物流管理定量分析方法
胡新生 主编
第一章物资调运方案的表上作业法
考核知识点：
不平衡运输问题化为平衡运输问题，初始调运方案的编制，物资调运方案的优化。
考核要求：
掌握将不平衡运输问题转化为平衡运输问题的方法。
熟练掌握编制初始调运方案的最小元素法。
理解闭回路、检验数等概念。
熟练掌握求最优调运方案的优化方法。
物资调运的表上作业法
物资调运问题
例1 现有三个产地A、B、C供应某种商品，供应量分别为50吨、30吨、70吨；有四个销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，需求量分别为30吨、60吨、20吨、40吨。产地A到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为15元、18元、19元、13元；产地B到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为20元、14元、15元、17元；产地C到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为25元、16元、17元、22元。如下表所示。如何求出最优调运方案？
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运输平衡表与运价表
销地
产地
A
B
C
需求量
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
供应量
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
30
60
20
40
150
50
30
70
15
18
19
13
20
14
15
17
25
16
17
22
我们将直接在运输平衡表与运价表上编制运输方案并进行计算、调整，以确定
最优调运方案的方法称为表上作业法。
最小元素法编制初始调运方案
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最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
最小元素法编制初始调运方案
运输调运方案的优化－－闭回路、检验数
闭回路：只有一个空格，其他拐弯处都有数字
运输调运方案的优化－－闭回路、检验数
运输调运方案的优化－－闭回路、检验数
运输调运方案的优化－－闭回路、检验数
运输调运方案的优化－－闭回路、检验数
运输调运方案的优化－－闭回路、检验数
检验数及调运方案调整的原则
检验数的概念
对于某调运方案，若某空格增加单位运量，则此空格的闭回路的奇数号拐弯处均须增加单位运量，偶数号拐弯处均须减少单位运量，总运费的改变量为奇数号拐弯处的运价和与偶数号拐弯处的运价和的差。称此总运费的改变量为检验数。当且仅当检验数为负数时，在此空格增加运量能使总运费减少。 如果检验数为大于等于零，则不需做调整。
检验数＝第1个拐弯处的单位运价－第2个拐弯处的单位运价
＋第3个拐弯处的单位运价－第4个拐弯处的单位运价
＋…
若某个空格检验数为正数时，该空格增加运输量将会增加运输总费用，所以不能在此处安排运输量 若某空格检验数为负数时，在该空格安排运输量，就会降低运输总费用，所以应在此空格调入运输量，而且安排运输量越多，运输总费用下降越多。但最多只能安排该空格闭回路上偶数号拐弯处运量的最小值（即偶数号拐弯处能调出的最大运量）。
最优调运方案的判别标准
若某一物资调运方案的所有空格的检验数均非负，则该物资调运方案最优，此时的运输总费用最低。
小结：
检验数实际上就是所有奇数号拐弯处单位运价总和减去所有偶数号拐弯处单
位运价总和。
调运方案调整的原则。
最优调运方案的判别标准。
调整运输方案的原则
调运方案的优化
物资调运方案优化的思路
(1)按行列顺序的空格找闭回路，计算检验数。
(2)若检验数非负，则对下一个空格继续找闭回路，计算检验数。依此类推。若所有检验数均非负，则该方案为最优调运方案，此时的运输总费用最低。
(3)若出现某检验数小于0，则开始在该空格安排运输量（其它空格不必再考虑了）。该运输量取闭回路中偶数号拐弯处运输量的最小值（称为调整量）。
(4)进行优化调整：调整在闭回路中进行，所有奇数号拐弯处的运输量均加上调整量，所有偶数号拐弯处的运输量均减去调整量，并取差值为0的一个拐弯处作为空格（差值为0的拐弯处不只一个时，称为退化情形，此时，可任取一个拐弯处作为空格，其他拐弯处的差值0应看作运输量），得到一个新的调运方案。
(5)对新调运方案，重复(1)～(4)。
注意：对于退化情形，若所有检验数为负的空格的闭回路的偶数号拐弯处都包含有运量为0的格，则对应的闭回路无运量调出，此方案即为最优。
例如 例1中初始调运方案的优化
