固定收益证券
李磊宁
中央财经大学金融工程系
第六讲:利率期限结构动态模型
内容提要
利率动态模型的定义与特征
1
均衡模型与无套利模型
2
定义与特征
定义及其含义
利率期限结构模型即是描述短期利率随时间变化的动力学方程，也是利率衍生品进行定价及风险管理的重要工具。
第五讲对利率期限结构的分析属于静态分析，即对某个时点的利率期限结构的分析和估计。在考虑到了时间因素以后，利率期限结构被视为一种随机过程，应该用随机函数关系模型描述这一过程。
定义与特征
短期利率的运动特征：
特征一：短期利率在有限的范围内变动，一般情况下不会是负值， 也不可能是特别大的正值。
特征二：当利率水平特别高时，利率更倾向于下降而非上升；当利率水平特别低时，利率更倾向于上升而非下降。利率在偏离均值时有向均值“回归”的现象，该现象被称作具有均值回复性。
特征三：不同期限的利率之间不是完全相关的。往往表现为当利率期限结构（收益率曲线）发生变化时，收益率曲线短端变化剧烈，而长端变化缓慢。
定义与特征
短期利率的运动特征：
特征四：不同期限的利率具有不同的波动率，收益率曲线短端的利率通常具有更高的波动率。
特征五：短期利率的波动率具有异方差性，即不同的利率绝对水平上，利率波动率的方差不同。
定义与特征
利率期限结构模型示例：
一个假定的模型：
其中：
dr代表一个很小的时间间隔（用dt表示）利率的变化；
λ代表趋势变量，它是市场对利率变化的预期和风险补偿的综合反映；
σ代表利率的年度波动率（1年内波动多少基点）；
dw代表一个均值为0，标准差为 ,符合正态分布的随机变量。
定义与特征
利率期限结构模型示例：
用利率二叉树表示
注：根据利率树计算出来的利率期望和标准差也就是模型代表的期望和标准差，这个利率树具备我们的假定的模型的基本性质
定义与特征
利率期限结构模型示例：
假设初始利率水平r=5%，利率年波动率σ=6%，时间变化单位为一个月，即dt=1/12年，λ=%，dw=，一个月后的利率水平是多少?
dr=λdt +ơdw=%(1/12) + 6%%，即一个月后新的利率水平就是r+dr=5%+%%。
在一个月的时间内，利率变化的趋势是下降的，即一个月下降个基点，[%(1/12) %]，一个月利率变化的标准差是174个基点（σ=6% %）。
5%
%
%
%
%
%
例子中的利率树图，步长为1个月，共2期
利率期限结构模型示例
定义与特征
定义与特征
r0,0
r1,1
r1,0
r2,2
r2,1
r2,0
V0,0
V1,1
V1,0
V2,2
V2,1
V2,0
利率期限结构模型示例------利率树与债券价格树
定义与特征
设债券面值是100元，B10表示1年期零息债券的价格，B20表示2年期零息债券的价格，B1表示1年期附息债券（假设票息率4%）的价格，B2表示2年期附息债券（假设票息率4%）的价格。
6%
5%
4%
第一年利率为5%，第二年可能是6%，也可能是4%（各为50%）
定义与特征
1年期零息债券的定价过程是
1年期零息债券的价格树图是
100
100
定义与特征
2年期零息债券的定价过程是
定义与特征
2年期零息债券的定价树图是
100
100
100
定义与特征
1年期附息债券的定价过程是
1年期附息债券的价格树图是
100
100
定义与特征
2年期附息债券的定价过程是
定义与特征
2年期附息债券的定价树图是
+4
100+4
100+4
100+4
100+4
利率模型分类
均衡模型:根据市场均衡条件推导出利率演变过程，模型中相关经济条件是输入变量，利率是输出变量；均衡模型分为单因素模型与多因素模型。
无套利模型:通过利率衍生品（价格依据利率变动而变动的金融工具，如债券等）的价格必须满足无套利的条件推导出模型表达式。
均衡模型
Vasicek模型
该模型由学者Vasicek于1977年创立 。模型认为利率变动存在“均值反转”的特征，模型的形式是
是长期均衡利率，k是正数，代表均值反转的速度。当r小于时，趋势为正，当r大于时，趋势为负。r和之间的差距越大，短期利率向长期均衡利率的变化程度越大。
均衡模型
Vasicek模型
该模型的另一个表达式
可以把分成两个构成因素：一是利率的长期均衡值∞，另一个是风险溢价λ。
均衡模型
Vasicek模型
例如，k=，r=4%，∞=6%，λ=%，σ=，t=1/12(年)，那么根据公式，=6%+%/=16%。
一个月以后利率变动的预期值将是2个基点：
未来一个月的利率波动率将是35个基点 ：
均衡模型
Vasicek模型
例子中的第一期树图
4%
均衡模型
