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收稿日期：)**"<!!<*=
基金项目：国家自然科学基金资助项目（>*#>!*#"）；新世纪优秀人才支持计划（(/5?2<*"<*"">）
作者简介：曾伟（!=,*<）男，硕士研究生，研究方向为物流与供应链管理。
信息熵增量最小化准则在供应链中的应用
曾伟
（合肥工业大学 理学院，安徽 合肥)@***=）
摘 要：本文研究了在考虑利润最大化准则和信息熵增量最小准则下，既能满足了利润最大化，又要增加利润可
得性，销售商如何确定订购量的问题。数字实验表明：考虑双重准则得到的策略比仅考虑利润最大化准则得到
的策略更好，可以使供应链、销售商及制造商都受益。
关键词：供应链；熵；信息熵增量最小准则；利润最大化准则
中图分类号：-))> 文章标识码：1 文章编号：!**><@))!（)**+）*#<*!""<*"
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* 引言
熵概念的提出由来已久，早在!,+#年克劳修斯的《热力惟动说》书中就首次提出了这个物理量。!=#,
年香农创立了信息论，借用热力学熵，提出了信息的度量—信息熵［!］。半个世纪以来，熵的概念已经被各
个领域广泛研究和使用。在管理决策科学领域中，也有很多学者作出成就。比较有代表性的是邱菀华所
著的《管理决策与应用熵学》［)］，文献［@!+］应用熵极大化准则对状态空间的分布估计作了一定的研究，
但这些研究主要是利用熵极大化准则，对熵增量的问题考虑得较少。文献［>］中提到了物资系统信息熵增
量公式，但单单考虑这一个准则，不符合商业利润最大的目标。在这些研究的基础上，本文考虑在利润最
大化准则和信息熵增量最小准则下，销售商如何确定订购量的问题。对于双重准则下作出的订购策略一
分为二讨论，去掉对销售商不利的策略。为销售商提供了另一种决策思路。
! 记号与假定
（!）8：需求量，随机变量，密度函数为’（8）； 9：订购量；
（)）#：单位成本； :：批发价； ;：单位售价；
<!：订购过量引起的单位损失（包括折价处理、存贮费用等）；
<)：缺货引起的单位损失（通常等于单位利益加上损失信誉的单位罚金等）；
万方数据
这几种费用的关系是：!!!""!#!!#
令：!"$!"（!!"），!#"%&$"#（"#"）
（$）“"&”：“&”的利润“"
%
&
”：合作后“&”的利润“#"&”：合作前后“&”的利润改变量，“&”分别表示
销售商（’），制造商（(），供应链（)）
（%）#*：系统由于需求不确定引起的损失的信息熵增量
#*%：合作后系统由于需求不确定引起的损失的信息熵增量
##*：合作前后系统信息熵增量改变量
# 模型建立及分析
（"）考虑利润最大化准则
制造商给出批发价+，销售商以利润最大化为目标确定最优订购批量：
销售商利润函数
"’ $$
,
!
［#-.!"（,.-）］/（-）&-0$
0’
,
［#,.!#（1.,）］/（-）&-.",
令
%"’
%,
#$!得到
$
,&
!
/（-）&-$
（"0"）#."
（"0"）#0!"
即 2（,&）
（"("）#)"
（"("）#(!"
（"）
又 %
#"’
%,# *)!"/
（,）)（#(!#）/（,）!!
所以"’是,的凹函数，满足（"）式的,&使"’达到最大，制造商最大利润"( *（")3）,&
销售商最大利润
"’ $$
,&
!
［#-.!"（,&.-）］/（-）&-0$
0’
,&
［#,&.!#（-.,&）］/（-）&-.",&
根据（"）式和"’的表达式，可以得知"’曲线的特点：
+,"’是,的凹函数；
-,对于同一个,，" 越小，"’越大；
.," 越小，,&越大，反之亦然；
由上述特点可作出"’族曲线图，如图"所示：
图" "’的族曲线图
（#）考虑系统信息熵增量最小化准则
/0" 运 筹 与 管 理 #!!/年第"0卷
万方数据
当!!"时，订购过量引起的损失为#!（!"$）；
当!""时，订购过量引起的损失为##（$"!）；
根据物资系统信息增量公式［$］，系统由于需求不确定引起的损失的信息熵增量为：
!%%［"#!#
!
