商定策略 反例验证
——谈《商不变性质》的教学
江东实验小学 朱岳成
一、教学设想
“商不变性质”是在学生学习了除数是两、三位数的除法和五大运算定律的基础
上来学习的，它为应用“商不变性质”进行除法的简便计算以及今后进一步通过它迁移学
习分数的基本性质、比的基本性质作准备。
学生对“商不变性质”这一规律在本课教学之前已经有了一些感性经验，如在前面学
习多位数除法口算 8÷2＝4 80÷20＝4 800÷200＝4……中，已有直观的特例感受。
学生的逻辑思维能力有了初步的发展，已具备了初步的猜想、归纳、类比、推理的数学
活动经验。
新课标指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主
探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。” 因此，在进行“商不变性质”这样一个特
征、定律、性质类新知教学时，我决定采取“先慢后快、突出过程、努力体现探究味”的
整体教学策略 。
1、关注学生的学习过程。在本课时重点引导学生发现、概括 、理解“商不变性
质”，下课时则主要是应用“商不变性质”进行除法（没有余数与有余数）的简便计算的
教学。这样重点突出，让学生有比较充分的时间经历新知的形成过程，体会科学探究的
策略方法，并从中落实以学生为主体、教师为主导的理念。
2、关注学生的学习方法，努力体现“探究味”。数学教学真正的含金量在于数学思
想方法、数学策略的教学。所以，我力图通过创设问题情境引出新知，激发学生的求知
欲望，引导学生从一些数学现象中展开大胆猜想，然后通过学生主体的探究活动，在呈
现正、反例的验证活动中，引导学生概括出商不变性质，然后在有层次的练习中使学生
进一步理解并掌握“商不变性质”，同时使学生初步感悟到新知学习的应用价值，感受数
学与生活的联系，培养学生观察、比较、概括及合作探究的能力。理解“商不变性质”的
关键在于明确“同时”和“相同”这两个词在除法算式的变化过程中是必要条件。学生要概
括出“商不变性质”，必须在他们的头脑中储备足以支撑其概括活动的大量具体算式。在
大量的变式正例中凸显出本质特征，通过反例的验证、比较，进一步确信“同时”和“相
同”的必要，而且还为引导学有余力的学生在课后进一步探究商的变化规律，拓展学生
视野，孕伏了策略和方法。
二、教学片段实录
（一）理解“扩大”、“缩小”的含义。
（二）故事引入：
师： 花果山的桃子熟了，小猴子们成群结队地去向猴王分桃呢！
（出示下表）
师：小猴子们嘟囔着，说猴王分桃不公平。猴王说：“我分桃是很公平的。”你们知
道为什么吗？
生：（稍思索）老师，我知道了，三批小猴子分得的桃子总数虽然不同，但每只小
猴子分得的桃子数是相同的。
师：真会动脑筋。猴王笑哈哈地接着说：“我给你们每位都分了 2 只桃子啊！”现在，
同学们能补上三批的小猴子数，列出每只小猴子分得 2 只桃子的算式吗？
生：（略）
师：（补充表格形成如下）
来分桃的小猴子 分到的桃子数 小猴子数
每只小猴子分
得的桃子数
第一批 12 6 12÷6＝2
第二批 120 60 120÷60＝2
第三批 6 3 6÷3＝2
（三）启发猜想：
师：（引导学生观察表中算式，说说发现。形成如下板书）
师：接着还有好多批小猴子来分桃，我们还可以写出好多这样的除法算式。
来分桃的小猴子 分到的桃子数
第一批 12
第二批 120
第三批 6
① 12 ÷ 6 ＝2
①（12×10）÷（6×10）= 2 被除数和除数都扩大 10 倍，商不变。
①（12÷2 ）÷（6÷2 ）= 2 被除数和除数都缩小 2 倍，商不变。
谁能继续写几个这样的算式，并说一说？
生：（12×3 ）÷（6×3 ）= 2 ， 被除数和除数都扩大 3 倍，商不变。
生：（12×20）÷（6×20）= 2 ， 被除数和除数都扩大 20 倍，商不变。
生：（12÷3 ）÷（6÷3） = 2 ， 被除数和除数都缩小 3 倍，商不变。
生：（12÷6 ）÷（6÷6） = 2 ， 被除数和除数都缩小 6 倍，商不变。