表1-25 运输平衡表与运价表
调整量：q＝min(30，20)＝20
初始调运方案的检验数：
λ 12＝18－16＋25－15＝12
λ 13＝19－17＋25－15＝12
λ 21＝20－14＋16－25＝－3＜0
物资调运方案的优化
表1-26 运输平衡表与运价表
例1中第二调运方案的优化
表1-27 运输平衡表与运价表
调整量：q＝min(20，40)＝20
第二个方案的检验数：
l12＝18－14＋20－15＝9
l13＝19－17＋16－14 ＋20－15＝9
l23＝15－17＋16－14＝0
l24＝17－20＋15－13＝ －1＜0
物资调运方案的优化
表1-27 运输平衡表与运价表
调整量：q＝min(20，40)＝20
物资调运方案的优化
表1-28 运输平衡表与运价表
第三个方案的检验数：
l12＝18－13＋17－14＝8
l13＝19－17＋16－14 ＋17－13＝8
l21＝20－15＋13－17＝1
l23＝15－17＋16－14＝0
l31＝25－15＋13－17 ＋14－16＝4
l34＝22－16＋14－17＝3
例1中最优方案与最低运输总费用
minS＝30×15＋20×13＋10×14
＋20×17＋50×16＋20×17 ＝2330（元）
结论：任何平衡运输问题必有最优调运方案
物资调运问题
不平衡运输问题
平衡运输问题
本章知识小结
用最小元素法编制初始调运方案
按顺序的空格找闭回路，求检验数
所有检验数非负
出现负检验数
最有调运方案，计算最低运输费用
优化调整，得新方案
物流管理定量分析方法
第二讲
第二章 资源合理利用的线性规划法
资源合理利用的线性规划模型
物资调运问题
例1 现有三个产地 A，B，C 供应某种商品，供应量分别为 50 吨、30 吨、70 吨；有四个销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，需求量分别为 30 吨、60 吨、20 吨、40 吨。产地 A 到销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每吨商品运价分别为 15 元、18 元、19 元、13 元；产地 B 到销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每吨商品运价分别为 20 元、14元、15 元、17 元；产地 C 到销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每吨商品运价分别为 25 元、16 元、17 元、22元。如何求出最优调运方案？试建立线性规划模型。
列表分析题意
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资源合理利用的线性规划模型
(2)确定目标函数:目标函数就是使问题达到最大值或最小值的函数。
设运输总费用为 S，故目标函数为：
min S＝15x11＋18x12＋19x13＋13x14＋20x21
＋14x22＋15x23＋17x24＋25x31
＋16x32＋17x33＋22x34
其中 min S 表示使运输总费用 S 最小。
(3)考虑约束条件:约束条件就是各种资源的限制条件及变量非负限制。
建立例1的线性规划模型
(1)引进变量
设产地A运往销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的运输量分别为x11，x12，x13，x14；产地B运往销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的运输量分别为x21，x22，x23，x24；产地C运往销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的运输量分别为x31，x32，x33，x34。
产地 A 的总运出量应等于其供应量，即
x11＋x12＋x13＋x14＝50
同理，对产地 B 和 C，有
x21＋x22＋x23＋x24＝30
x31＋x32＋x33＋x34＝70
运进销地Ⅰ的运输量应等于其需求量，即
x11＋x21＋x31＝30
同理，对销地Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，有
x12＋x22＋x32＝60
x13＋x23＋x33＝20
x14＋x24＋x34＝40
运输量应非负，故
约束条件为：
(4)写出线性规划问题。
物流管理中的线性规划问题
例2 某物流企业计划生产 A，B 两种产品，已知生产 A 产品 1 公斤需要劳动力 7 工时，原料甲 3 公斤，电力 2 度；生产 B 产品 1 公斤需要劳动力 10 工时，原料甲 2 公斤，电力 5度。在一个生产周期内，企业能够使用的劳动力最多 6300 工时，原料甲 2124 公斤，电力 2700 度。又已知生产 1 公斤 A，B 产品的利润分别为 10 元和 9 元。试建立能获得最大利润的线性规模型。
