第二讲间接效用函数与支出函数
Outline of Today’s Class
1.间接效用函数
2.罗伊（Roy identity）等式
3.支出最小化问题
4.支出函数
5.希克斯（补偿）需求函数
6.谢泼特（Shephard）引理
7.效用最大化与支出最小化的关系
8.斯卢茨基方程
9.替代效应与收入效应
一、定义
瓦尔拉斯定律
第一节间接效用函数
①它是极大化了的效用
②它的自变量不是消费计划，
而是价格与收入
③控制消费者行为，
可以间接地控制p、m来实现
二、性质
（一）
v（tp,tm）=v（p,m）(t>0)
即它是关于p,m的零次齐次函数
（二）
证：记
（三）
证：记
（四）罗伊（Roy identity）等式：
如果
则
证明：
①先求分子
（最大化一阶条件）
同时
即
两边同时对pj偏微分
故
（1）
②再求分母
对m求偏微分
又
两边对m求微分
由（1）、（2）可得
例，设
比较政府征收元的所得税
与元的商品税对消费者效用
的影响。
三、应用
解：
的解为
故
时
现在假设政府对商品1按元/单位征收消费税，即
由元变为元从而
政府获得税金总额为
如果政府征收同等额度的所得税即
则
所以
征收所得税
比商品税对消费者的影响要小
第二节 支出函数
一、支出最小化问题
（一）
（二）
希克斯（补偿）需求函数
（M2）的解x与p，u有关，
即是p，u 的函数，这一函数称为
希克斯需求函数，记为
（三）支出函数
二、支出函数的性质
（一）若
则
证：
（二）.
证：
u 不变，给定p时，支出最小为ph(p,u)
价格tp下，支出最小为e(tp,u)
(三)
是关于P的凹函数
即
有
证：设
则
三.谢泼特（Shephard）引理
为希克斯函数
的第i个分量
证明：
两边对pi求偏导
在最小化的过程中
最小化的一阶条件：
四、效用最大化与支出最小化的关系
命题1.设
的解，则
x*也是(M2)的解。
命题2.
设
的解，记
则x*也是（M1）的解
五、重要等式
（一）
证：设x*为
在
时的解，
则其必为
的解，故
即要想获得最大效用
必定要花掉所有的收入
（二）
证：设x*为
时
M1的解，故
又x*必为M2的解，故x*满足
所以
即花掉所有收入的效用最大
（三）
（四）
偏好
EMP
UMP
六、例题
例2（P22）
七、预算份额
Si=pixi/m
习题1
§ 斯卢茨基方程
一.方程及其推导:
证明：
两边对pi微分
(1)
由谢泼特引理知
且
即
代入(1)式变形即可得
二. 替代效应与收入效应
(一)替代效应:由商品价格的变动起的商品相对价格的变动,进而由其导致商品需求量的变化.
(二)收入效应：由商品价格变动所导致的实际收入水平变动,进而导致商品需求量的变动。
+
-
+
-
替代效应
收入效应
x2
x1
替代效应
收入效应
-
-
+
-
x2
x1
x’1
X1’’
x1’’’
替代效应
收入效应
三.关于普通需求曲线的斜率
在斯卢茨基方程中令i=j得
所以
1.正常商品。从而收入效应
2.对于低档商品
收入效应〉0，符号不定，大致可分为两种情况：
其一，若收入效应的绝对值小于自替代效应的绝对值，斜率为负，即普通需求曲线是向右下方倾斜的。
其二，若收入效应的绝对值大于自替代效应的绝对值，斜率为正，即普通需求曲线是向有上方倾斜的，属吉芬商品。
消费者行为理论小结
1.偏好作为个人选择的基础和出发点.
2.建立偏好与效用函数的相互对应，便于数学分析.
3.个人选择问题理论上抽象为效用最大化问题。
4. 效用最大化的均衡条件：
商品的边际替代率=边际交换率
5.引入普通需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数和支出函数等概念，讨论它们之间关系.从某种程度上是对个人选择问题讨论的深化。斯卢茨基方程的导出是这种讨论深化的具体体现。
习题：
1、设
求
2、设
求：