师：现在，同学们能大胆地猜想一下，一个除法算式，被除数和除数怎样变
化，商才会不变呢？
生 1：被除数扩大几倍，除数也扩大几倍，商不变。
生 2：被除数缩小几倍，除数也缩小几倍，商不变。
生 3：被除数和除数都扩大相同的倍数，商不变。
生 4：被除数和除数都缩小相同的倍数，商不变。
（将生 3、生 4 的猜想板书。
猜想：
①被除数和除数都扩大相同的倍数，商不变。
①被除数和除数都缩小相同的倍数，商不变。）
（四）商定验证策略。
师：那么，这两条猜想我们可以怎样来验证呢？请同学们自己先想一想，再四人小
组讨论一下。
（学生四人小组热烈讨论、交流验证策略）
师：现在我们交流一下大家讨论的验证方法。
生 1：我们可以像黑板上这样继续举例子，把被除数 12 和除数 6 都扩大相同的倍数，
看看商变不变。
生 2：我们也可以继续举例子，把被除数和除数都缩小相同的倍数，看看商变不变。
师：黑板上的例子再怎么继续举例也只是一组例子呀。
生：那我们可以像它这样举别的例子来验证。
师：行。刚才，同学们说的都是从正面举例子来验证。这还不够呀。
（生略沉思）
生 1：那我们也可以从反面来验证。可以举几个除法算式，把被除数和除数同时扩
大相同的倍数，或者把被除数和除数同时缩小相同的倍数，看能不能找到商会
变的例子。如果找不到，这个猜想就是对的了。
生 2：那我们也可以把被除数和除数同时扩大不同的倍数，看看商是不是要变。
师：很好。我们也可以让被除数和除数的扩大、缩小不同时，变化的倍数不相同，
看看商会不会变。这样我们就能更加清楚被除数和除数怎样扩大、缩小，商不
变；被除数和除数怎样扩大、缩小，商要变的规律了。
（五）合作验证，反馈结果。
师：下面四人学习小组合作，可以选择大家刚才讨论的一种验证方法，可以验证其
中的一条猜想，先商量一下，再分工举例，最后由组长记录汇总并上来汇报。
（四人学习小组围绕主攻问题——“被除数和除数怎样扩大、缩小，商不变；被除数
和除数怎样扩大、缩小，商要变”这个问题合作编题验证。教师巡视指导。）
师：下面我们交流一下大家验证的结果，把你们的记录纸拿上来展示一下。
生 1：我们把 80÷20＝4 的被除数 80 和除数 20
同时扩大 3 倍、4 倍、5 倍、7 倍，它们
的商不变。（投影如右）
生 2：我们把 72÷24＝3 的被除数 72 和除数
24 同时缩小 2 倍、8 倍、12 倍，它们
的商不变。（投影如右）
生 3：我们把 45÷15＝3 的被除数 45 和除数
15 同时扩大 2 倍、10 倍，同时缩小 3
倍、15 倍，它们的商不变。（投影如右）
生 4：我们把 12÷6＝2 的被除数 12 和除数
6 同时扩大 2 倍、10 倍，同时缩小 3
倍、6 倍，它们的商不变。（投影如右）
生 5：我们把 12÷6＝2 的被除数扩大 3 倍，
除数扩大 2 倍；被除数缩小 2 倍，除
数缩小 6 倍；被除数扩大 3 倍，除数
缩小 3 倍；被除数扩大 2 倍，除数不
80 ÷ 20 ＝4
（80×3）÷（20×3）=4
（80×4）÷（20×4）=4
（80×5）÷（20×5）= 4
（80×7）÷（20×7）=4
72 ÷ 24 ＝3
（72÷2 ）÷（24÷2 ）=3
（72÷3 ）÷（24÷3 ）=3
（72÷8 ）÷（24÷8 ）=3
（72÷12）÷（24÷12）= 3
45 ÷ 15 ＝3
（45×2 ）÷（15×2 ）=3
（45×10）÷（15×10）=3
（45÷3 ）÷（15÷3 ）=3
（45÷15）÷（15÷15）= 3
12 ÷ 6 ＝2
（12×2 ）÷（6×2 ）=2
（12×10）÷（6×10）=2
（12÷3 ）÷（6÷3 ）=2
（12÷6 ）÷（6÷6 ）= 2
12 ÷ 6 ＝2
（12×3）÷（6×2）=3
（12÷2）÷（6÷6）=6
（12×3）÷（6÷3）=18
（12÷2）÷ 6 = 1
变，它们的商都变了。（投影如右）
生 6：我们组没有找到把被除数和除数同时扩大相同的倍数，商会变的例子。
生 7：我们组没有找到把被除数和除数同时缩小相同的倍数，商会变的例子。
