2008年第5期 商丘职业技术学院学报 Vo1．7，No．5
第 7卷(总第 38期) JOURNAL OF SHANGQIU VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE Oct．，2008
文章编号：1671—8127(2008】05—0016—04
最小二乘法原理在计量测试中的应用
张淑玲 ，庞进丽
(1．郑州旅游职业学院，河南 郑州 455000；2．商丘职业技术学院，河南 商丘 476000)
摘 要：在计量测试过程中，为了最大限度地减少测量误差，一般要进行多次测量 ，使测量方程的个数大于待
求参数的个数．应用最,'bS-乘法原理，以 为条件，建立了待求量的数学模型．同时，介绍了几种常见的非线性问题的
线性化处理方法．
关键词 ：最小二乘法；计量测试；测量误差 ；非线性问题
中图分类号：017 文献标识码：A
在间接测量过程中，为了最大限度地减少测量误差 ，一般要进行多次测量，使测量方程的个数大于待求
参数的个数，即 m>n．这样得到的测量方程组叫做矛盾方程组，用一般方法是无法求解的，因此，必须应用最
小二乘法原理进行统计处理，最小二乘法指出，在测量数据无偏、正态和独立的条件下，待求量最可信赖的
结果应在测量的残余误差的平方和为最小的条件下求得 ．即以[vl,]=min为条件，对各个待求量分别求偏
导数，将矛盾方程组转换成未知数个数和方程个数相等的正规方程组，从而求出各个待求量的最或然值．
1 数学模型的建立
最小二乘法原理是用来求解线性方程组的，非线性方程经线性化后方可应用该原理．
设所要解决的物理方程为
y alxl+a2x2+⋯+anX (1)
测量方程组为
Yl aIxI1+a2x12+⋯ +anxIn
y2 aIX21+X2X22+⋯ +anx2n
Ym=aIxmi+a2Xm2+⋯ +amxmn
用估计值代替直接测量值
Yl aIxI1+a2x12+ ⋯ +anxIn
Y2 aIx21+a2x22+ ⋯ +anx2n
ym=aIxmi+a2Xm2+ ⋯ +amxmn
则误差方程组
Vl=y1一y1
V2=y2一y2
Vm=ym—ym
建立最小二乘条件，令[vv]=min即
S= E(yi一 =
i
[yi一{ + z+．．‘+anXim)] =min
收稿日期：2008一Ol—lO
作者简介：张淑玲(1970一)，女，河南许昌人，硕士，郑州旅游职业学院高级讲师，主要从事数学分析研究．
· l6·
(2)
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张淑玲，庞进丽：最小二乘法原理在计量测试中的应用 第 5期
函数s=f( )取得极小值的条件是蔷，=。， O2S>。
署一． Eli jx_ anXin)](_xj )=o
分别求偏导数，有
aS
一 籼 一( 嘞 +．．’ n)](_xj )=。
差一． Eli IxI +．． anXin)]( 。
整理得
即
对 ．求二阶导数，有
i
[( ·+ +．．’+a nXin)一Yi]Xil=0
i
[( + +．．’+a nXin)一Yi =0
j
[( + +．．’+a nXin)一Yi])【iTl=0
xi·( i—Yi)=0
gx ( i—y．)=0
xi ( i—Yi)=0
由方程组(7)可知，襄=xj2i>。，所以方程组(6)符合最小二乘条件．
将方程组(6)化成矩阵形式，令
得到 X ( —Y)=0
将
=
^
YI
^
y2
● ● ●
代入式(8)得 X (xh
X= X21 X22 ⋯ X2n
⋯ Xnlr
l
— Y、=0
： XA
，
Y=
YI
y2
● ● ●
yn1
． =
^
YI
^
Y2
● ● ●
^
ym
(5)
(6)
(7)
(8)
· 17·
2 ¨ 2 X X
= =
a —a a —a
=
～
2 2
J 2 X X
1 2 ． X X ．
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2008正 商丘职业技术学院学报
变换得 A=(x x)I1x Y (9)
此式即为待求量 i的最小二乘表达式．
2 待求量的精度估计
按最小二乘法所确定的各待求量的估计值 ai，它们的精度取决于直接测量值 Y 的精度以及它们之I．日J的
函数关系．
2．1 直接测量值Y 的精度估计
在线性方程组中，也是用标准差 盯来表征直接测量值的精度，即盯z：l lira ．因为真值不知道，所以
真差 8也不可能知道．用残差 v来代替真差 8，当n足够大时可写成
s = (v 2 ‘+v：)= ．t
n
VV J (10)
残差 v是独立的正态随机变量，即v服从正态分布 N(0，8)．对 v标准化，即 v／8服从正态分布 N(0，1)，