Vasicek模型
例子中的第二期树图
%
%
均衡模型
Vasicek模型
例子中的二期利率树(节点不重合)
%
4%
%
%
%
%
%
均衡模型
Vasicek模型
面值1元的零息债券在时刻t的价格是
均衡模型
Vasicek模型
t时刻对于T-t期间的连续复利的表达式是
一旦确定了k,和σ三个参数，整个利率期限结构可以作为r(t)的函数加以确定。
均衡模型
H-W模型
1990年，学者豪（Hull）和怀特（White）发表论文，对Vasicek模型和CIR模型进行扩展，提出了一个Vasicek模型的扩展形式
其中，a和是常数。H-W模型与Vasicek模型类似，所不同的是向均值回复的水平依赖时间。因为如果把（t）看作常数，模型就变回到Vasicek模型。
均衡模型
H-W模型
根据模型，债券价格由下式给出
均衡模型
通过运行MATLAB程序（函数为HWprice），我们可以运用该模型为一只国债定价。如为“21国债（10）”定价，定价日为2007年9月25日.债券价格树见下图。
无套利模型
HO-LEE模型
该模型由学者Thomas Ho 和 Sang-Bin Lee于1986年创立
模型认为利率变动可以写成
注意：此处的λ 是关于t的函数
无套利模型
HOLEE模型的利率树图
σ可以根据历史数据取得，或者是根据金融衍生品的价格，通过倒推的方式取得
各期λ是根据“拟合”零息债券的办法，即通过使得零息债券的定价符合其市场的真实价格的方式取得各期的λ （举例）
无套利模型
HOLEE模型的利率树图
假如当前1年期零息债券价格为, 2年期零息债券价格为，利率年波动率为1%，如何利用上述资料求得λ，并建立HO-LEE模型的利率树呢？
无套利模型
HOLEE模型的利率树图
首先，可以通过两个零息债券的价格分别求得1年期和2年期两个即期利率
无套利模型
HOLEE模型的利率树图
画出2年期零息债券价格树图和相应的利率树图
100
100
100
t=0
t=1
t=2
2年期零息债券价格树
无套利模型
HOLEE模型的利率树图
画出2年期零息债券价格树图和相应的利率树图
含有未知趋势项的HO-LEE模型2期利率树
无套利模型
HOLEE模型的利率树图
写出2年期零息债券的定价方程，可以求得方程中唯一的未知数是
知道了以后，自然可以根据模型求得利率树中各节点的利率
无套利模型
HOLEE模型的利率树图
%
5%
%
最终的利率树
无套利模型
HOLEE模型的优、缺点
优点：假设未来利率呈现正态分布，所以计算比较简单，可以方便地对利率衍生品定价；
缺点：
1.利率有可能出现负值 ；
2.常数波动率与利率运动的第四和第五个特征不符 ；
3. HO-LEE模型中利率为正态分布的假设也不符合实际 。
HOLEE模型的改进——“波动率随着时间而变化的” HO-LEE模型 （举例）
r
ru
rd
t=1
t=0
有关统计概念
的回顾
HOLEE模型的扩展
举例:如何利用债券价格和利率期限结构做出“波动率随着时间变化的” HO-LEE模型利率树
3
2
1
年波动率(%)
零息债券价格
即期利率(%)
期限
当前的利率期限结构、债券价格与波动率
HOLEE模型的扩展
由于当前的一年期即期利率已知，我们首先需要求出的是明年开始的一年期利率的分布。有关的债券价格树见下图
100
100
100
t=0
t=1
t=2
HOLEE模型的扩展
建立并解出下列方程组
HOLEE模型的扩展
%
r2,2
r2,1
r2,0
t=0
t=1
t=2
利率树就扩展到了第2期
HOLEE模型的扩展
下面需要解出r2,2、r2,1和r2,0。此时有关的利率树和债券价格树如图所示。
100
100
100
100
%
ru
rd
HOLEE模型的扩展
同样，我们可以建立并解出下列的方程组
HOLEE模型的扩展
然后根据已经知道的有关节点处债券的价格，反推出相应节点的利率，为此，需要建立并解出下列的方程组
HOLEE模型的扩展
波动率随着时间变化的HO-LEE模型利率树（1年期利率）
%
%
%
%
%
%
HOLEE模型的扩展
BDT模型
Black-Derman和Toy于1990年创立的BDT模型认为利率本身并不服从正态分布，而是利率的对数服从正态分布。所以利率服从“对数正态分布”。
利率对数的波动率有下面的形式
2007年9月25日，运用BDT模型对“21国债（10）”进行定价。MATLAB的“金融衍生品工具箱”中支持BDT模型的运行。通过查找初始的利率期限结构和设定波动率结构,运行MATLAB后得到债券的当前价格是元。