建立例2 的线性规划模型
解 (1)设置变量：设生产A产品 x1 公斤，生产B产品 x2 公斤。
(2)确定目标函数：max S＝10x1＋9x2
(3)考虑约束条件：生产 A 产品 x1 公斤需要劳动力 7x1 工时，生产 B 产品 x2 公斤需要劳动力 10x2 工时，生产 A，B 产品所需劳动力总和不能超过企业现有劳动力，即有
7x1＋10x2≤6300
同理，对原料甲及电力，有
3x1＋2x2≤2124
2x1＋5x2≤2700
产品产量应非负，故
约束条件为：
(4)写出线性规划模型。
变量，就是待确定的未知数，也称决策变量。变量一般要求非负。
目标函数:某个函数要达到最大值或最小值，也即问题要实现的目标，就是目标函数。目标是求最大值的，用max；求最小值的，用min。
约束条件，就是变量所要满足的各项限制，包括变量的非负限制。它是一组包含若干未知数的线性不等式或线性等式。资源包括人力、资金、设备、原材料、电力等。要根据各种资源的限制，确定取等式或不等式。
将目标函数与约束条件写在一起，就是线性规划模型。
我们通常将目标函数写在前面，约束条件写在目标函数的后面。
• 设置变量；
• 确定目标函数；
• 考虑约束条件；
• 写出线性规划模型。
矩阵的概念
整存整取定期储蓄
存期
三个月
六个月
一年
二年
年利率(%)
9
8
8
水m3
130
125
135
电(kw·h)
26
24
25
天然气m3
3月份
2月份
1月份
项 目
北京市居民超表纪录卡
学生成绩表
x
y
O
95
90
91
王 宾
90
90
86
崔 也
83
80
85
王建明
75
84
75
林 勇
80
82
80
张建中
英 语
语 文
数 学
姓 名
上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵.
Y=ax
这里对矩阵作一些说明：
矩阵一般用大写英文字母
表示：如
等
横向称行，竖向称列.
——
每一个位置上的数都是A的元素
5是
矩阵定义请看教材第2章定义.
矩阵
，如1是
的第2行第2列的元素，记为：
的第1行第4列的元素，记为：
补充内容：特别地，当
时，矩阵只有一行，即
时，矩阵只有一列，即
时，矩阵的行列数相同，即
当
称为行矩阵
称为列矩阵
当
称为
阶矩阵（或
阶方阵）
在n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.行列数相同的矩阵称为同型矩阵. 即：两个矩阵的行数相等、列数也相等时。
中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为
负矩阵，
在矩阵
记为
例如
，
这里
是
的负矩阵
零矩阵 所有元素都为零的矩阵。例如
单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的
阶矩阵
称为单位
或
特殊矩阵
矩阵，记作
数量矩阵：主对角线上的元素为同一个数，其余元素全是0的
阶矩阵
称为数量矩阵，记作
对角矩阵：主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，即
有时也记作
或
三角矩阵：主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵，它形如
主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵，它形如
上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.
对称矩阵：若矩阵A＝(aij) 是n阶方阵，且满足aij＝aji，对任意i和j均成立，则称
A为对称矩阵。
矩阵加法
用
记为
的和，即
规定如下
同形，于是
同形.
（1）
(2) 对应元素分别相加.
例：A=
2 -1 4
1 3 6
B=
0 5 3
-2 1 1
求A+B
A+B=
2+0 -1+5 4+3
1-2 3+1 6+1
=
2 4 7
-1 4 7
矩阵的数量乘法
，则
同形
，即
中每个素都乘以
特别地：
注意：
中定义为，等式左边是数0与矩阵
的乘积，而右边是零矩阵.
(1)
和
(2)
其中
=
{
，
1．仅当
时，才能做乘法
2．若
，则
——
3．若
，则
(矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义)
}
(行乘列法则)
设
将
第一行元素写在
第一列处，
第二行元素写在
第二列处，
的转置矩阵.