师：从以上我们的验证情况来看，可以得出什么结论？谁能用一句话概括起来说？
……
（六）练习巩固，深化认知。（略）
（七）课堂小结、启迪延伸。（略）
三、课后反思
综观“商不变性质”的教学，联系自己的教学设想，主要有以下几点启示：
1、“猜想——验证”型学法适用于小学数学“特征、定律、性质”类新知的教学。“猜想
——验证”是科学研究的基本方法，是学生主动探求知识的有效方式。小学数学中“特征、
定律、性质”类新知的教学,限于学生的认知水平基本上是采用不完全归纳法的。要让学
生确信结论的正确，仅靠教师的一例讲授，是绝对不够的。这就要求教师创设一种“猜
想”的学习情境，只有让学生真正成为课堂的主人，用自己的思维方式猜测，再引导学
生去验证，尽管这种验证活动从严格意义上来说也是不严密的，但学生通过自己的参与
和思考，经历了知识的形成过程，学生对这个结论是深信不疑的。更重要的是“猜想——
验证”型学法能够体现新课标理念，把学生推向课堂主体的地位，由学生提供探究素材，
由学生开展猜想——举例验证——得出结论的探究活动，不仅使学生对知识能比较深刻
的理解，同时更是一种科学态度、策略方法的熏陶。
2、探究活动的价值建筑于学生的自觉活动。小学数学课堂的探究活动常见有两大
类，一类是以发现概括为主要特征的发现式探究，一类是以猜想验证为主要特征的验证
式探究。而“商不变性质”比较适合验证式探究。不管何种方式，在课堂上学生是活动的
主体。教师要尽力调动学生的学习主动性，把教师的引导内化为学生的自觉动力。这就
首先要使学生明白开展这些活动的意义和作用，使学生明白为什么要做这一步活动，有
明确的目的性。这就要求教学环节之间过渡要自然，并具有逻辑性，又能被小学生理解
和接受。如果在本教例的教学中，在学生提出猜想之后，教师试图迈大步子，希望学生
不但能够举出验证的正例，还能举出验证的反例，来说明“同时”与“相同”的必要性，就
要求教师贯彻的不能太突然、太生硬，使学生真正明白教师要他们举出“商变了”这种算
式的意图，明白这种算式举出来有什么作用，使验证活动有明确的目的性，那么这种验
证策略就应该由学生群体与教师的共同商讨而来。尊重学生的选择权，使验证活动更具
说服力，学生才能心服口服。
3、学生开展验证活动前需要教师对验证策略的引导和点拨。数学思想方法、数学
策略的教学是数学课堂教学的根本任务。验证涉及到多种思考的方法。小学生的思维特
点是正处于由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于开展一些探索性的数
学活动就需要教师在策略和方法上的指导。这就需要教师深入研究学生学习新知识的认
知心理图式，对自己的教学预设作师生心理的角色换位思考，考虑所呈现信息的容量、
思维难度和可接受性，来确定适合学生参与实施的验证策略和方法，通过学生讨论、师
生补充得到完善。
（1）探究策略和方法应尽可能地来自于学生的商讨共识。教师在验证之前，引导
学生展开验证策略的讨论，集众人的智慧于一体，学生明确了验证的目的，明确了自己
提出的验证策略的功能，这时再展开验证，学生一方面是在验证自己的猜想（商不变性
质），同时也是在验证自己集体讨论出来的这种验证策略的有效性，因此他们操作起来
不但得心应手，而且热情高涨，课堂气氛活跃，自然对验证结果也是深信不疑的。
（2）“反证”策略的提出和运用需要教师的指导。从本教例看，可以发现“商不变性
质”的验证，光从正面举最多的同类例子来佐证也是不能说明问题的，而通过反向思维，
采用反例验证，让学生找被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商会变的例子，学
生在搜肠刮肚的思索之后找不到这样的例子(0 除外)，学生就会真正确信猜想的正确性。
而小学生囿于认知水平的局限，这种“反证”策略的提出和运用是需要教师的指导的。
4、有待讨论的问题：
①“猜想——验证”型学法比较费时，它与落实“双基”的矛盾如何解决？
①在猜想与验证的过程中如何把握好“放”与“收”的度？
①“猜想——验证”型学法在不同年级段的实施要求如何区分？
