应用设计Application Design 摩尔定律的数学模型与应用刘晶 李文石（苏州大学，电子信息学院）摘 要：介绍摩尔定律的内容，论述其数学模型，详解了摩尔定律的两个典型应用，一是硅极限预测，二是计算复杂度极限预测。最后对摩尔定律的一般适用性作了讨论。关键词：摩尔定律；数学建模；硅极限；计算复杂度极限The Numerical Model and Applications of Moore's LawLiu Jing Li Wenshi(School of Electronic and Information, Suzhou University)Abstract: The content of Moore's Law is introduced and its numerical model is discussed. Two typical applications of Moore's Law are analyzed in detail, of which one is on predicting of silicon quantum limit, the other is for calculating the complexity limit prediction. At last the general applicability of Moore's Law is words: Moore's Law; modelling；silicon quantum limit；complexity limit calculation0 引言感谢高登·摩尔博士于1965年在《电子学》杂志上发表了重要论文《让集成电路塞进更多的元器件》[1]，这是摩尔定律的处子秀。摩尔定律的提法，来自加州理工大学计算及神经系统系的创办人之一Carver Mead教授[2]。本文介绍摩尔定律的数学模型、简论其典型应用。1 摩尔定律的数学模型摩尔定律定义为：单个集成电路芯片内所集成的晶体管数目，每隔1824个月翻一番[1]。其数学模型可描~述为[3] （1） 其中，n是y年份时单芯片中集成的晶体管数目，11n是通过该等式预测出的y年份时所能单片集成的晶体22图1 基于4个关键数据预测出摩尔定律[1]管数目，增长因子m是晶体管数目每翻一番所需要的年数。 一年翻一番(m=1)1965年摩尔博士根据当时前四年的单芯片集成的晶体管数目，预测集成度的发展趋势为：大约每前进一年，芯片集成度就翻一番[1]。背景数据为：当时的单芯片集成水平大约为100晶体管/芯片。图1是摩尔定律的首个图解[1]。图2描述了摩尔定律数学模型增长因子m的三个取值表现。下述的讨论将结合图2。图1 基于4个关键数据预测出摩尔定律[1](参见右栏)图2 摩尔定律数学模型增长因子m的比较(参见右栏) 两年翻一番(m=2)1975年摩尔博士又根据1965年到1975年的实际芯片集成度数据，将摩尔定律数学模型的增长因子m修正为2图2 摩尔定律数学模型增长因子m的比较（参见图2），即集成度每两年翻一番[4]。增长因子m的因子m等于的预测。修正使得该数学模型更加吻合当时的发展趋势。 一年半翻一番(m=)2 摩尔定律的典型应用其后不久，有专家进一步修正了摩尔博士的预测：主要根据文献[5,6]的启示，本工作计算预测：1）芯片集成度每一年半翻一番。文献[4]指出：晶体管均价、硅极限；2）计算复杂度极限。计算结果可能对读者深刻沟道长度和栅氧化层厚度等参数的减小趋势都符合增长29
应用设计Application Design 理解摩尔定律之于硅极限等的贡献与制约有所帮助。讨论（1）：摩尔定律的本质浓缩了微电子产业的 预测硅极限经济学规律。专家与学者愈加关注摩尔定律的极限情况:随着单芯讨论（2）：摩尔定律的时-空对数坐标表现，初始片集成的晶体管数目的指数性增长，衡量晶体管性能与为线性，后来趋于平缓。大小的重要参数--沟道长度L伴随着成指数性缩小，该参讨论（3）：摩尔定律的数学模型为微电子概论教数的极限数值为单电子的开普敦波长[5]： 学讲座提供了第一个典型分析案例。 。表2 不同增长因子m影响下的计算复杂性极限（针对浇铸工艺）如下基于摩尔定律模型增长因子m的三种表现，分别计算何时将到达硅极限。选择2008年CPU芯片的45nm工艺特征尺寸作为依据，同时变换式（1）成为式（2）的形式[4]： （2） 分别代入L1=λc,L2=45nm和m={1,2,}进行计算，得到各自达到极限的年份列入表1。表1 增长因子m影响硅极限的比较参考文献：通过硅极限的预测，可见改进工艺的必要性。例如：[1] Moore G E. Cramming more components onto 当2011年CPU特征尺寸为22nm时[6]，同理可得三组硅极 integrated circuits [J]. Electronics, 1965, 限年份分别(2024@m=1)，(2037@m=2)，(2031@m=)。 38(8): 预测计算复杂度极限[2] Vries R P. 半导体产业发展将突破摩尔定律[J]. 40多年来，摩尔定律不仅巨力推动了微电子产业的 电子技术, 2005, (6): 80. 研发，也带动了其它领域计算能力的进步。[3] Orsak G C, John J R, Douglas S C, 通过总结[7]，发现针对物理现象的研究，其计算复 et Our Digital Future: The 杂度也遵从摩尔定律。所谓计算复杂度包括空间复杂度 Infinity Project[M]. NJ: Prentice-Hall, 2004, 与时间复杂度。本文聚焦空间复杂度。 . 图3是1986年以来计算复杂度的趋势，大致符合摩尔[4] G exponential is forever:定律的规律[7]。网格尺度单位是计算点数。 but "Forever" can be delayed!. Proc. of 2003 IEEE International Solid-State Circuits Conference. 9-13 Feb. 2003[C]. San Francisco, US.[5] Powell J R. The Quantum limit to law Moore's law[J]. Proceedings of the IEEE, 2008, 96(8): 1247-1248.[6] Peters L, Editor L T. 32纳米:光刻、晶体管技术 的变革[J].集成电路应用, 2008,(3): 50-55.[7] Voller V R, Port′e-Agel F. Moore's law and numerical modeling[J].Journal of Computational Physics, 2002, 179: 698-703.[8] 李文石. 固态电路设计的未来：融合与健康[J]. 图3 计算复杂度的增加趋势[5] 中国集成电路, 2007, (9): 8-18.仅以浇铸工艺为例，当计算浇铸与焊接点的数量时，采用的计算值是浇铸或焊接的域长度尺寸和可分辨长度作者简介尺寸[7]。刘晶，(1987－)，男，苏州大学电子信息学院硕士生，研究表2是研究浇铸工艺的计算复杂度极限的结果(单位： 方向为集成电路设计与测试。年份)，具体通过式（1）及增长因子m的三种表现计算得李文石，(1963－)，男，副教授，东南大学国家ASIC中心到，计算方法参照式（2）。 博士生，研究方向为模式分析与微电子系统设计 3 结论与讨论本文基于阐述摩尔定律的数学模型，详论了摩尔定律的两个典型应用：硅极限预测与计算能力极限预测。摩尔定律的前瞻性将在未来20年内指导微电子产业的持续发展，主要驱动力来自三维封装与三维集成[2,8]。30