矩阵的转置
这样就可得到
逆矩阵
可表为
可逆矩阵
，如果存在一个矩阵
，使得
则称
是可逆矩阵，称
是
的逆矩阵，记为
（1）
设矩阵
例 某公司准备投资200万元兴办A，B两种第三产业，以解决公司800名剩余劳动力的工作安排问题；经调查分析后得知，上述A种第三产业每万元产值需要劳动力5人、资金万元，可得利润万元；B种第三产业每万元产值需要劳动力人、资金万元，可得利润万元. 问如何分配资金给这两种第三产业，使公司既能解决800名剩余劳动力的安排问题，又能使投资所得的利润最大？试写出线性规划模型（不要求求解）.
【分析】
解：(1)确定变量：
设投资A种第三产业x1万元产值，投资B种第三产业x2万元产值. 显然，
x1≥0，x2≥0.
(2)确定目标函数：设利润为S，则目标函数为：
max S＝＋
(3)列出各种资源的限制：
劳动力限制：A种第三产业每万元产值需要劳动力5人，故A种第三产业共需
要劳动力5x1人；同理，B种第三产业共需要劳动力人. 800名剩余劳动力都需
要安排，故
5x1＋＝800
资金限制：A种第三产业共需要资金万元，B种第三产业共需要资金万元，故
＋≤200
(4)写出线性规划模型：
例 设
求：(1) 2BT－A；(2) AB
解：2BT
2BT－A
AB
例 写出用MATLAB软件求矩阵A＝
的逆矩阵的命令语句.
解：用MATLAB软件求A的逆矩阵的命令语句为：
>>A=[3 -4 5; 2 -3 1; 3 -5 -1];
>>inv(A)
例 写出用MATLAB软件将线性方程组
的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句.
解：用MATLAB软件将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句为：
>>A=[1 2 -1 4; 2 -1 1 1; 1 7 -4 11];
>>B=[2; 1; 5];
>>D=[A B];
>>rref(D)
例 写出用MATLAB软件解下列线性规划问题的命令语句：
解：用MATLAB软件解上述问题的命令语句为：
>>C=-[3 2 ];
>>A=[2 1 0; 0 2 4];
>>B=[30 50];
>>LB=[0 0 0];
>>[X, fval]=linprog(C, A, B, [], [], LB)
物流管理定量分析方法
第三章
经济批量问题相关的概念
库存：指处于储存状态的物品或商品。
经济批量模型：通过平衡进货采购成本和库存保管成本，确定一个最佳的订货数量来实现最低总成本的方法。
经济批量（或最优订货批量）：是使年库存成本与订货成本之和最小的订货批量。
经济批量问题
例1 设某公司按年度计划需要某种物资 D 单位，已知该物资每单位每年库存费为 a 元，每次订货费为 b 元，为了节省总成本，分批订货，假定公司对这种物资的使用是均匀的，如何求订货与库存总成本最小的订货批量。
年平均库存量
设订货批量为 q 单位，由假定，平均库存量为 q/2，因为每单位该物资每年库存费为 a 元，则：年库存成本＝(q/2)×a。可见，库存成本与订货批量成正比，如图1。
年库存成本
年订货成本
该公司每年需要该物资 D 单位，即年订货次数为 D/q，因为每次订货费为 b 元，则：年订货成本＝(D/q)×b。可见，订货成本与订货批量成反比，如图2。
年订货与库存总成本
年订货与库存总成本C(q)由年库存成本与年订货成本组成，即
如图3。其中 q* 为经济批量。
小结：
年库存成本；
年订货成本；
年订货与库存总成本。
常量——只取固定值的量
这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：
S =π
考虑半径r可以变化的过程．面积和半径叫做变量．
变量——可取不同值的量
变域——变量的取值范围
函数
我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表
年利率(%)
五年
三年
二年
一年
六个月
存期
函数定义
设x, y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f 称为定义在集合D上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x与y之间的对应关系，记为
称x为自变量，y为因变量或函数值，D为定义域．
我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．
集合
称为函数的值域．
1. 常数函数：y = c．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．
2. 幂函数：y = xα，(α∈R )．以x为底，指数是一个常数．
当α = 1时就是y = x，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当α=2时就是y = x2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当α=3时就是y = x3，它的图形是过原点的立方曲线．