&
（!"$）&（"）’()#&（"）*"］+［’###
(,
&
（""!）&（"）’()#&（"）*"］
求使系统信息熵增量最小的订购量!
令 $!%
$!
!%&得到)#
!!
&
&（"）’()#&（"）*"% "*#++"*#
(,
&
&（"）’()#&（"）*"
令 %&%#+,& &（"）’()#&（"）*" （#）
即 %（!!）% "*#++"*
%&
又 $
#!%
$!#%#!&
（!）’()#&（!）"##&（!）’()#&（!）!&
所以 !%是!的凸函数，满足（#）式的!!使!%达到最小
（-）同时考虑两种准则
首先，制造商给定批发价+，销售商通过,（!）%
（!+"）*"+
（!+"）*+#+
得到最优订购量!%，批发价+ 就是
对应的最优批发价+%，即（!%，+%）策略；
另外，销售商同时考虑两个准则，即寻找既满足最大化利润准则，又使得系统信息熵增量最小的最优
（!，+），联立（!），（#）两式，解得最优（!，+）记为（!%!，+%!），由此得到（!%!，+%!）策略
,（!）%
（!+"）*"+
（!+"）*+#+
%（!）% "*#++"*
%
&
’
( &
通常情况下，（!%，+%）与（!%!，+%!），不相同，若相同，即为一同策略，无需讨论。下面分两种情况
进行讨论：
（!）若!%!"!%，它们分别对应的利润曲线如图#所示：
若销售商选取!%! 作为订购量，其对应的最优批发价为+%!。由于!%!"!%，则+%!!+%。
由图#可知，销售商利润减小。这就是说，如果采用（!%!，+%!）策略，销售商要减少订购量，为满足利
润最大化，相应的最优批发价增大，要求制造商抬高批发价，并且销售商的利润减少了。虽然此时系统信
息熵增量达到最小，但由于批发价升高，利润减少，对销售商不利的，所以销售商会舍弃这种策略，仍然采
用（!%，+%）策略。
（#）若!%!!!%，它们分别对应的利润曲线如图-所示：
图# 当!%!"!%时的利润曲线图 图- 当!%!!!%时的利润曲线图
若销售商选取!%! 作为订购量，其对应的最优批发价为+%!。由于!%!!!%，则+%!"+%。由图-
可知，销售商利润增加。这就是说，如果采用（!%!，+%!）策略，销售商增大订购量，为满足利润最大化，相
应的最优批发价减小，销售商要求制造商降低批发价，这符合价格折扣的基本特征。通过价格折扣，既能
满足利润最大化，又能使系统信息熵增量达到最小，销售商利润增加，对于销售商来说，何乐而不为呢？所
$.!第/期 曾 伟：信息熵增量最小化准则在供应链中的应用
万方数据
以销售商愿意采用（!!!，"!!）策略。销售商增大订购量至!!!，要求制造商降低批发价到"!!，得到制造
商响应的条件是至少保证制造商的利润不减，所以销售商在向制造商索要价格折扣时要与制造商约定，将
赚得利润的一部分分给制造商，双方合作有效的条件是合作后至少各自利润不减。
上述分析过程可用表达式表示出来。假定销售商将赚得利润的一部分#分给制造商，合作后供应
链、双方各自利润函数为：
"$%#
!
!
!
［&’"(!#（!!)’）*（’）$’%#
+&
!
!
［&!!)(!’（’,!!）］*（’）$’,-!!
".$%#
!
!
!
!
［&’,(!#!（!!!)’）］*（’）$’+#
+&
!
!
!
［&!!!)(!’!（’,!!!）］*（’）$’,-!!!
"./ %（"!!,-）!!!+#
".0 %#
!!!
!
［&’,(!#!（!!!)’）］*（’）$’+#
+&
!!!
［&!!!)(!’!（’,!!!）］*（’）$’,"!!!!! ,#
合作有效的条件是：
"./ $"
!
/
且".0$"
!
