资机会；如果给定风
险水平，他喜欢预期收益率高的投资机会。用数学
模型表达这两个基本原则，则有下面两个数学规划
模型
在预期收益水平确定的情况下，求使组合风险达到
最小,即
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在风险水平确定的情况下，求使组合收益最大，即
实际上，两个模型组成的可行集合和有效集是等
价的。下面研究最小方差投资组合模型。
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用拉格朗日乘数法求解。令拉格朗日函数为
则最优解的条件为
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由于矩阵 ∑ 可逆，解得
变形为
由约束条件可得
再将 变形为
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由约束条件可知
令
可得方程组
，
解得
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投资组合系数为
投资组合预期收益的方差为
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整理得
上式给出了投资组合预期收益率与方差的关系，若
预期收益率为μ，则
变形为
两边开平方并移项，得
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表示了一条抛物线，该抛物线的顶点为 ，
可以证明这条抛物线开口向右
对 移项并整理得
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在 平面上，
为双曲线的标准型，中心在 ，对称轴为
和 ，双曲线的图形如图所示。
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在图中的g点是一个特殊的点，它是双曲线在第一象
限中图形的顶点。由图可知，所代表的组合是所有
可行组合中方差最小的，将其称为“全局最小方差
组合”。
全局最小方差投资组合为
显然g点以下的组合是所有可行组合中方差相同而期
望收益较小的组合，任何一个理性的投资者都不会
选择这样的组合。g点以上的边缘是所有可行组合中
方差相同而期望收益较大的组合，这些组合即为有
效投资组合，也就是有效前沿。
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两基金分离定理 任意最小方差投资组合都可以
表示为全局最小方差投资组合 和可分散化资
产组合 的线性（凸）组合。用数学式表示即为
其中
和 在代数意义下线性不相关。所以对
给定的任一投资组合 都可由任意两个线性
不相关的最小方差证券组合线性表示出来。
可以证明，
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两基金分离定理表明在有效前沿上的任意一个投
资组合都可以由有效前沿上两个线性无关的投资
组合线性表示出来。
假设wa和wb是在给定收益ra和rb（ra≠ rb）的有
效资产组合，则任何有效的资产组合都可由wa和
wb的线性组合构成。反之，由wa和wb线性组合构成
的资产组合，都是有效组合。
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两基金分离定理的意义
定理的前提：两基金（指两个有效资产组合）
的期望收益是不同的，即两基金分离。
1. 一个决定买入有效资产组合的投资者，只要投资
到任何两个有效和不同收益率的基金即可， 投资
者无须直接投资于n 种风险资产，而只要投资在
两种基金上就可以了。
2. 计算上的意义：要获得有效前沿，只需要获得
两个有效解，然后对解进行组合即可。
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资产组合理论的优点
• 首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险
的衡量问题，使投资学迈向科学。
• 分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单
个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。
• 从单个证券的分析，转向组合的分析。
资产组合理论的缺点
当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用
受到限制；解的不稳定性。