3. 指数函数：y = ax，( a >0，a≠1)．底数是常数，指数是变量．例如y = ex， y = (
) x． 所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a>1时，函数单调增加，当a<1
基本初等函数
时，函数单调减少．
4. 对数函数：y = log a x，( a >0，a≠1)．以a为底的x的对数．例如 y = lnx，y = log 2x，y =． 所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a>1时，函数单调增加；当a<1时，函数单调减少．
5. 三角函数：
正弦函数：y = sin x．
余弦函数：y = cos x．
例1 设国际航空信件的邮资
与重量
的关系是
求
解：
用3替代，由第一个关系式表示，得到
同样可以得到
．
用20替代，由第二个关系式表示，得到
分段函数
经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．我们先介绍成本函数．
一种产品的成本可以分为两部分： 固定成本 , 比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．变动成本 ， 比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．
总成本就是固定成本加上变动成本 C = +
经济函数
成本应与产品的产量有关，这种函数表示为 C(q) = c0 + C１(q)
这就是成本函数．其中总成本C(q)是产量q的函数，c0与产量无关，变动成本
C１(q)也是产量q的函数．
我们引入平均成本的概念
总成本除以产量q，就是产量为q时的平均成本，用
来表示．
1、总成本函数
2、利润函数
对于运输企业：利润=运输收入-总成本
设运输某商品q单位的价格为p，则收入函数为R(q)=pq
我们将需求量q表示为p的函数，称为需求函数
设成本函数为C(q) ，则利润函数为：L(q)=R(q)-C(q)
设某物流公司运输q件某商品的固定成本为1000元，单位变动成本为
20元/件，该商品的需求函数为q=200-5p，求利润函数。
解：成本函数为： C(q)=1000+20q
收入函数为： R(q)=pq=q()
则利润函数为: L(q)=R(q)-C(q)
=q()-(1000+20q)
=
极限的概念
研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.
例2 讨论当
时，
的变化趋势.
导数
例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下
函数极限概念：（P151定义）
或
记为：
导数概念
三个引例
边际成本问题
瞬时速率问题
曲线切线问题
引例1： 边际成本问题
—总产量
（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）
已知
C—总成本，
导数
（成本平均变化率）
（边际成本）
导数的定义：（P158定义）
导数公式*
导数的加法法则
在点
处可导，则
在点
处可导亦可
（
为常数）
设
导，且
导数的乘法法则
导数的除法法则
边际概念
导数在经济分析中的应用
1. 边际成本
在引进导数概念时，我们已经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的工厂中，可以知道总成本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即总成本除总产量就是平均成本．同时又引进了边际成本的概念，就是总产量达到一定时刻，再增加生产一个单位产量时，单位成本增加量（成本函数的导数就是边际成本）。
——产量
——成本函数
——平均成本函数
——产量为
时的边际成本函数，用MC表示
时，再生产一个单位产品所增加的成本.
经济意义：产量为
2、边际收入
q
运输量
R(q)
收入函数
收入的平均变化率
边际收入（边际收入是收入函数关于运输量q的导数）。用MR表示
3、边际利润
q
运输量
L(q)
利润函数
边际利润，用ML表示
因为利润函数等于收入函数减去总成本函数，即
L(q)=R(q)-C(q),两边求导得:ML(q)=MR(q)-MC(q)
单调性判别
什么叫函数的单调性？函数的单调性:一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．
先考察y = ，它的图形是抛物线线
在x > 0 处，函数单调上升；
在x < 0 处，函数单调下降．
当在 x > 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定小于90°．
当在 x < 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征
是：切线与x 轴正向的夹角一定大于90°．
定理 设函数y = f (x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导.