由、lr 变量的定义，若 专 ，专：，⋯，专 为11个独立的随机变量，每个随机变量均服从标准化正态分布N(0，1)，
那么随机变量
、lr =专；+专 +⋯+专 11
称为自由度为11的、lr 变量v／8是服从标准化正态分布N(0，1)的变量，故(詈)将是自由度11一n—t
的、lr 变量，即
=( )2+( )2+⋯+( ) =
其数学期望值E( )=11，E( )=11=n_t
变换得E( 。 )_(n_t)
即 E( )= n-t盯 ⋯)
由式(11)可知，若按式(10)的s 作为 0-2的估计量，当t>1时，将引入系统误差，即 s = 不是 盯
的无偏估计量．为修正这一系统误差，由式(11)有
E( )=
可得E( 所以，应取s=√
2．2 待求量 ；的精度估计
由式可得直接测量值 Y 与待求量 的函数关系
A『XTX) X 1Y：DY (12)
即
dl】 d12
d2l d22
⋯ d1
⋯ d2
y
Y2
● ● ●
ym
由 i=di1Y1+di2Y2+⋯ +di Y
可得 盯2
． ＼d
O
y
fi
i
i
，
／20．2yi’在等精度测量中，盯2 =盯2 z=⋯=盯2 =s
因此 盯2ii=
i
d s =52
i
d
． 1R ．
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张淑玲，庞进丽：最小二乘法原理在计量测试中的应用 第5期
于是得到 2=s√耋 ij= (13)
3 非线性问题的线性化
通常在测量中遇到的问题不一定都是线性问题，必须先把非线性问题线性化，然后运用上述数学模型
求解．下面列出几种常用的线性处理方法：
3．1 圆
表达式：x +y +Dx+Ey+F=0令 L=一(x +y )则有 Dx+Ey+F=L
这就转化为求 D，E，F的线性方程，由a=一 D
，b=一导，r=÷
求得圆心坐标 O(a，b)和半径r．
3．2 双曲线
表达式 Y=a+ 令 y = ，x =
X
则有 y =a+bx，
3．3 幂函数
表达式 y=ax 方程两边取对数 lny=lna+blnx令 Y lny，a =lna，x =lnx则有 y =a +bx
3．4 指 数 函数
表达式 Y=舡eh方程两边取对数 lny=lna+bx令 Y lny，a =lna则有 y =a +bx
3．5 S曲线
表达式 Y 方程两边取倒数
Y a+be 令y =寺，x =e 则有Ya be =a+bx + V
4 结 论
若通过线性化处理所解出的待求量为中间转设变量，则还须根据所设条件求出待求量．
将导出的数学模型建立为子程序，则不同类 测量方程，只要在主程序中确定系数矩阵的阶数，就可
以通用一个子程序来进行数据处理了．
参考文献：
[1]王武义，徐定杰，陈键翼、误差原理与数据处理[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002．
[责任编辑 乐 知]
Application of Least Square M ethod in M easure Testing
zHANG Shu—ling ．PANG Jin—li
(1．Zhengzhou Tourism Vocational College，Zhengzhou 450009，China；
2．Shangqiu Vocational and Technical College，Shangqiu 476100，China)
Abstract：In the measure testing，generally，many measures are carried on in order to reduce measure error to a minimum
． and the amount 0f
measure equations are more than that of unknown parameter．On condition that[vv] min，method of least squares is applied in this paper．built up
mathematics model of unknown number．In the meantime
，introduced a few kinds methods，which turn non—linear problem t0 linear pr0blem ．
Key words：method of the least squares；measure testing；measure error；non—．1inear problem
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