0
由此可确定出#的范围，对利润进行分割
( 应用实例及灵敏度分析
假定需求服从均值为)*!，均方差为’!的正态分布，其余参数取值为"+!1)，#+#1*，-+!1#，&+,1!，
"!+#1!，利用-./等科学计算软件，可求得（!!!，"!!）+（*!*，!1#,），采用这个策略后，供应链整体利润
从(*’21#变为(*)*1’，提高了#,1#，销售商的利润从(!341!变为(*!)1,，提高了)!,1,，制造商的利润从
)(#1#变为)!1)，减少了(3!12，系统信息熵增量从#*!12变为’,1’，降低了#’’1*，销售商在补偿了制造商的
利润损失后，可获得的利润范围为(!341!!(##)1#，制造商的可获得利润范围为)(#1#!))31’。
以上数据例子说明应用利润最大化准则和信息熵增量最小准则双重准则作决策，可以得到更好的订
购策略，在增加利润的同时，系统信息熵增量也减小了，对供应链、销售商及制造商都有好处，以此该策略
在供应链管理实践中是合理可行的。
以下进一步考察几个主要参数$，"和#变化对模型解的影响。$是需求均方差，它的变化更能体现
信息熵增量最小准则在模型中的影响，"（"%#）是订购过量引起的单位损失的比例系数，它越大说明过量
损失占批发价的比重越大，#（#&#）是缺货引起的单位损失的比例系数，它越大说明缺货损失占售价的比
重越大，在售价不变的情况下，即损失信誉的单位罚金越大，这两个系数直接影响订购量的确定。每一个
参数在其余参数不变的情况下变化，观察的结果见表#!(。
表! 均方差$变化的影响
$ （!!"!） （!!!，"!!） "0 ".0 !"0 "/ "./ !"/
* （)*,，#） （)4*，!1##） (#(41) (*),1’ )##12 )#’1’ )12 ")!214
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万方数据
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"&( （#$%，%） （&!+，!&"(） (&"&&& (&#(&$ %$&# %’#&% (+&’ *%(’&#
由表%!(可以得出以下结论：
（%）对于同一个均方差，合作后的信息熵增量明显小于合作前的信息熵增量。随着均方差增大，表示
市场需求的不确定性增加，不是在合作前后，系统信息熵量增量") 和")$都随之增大。均方差越大，信
息熵增量的改变量越大，即信息熵增量减少得越多，也就是说，市场风险越大，应用上述策略的效果越明
显，系统信息熵增量减少得越多，获得最大利润的可能性越大。同时，可以看到销售商、整个供应链的利润
都有明显提升，制造商通过销售商的利润补偿，也增加了利润。所以，该模型对于高风险市场更具有价值。
（"）订购过量引起的单位损失的比例系数!（!#%）越大，（!!""!"）策略中!!" 越小，说明过量损失占
批发价的比重越大，销售商越要少订购一些，防止过量情况的出现。
（(）缺货引起的单位损失的比例系数#（#$%）越大，（!!"，"!"）策略中!!" 越大，说明缺货损失占售
价的比重越大，销售商越要多订购一些，防止缺货情况的出现。
（#）不论是!还是#增大，批发价都随之增加，这说明无论哪一种损失加重，都会让销售商更加慎重地
作决策，期望利润部分转移给制造商，所以销售商利润下降，制造商利润增加。随着损失比例系数的增大，
风险加大，所以信息熵增量也增大，应用（!!""!"）策略后，也使得系统熵增量减少。这也说明该模型在降
低市场风险决策过程中的是有效的。
# 结束语
本文主要考虑了在利润最大化准则和信息熵量最小准则下，销售商如何决策的问题。为销售商决策
提供了另一种思路。但本文并没有考虑制造商如何决策的问题，考虑制造商和销售商联合决策的问题是
未来研究的方向。
参考文献：
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［"］邱菀华3管理决策与应用熵学［D］3机械工业出版社，"!!(3
［(］张瑞清，邱菀华3决策分析中一类极大熵问题的求解算法与应用［?］3系统工程理论与实践，%))+，%+（%%）：()C#(3
［#］焦建六3求解一类极大熵问题的一种新算法3系统工程，"!!!，%$（&）：$+C’"
［&］阎植林3管理决策中的熵理论及应用研究［E］3北京：北京航空航天大学。%))+3
［+］何大义，邱菀华3运用熵极大化准则求解连续型不确定性决策问题［?］3系统工程理论与实践，"!!"，)：)’C%!!3
［’］吕炜3原料采购决策的信息熵模式及其应用［?］3经济师，"!!(，)："’!C"’+3
)&%第#期 曾 伟：信息熵增量最小化准则在供应链中的应用
万方数据