(1) 如果x
(a, b)时，
(x) > 0，则f (x)在(a, b)上单调增加；
(2) 如果x
(a, b)时，
(x) < 0，则f (x)在(a, b)上单调减少．
意义：利用导数的符号判别函数的单调性．
说明： 闭区间(a, b)换成其它区间，如，(-
,b)，(a, +
使定理结论成立的区间，称为y = f (x)的单调区间．
)．
极值概念
函数极值
函数极值及其求法
首先要明确什么叫函数极值，先看定义：
定义 设函数f (x)在点x0的某邻域内有定义．如果对该
邻域内的任意一点x (x
x0)，恒有f (x)
f (x0)，则称f (x0)为函数
的极大(小)值，称x0为函数
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
大家看下面这个图形：
的极大(小)值点．
哪些点是极大值点呢？
可以看到x1是极大值点，x4也是极大值点．
端点b是不是极大值点呢？
极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，
而端点b的右边是没有函数值，所以它不是极大值点．
极值点即导数等于零或导数不存在的点
极大值点：x1, x4； 极小值点：x2, x5
再找一找哪些是极小值点？x2是一个极小值点，x5也是一个极小值点．
x3是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到
一个小范围，使它的函数值成为最大或最小．
最大值、最小值及其求法
极值与最值的区别：
· 极值是在其左右小范围内比较
· 最值是在指定的范围内比较
所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．
这个函数在区间[a，f]内的极大值点是，b,d；极小值点是c,e．现在要问这个函数在闭区间[a，f]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点f处的函数值最大，所以点f就是该函数在区间[a，f]上的最大值点．同样，从图中可以看出c是区间[a，f]上最小值点．
y
x
0
a b c d e f
明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．
函数f (x)在[a，b]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．
端点：a，b
驻点：使
(x) = 0的点,
不可导点：
(x)不存在的点
求经济批量的实例
例1 设某公司平均每年需要某材料 80000件，该材料单价为 20 元/件，每件该材料每年的库存费为材料单价的 20％。为减少库存费，分期分批进货，每次订货费为 400元，假定该材料的使用是均匀的，求该材料的经济批量。
解 设订货批量为 q 件，则平均库存量为 q/2 件，该材料每件每年库存费为 20×20％ 元，年库存成本＝(q/2)×20×20％；年订货次数为 80000/q，每次订货费为 400 元，年订货成本＝(80000/q)×400。故年订货与库存总成本函数为：
对年库存总成本函数求导得：
得 q＞0 内的惟一驻点：
q＝4000（件） 即经济批量为 4000 件。
(80000/q)×400
C(q)=(q/2)×20×20％ +
小结：
列出库存总成本函数；
求导，求驻点，得到经济 批量。
令
求最小平均成本的实例
[例56] 设某公司运输某物资q个单位时的总成本(单位：万元)函数是：C (q)＝q2 /4＋6q＋100，问运输量为多少时，平均成本最小？
解 平均成本函数为：
求导数，得
令
＝０ 得惟一驻点q＝20（运输量不能为负值）
故，当运输量q＝20单位时平均成本最小。
求最大利润的实例
[例57] 设物流市场的运价p（单位：百元/吨）与运输量q（单位：吨）的关系是q＝50－5p，运输总成本函数C (q)＝2＋4q，求最大利润时的运输量及最大利润。
解 由运输需求函数 q＝50－5p
得价格 p＝- q/ 5＋10
收入函数为： R (q)＝pq ＝(- q/5＋10)q＝- q2 /5＋10q
利润函数为： L (q)＝R (q)－C (q)＝- q2 /5＋6q－2
求导数，得
令
所以，获最大利润时的运输量是q＝15吨，最大利润为：
L (15)＝-1/5×152＋6×15－2＝43(百元)
＝0 得惟一驻点 q＝15（吨）
例 已知某厂生产某种产品的成本函数C(q)＝500＋2q ，其中q为该产品的产量，如果该产品的售价定为每件6元，试求：
(1) 生产该产品的固定成本；
(2) 利润函数；
(3) 当产量q为250件时的平均成本.
解：(1) 固定成本就是当产量为零时的总成本，设为C0，有
C0＝C(0)＝500 (元)
(2) 由题意知，收入函数R(q)＝6q，因此，利润函数
L(q)＝R(q)－C(q)＝6q－(500＋2q)＝4q－500
(3) 平均成本函数
当产量q＝250件时，平均成本
（元/件）
例 求下列函数的导数：
(1) 设
(2) 设
解：(1)
(2)
例 写出用MATLAB软件求函数
的导数的命令语句.
解：用MATLAB软件求导数的命令语句为：
>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(x+sqrt(1+x^2));
>>diff(y)
例 写出用MATLAB软件求函数
的二阶导数的命令语句.
解：用MATLAB软件求导数的命令语句为：
>>clear;
>>syms x y;
>>y=exp(-3*x)/(x-3^x);
>>diff(y,2)
例 某企业运输某物品q吨时的总成本（单位：元）为C(q)＝400＋，求运输100吨物品时的边际成本.
解：边际成本函数为：
MC(q)＝
运输100吨物品时的边际成本为：
MC(100)＝10（元/吨）
边际成本函数就是成本函数的导数，确定运输量时的边际成本就
是相应的导数值．
例 某工厂生产某种商品，年产量为q（单位：百台），成本为C（单位：万元），其中固定成本为2万元，而每生产1百台，成本增加1万元．市场上每年可以销售此种商品4百台，其销售收入R是q的函数
R(q)＝4q－ q [0，4]
问年产量为多少时，其利润最大？
解：因为固定成本为2万元，生产q单位商品的变动成本为1×q万元．
所以成本函数
C(q)＝q + 2
由此可得利润函数
L(q)＝R(q)－C(q)＝3q－－2
又因为
＝3－q
令 ＝0，得驻点q＝3.
这里，q＝3是利润函数L(q) 在定义域内的唯一驻点．
所以，q＝3是利润函数L(q) 的极大值点，而且也是L(q) 的最大值点．即当
年产量为3百台时，其利润最大．
例 设某企业平均每年需要某材料20000件，该材料单价为20元/件，每件该材料每年的库存费为材料单价的20％. 为减少库存费，分期分批进货，每次订货费为400元，假定该材料的使用是均匀的，求该材料的经济批量.
解：设订货批量为q，则库存总成本为
令
得q＞0内的唯一驻点q＝2000（件）.
故，经济批量为2000件
由边际成本确定成本的微元变化-微分
引例：成本函数
的导数
又称为边际成本，记为
MC(Q) ，表示成本函数在 Q处的变化率。当
很小时，成本函
数在
的微小变化可表示为
。当
时，
记为
表示成本函数在Q处的微元变
化，
称为成本函 数在Q处的微分。对于一般函数y＝f (x)，引进微分概念如下 ：
定义
设函数y＝f (x) 在点x0处可导， Dx为x的改变量，则称
为函数y＝f (x) 在点x0处的微分，记作
并称函数y＝f (x) 在点x0处是可微的。
如果函数y＝f (x) 在区间 (a，b) 内的每一点 都可微，则称函数y＝f (x) 在区间 (a，b) 内可微，记作dy或d f (x)，即
即
当 y＝f (x)＝x 时，有
，即自变量x的微分dx即为自变量增
量 ∆x，于是函数的微分可写成
由微分式
，
可得
可得
，
,故导数又称为微商。
计算函数y＝f (x) 的微分，实际上可归结为计算导数。
y
0
x
x0
X0+∆x
A
B
C
∆X
dy
∆y
[例1] 设运输某物品q个单位时的边际成本为
，求运输量从a
单位增加到b单位时成本的增量。
解 运输量从a单位增加到b单位时成本的增量为
由于运输量从a单位增加到b单位过程中成本的增量是成本函数C(q)
在[a,b]的每一点处微元变化的累积，即
此和式对[a,b]的每一点 q 求连续和，此和式有意义时，称为
在[a,b]上的定积分。
记为
定积分的定义和性质
定义 设函数 f (x) 在区间 [a，b] 上有定义，且和式
故运输量从a单位增加到b单位时成本的增量
即
=
一般地，
有意义，称之为函数
在[a,b]上的定积分，记为
，即
且若有
，则有
称为积分号，x 称为积分变量，
称为被积函数，
称为被积表达式，a和b分别称为积分的下限和上限，[a，b]
称为积分区间。
[例5] 由曲线y＝f (x)（ f (x)≥0），直线x＝a，x＝b和x轴所围成的图形称为曲边梯形， 如图4-2所示。求曲边梯形的面积。
其中，
成本增量可记为
由定义可知
曲边梯形面积可记为：
由定积分的概念，容易得到下列几个简单结果：
（1）
（2）
（3）
微积分基本定理
定理 对被积函数f (x)，若有
，则
此公式称为牛顿—莱布尼兹 (N—L) 公式，简称为N－L公式，它是积分学的基本公式。
[例7] 计算定积分
。解：因为
＝(22―2)―(12―1)＝2
所以
已知 求
总成本函数 边际成本
C (x) C’(x)
‖
（ ） MC
已知总成本C (x)，求边际成本 C’(x)，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC．我们引进一个概念：
原函数
( )’ = MC
求 已知
定义 若对任何xÎD，F¢(x) = f(x)， 则称F(x)为f(x)的原函数．
例如
(x3)’ = 3x2 x
F(x) f(x)
x3是3x2x的原函数
定义
的所有原函数的全体称为不定积分．记作
其中
称为被积函数
称为积分变量，
称为积分符号．
正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的．也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式．先让我们回顾一下导数基本公式:
将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式：
检验不定积分计算的正确与否，就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数．由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式．
先介绍不定积分的性质 积分基本性质:
1. 若
是可积函数，则有
2. 若
是可积函数，
为非0常数，则有:
有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来．例如
这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法．
由边际物流量求该物流量和增量的实例
在节中介绍了已知经济函数F (x) (如总成本函数C (q)、收入函数R (q) 和利润函数L (q) 等)，则其边际经济函数就是它的导数。
作为导数的逆运算，若对已知的边际经济函数
，求不定积分
可得原经济函数
其中，积分常数-c由F (0)＝F0的具体条件确定。
由牛顿－莱布尼兹公式
移项，得到变上限定积分 (把上限变量看作待定常数，类似定积分计算) 表示的原经济函数
经济函数从自变量a到b的增量定义为
运输量从q1单位到q2单位时的成本增量为：
1. 总成本函数及其增量
设运输量为q时的边际成本为MC (q)，固定成本为C (0)＝c0，则总成本函数为：
[例] 经调查研究，某物品运输量为q单位时的边际成本（单位：万元/单位）为MC (q)＝2q＋3，已知固定成本为2万元，求：
(1)总成本函数C (q)；
(2)运输量从1单位增加到2单位时成本的增量。
解 (1)总成本函数为：
(2)运输量从1单位增加到2单位时成本的增量。
2. 收入函数及其增量
设运输量为q时的边际收入为MR (q)，我们总是假定R (0)＝0 (运输量为0时收入为0)，则收入函数为：
运送运输量从q1单位到q2单位时的收入增量为：
[例] 已知某企业运输某物品q单位时的边际收入(单位：元/单位)为MR (q)＝100－2q，求运输40单位时的收入，并求再增加运输10单位时所增加的收入。
在运输40单位后再运输10单位所增加的收入为：
(元)
(元)
3. 利润函数及其增量
设运输量为q时的边际成本为MC(q)，边际收入为MR (q)，固定成本为C (0)＝c0，则利润函数为：
L (q)＝R (q)－C (q)
运送运输量从q1单位到q2单位时的利润增量为：
边际收入(单位：元/单位)为MR (q)＝25－，固定成本为10元，求运送
解 由利润函数
直接求出
（元）
[例] 已知运输某物品的边际成本(单位：元/单位)为MC (q) ＝13＋，
10单 位物品时的利润。
